线代课件：1.2行列式.ppt

1、第二节 行列式第一章一、一、三、三、二、行列式的性质二、行列式的性质四、小结四、小结定义定义主对角线副对角线数数 aij ( i, j =1, 2) 表示第表示第 i 行第行第 j 列的元素列的元素. 说明说明 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式对角线法则只适用于二阶与三阶行列式22211211aaaa,21122211aaaa 333231232221131211aaaaaaaaa112233122331132132132231122133112332,a a aa a aa a aa a aa a aa a a 其中其中 aij ( i , j =1, 2, 3 ) 表示第表示第 i 行第

2、行第 j 列的元素列的元素.三阶行列式的计算可如下图:定义定义 333231232221131211aaaaaaaaa + 为了得到 n 阶行列式的定义和讨论其性质, 先引入排列和逆序数的概念. 由自然数由自然数 1, 2, , n 组成的一个有序数组，组成的一个有序数组，称为一个称为一个 . 其中若某两数之间其中若某两数之间前面的数前面的数大于后面的数大于后面的数, 则称它们构成则称它们构成一个一个. 一个排一个排列中所有逆序的总数称为该列中所有逆序的总数称为该. n 级排列 (i1 i2in ) 的逆序数记为, 简记为 . 例如六级排列 243516 中, 2 与 1, 4 与 1, 3

3、与 1, 5与 1, 4 与 3 均构成逆序, 故 (243516) = 5.定理定理奇偶排列：逆序数为偶数的排列称为, 逆序数为奇数的排列称为. 如四级排列 2314 是偶排列，而六级排列 243516 为奇排列.对换：将一个排列某两个数的位置互换而其余的数不动, 则称对该排列作了一次.如排列 31524 是排列 21534 经过 2 与 3 对换而得, 而 (21534)=3, (31524)=4, 即经过对换后排列的奇偶性改变了. 一次对换改变排列的奇偶性一次对换改变排列的奇偶性.利用排列与逆序数的概念, 可以看出三阶行列式 333231232221131211aaaaaaaaaD 33

4、2112322311312213312312322113332211 aaaaaaaaaaaaaaaaaa中共 3! = 6 项, 其中一半带正号, 一半带负号. (123)= 0(312)=2(231)=2(321)=3(132)=1(213)=1 333231232221131211aaaaaaaaaD 321321321)() 1(jjjjjjaaa三阶行列式可记为其中 是对所有三级排列 ( j1 j2 j3 ) 求和. 22211211aaaaD 212121)() 1(jjjjaa其中 是对所有二级排列 (j1 j2) 求和. 同样, 二阶行列式仿此, 可得定义定义nnnnnnaaa

5、aaaaaaD212222111211nnnjjjjjjaaa212121)1(其中其中 是对所有是对所有 n 级排列级排列 ( j1 j2jn ) 求和求和 由定义可知, n 阶行列式是所有取自不同行不同列的 n 个元素乘积的代数和, 共有 n! 项, 其中一半带正号, 一半带负号.例例1 1 计算计算上上三角行列式三角行列式nnnnaaaaaa00022211211展开式中项的一般形式是展开式中项的一般形式是1212.njjnjaaa,njn 11,njn 3213,2,1,njnjj 所以不为零的项只有所以不为零的项只有.2211nnaaannnnaaaaaa00022211211 12

6、11221nnna aa .2211nnaaa 解解计算下列 n 阶行列式1 12 12 212.nnn naaaDaaa (称为下三角行列式) 由定义，D 中取自不同行不同列的 n 个元素的乘积，除了 a11 a22 ann 外，其余全为 0 ，而 a11 a22 ann 的 列下标的排列为 (12 n) , ( 1 2 n ) = 0,D = (1)0 a11 a22 ann故 = a11 a22 ann例例2 2解解作为例 2 的 特例，可知下面的 n 阶行列式(称为对角行列式).22112211nnnnaaaaaa 计算 n 阶行列式12 ,121,1.nnnnn nnnaaaDaaa

