考点30：切线的性质和判定.doc

1、20182018 中考数学试题分类汇编：考点中考数学试题分类汇编：考点 3030 切线的性质和判定切线的性质和判定一选择题（共一选择题（共 11 小题）小题）1（2018哈尔滨）如图，点 P 为O 外一点，PA 为O 的切线，A 为切点，PO交O 于点 B，P=30，OB=3，则线段 BP 的长为（）A3B3C6D9【分析】直接利用切线的性质得出OAP=90，进而利用直角三角形的性质得出OP 的长【解答】解：连接 OA，PA 为O 的切线，OAP=90，P=30，OB=3，AO=3，则 OP=6，故 BP=63=3故选：A2（2018眉山）如图所示，AB 是O 的直径，PA 切O 于点 A，线

2、段 PO 交O 于点 C，连结 BC，若P=36，则B 等于（）A27 B32 C36 D54【分析】直接利用切线的性质得出OAP=90，再利用三角形内角和定理得出AOP=54，结合圆周角定理得出答案【解答】解：PA 切O 于点 A，OAP=90，P=36，AOP=54，B=27故选：A3（2018重庆）如图，已知 AB 是O 的直径，点 P 在 BA 的延长线上，PD 与O 相切于点 D， 过点 B 作 PD 的垂线交 PD 的延长线于点 C， 若O 的半径为 4，BC=6，则 PA 的长为（）A4B2C3D【分析】直接利用切线的性质得出PDO=90，再利用相似三角形的判定与性质分析得出答案

3、【解答】解：连接 DO，PD 与O 相切于点 D，PDO=90，C=90，DOBC，PDOPCB，=，设 PA=x，则=，解得：x=4，故 PA=4故选：A4（2018福建）如图，AB 是O 的直径，BC 与O 相切于点 B，AC 交O 于点 D，若ACB=50，则BOD 等于（）A40 B50 C60 D80【分析】根据切线的性质得到ABC=90，根据直角三角形的性质求出A，根据圆周角定理计算即可【解答】解：BC 是O 的切线，ABC=90，A=90ACB=40，由圆周角定理得，BOD=2A=80，故选：D5（2018泸州）在平面直角坐标系内，以原点 O 为圆心，1 为半径作圆，点 P在直线

4、 y=上运动，过点 P 作该圆的一条切线，切点为 A，则 PA 的最小值为（）A3B2CD【分析】如图，直线 y=x+2与 x 轴交于点 C，与 y 轴交于点 D，作 OHCD于 H，先利用一次解析式得到 D（0，2），C（2，0），再利用勾股定理可计算出 CD=4，则利用面积法可计算出 OH=，连接 OA，如图，利用切线的性质得 OAPA，则 PA=，然后利用垂线段最短求 PA 的最小值【解答】解：如图，直线 y=x+2与 x 轴交于点 C，与 y 轴交于点 D，作 OHCD 于 H，当 x=0 时，y=x+2=2，则 D（0，2），当 y=0 时，x+2=0，解得 x=2，则 C（2，0）

5、，CD=4，OHCD=OCOD，OH=，连接 OA，如图，PA 为O 的切线，OAPA，PA=，当 OP 的值最小时，PA 的值最小，而 OP 的最小值为 OH 的长，PA 的最小值为=故选：D6（2018泰安）如图，BM 与O 相切于点 B，若MBA=140，则ACB 的度数为（）A40 B50 C60 D70【分析】连接 OA、OB，由切线的性质知OBM=90，从而得ABO=BAO=50，由内角和定理知AOB=80，根据圆周角定理可得答案【解答】解：如图，连接 OA、OB，BM 是O 的切线，OBM=90，MBA=140，ABO=50，OA=OB，ABO=BAO=50，AOB=80，ACB

6、=AOB=40，故选：A7（2018深圳）如图，一把直尺，60的直角三角板和光盘如图摆放，A 为 60角与直尺交点，AB=3，则光盘的直径是（）A3BC6D【分析】设三角板与圆的切点为 C，连接 OA、OB，由切线长定理得出 AB=AC=3、OAB=60，根据 OB=ABtanOAB 可得答案【解答】解：设三角板与圆的切点为 C，连接 OA、OB，由切线长定理知 AB=AC=3，OA 平分BAC，OAB=60，在 RtABO 中，OB=ABtanOAB=3，光盘的直径为 6，故选：D8（2018重庆）如图，ABC 中，A=30，点 O 是边 AB 上一点，以点 O 为圆心，以 OB 为半径作圆

