1、2 平稳过程相关函数的性质平稳过程相关函数的性质 一般用数字特征描述随机过程比用分一般用数字特征描述随机过程比用分布函数相对简便布函数相对简便. 对于平稳过程对于平稳过程,描述其统计特性的数描述其统计特性的数字特征是相关函数字特征是相关函数.1.(自自)相关函数的性质相关函数的性质定理定理 设X(t),tT是平稳过程,则其相关函数有性质:221212(1)(0)( ) 0(2)( )()(3)( )(0)(4)( )()1, , ,XXXXXXXXnnRE X tmRRRRRRtsnt ttT 具有非负定性.即对及复数有0)(11klXnknllkttR证明证明(1)(0)E( )( )XRX
2、 t X t222E( )( )0XXD X tX tmm(2)( )E( )()XRX t X tE()( )()XRX tX t(3)( )E( )()XRX t X t112222E( )()(E( ) ) (E() )X tXtXttX1122(0(0)()(0)XXXRRR1111()E( )( )nnnnklXlkkkkllkllRX t X ttt 12121, , ,nnnt ttT (4) 对及复数有11( )( )EnnkkllklX tX t11E( )( )nnkkllklX tX t21E( )0nkkkX t(3)(0)( )( )0;( )(0)XXXXXCCCD
3、tC协方差函数平稳过程的具有(2)()( )XXRR平稳过程的相关函数为偶函数 即实 (1) 若若X(t),tT是周期平稳过程是周期平稳过程,即即则其相关函数也是周期函数则其相关函数也是周期函数,且周期相同也且周期相同也为为T0.00()( ),X tTX ttT T是一常数（称为周期）特别特别2. 联合平稳的平稳过程及其互相关函数联合平稳的平稳过程及其互相关函数 的性质的性质定义定义 设设X(t),tT, Y(t),tT 是两个平稳是两个平稳 过过 程程.若对任意的若对任意的s,tT,有有( , )(),( ,)( )XYXYXYXYRs tRtstTRRt tR 或，对有则称X(t),tT
4、, Y(t),tT 为联合平稳的联合平稳的平稳过程平稳过程.此时若令此时若令Z(t)=X(t)+Y(t), 问问 Z(t)是否为平稳是否为平稳过程过程?定理定理 设X(t),tT, Y(t),tT 为联合平稳的平稳过程.则其互相关函数RXY(s,t)具有如下性质(1)(2)(3)22( )()( )(0)(0),( )(0)(0)XYXYYXXYYYXXRRRRRRRR且其相关函数为也是平稳过程，复常数对),()( ,TttYtX)()()()()(22YYXXYXYXRRRRR证明证明 (1) ( )E( ) ()YXRX t Y t()YXRE ()( )Y tX t证明证明 (2) 22
5、( )( ) ()XYRE X t Y t(0)(0)XYRR22E( )E()X tY t2( )(0)(0)YXXYRRR同理证明证明 (3) ( )( )( )XYmtEX tY t.XYmm常数22( )( )( )( )XXYYXYRRRR( ,)E( )( ) ()()XYRt tX tY tX tY t( )XYR只与 有关.( )( ),X tY t tT也是平稳过程.推论推论(2) 设X(t),tT, Y(t),tT 为实实联合平稳的平稳过程.则其互相关函数RXY(s,t) 满足22( )(0)(0),( )(0)(0)XYXYYXXYCCCCCC(1) 设X(t),tT, Y(t),tT 为联合平稳的平稳过程.则其互协方差函数CXY(s,t)也满足( )()XYXYRR
