微积分上册课件：7.1 常数项级数.ppt

1、第一节 常数项级数第七章二、常数项级数的性质三、正项级数的审敛法四、交错级数及其Leibniz判别法一、常数项级数的概念五、绝对收敛与条件收敛设有数列设有数列 un: u1 , u2 , , un , 称为称为常数项无穷级数常数项无穷级数, 简称常数项级数或级简称常数项级数或级数数.称称 un 为级数的一般项或通项为级数的一般项或通项.则表达则表达式式121nnnuuuu 一、常数项级数的概念 例如例如11111 2242nnn 112 nnn 121nnknkSuuuu 称为级数的部分和称为级数的部分和.级数级数的前的前 n 项之和：项之和：1nnu ,11us ,212uus ,3213u

2、uus ,21nnuuus 1 2 3nnS当当 依依次次取取 ， ， ， ，此此时时构构成成了了一一个个新新的的数数列列： 1.nnnuS 称称为为级级数数的的部部分分和和数数列列发散发散.否则称级数否则称级数1nnu 1nnuS 当当级级数数收收敛敛于于 时时，称称1nnu 为为级级数数的的余余项项，且且有有1nnnk nrSSu limlim()0.nnnnrSS并把并把 S 称为级数的和称为级数的和，即，即1nnSu 1nnnuS 若若级级数数的的部部分分和和数数列列收收敛敛，收敛收敛.1nnu 则称级数则称级数1limlimnnknnkSuS 即即例1. 讨论等比级数讨论等比级数 (

3、又称几何级数)0(20aqaqaqaaqannn( q 称为公比 ) 的敛散性. 解解: 1) 若,1q12nnqaqaqaaSqqaan1时，当1q, 0limnnq由于从而qannS1lim因此级数收敛 ,;1 qa,1时当q,limnnq由于从而,limnnS则部分和因此级数发散 .其和为2). 若,1q,1时当qanSn因此级数发散 ;,1时当qaaaaan 1) 1(因此nSn 为奇数n 为偶数从而nnSlim综合 1)、2)可知,1q时, 等比级数收敛 ;1q时, 等比级数发散 .则,级数成为,a,0不存在 , 因此级数发散.例2. 判别下列级数的敛散性判别下列级数的敛散性: .)

4、 1(1)2( ;1ln) 1 (11nnnnnn解解: (1) 12lnnSnnln) 1ln()2ln3(ln) 1ln2(ln) 1ln( n）n(所以级数 (1) 发散 ;技巧技巧:利用 “拆项相消拆项相消” 求和23ln34lnnn1ln(2) ) 1(1431321211nnSn211111n）n(1所以级数 (2) 收敛, 其和为 1 .31214131111nn技巧技巧:利用 “拆项相消拆项相消” 求和二、常数项级数的基本性质 性质性质1. 若级数1nnu收敛于 S ,1nnuS则各项乘以常数 c 所得级数1nnuc也收敛 ,证证: 令,1nkknuS则nkknuc1,nScn

5、nlimSc这说明1nnuc收敛 , 其和为 c S . nnSclim说明说明: 级数各项乘以非零常数后其敛散性不变 .即其和为 c S .性质性质2. 设有两个收敛级数,1nnuS1nnv则级数)(1nnnvu 也收敛, 其和为.S证证: 令,1nkknuS,1nkknv则)(1knkknvu nnS)(nS这说明级数)(1nnnvu 也收敛, 其和为.S 例：1111 ,23nnnn因因为为级级数数与与收收敛敛解：111 . 23nnn 所所以以级级数数也也收收敛敛一个收敛级数与一个发散级数的和是收敛的还是发散的？两个发散的级数之和是收敛的还是发散的？是发散的不一定 . ) 1( ) 1

6、( 111之和与看看nnnn111 . 23nnn 判判断断级级数数的的敛敛散散性性性质3. 在级数前面加上或去掉有限项有限项, 不影响级数的敛散性.证证: 将级数1nnu的前 k 项去掉,1nnku的部分和为nllknu1knkSSnknS与,时由于n数敛散性相同. 当级数收敛时, 其和的关系为.kSS 类似可证前面加上有限项的情况 .极限状况相同, 故新旧两级所得新级数性质4. 在收敛级数中任意加括弧后，既不改变级数的的收敛性，也不改变和.证证: 设收敛级数,1nnuS在各项中任意加括弧后,得一新级数，它的部分和数列 (1,2,)mm 为原级数部分和数列 (1, 2 ,)nSn 的一个子序

7、列,nnmmS limlimS推论推论: 若加括弧后的级数发散, 则原级数必发散.注意注意: 收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.,0) 11 () 11 (但1111发散.因此必有例如，用反证法可证用反证法可证 收敛的级数去掉括号后所成的级数仍收敛吗？不一定) 11 () 11 ( 看看 发散的级数加括号后所成的级数是否仍发散？不一定1111 看看 如果加括号后的级数仍发散, 原级数是否也发散？原级数也发散加括号可引起收敛加括号可引起收敛,去括号可引起发散去括号可引起发散. )21221121()16110191()81716151()4131()211(1mmm8项4项2项2项 项m22