7、，O 恰好与 AC 相切于点 D，连接 BD若 BD 平分ABC，AD=2，则线段 CD 的长是（）A2BCD【分析】连接 OD，得 RtOAD，由A=30，AD=2，可求出 OD、AO 的长；由 BD 平分ABC，OB=OD 可得OD 与 BC 间的位置关系，根据平行线分线段成比例定理，得结论【解答】解：连接 ODOD 是O 的半径，AC 是O 的切线，点 D 是切点，ODAC在 RtAOD 中，A=30，AD=2，OD=OB=2，AO=4，ODB=OBD，又BD 平分ABC，OBD=CBDODB=CBDODCB，即CD=故选：B9 （2018湘西州）如图，直线 AB 与O 相切于点 A，A

8、C、CD 是O 的两条弦，且 CDAB，若O 的半径为 5，CD=8，则弦 AC 的长为（）A10B8C4D4【分析】 由 AB 是圆的切线知 AOAB， 结合 CDAB 知 AOCD， 从而得出 CE=4，RtCOE 中求得 OE=3 及 AE=8，在 RtACE 中利用勾股定理可得答案【解答】解：直线 AB 与O 相切于点 A，OAAB，又CDAB，AOCD，记垂足为 E，CD=8，CE=DE=CD=4，连接 OC，则 OC=OA=5，在 RtOCE 中，OE=3，AE=AO+OE=8，则 AC=4，故选：D10（2018宜昌）如图，直线 AB 是O 的切线，C 为切点，ODAB 交O 于

9、点 D，点 E 在O 上，连接 OC，EC，ED，则CED 的度数为（）A30 B35 C40 D45【分析】由切线的性质知OCB=90，再根据平行线的性质得COD=90，最后由圆周角定理可得答案【解答】解：直线 AB 是O 的切线，C 为切点，OCB=90，ODAB，COD=90，CED=COD=45，故选：D11（2018无锡）如图，矩形 ABCD 中，G 是 BC 的中点，过 A、D、G 三点的圆O 与边 AB、CD 分别交于点 E、点 F，给出下列说法：（1）AC 与 BD 的交点是圆O 的圆心；（2）AF 与 DE 的交点是圆 O 的圆心；（3）BC 与圆 O 相切，其中正确说法的个

10、数是（）A0B1C2D3【分析】连接 DG、AG，作 GHAD 于 H，连接 OD，如图，先确定 AG=DG，则GH 垂直平分 AD，则可判断点 O 在 HG 上，再根据 HGBC 可判定 BC 与圆 O 相切； 接着利用 OG=OG 可判断圆心 O 不是 AC 与 BD 的交点； 然后根据四边形 AEFD为O 的内接矩形可判断 AF 与 DE 的交点是圆 O 的圆心【解答】解：连接 DG、AG，作 GHAD 于 H，连接 OD，如图，G 是 BC 的中点，AG=DG，GH 垂直平分 AD，点 O 在 HG 上，ADBC，HGBC，BC 与圆 O 相切；OG=OG，点 O 不是 HG 的中点，

11、圆心 O 不是 AC 与 BD 的交点；而四边形 AEFD 为O 的内接矩形，AF 与 DE 的交点是圆 O 的圆心；（1）错误，（2）（3）正确故选：C二填空题（共二填空题（共 14 小题）小题）12 （2018安徽）如图，菱形 ABOC 的边 AB，AC 分别与O 相切于点 D，E若点 D 是 AB 的中点，则DOE=60【分析】连接 OA，根据菱形的性质得到AOB 是等边三角形，根据切线的性质求出AOD，同理计算即可【解答】解：连接 OA，四边形 ABOC 是菱形，BA=BO，AB 与O 相切于点 D，ODAB，点 D 是 AB 的中点，直线 OD 是线段 AB 的垂直平分线，OA=OB

12、，AOB 是等边三角形，AB 与O 相切于点 D，ODAB，AOD=AOB=30，同理，AOE=30，DOE=AOD+AOE=60，故答案为：6013（2018连云港）如图，AB 是O 的弦，点 C 在过点 B 的切线上，且 OCOA，OC 交 AB 于点 P，已知OAB=22，则OCB=44【分析】首先连接 OB，由点 C 在过点 B 的切线上，且 OCOA，根据等角的余角相等，易证得CBP=CPB，利用等腰三角形的性质解答即可【解答】解：连接 OB，BC 是O 的切线，OBBC，OBA+CBP=90，OCOA，A+APO=90，OA=OB，OAB=22，OAB=OBA=22，APO=CBP