7、 例例3 3 取 D 中不在同一行不在同一 列的 n 个元素的乘积， 除 a1n a2, n-1 an1 外，其余全为 0 ， 而 a1n a2,n-1 an1 的列下标的排列为 (n, n1, 1),) 1()2(21) 1, 1,(nnnn故2) 1( nn由例 3立即可知11, 212)1() 1(nnnnnaaaD11,21nnnaaa解解11, 212)1() 1(nnnnnaaa 在 n 阶行列式的定义中，为了确定每一项的符号，把 n 个元素的行下标均按自然顺序排列.事实上，数的乘法是可交换的，因而这 n 个元素相乘时次序可以是任意的，故有定理定理n 阶行列式的定义也可写成阶行列式

8、的定义也可写成由上述定理可知，若将列下标按自然顺序排列，则有niiiiiinnaaaD2121211nnnnjijijijjjiiiaaaD221121211小结: n 阶行列式的定义有三种形式：niiiiiinnaaa2121211nnnnjijijijjjiiiaaa221121211nnnjjjjjjaaaD2121211性质性质1 1行列互换，行列式的值不变. nnnnnnaaaaaaaaa212222111211nnnnnnaaaaaaaaa212221212111由性质 1 可知.2211nnaaa 22211211nnnnaaaaaa 21221211nnnnaaaaaa上三角行

9、列式下三角行列式 按定义计算行列式较麻烦按定义计算行列式较麻烦, 因此有必要讨论行列式的因此有必要讨论行列式的性质以简化行列式的计算性质以简化行列式的计算.行列互换，行列互换，行列式行列式的值不变的值不变. . 即说明说明 行列式中行与列具有同等的地位行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式的性质因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立凡是对行成立的对列也同样成立.性质性质1 1nnnnnnaaaaaaaaa212222111211nnnnnnaaaaaaaaa212221212111交换交换行列式的任意两行行列式的任意两行 ( 列列 ) , 行列式仅改变符号行列式仅改变符号. 即即 11

10、1111nnnqnqpnpnaaaaaaaa 111111nnnpnpqnqnaaaaaaaa如二阶行列式, 87531 而8 3175 两者异号.性质性质2 2这是因为行列式 D 的这两行互换后得 D = D, 从而 D = 0.推论推论1 1若若 n 阶行列式有两行阶行列式有两行 ( 列列 ) 的对应元素相同的对应元素相同, 则行列式为零则行列式为零.性质性质3 3把行列式的某行把行列式的某行(列列)的所有元素同乘以的所有元素同乘以数数 k , 等于该行列式乘以数等于该行列式乘以数 k .即即nnnniniinaaakakakaaaa212111211.212111211nnnniniin

11、aaaaaaaaak 由性质 3 可知, 若行列式某行若行列式某行 ( 列列 ) 有公因式则有公因式则可提出来可提出来.结合性质 2 和性质 3 , 有推论推论2 2推论推论3 3 112()121()ininjjjjjijnjaakaa 左左 112()121ininjjjjjijnjkaaaa kD=右行列式 D 有两行 ( 列 ) 各元素对应成比例，则 D = 0 行列式 D 有某行 ( 列 )各元素全为零，则 D = 0 . 若若n n 阶行列式的某行阶行列式的某行( (列列) )的各元素是两个数的和的各元素是两个数的和, ,则该行列式等于两个行列式的和则该行列式等于两个行列式的和.

12、. 111211nnn2n1ini2inaaaaaaaaa 212111211nnnniniinaaaaaaaaannnnininiiiinaaaaaaaaaaaa21221111211即即.21DD 性质性质4 4 把把 n 阶行列式的某行阶行列式的某行 ( 列列 ) 的各元素乘以数的各元素乘以数 k 后后加到另一行加到另一行 ( 列列 )的对应元素上去的对应元素上去,行列式的值不变行列式的值不变.即即 111111nnnjnjininaaaaaaaa1111111 .niinjijninnnnaaaaakaakaaa 性质 5 可由性质 4 及性质 3 的推论 2 得出.性质性质5 5小结