8、1每每项项均均大大于于21)1(1 mm项大于项大于即前即前.级级数数发发散散由性质由性质4 4推论推论, ,调和级数发散调和级数发散. .的敛散性的敛散性判断调和级数判断调和级数 例5例5n131211例6.判断级数的敛散性判断级数的敛散性:141141131131121121解解: 考虑加括号后的级数)()()(1411411311311211211111nnan12nnna2发散 ,从而原级数发散 .nn121性质5： 若级数1nnu 则必有.0limnnu证证: 1nnnuSS 由由于于1limlimlimnnnnnnSSu0SS可见: 若级数的一般项不趋于若级数的一般项不趋于0 ,

9、则级数必发散则级数必发散 .例如例如,1) 1(544332211nnn其一般项为1) 1(1nnunn不趋于0, 因此这个级数发散.nun,时当收敛，1,nnSu 不不妨妨设设注意:lim0nnu 例如例如, 调和级数nnn13121111虽然，01limlimnunnn但此级数发散 .1.nnu 并并不不一一定定有有级级数数收收敛敛基本审敛法：基本审敛法：1 1. .由由定定义义, ,若若ssn, ,则则级级数数收收敛敛; ;2 2. .当当0lim nnu, ,则则级级数数发发散散; ;3 3. .按按基基本本性性质质. .三、正项级数及其审敛法101 2nnnuun 如如果果级级数数中

10、中各各项项均均非非负负，即即（， ， ），称其为正项级数. nsss21收敛准则收敛准则 1.nnnus 正正项项级级数数收收敛敛它它的的部部分分和和数数列列有有界界显然正项级数的部分和数列显然正项级数的部分和数列 满足满足ns即为单调增加数列即为单调增加数列. .根据数列收敛的单调有界准则，可得根据数列收敛的单调有界准则，可得证明证明nnuuus 21且且 1)1(nnv设设,nnvu , .1收敛收敛 nnu均为正项级数，均为正项级数，和和设设 11nnnnvu比较审敛法比较审敛法nvvv 21(1,2,)nnuvn 且且11(2)nnnnuv若若发发散散，则则发发散散11(1)nnnnv

11、u若若收收敛敛，则则收收敛敛； 1.nnnus 即即级级数数的的部部分分和和数数列列有有界界由反证法可知级数由反证法可知级数1nnv也发散也发散 .1(2)nnu 若若发发散散，(常数 k 0 )例1. 讨论讨论 p 级数级数11111123ppppnnn (常数 p 0)的敛散性. 解解: 1) 若, 1p因为对一切,Zn而调和级数11nn由比较审敛法可知 p 级数11npnn1发散 .发散 ,pn1, 1p因为当nxn1,11ppxn故nnppxnn1d11nnpxx1d1111) 1(111ppnnp考虑级数1121) 1(1ppnnn的部分和n111) 1(11ppnkkkn由比较审敛

12、法知 p 级数收敛 .时,1) 1(11pn11111) 1(113121211pppppnn12) 若若调和级数调和级数与与 p 级数级数是两个常用的比较级数是两个常用的比较级数.若存在,ZN对一切,Nn ,1) 1(nun, ) 1(1)2(pnupn.1收敛则nnu;1发散则nnu11,11,pnpPnp 当当时时收收敛敛综综上上所所述述可可得得：级级数数当当时时发发散散例例 2 2 证明级数证明级数 1)1(1nnn是发散的是发散的.证明证明,11)1(1 nnn,111 nn发散发散而级数而级数.)1(11 nnn发散发散级数级数比较审敛法的极限形式比较审敛法的极限形式: :设设 1

13、nnu与与 1nnv都是正项级数都是正项级数, , 如果如果则则(1) (1) 当当时时, , 两级数有相同的敛散性两级数有相同的敛散性; ; (2) (2) 当当时，若时，若收敛收敛, , 则则收敛收敛; ; (3) (3) 当当时时, , 若若 1nnv发散发散, , 则则 1nnu发散发散; ;,limlvunnn l00 l l 1nnv 1nnu证明证明：limnnnulv 由由可可知知,N ,时时当当Nn 22llvullnn )(232Nnvluvlnnn 即即由比较审敛法的推论由比较审敛法的推论, 得证得证.0,2ll (1)(1)若若0 0，取取0, ,ZN存在lnnvu)(

14、l,时当Nn ),()(Nnvlunn利用(3) 当l = 时,ZN存在,时当Nn ,1nnvu即nnvu 若1nnv发散 , (2) 当l = 0时,由比较审敛法的推论知1nnv收敛 , 若1;nnu 则则也也收收敛敛1.nnu 则则也也发发散散由比较审敛法知nnuvl 的敛散性. 例3. 判别级数判别级数11sinnn的敛散性 .解解: 1sinlim1nnn根据比较审敛法的极限形式知.1sin1发散nn例例4. 判别级数1211lnnn解解:根据比较审敛法的极限形式知.11ln12收敛nn 221ln 1lim1nnn 221limln 1nnn 221lnlim 1nnn1 1 判别级