13、=68，APO=CPB，CPB=ABP=68，OCB=1806868=44，故答案为：4414（2018泰州）如图，ABC 中，ACB=90，sinA=，AC=12，将ABC绕点 C 顺时针旋转 90得到ABC，P 为线段 AB上的动点，以点 P 为圆心，PA长为半径作P，当P 与ABC 的边相切时，P 的半径为或【分析】分两种情形分别求解：如图 1 中，当P 与直线 AC 相切于点 Q 时，如图 2 中，当P 与 AB 相切于点 T 时，【解答】解：如图 1 中，当P 与直线 AC 相切于点 Q 时，连接 PQ设 PQ=PA=r，PQCA，=，=，r=如图 2 中，当P 与 AB 相切于点

14、T 时，易证 A、B、T 共线，ABTABC，=，=，AT=，r=AT=综上所述，P 的半径为或15（2018宁波）如图，正方形 ABCD 的边长为 8，M 是 AB 的中点，P 是 BC边上的动点， 连结 PM， 以点 P 为圆心， PM 长为半径作P 当P 与正方形 ABCD的边相切时，BP 的长为3 或 4【分析】分两种情形分别求解：如图 1 中，当P 与直线 CD 相切时；如图 2 中当P 与直线 AD 相切时设切点为 K，连接 PK，则 PKAD，四边形 PKDC 是矩形；【解答】解：如图 1 中，当P 与直线 CD 相切时，设 PC=PM=m在 RtPBM 中，PM2=BM2+PB

15、2，x2=42+（8x）2，x=5，PC=5，BP=BCPC=85=3如图 2 中当P 与直线 AD 相切时设切点为 K，连接 PK，则 PKAD，四边形PKDC 是矩形PM=PK=CD=2BM，BM=4，PM=8，在 RtPBM 中，PB=4综上所述，BP 的长为 3 或 416（2018台州）如图，AB 是O 的直径，C 是O 上的点，过点 C 作O 的切线交 AB 的延长线于点 D若A=32，则D=26度【分析】 连接 OC， 根据圆周角定理得到COD=2A， 根据切线的性质计算即可【解答】解：连接 OC，由圆周角定理得，COD=2A=64，CD 为O 的切线，OCCD，D=90COD=

16、26，故答案为：2617（2018长沙）如图，点 A，B，D 在O 上，A=20，BC 是O 的切线，B为切点，OD 的延长线交 BC 于点 C，则OCB=50度【分析】由圆周角定理易求BOC 的度数，再根据切线的性质定理可得OBC=90，进而可求出求出OCB 的度【解答】解：A=20，BOC=40，BC 是O 的切线，B 为切点，OBC=90，OCB=9040=50，故答案为：5018（2018香坊区）如图，BD 是O 的直径，BA 是O 的弦，过点 A 的切线交 BD 延长线于点 C， OEAB 于 E， 且 AB=AC， 若 CD=2， 则 OE 的长为【分析】根据题意，利用三角形全等和

17、切线的性质、中位线，直角三角形中 30角所对的直角边与斜边的关系、垂径定理可以求得 OE 的长【解答】解：连接 OA、AD，如右图所示，BD 是O 的直径，BA 是O 的弦，过点 A 的切线交 BD 延长线于点 C，OEAB 于 E，DAB=90，OAC=90，AB=AC，B=C，在ACO 和BAD 中，ACOBAD（ASA），AO=AD，AO=OD，AO=OD=AD，AOD 是等边三角形，ADO=DAO=60，B=C=30，OAE=30，DAC=30，AD=DC，CD=2，AD=2，点 O 为 AD 的中点，OEAD，OEAB，OE=，故答案为：19（2018山西）如图，在 RtABC 中，

18、ACB=90，AC=6，BC=8，点 D 是 AB的中点，以 CD 为直径作O，O 分别与 AC，BC 交于点 E，F，过点 F 作O 的切线 FG，交 AB 于点 G，则 FG 的长为【分析】先利用勾股定理求出 AB=10，进而求出 CD=BD=5，再求出 CF=4，进而求出 DF=3，再判断出 FGBD，利用面积即可得出结论【解答】解：如图，在 RtABC 中，根据勾股定理得，AB=10，点 D 是 AB 中点，CD=BD=AB=5，连接 DF，CD 是O 的直径，CFD=90，BF=CF=BC=4，DF=3，连接 OF，OC=OD，CF=BF，OFAB，OFC=B，FG 是O 的切线，O

19、FG=90，OFC+BFG=90，BFG+B=90，FGAB，SBDF=DFBF=BDFG，FG=，故答案为20（2018包头）如图，AB 是O 的直径，点 C 在O 上，过点 C 的切线与 BA的延长线交于点 D，点 E 在上（不与点 B，C 重合），连接 BE，CE若D=40，则BEC=115度【分析】连接 OC，根据切线的性质求出DCO，求出COB，即可求出答案【解答】解：连接 OC，DC 切O 于 C，DCO=90，D=40，COB=D+DCO=130，的度数是 130，的度数是 360130=230，BEC=115，故答案为：11521 （2018湘潭）如图，AB 是O 的切线，点