13、：小结：2. 交换行列式的两行 ( 列 ) ，行列式仅变号;3. 行列式某行 ( 列 ) 的公因式可提出；4. 行列式某行 ( 列 ) 的元素均为两数之和， 则原行列式等于另两行列式之和；5. 行列式某行 ( 列 ) 的各元素乘以数 k 后加到 另一行 ( 列 ) 对应元素上去，行列式的值不变.行列式有行列式有五条性质五条性质：1. 行列互换，行列式的值不变. 行列式还有行列式还有三条推论三条推论：1. 行列式 D 有两行 ( 列 ) 各元素对应相同，则 D = 0 ；2. 行列式 D 有两行 ( 列 ) 各元素对应成比例，则 D = 0 ；3. 行列式 D 有某行 ( 列 )各元素全为零，则

14、 D = 0 . 由前面例 2 可知上（下）三角形行列式简单易求, 因此对任一行列式,可利用行列式的性质, 将其化为 一个与之相等的上（下）三角形行列式, 从而简化行列式的计算.为表达简捷,计算行列式时, 以 ri 表示第 i 行, ci以 k 加到第 i 行记作 ri+krj .jirr 将第 j 行乘交换 i, j 两行记作表示第 i 列r3+4r2r48r23445rr 计算行列式.3351110243152113 3351110243152113 72160112064802131 72160648011202131 1510001080011202131 25000108001120

15、2131 402582132rr 331511204351213121cc 12rr 145rr 例例1 1计算 n 阶行列式. abbbbabbbbabbbba)(21nccc ) 1() 1() 1() 1( abbbnababbnabbabnabbbbna 1000(1) 000000bbba banba ba b 1(1) ()nanb a b 1rri( i 1) abbbabbbabbbbna1111) 1( 例例2 2计算 n 阶行列式.0321021301321 nnn 0321021301321 nnn 00023002620321 nnnnri+ r1(i 1). !321

16、nn 例例3 3 计算行列式时, 除将其化为三角行列式外,还可考虑将高阶行列式化为低阶行列式直至二阶行列式, 因为二阶行列式的计算极为简单, 为此引入余子式和代数余子式的概念. 在在 n 阶行列式中阶行列式中,去掉去掉 aij ( i , j =1, 2, n ) 所在的行与所在的行与所在列后剩下的所在列后剩下的 n 1 阶行列式称为元素阶行列式称为元素 aij 的的,记为记为 Mij . 余子式余子式 Mij 带上符号带上符号 ( 1)i+j 则称为元素则称为元素 aij 的的代数余代数余子式子式, 记为记为 Aij , 即即 Aij = ( 1)i+j Mij ., 4 3140 11M.

17、 4) 1(111111MA元素 a11 = 1的余子式如三阶行列式 312401321 中, 定义定义和代数余子式分别为元素 a12 = 2 的余子式和代数余子式分别为, 5324112M. 51122112MA而元素 a13 = 3 的余子式和代数余子式分别为, 1120113M . 11133113MA, 4 3140 11M. 4) 1(111111MA元素 a11 = 1的余子式如三阶行列式 312401321 中, 和代数余子式分别为通过直接计算可知 312401321 而131312121111AaAaAa,17135241两者相等, 这个现象不是偶然的. 事实上, 有 ( La

18、place 展开定理展开定理 ) 行列式等于它的任一行行列式等于它的任一行(列列) 的的各元素与其对应的代数余子式乘积之和各元素与其对应的代数余子式乘积之和.D =ininiiiiAaAaAa2211,1ikiknkAa 或或D =njnjjjjjAaAaAa2211.1kjkjnkAa ) , , 2 , 1(ni) , , 2 , 1(nj即即定理定理1 19507203211721700720321 Laplace 展开定理又称为. 利用这一法则并结合行列式的性质, 可把高阶行列式的计算化为低阶行列式的计算, 从而简化计算.用 Laplace 展开定理解例 1 . 33511102431

19、52113 c12c3c4+c3 03550100131111115 0551111115 ) 1(3321rr 1126 ) 1()5(31.4085 011026115 5 055026115 例例4 4计算 n 阶行列式将其直接按第一列展开, 得 000000 abbaba 0000000 ababaa bbabbn00000) 1(11111nnnbbaa.11nnnba 000000 abbaba例例5 5证明112112222121111nnnnnnnxxxxxxxxxD)(1jinijxx 其中 n 2, 称为连乘号,这里表示所有可能的 xi xj (1 j i n) 的乘积.

