微积分下册多元函数微分法及其应用课件：4.多元复合函数的求导法则.PPT

1、证证),()(tttu 则则);()(tttv 一、链式法则一、链式法则，获得增量获得增量设设tt 22( ),zzzuvouvuv ( )zzuzvotutvtt0lim,tudutdt 0000( )limlimlimlimttttzzuzvotutvtt 0lim,tvdvtdt 00( )( )limlimttoott 00lim.tdzzz duz dvdttu dtv dt 22002222200( )limlim( )limlim0()()0ttouvtouvdudvtdtdt 上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.则则dtdwwz

2、dtdvvzdtduuzdtdz uvwtz以上公式中的导数以上公式中的导数 称为称为dtdz( , , ),( ),( ),( )zf u v wuu tvv tww t例如由( ( ), ( ), ( )zf u t v t w t复合得到： 上定理还可推广到中间变量不是一元函数上定理还可推广到中间变量不是一元函数而是多元函数的情况：而是多元函数的情况：).,(),(yxyxfz 如果如果),(yxu 及及),(yxv 都在点都在点),(yx具有对具有对x和和y的偏导数，且函数的偏导数，且函数),(vufz 在对应在对应点点),(vu具有连续偏导数，则复合函数具有连续偏导数，则复合函数),

3、(),(yxyxfz 在对应点在对应点),(yx的两个偏的两个偏导数存在，且可用下列公式计算导数存在，且可用下列公式计算 xvvzxuuzxz ， yvvzyuuzyz .uvxzy链式法则如图示链式法则如图示 xz uzxu vz,xv yz uzyu vz.yv zwvuyx特殊地特殊地),(yxufz ),(yxu 即即,),(yxyxfz ,xfxuufxz .yfyuufyz 令令,xv , yw 其中其中, 1 xv, 0 xw, 0 yv. 1 yw把把),(yxufz 中中的的u及及y看看作作不不变变而而对对x的的偏偏导导数数两者的区别两者的区别区别类似区别类似例例 1 1 设

4、设vezusin ，而，而xyu ，yxv ， 求求 xz 和和yz .解解 xz uzxu vzxv 1cossin veyveuu),cossin(vvyeu yz uzyu vzyv 1cossin vexveuu).cossin(vvxeu 例例 2 2 设设tuvzsin ，而而teu ，tvcos ， 求求全全导导数数dtdz.解解tzdtdvvzdtduuzdtdz ttuvetcossin ttetettcossincos .cos)sin(costttet 例例 3 3 设设),(xyzzyxfw ，f具有二阶具有二阶 连续偏导数，求连续偏导数，求xw 和和zxw 2. .解

5、解令令, zyxu ;xyzv 记记,),(1uvuff ,),(212vuvuff 同理有同理有,2f ,11f .22f xwxvvfxuuf ;21fyzf wvuzyx zxw2)(21fyzfz ;221zfyzf yzf zf1zvvfzuuf 11;1211fxyf zf2zvvfzuuf 22;2221fxyf 于是于是 zxw21211fxyf 2f y )(2221fxyfyz .)(22221211f yf zxyfzxyf vuzyx12,ff解 令cos,sinxryr则22,arctan,yrxyx于是( , )( cos , sin )uf x yf rr22(

6、, )(,arctan)yF rFxyxuryxuu ruxrxx 2sincosu xu yuur rrrr,rxxr x2xy2)(1xy22yxyuryx22,arctan,yrxyxuu ruyryy 222221()()()()uuuuxyrr从而从而2cossinu yuxuur rrrr2221)(1,yxxyryyrxyxuryx22,arctan,yrxyx22sin(cos)uuuxxrrsin(cos )()uuxrxr()cos(cos )uuxrrx sinsin()()uuxrxr,uurryx222()ururxrx cos( sin)urx222sin()uru

7、rxxr 2cossinrruxxr2222222222sincossincos22sincossinuuurrrruurrr ,uurryx222222222222sincoscossin22sincoscosuuuuyrrrruurrr 同理可得同理可得从而从而22222222211uuuuuxyrrrr解 分析： gfufvffyxxuxv xuv gfufvffxyyuyv yuv 221( , ),()2gf u v uxy vxy221( , ),(),2g x yf xyxy是由 复合而成 所以22()ggxxx()ffyxxuv()()fffyxxuvxv222222()()f