20、B 为切点，若A=30，则AOB=60【分析】根据切线的性质得到OBA=90，根据直角三角形的性质计算即可【解答】解：AB 是O 的切线，OBA=90，AOB=90A=60，故答案为：6022（2018徐州）如图，AB 是O 的直径，点 C 在 AB 的延长线上，CD 与O相切于点 D若C=18，则CDA=126度【分析】连接 OD，构造直角三角形，利用 OA=OD，可求得ODA=36，从而根据CDA=CDO+ODA 计算求解【解答】解：连接 OD，则ODC=90，COD=72；OA=OD，ODA=A=COD=36，CDA=CDO+ODA=90+36=12623（2018青岛）如图，RtABC

21、，B=90，C=30，O 为 AC 上一点，OA=2，以 O 为圆心，以OA 为半径的圆与 CB 相切于点 E，与 AB 相交于点 F，连接 OE、OF，则图中阴影部分的面积是【分析】根据扇形面积公式以及三角形面积公式即可求出答案【解答】解：B=90，C=30，A=60，OA=OF，AOF 是等边三角形，COF=120，OA=2，扇形 OGF 的面积为：=OA 为半径的圆与 CB 相切于点 E，OEC=90，OC=2OE=4，AC=OC+OA=6，AB=AC=3，由勾股定理可知：BC=3ABC 的面积为：33=OAF 的面积为：2=，阴影部分面积为：=故答案为：24（2018广东）如图，矩形

22、ABCD 中，BC=4，CD=2，以 AD 为直径的半圆 O与 BC 相切于点 E，连接 BD，则阴影部分的面积为（结果保留）【分析】连接 OE，如图，利用切线的性质得 OD=2，OEBC，易得四边形 OECD为正方形， 先利用扇形面积公式， 利用 S正方形OECDS扇形EOD计算由弧 DE、 线段 EC、CD 所围成的面积，然后利用三角形的面积减去刚才计算的面积即可得到阴影部分的面积【解答】解：连接 OE，如图，以 AD 为直径的半圆 O 与 BC 相切于点 E，OD=2，OEBC，易得四边形 OECD 为正方形，由弧 DE、 线段 EC、 CD 所围成的面积=S正方形OECDS扇形EOD=

23、22=4，阴影部分的面积=24（4）=故答案为25 （2018南京）如图，在矩形 ABCD 中，AB=5，BC=4，以 CD 为直径作O将矩形 ABCD 绕点 C旋转，使所得矩形 ABCD的边 AB与O 相切，切点为 E，边 CD与O 相交于点F，则 CF 的长为4【分析】连接 OE，延长 EO 交 CD 于点 G，作 OHBC，由旋转性质知B=BCD=90、AB=CD=5、BC=BC=4，从而得出四边形 OEBH 和四边形 EBCG 都是矩形且 OE=OD=OC=，继而求得 CG=BE=OH=2，根据垂径定理可得 CF 的长【解答】解：连接 OE，延长 EO 交 CD 于点 G，作 OHBC

24、 于点 H，则OEB=OHB=90，矩形 ABCD 绕点 C 旋转所得矩形为 ABCD，B=BCD=90，AB=CD=5、BC=BC=4，四边形 OEBH 和四边形 EBCG 都是矩形，OE=OD=OC=，BH=OE=，CH=BCBH=，CG=BE=OH=2，四边形 EBCG 是矩形，OGC=90，即 OGCD，CF=2CG=4，故答案为：4三解答题（共三解答题（共 25 小题）小题）26（2018柯桥区模拟）如图，已知三角形 ABC 的边 AB 是O 的切线，切点为 BAC 经过圆心 O 并与圆相交于点 D、C，过 C 作直线 CE 丄 AB，交 AB 的延长线于点 E（1）求证：CB 平分

25、ACE；（2）若 BE=3，CE=4，求O 的半径【分析】（1）证明：如图 1，连接 OB，由 AB 是0 的切线，得到 OBAB，由于 CE 丄 AB，的 OBCE，于是得到1=3，根据等腰三角形的性质得到1=2，通过等量代换得到结果（2）如图 2，连接 BD 通过DBCCBE，得到比例式，列方程可得结果【解答】（1）证明：如图 1，连接 OB，AB 是0 的切线，OBAB，CE 丄 AB，OBCE，1=3，OB=OC，1=22=3，CB 平分ACE；（2）如图 2，连接 BD，CE 丄 AB，E=90，BC=5，CD 是O 的直径，DBC=90，E=DBC，DBCCBE，BC2=CDCE，