20、证证用数学归纳法用数学归纳法21211xxD 12xx 12(),ijj ixx ）式成立）式成立时（时（当当12 n例例6 6，阶范德蒙德行列式成立阶范德蒙德行列式成立）对于）对于假设（假设（11 n)()()(0)()()(0011111213231222113312211312xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxDnnnnnnnnn 11()ixx ( (按按第第 列列展展开开，并并把把每每列列的的公公因因子子提提出出) )223223211312111)()( nnnnnnxxxxxxxxxxxx213112()()()()nnijj i nDxxxxxxxx 1()ijj

21、 i nxx 原式 =此为四阶范德蒙行列式, 于是)()()()()(xyxzyzxtytzt求四阶行列式.111133332222 tzyxtzyxtzyxnnnnnknkkkkkbbbbccccaaaaD1111111111110 设设例例8 811111,kkkkaaDaa 11121,nnnnbbDbb .21DDD 证明：证明：例例7 7证明证明;0111111kkkkkpppppD 设为设为化为下三角形行列式化为下三角形行列式，把，把作运算作运算对对11DkrrDji 化为下三角形行列式化为下三角形行列式把把作运算作运算对对22,DkccDji .0111112nnnknqqpqq

22、D 设为设为11111111110,kkkknnnnnkpppDccqqqcc 化为下三角形行列式化为下三角形行列式把把算算列作运列作运，再对后，再对后行作运算行作运算的前的前对对DkccnkrrkDjiji, nnkkqqppD1111 故故12D D 推论推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即元素的代数余子式乘积之和等于零，即. ji,AaAaAajninjiji 0221111111111,niinjjjnjnjjnnnnaaaaaAaAaaaa 证证Dj把把行行列列式式按按第第行行展展开开，有有

23、( Laplace 展开定理展开定理 ) 行列式等于它的任一行行列式等于它的任一行(列列) 的的各元素与其对应的代数余子式乘积之和各元素与其对应的代数余子式乘积之和.,11111111nnniniininjninjiaaaaaaaaAaAa 可得可得换成换成把把), 1(nkaaikjk 行行第第 j行行第第 i,时时当当ji ).(,02211jiAaAaAajninjiji 同理同理).(, 02211jiAaAaAanjnijiji 相同相同关于代数余子式的重要性质关于代数余子式的重要性质 ;,0,1jijiDDAaijnkkjki当当当当 ;,0,1jijiDDAaijnkjkik当当

24、当当 .,0,1jijiij当当，当当其中其中方阵的行列式方阵的行列式定义定义 由由 阶方阵阶方阵 的元素所构成的行列式，的元素所构成的行列式，叫做方阵叫做方阵 的行列式，记作的行列式，记作 或或nAAA.det A 8632A例例8632 A则则运算性质运算性质 ;1AAT 2;nnAA 3nnA BA B nnnnABBA. 2 (行列式中行与列具有同等行列式中行与列具有同等的地位的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也同样行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立成立). 计算行列式常用方法：计算行列式常用方法：(1)利用定义利用定义(两种两种);(2)利用性质把行列式化为上三角形行列式，

25、从而利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而求得行列式的值求得行列式的值七、小结行列式的行列式的5个性质个性质思考题阶行列式设n. 1nnDn00103010021321 求第一行各元素的代数余子式之和求第一行各元素的代数余子式之和.11211nAAA 解：解： 第一行各元素的代数余子式之和可以表示成第一行各元素的代数余子式之和可以表示成nAAA11211 n001030100211111 .11!2 njjn阶行列式计算4. 211111111111122222222ddddccccbbbbaaaaD 1 abcd已知已知222211111111aaabbbcccddd 2222111111111111aaabbbcccddd dddcccbbbaaaabcd1111111111112222 dddcccbbbaaa111111111111122223 0