8、ufvffufvyxuxu v xvv uxvx 22222222fffffyxyxyxuu vvv uv 22222222ffffyxyxuu vvv ,ffuvuvyx同理可得同理可得222222222()()()()2ggffxyyyyyuvfffxyyuvyvffffxxyyuv uvv 所以所以22222222222222()()ggffxyxyxyxyuv 设函数设函数),(vufz 具有连续偏导数，则有全微分具有连续偏导数，则有全微分dvvzduuzdz ;当当),(yxu 、),(yxv 时，有时，有dyyzdxxzdz .全微分形式不变形的实质全微分形式不变形的实质： 无论无

9、论 是自变量是自变量 的函数或中间变量的函数或中间变量 的函数，它的全微分形式是一样的的函数，它的全微分形式是一样的.zvu、vu、二、全微分形式不变性二、全微分形式不变性dxxvvzxuuz dyyzdxxzdz dyyvvzyuuz dyyudxxuuz dyyvdxxvvzduuz .dvvz 解解, 0)2( zxyezed, 02)( dzedzxydezxy)()2(ydxxdyedzexyz dyexedxeyedzzxyzxy)2()2( xz ,2 zxyeyeyz .2 zxyexe1、链式法则、链式法则（分三种情况）（分三种情况）2、全微分形式不变性、全微分形式不变性（特

10、别要注意课中所讲的特殊情况）（特别要注意课中所讲的特殊情况）（理解其实质）（理解其实质）三、小结三、小结设设),(xvufz ，而而)(xu ，)(xv ，则则xfdxdvvfdxduufdxdz ，试试问问dxdz与与xf 是是否否相相同同？为为什什么么？思考题思考题思考题解答思考题解答不相同不相同.而而等等式式右右端端最最后后一一项项f是是作作为为xvu,的的三三元元函函数数， 写出来为写出来为 xxvuxdxduufdxdz),(.),(),(xvuxxvuxfdxdvvf 一、填空题一、填空题: : 1 1、设、设xyyxzcoscos , ,则则 xz_； yz_. .2 2、 设设

11、22)23ln(yyxxz , ,则则 xz_； yz_._. 3 3、设、设32sinttez , ,则则 dtdz_._.二二、设设uvuez , ,而而xyvyxu ,22，求求yzxz , . .练练 习习 题题三、设三、设)arctan(xyz , ,而而xey , ,求求dxdz. .四、设四、设),(22xyeyxfz ( (其其具具中中f有一阶连续偏导有一阶连续偏导 数数) ), ,求求yzxz ,. .五、设五、设)(xyzxyxfu ,(,(其其具具中中f有一阶连续偏导有一阶连续偏导 数数),),求求.,zuyuxu 六、设六、设),(yxxfz ,(,(其其具具中中f有二

12、阶连续偏导数有二阶连续偏导数),),求求 22222,yzyxzxz . .七、设七、设,)(22yxfyz 其中为可导函数其中为可导函数, , 验证验证: :211yzyzyxzx . .八、设八、设 ,),(其中其中yyxxz 具有二阶导数具有二阶导数, ,求求 .,2222yzxz 一、一、1 1、xyyyyxxxyxxxy222cos)cossin(cos,cos)sin(coscos ； 2 2、,)23(3)23ln(2222yyxxyxyx 2232)23(2)23ln(2yyxxyxyx ； 3 3、.)43(1)41(3232ttt 二、二、,)(22222222yxxyeyyxyxyxxz )(22222)(22yxxyeyxxyxyyz . .练习题答案练习题答案三、三、xxexxedxdz221)1( . .四、四、.2,22121fxef yyzfyefxxzxyxy 五、五、.),(),1(fxyzuxzxfyuyzyfxu 六、六、,12222121122fyfyfxz ,1)1(22221222fyfyfyxyxz .222422322fyxfyxyz 八八、,)1(121122 xz 222111221122)( yz. .