1、1u事件发生的频率具有稳定性。事件发生的频率具有稳定性。第五章第五章 大数定律及中心极限定理大数定律及中心极限定理试验者试验者抛掷次数抛掷次数n正面出现次正面出现次数数fn正面出现正面出现频率频率fn/n德摩根德摩根204810610.518蒲丰蒲丰404020480.5069皮尔逊皮尔逊1200060190.5016皮尔逊皮尔逊24000120120.5005历史上的掷硬币试验历史上的掷硬币试验试验者试验者抛掷次数抛掷次数n正面出现次正面出现次数数m正面出现正面出现频率频率m/n德摩根德摩根204810610.518蒲丰蒲丰404020480.5069皮尔逊皮尔逊1200060190.501
2、6皮尔逊皮尔逊24000120120.50053伯努利大数定理伯努利大数定理 设设fA是是n次独立重复试验中次独立重复试验中事件事件A发生的次数发生的次数. p是事件是事件A在每次试验中发在每次试验中发生的概率生的概率, 则对于任意正数则对于任意正数e e 0, 有有)2.1(1lim e epnfPAn或或)2.1(0lim e epnfPAn4 设设Y1,Y2,.,Yn,.是一个随机变量序列是一个随机变量序列, a是一个常数是一个常数. 若对于任意正数若对于任意正数e e, 有有,1|lim e eaYPnn.aYPn 则称序列则称序列Y1,Y2,.,Yn,.依概率收敛于依概率收敛于a.
3、. 5依概率收敛的序列还有以下性质依概率收敛的序列还有以下性质).,(),(,),(),(,bagYXgbayxgbYaXPnnPnPn则则连续连续在点在点又设函数又设函数设设 设设 X1, X2, 是相互独立，服从同一分布的随机变量是相互独立，服从同一分布的随机变量序列，且具有数学期望序列，且具有数学期望 E(Xk)=, k=1,2,，则对于任意则对于任意 0 ，有，有弱大数定理弱大数定理 ( (辛钦大数定理辛钦大数定理):): .11 lim1 e e nkknXnPu在客观实际中有许多随机变量在客观实际中有许多随机变量, , 它们它们是由大量的相互独立的随机因素的综是由大量的相互独立的随
4、机因素的综合影响所形成的。合影响所形成的。u如测量身高与实际身高的偏差，就受如测量身高与实际身高的偏差，就受着许多随机因素的影响：着许多随机因素的影响： 摆放测量仪器的地面平滑程度因素，摆放测量仪器的地面平滑程度因素， 测量人的读数因素，测量人的读数因素， 站立姿势因素等等站立姿势因素等等第二节第二节 中心极限定理中心极限定理 8定理一定理一 (独立同分布的中心极限定理独立同分布的中心极限定理) 设随机变量设随机变量X1,X2,.,Xn,.相互独立相互独立, 服从服从同一分布同一分布, 且具有数学期望和方差且具有数学期望和方差E(Xk)= , D(Xk)=s s2, (k=1,2,.). 则随
5、机变量之和则随机变量之和X1+X2+.+Xn的标准化变量设为的标准化变量设为Yn，.1111s s nnXXDXEXYnkknkknkknkkn )2 . 2().1 , 0(1NnnXYnkkn近似地近似地s s 10例例1 1 一加法器同时收到一加法器同时收到20个噪声电压个噪声电压Vk(k=1,2,.,20), 设它们是相互独立的随机变设它们是相互独立的随机变量量, 且都在区间且都在区间(0,10)上服从均匀分布上服从均匀分布, 记记V=V1+V2+.+V20, 求求P(V105)的近似值的近似值.11定理三定理三(棣莫弗棣莫弗-拉普拉斯定理拉普拉斯定理) 设随机变量设随机变量h hn(
6、n=1,2,.)服从参数为服从参数为n,p(0p1)的二项分布的二项分布, 则有则有(0,1). (2.5)nnnpYNnp(1 p)近似地12例例2 一船舶在某海区航行一船舶在某海区航行, 已知每遭受一次波已知每遭受一次波浪的冲击浪的冲击, 纵摇角大于纵摇角大于3的概率为的概率为p=1/3, 若若船舶遭受了船舶遭受了90000次波浪冲击次波浪冲击, 问其中有问其中有2950030500次纵摇角大于次纵摇角大于3的概率是多少的概率是多少?解解 将船舶每遭受一次波浪冲击看作是一次将船舶每遭受一次波浪冲击看作是一次试验试验, 并假定各次试验是独立的并假定各次试验是独立的. 在在90000次波浪冲击中纵摇角度大于次波浪冲击中纵摇角度大于3的的次数记为次数记为X, Xb(90000, 1/3). 11月月22日要交作业日要交作业n116页页 22（2） 29n126页页 3（1） 8