26、CD=，OC=，O 的半径=27（2018天津）已知 AB 是O 的直径，弦 CD 与 AB 相交，BAC=38，（I）如图，若 D 为的中点，求ABC 和ABD 的大小；（）如图，过点 D 作O 的切线，与 AB 的延长线交于点 P，若 DPAC，求OCD 的大小【分析】（）根据圆周角和圆心角的关系和图形可以求得ABC 和ABD 的大小；（）根据题意和平行线的性质、切线的性质可以求得OCD 的大小【解答】解：（）AB 是O 的直径，弦 CD 与 AB 相交，BAC=38，ACB=90，ABC=ACBBAC=9038=52，D 为的中点，AOB=180，AOD=90，ACD=45；（）连接 O

27、D，DP 切O 于点 D，ODDP，即ODP=90，由 DPAC，又BAC=38，P=BAC=38，AOD 是ODP 的一个外角，AOD=P+ODP=128，ACD=64，OC=OA，BAC=38，OCA=BAC=38，OCD=ACDOCA=6438=2628（2018荆门）如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，经过点 C 的切线交 AB 的延长线于点 E，ADEC 交 EC 的延长线于点 D，AD 交O 于 F，FMAB于 H，分别交O、AC 于 M、N，连接 MB，BC（1）求证：AC 平分DAE；（2）若 cosM=，BE=1，求O 的半径；求 FN 的长【分析】（1）连接 OC，

28、如图，利用切线的性质得 OCDE，则判断 OCAD 得到1=3，加上2=3，从而得到1=2；（2）利用圆周角定理和垂径定理得到=，则COE=FAB，所以FAB=M=COE， 设O 的半径为 r， 然后在 RtOCE 中利用余弦的定义得到=，从而解方程求出 r 即可；连接 BF， 如图， 先在 RtAFB 中利用余弦定义计算出 AF=， 再计算出 OC=3，接着证明AFNAEC，然后利用相似比可计算出 FN 的长【解答】（1）证明：连接 OC，如图，直线 DE 与O 相切于点 C，OCDE，又ADDE，OCAD1=3OA=OC，2=3，1=2，AC 平方DAE；（2）解：AB 为直径，AFB=9

29、0，而 DEAD，BFDE，OCBF，=，COE=FAB，而FAB=M，COE=M，设O 的半径为 r，在 RtOCE 中，cosCOE=，即=，解得 r=4，即O 的半径为 4；连接 BF，如图，在 RtAFB 中，cosFAB=，AF=8=在 RtOCE 中，OE=5，OC=4，CE=3，ABFM，5=4，FBDE，5=E=4，=，1=2，AFNAEC，=，即=，FN=29（2018随州）如图，AB 是O 的直径，点 C 为O 上一点，CN 为O 的切线，OMAB 于点 O，分别交 AC、CN 于 D、M 两点（1）求证：MD=MC；（2）若O 的半径为 5，AC=4，求 MC 的长【分析

30、】（1）连接 OC，利用切线的性质证明即可；（2）根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理解答即可【解答】解：（1）连接 OC，CN 为O 的切线，OCCM，OCA+ACM=90，OMAB，OAC+ODA=90，OA=OC，OAC=OCA，ACM=ODA=CDM，MD=MC；（2）由题意可知 AB=52=10，AC=4，AB 是O 的直径，ACB=90，BC=，AOD=ACB，A=A，AODACB，即，可得：OD=，设 MC=MD=x，在 RtOCM 中，由勾股定理得：（x+）2=x2+52，解得：x=，即 MC=30（2018黄冈）如图，AD 是O 的直径，AB 为O 的弦，OPAD，OP 与

31、AB 的延长线交于点 P，过 B 点的切线交 OP 于点 C（1）求证：CBP=ADB（2）若 OA=2，AB=1，求线段 BP 的长【分析】（1）连接 OB，如图，根据圆周角定理得到ABD=90，再根据切线的性质得到OBC=90，然后利用等量代换进行证明；（2）证明AOPABD，然后利用相似比求 BP 的长【解答】（1）证明：连接 OB，如图，AD 是O 的直径，ABD=90，A+ADB=90，BC 为切线，OBBC，OBC=90，OBA+CBP=90，而 OA=OB，A=OBA，CBP=ADB；（2）解：OPAD，POA=90，P+A=90，P=D，AOPABD，=，即=，BP=731（2