15、数判别级数1221nan的敛散性的敛散性 ( a 0 为常数为常数).因为因为221lim1nnan 又又11nn是调和级数是调和级数, 它是发散的它是发散的,1221nan发散发散.解解原级数原级数故故例例5. 1 证明证明,为有限数时为有限数时当当 , 0 对对,N ,时时当当Nn ,1 nnuu有有)(1Nnuunn 即即,1时时当当 ,1时时当当 ,1 取取, 1 r使使,11 NmmNuru,12 NNruu,1223 NNNurruu,111 mNmur收敛收敛而级数而级数11,Nmnmn Nuu 收收敛敛收敛收敛, 1 取取, 1 r使使,时时当当Nn ,1nnnuruu . 0

16、lim nnu发散发散,11发散发散级数级数例例 nn,112收敛收敛级数级数 nn(1) )(1Nnuunn 即即解解)1(!1)!1(11nnuunn 11 n),(0 n.!11收敛收敛故级数故级数 nn),( n)2(!1010)!1(11nnuunnnn 101 n.10!1发散发散故级数故级数 nnn)3()22()12(2)12(limlim1 nnnnuunnnn, 1 比值审敛法失效比值审敛法失效, 改用比较审敛法改用比较审敛法,12)12(12nnn ,112收敛收敛级数级数 nn.)12(211收敛收敛故级数故级数 nnn 根值审敛法根值审敛法 ( Cauchy判别法判别

17、法)设 1nnu为正项级数，且,limnnnu则;,1) 1(级数收敛时当 .,1)2(级数发散时当 1时 , 级数可能收敛也可能发散 .说明 :例如 , p 级数 :11pnnpnnnnu1)(1n,1pnnu 11 nnn 例例7:7:判判断断级级数数的的敛敛散散性性nnnnnu1 n1 )(0 n故故级数收敛级数收敛.解)0( . 1 12aaannn的敛散性判别级数解解 1 , a 当当时时 01 , a当当时时 1 , a 当当时时 0 1 , aa故故且且时时 原原级级数数收收敛敛. .例例8 811 , 2n 原原级级数数为为 . 显显然然是是发发散散的的2lim 1nnnnaa

18、 2lim1nnnaa 1 a2lim1nnnnaa 21lim11nnnnaa 11 a四、交错级数及其审敛法定义定义: : 正、负项相间的级数称为交错级数正、负项相间的级数称为交错级数. . nnnnnnuu 111)1()1(或或)0( nu其中其中证明证明nnnnuuuuuus212223212)()( 又又)()()(21243212nnnuuuuuus 1u , 01 nnuu.lim12ussnn 2,ns数数列列是是单单调调增增加加的的 2,ns数数列列是是有有界界的的)(limlim12212 nnnnnuss, s .,1uss 且且级数收敛于和级数收敛于和),(21 nn

19、nuur余项余项,21 nnnuur也是一个交错级数，且仍满足收敛的两个条件也是一个交错级数，且仍满足收敛的两个条件,.1 nnur, 0lim12 nnu解解2)1(2)1()1( xxxxx)2(0 x,1单调递减单调递减故函数故函数 xx,1 nnuu1limlim nnunnn又又. 0 故故原级数收敛原级数收敛.五、绝对收敛与条件收敛定义定义: : 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数正项和负项任意出现的级数称为任意项级数. .定理定理 若若 1nnu收敛收敛, ,则则 1nnu收敛收敛. .证明证明), 2 , 1()(21 nuuvnnn令令, 0 nv显然显然,nnuv 且且

20、,1收敛收敛 nnv),2(11 nnnnnuvu又又 1nnu收敛收敛.上上述述定理的作用：定理的作用：任意项级数任意项级数正项级数正项级数定义定义: :若若 1nnu收敛收敛, , 则称则称 1nnu为绝对收敛为绝对收敛; ;若若 1nnu发发散散, ,而而 1nnu收收敛敛, , 则则称称 1nnu为为条条件件收收敛敛. .解解,1sin22nnn ,112收敛收敛而而 nn,sin12 nnn收敛收敛故所给故所给级数绝对收敛级数绝对收敛，从而收敛，从而收敛.五、小结正正 项项 级级 数数任意项级数任意项级数审敛法1.2.4.充要条件充要条件5.比较法比较法6.比值法比值法7.根值法根值法4.绝对收敛绝对收敛5.交错级数交错级数(莱布尼茨定理莱布尼茨定理)3.按基本性质按基本性质;,则级数收敛则级数收敛若若SSn;, 0,则级数发散则级数发散当当 nun解解由由正正项项级级数数 1nnu收收敛敛，可可以以推推得得 12nnu收收敛敛,nnnuu2lim nnu lim0 由比较审敛法知由比较审敛法知 收敛收敛. 12nnu反之不成立反之不成立.例如：例如： 121nn收敛收敛, 11nn发散发散.思考题 设设正正项项级级数数 1nnu收收敛敛, , 能能否否推推得得 12nnu收收敛敛? ?反反之之是是否否成成立立? ?