32、018襄阳）如图，AB 是O 的直径，AM 和 BN 是O 的两条切线，E 为O 上一点，过点 E 作直线 DC 分别交 AM，BN 于点 D，C，且 CB=CE（1）求证：DA=DE；（2）若 AB=6，CD=4，求图中阴影部分的面积【分析】（1）连接 OE推知 CD 为O 的切线，即可证明 DA=DE；（2）利用分割法求得阴影部分的面积【解答】解：（1）证明：连接 OE、OCOB=OE，OBE=OEBBC=EC，CBE=CEB，OBC=OECBC 为O 的切线，OEC=OBC=90；OE 为半径，CD 为O 的切线，AD 切O 于点 A，DA=DE；（2）如图，过点 D 作 DFBC 于点

33、 F，则四边形 ABFD 是矩形，AD=BF，DF=AB=6，DC=BC+AD=4FC=2，BCAD=2，BC=3在直角OBC 中，tanBOE=，BOC=60在OEC 与OBC 中，OECOBC（SSS），BOE=2BOC=120S阴影部分=S四边形BCEOS扇形OBE=2BCOB=9332 （2018长春） 如图， AB 是O 的直径， AC 切O 于点 A， BC 交O 于点 D 已知O 的半径为 6，C=40（1）求B 的度数（2）求的长（结果保留）【分析】（1）根据切线的性质求出A=90，根据三角形内角和定理求出即可；（2）根据圆周角定理求出AOD，根据弧长公式求出即可【解答】解：（

34、1）AC 切O 于点 A，BAC=90，C=40，B=50；（2）连接 OD，B=50，AOD=2B=100，的长为=33（2018白银）如图，点 O 是ABC 的边 AB 上一点，O 与边 AC 相切于点E，与边 BC，AB 分别相交于点 D，F，且 DE=EF（1）求证：C=90；（2）当 BC=3，sinA=时，求 AF 的长【分析】（1）连接 OE，BE，因为 DE=EF，所以，从而易证OEB=DBE，所以 OEBC，从可证明 BCAC；（2）设O 的半径为 r，则 AO=5r，在 RtAOE 中，sinA=，从而可求出 r 的值【解答】解：（1）连接 OE，BE，DE=EF，OBE=

35、DBEOE=OB，OEB=OBEOEB=DBE，OEBCO 与边 AC 相切于点 E，OEACBCACC=90（2）在ABC，C=90，BC=3，sinA=AB=5，设O 的半径为 r，则 AO=5r，在 RtAOE 中，sinA=r=AF=52=34（2018绵阳）如图，AB 是O 的直径，点 D 在O 上（点 D 不与 A，B 重合），直线 AD 交过点 B 的切线于点 C，过点 D 作O 的切线 DE 交 BC 于点 E（1）求证：BE=CE；（2）若 DEAB，求 sinACO 的值【分析】（1）证明：连接 OD，如图，利用切线长定理得到 EB=ED，利用切线的性质得 ODDE，ABC

36、B，再根据等角的余角相等得到CDE=ACB，则 EC=ED，从而得到 BE=CE；（2）作 OHAD 于 H，如图，设O 的半径为 r，先证明四边形 OBED 为正方形得 DE=CE=r，再利用AOD 和CDE 都为等腰直角三角形得到 OH=DH=r，CD=r，接着根据勾股定理计算出 OC=r，然后根据正弦的定义求解【解答】（1）证明：连接 OD，如图，EB、ED 为O 的切线，EB=ED，ODDE，ABCB，ADO+CDE=90，A+ACB=90，OA=OD，A=ADO，CDE=ACB，EC=ED，BE=CE；（2）解：作 OHAD 于 H，如图，设O 的半径为 r，DEAB，DOB=DEB

37、=90，四边形 OBED 为矩形，而 OB=OD，四边形 OBED 为正方形，DE=CE=r，易得AOD 和CDE 都为等腰直角三角形，OH=DH=r，CD=r，在 RtOCB 中，OC=r，在 RtOCH 中，sinOCH=，即 sinACO 的值为35（2018德州）如图，AB 是O 的直径，直线 CD 与O 相切于点 C，且与AB 的延长线交于点 E，点 C 是的中点（1）求证：ADCD；（2）若CAD=30，O 的半径为 3，一只蚂蚁从点 B 出发，沿着 BEEC爬回至点 B，求蚂蚁爬过的路程（，结果保留一位小数）【分析】（1）连接 OC，根据切线的性质得到 OCCD，证明 OCAD，

38、根据平行线的性质证明；（2）根据圆周角定理得到COE=60，根据勾股定理、弧长公式计算即可【解答】（1）证明：连接 OC，直线 CD 与O 相切，OCCD，点 C 是的中点，DAC=EAC，OA=OC，OCA=EAC，DAC=OCA，OCAD，ADCD；（2）解：CAD=30，CAE=CAD=30，由圆周角定理得，COE=60，OE=2OC=6，EC=OC=3，=，蚂蚁爬过的路程=3+3+36（2018北京）如图，AB 是O 的直径，过O 外一点 P 作O 的两条切线PC，PD，切点分别为 C，D，连接 OP，CD（1）求证：OPCD；（2）连接 AD，BC，若DAB=50，CBA=70，OA

39、=2，求 OP 的长【分析】 （1）先判断出 RtODPRtOCP，得出DOP=COP，即可得出结论；（2）先 求出COD=60，得出OCD 是等边三角形，最后用锐角三角函数即可得出结论【解答】解：（1）连接 OC，OD，OC=OD，PD，PC 是O 的切线，ODP=OCP=90，在 RtODP 和 RtOCP 中，RtODPRtOCP，DOP=COP，OD=OC，OPCD；（2）如图，连接 OD，OC，OA=OD=OC=OB=2，ADO=DAO=50，BCO=CBO=70，AOD=80，BOC=40，COD=60，OD=OC，COD 是等边三角形，由（1）知，DOP=COP=30，在 RtO

40、DP 中，OP=37（2018铜仁市）如图，在三角形 ABC 中，AB=6，AC=BC=5，以 BC 为直径作O 交 AB 于点 D，交 AC 于点 G，直线 DF 是O 的切线，D 为切点，交 CB 的延长线于点 E（1）求证：DFAC；（2）求 tanE 的值【分析】（1）连接 OC，CD，根据圆周角定理得BDC=90，由等腰三角形三线合一的性质得：D 为 AB 的中点，所以 OD 是中位线，由三角形中位线性质得：ODAC，根据切线的性质可得结论；（2）如图，连接 BG，先证明 EFBG，则CBG=E，求CBG 的正切即可【解答】（1）证明：如图，连接 OC，CD，BC 是O 的直径，BD

41、C=90，CDAB，AC=BC，AD=BD，OB=OC，OD 是ABC 的中位线ODAC，DF 为O 的切线，ODDF，DFAC；（2）解：如图，连接 BG，BC 是O 的直径，BGC=90，EFC=90=BGC，EFBG，CBG=E，RtBDC 中，BD=3，BC=5，CD=4，SABC=，64=5BG，BG=，由勾股定理得：CG=，tanCBG=tanE=38 （2018昆明）如图，AB 是O 的直径，ED 切O 于点 C，AD 交O 于点 F，AC 平分BAD，连接 BF（1）求证：ADED；（2）若 CD=4，AF=2，求O 的半径【分析】（1）连接 OC，如图，先证明 OCAD，然后

42、利用切线的性质得 OCDE，从而得到 ADED；（2）OC 交 BF 于 H，如图，利用圆周角定理得到AFB=90，再证明四边形 CDFH为矩形得到 FH=CD=4，CHF=90，利用垂径定理得到 BH=FH=4，然后利用勾股定理计算出 AB，从而得到O 的半径【解答】（1）证明：连接 OC，如图，AC 平分BAD，1=2，OA=OC，1=3，2=3，OCAD，ED 切O 于点 C，OCDE，ADED；（2）解：OC 交 BF 于 H，如图，AB 为直径，AFB=90，易得四边形 CDFH 为矩形，FH=CD=4，CHF=90，OHBF，BH=FH=4，BF=8，在 RtABF 中，AB=2，

43、O 的半径为39（2018陕西）如图，在 RtABC 中，ACB=90，以斜边 AB 上的中线 CD为直径作O，分别与 AC、BC 交于点 M、N（1）过点 N 作O 的切线 NE 与 AB 相交于点 E，求证：NEAB；（2）连接 MD，求证：MD=NB【分析】 （1） 连接 ON， 如图， 根据斜边上的中线等于斜边的一半得到 CD=AD=DB，则1=B，再证明2=B 得到 ONDB，接着根据切线的性质得到 ONNE，然后利用平行线的性质得到结论；（2）连接 DN，如图，根据圆周角定理得到CMD=CND=90，则可判断四边形 CMDN 为矩形，所以 DM=CN，然后证明 CN=BN，从而得到

44、 MD=NB【解答】证明：（1）连接 ON，如图，CD 为斜边 AB 上的中线，CD=AD=DB，1=B，OC=ON，1=2，2=B，ONDB，NE 为切线，ONNE，NEAB；（2）连接 DN，如图，AD 为直径，CMD=CND=90，而MCB=90，四边形 CMDN 为矩形，DM=CN，DNBC，1=B，CN=BN，MD=NB40（2018曲靖）如图，AB 为O 的直径，点 C 为O 上一点，将弧 BC 沿直线 BC 翻折，使弧 BC 的中点 D 恰好与圆心 O 重合，连接 OC，CD，BD，过点 C的切线与线段 BA 的延长线交于点 P， 连接 AD， 在 PB 的另一侧作MPB=ADC

45、（1）判断 PM 与O 的位置关系，并说明理由；（2）若 PC=，求四边形 OCDB 的面积【分析】（1） 连接 DO 并延长交 PM 于 E， 如图， 利用折叠的性质得 OC=DC， BO=BD，则可判断四边形 OBDC 为菱形， 所以 ODBC， OCD 和OBD 都是等边三角形，从而计算出COP=EOP=60，接着证明 PMBC 得到 OEPM，所以 OE=OP，根据切线的性质得到 OCPC，则 OC=OP，从而可判定 PM 是O 的切线；（2） 先在 RtOPC 中计算出 OC=1， 然后根据等边三角形的面积公式计算四边形OCDB 的面积【解答】解：（1）PM 与O 相切理由如下：连接

46、 DO 并延长交 PM 于 E，如图，弧 BC 沿直线 BC 翻折，使弧 BC 的中点 D 恰好与圆心 O 重合，OC=DC，BO=BD，OC=DC=BO=BD，四边形 OBDC 为菱形，ODBC，OCD 和OBD 都是等边三角形，COD=BOD=60，COP=EOP=60，MPB=ADC，而ADC=ABC，ABC=MPB，PMBC，OEPM，OE=OP，PC 为O 的切线，OCPC，OC=OP，OE=OC，而 OEPC，PM 是O 的切线；（2）在 RtOPC 中，OC=PC=1，四边形 OCDB 的面积=2SOCD=212=41（2018邵阳）如图所示，AB 是O 的直径，点 C 为O 上

47、一点，过点 B 作BDCD，垂足为点 D，连结 BCBC 平分ABD求证：CD 为O 的切线【分析】先利用 BC 平分ABD 得到OBC=DBC，再证明 OCBD，从而得到OCCD，然后根据切线的判定定理得到结论【解答】证明：BC 平分ABD，OBC=DBC，OB=OC，OBC=OCB，OCB=DBC，OCBD，BDCD，OCCD，CD 为O 的切线42 （2018黄石） 如图， 已知 A、 B、 C、 D、 E 是O 上五点， O 的直径 BE=2，BCD=120，A 为的中点，延长 BA 到点 P，使 BA=AP，连接 PE（1）求线段 BD 的长；（2）求证：直线 PE 是O 的切线【分

48、析】（1）连接 DB，如图，利用圆内接四边形的性质得DEB=60，再根据圆周角定理得到BDE=90，然后根据含 30 度的直角三角形三边的关系计算 BD的长；（2）连接 EA，如图，根据圆周角定理得到BAE=90，而 A 为的中点，则ABE=45，再根据等腰三角形的判定方法，利用 BA=AP 得到BEP 为等腰直角三角形，所以PEB=90，然后根据切线的判定定理得到结论【解答】（1）解：连接 DB，如图，BCD+DEB=180，DEB=180120=60，BE 为直径，BDE=90，在 RtBDE 中，DE=BE=2=，BD=DE=3；（2）证明：连接 EA，如图，BE 为直径，BAE=90，

49、A 为的中点，ABE=45，BA=AP，而 EABA，BEP 为等腰直角三角形，PEB=90，PEBE，直线 PE 是O 的切线43（2018怀化）已知：如图，AB 是O 的直径，AB=4，点 F，C 是O 上两点，连接 AC，AF，OC，弦 AC 平分FAB，BOC=60，过点 C 作 CDAF 交 AF的延长线于点 D，垂足为点 D（1）求扇形 OBC 的面积（结果保留）；（2）求证：CD 是O 的切线【分析】（1）由扇形的面积公式即可求出答案（2）易证FAC=ACO，从而可知 ADOC，由于 CDAF，所以 CDOC，所以CD 是O 的切线【解答】解：（1）AB=4，OB=2COB=60

50、，S扇形OBC=（2）AC 平分FAB，FAC=CAO，AO=CO，ACO=CAOFAC=ACOADOC，CDAF，CDOCC 在圆上，CD 是O 的切线44（2018新疆）如图，PA 与O 相切于点 A，过点 A 作 ABOP，垂足为 C，交O 于点 B 连接 PB， AO， 并延长 AO 交O 于点 D， 与 PB 的延长线交于点 E（1）求证：PB 是O 的切线；（2）若 OC=3，AC=4，求 sinE 的值【分析】（1）要证明是圆的切线，须证明过切点的半径垂直，所以连接 OBB，证明 OBPE 即可（2）要求 sinE，首先应找出直角三角形，然后利用直角三角函数求解即可而sinE 既