信号与系统课件：第8章 系统的状态变量分析.ppt

1、信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第8-8-8-1 1 1页页页电子教案第第8 8章章 系统的状态空间分析系统的状态空间分析8.1 8.1 状态变量与状态方程状态变量与状态方程8.2 8.2 连续系统状态方程的建立连续系统状态方程的建立8.3 8.3 离散系统状态方程的建立与模拟离散系统状态方程的建立与模拟8.4 8.4 连续系统状态方程的求解连续系统状态方程的求解8.5 8.5 离散系统状态方程的解离散系统状态方程的解 第第8 8章章 系统的状态空间分析系统的状态空间分析信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第8-8-8-2 2 2页页页电子教案一

2、、系统的状态变量分析法简介一、系统的状态变量分析法简介 1、系统的状态空间描述：、系统的状态空间描述： 用系统的状态方程和输出方程描述系统输入、状态变量、用系统的状态方程和输出方程描述系统输入、状态变量、输出之间的关系。输出之间的关系。 状态方程状态方程：表示系统状态变量与输入之间的关系：表示系统状态变量与输入之间的关系/ /方程。方程。对对n n阶系统，状态方程是由阶系统，状态方程是由n n个一阶微分方程（差分方程）组个一阶微分方程（差分方程）组成的方程组。成的方程组。 输出方程输出方程：表示系统输出与输入和状态变量之间的关系：表示系统输出与输入和状态变量之间的关系/ /方程。方程。 对对n

3、 n阶系统，若有阶系统，若有q q个输出，输出方程是由个输出，输出方程是由q q个代数方程组个代数方程组成的方程组。成的方程组。第第8 8章章 系统的状态变量分析系统的状态变量分析第第8 8章章 系统的状态变量分析系统的状态变量分析信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第8-8-8-3 3 3页页页电子教案2、系统状态方程的解、系统状态方程的解 A.连续系统状态方程、输出方程的解： （1）时域解 （2）s 域解 B.离散系统状态方程、输出方程的解： （1）时域解 （2）z 域解二、状态空间分析法的应用及优点：二、状态空间分析法的应用及优点： 1 1、可以提供系统的内部信息，

4、使人们能够比较容易地解、可以提供系统的内部信息，使人们能够比较容易地解 决那些与系统内部情况有关的分析设计问题。决那些与系统内部情况有关的分析设计问题。 2 2、不仅适用于线性、时不变、单输入单输出系统分析，、不仅适用于线性、时不变、单输入单输出系统分析， 也适用于非线性、时变、多输入多输出系统分析。也适用于非线性、时变、多输入多输出系统分析。3 3、描述方法规律性强，便于用计算机解决复杂系统的分、描述方法规律性强，便于用计算机解决复杂系统的分 析设计问题。析设计问题。引言引言信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第8-8-8-4 4 4页页页电子教案 8.1 8.1 系统

5、的状态空间描述系统的状态空间描述一、连续系统的状态变量、状态方程、输出方程：一、连续系统的状态变量、状态方程、输出方程：1、状态变量：、状态变量： （1 1）初始状态：设初始时刻为）初始状态：设初始时刻为t0 t0时刻的状态通常指电容元件上电压时刻的状态通常指电容元件上电压uc(t0)和电和电 感元件上电流感元件上电流iL(t0)。n阶系统有阶系统有n个初始状态。个初始状态。初始状态的一般定义：初始状态的一般定义： 系统在系统在t0时刻的状态是最少数目的一组数。知道时刻的状态是最少数目的一组数。知道 了这组数和区间了这组数和区间t0 ，t上的输入，就可以完全确上的输入，就可以完全确 定系统在定

6、系统在t时刻的输出。时刻的输出。表示表示：n阶系统的初始状态表示为：阶系统的初始状态表示为：).().,(),(00201txtxtxn8.1 8.1 系统的状态空间描述系统的状态空间描述信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第8-8-8-5 5 5页页页电子教案1020101 10220201 10220( ),( )( )( )( )( )( )( )x tx tg ta x ta x tg tb x tb x t设二阶系统的初始状态为并且8.1 8.1 系统的状态空间描述系统的状态空间描述说明：系统状态的数目是一定的说明：系统状态的数目是一定的,但状态的选择不唯一。但

7、状态的选择不唯一。例例：10200( ),( )g tg tt则也可作为系统在 时刻的状态。信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第8-8-8-6 6 6页页页电子教案010200( ),( ).,( ).ntx tx tx t设 时刻的初始状态为：12( ),( ).,( )nx tx tx t8.1 8.1 系统的状态空间描述系统的状态空间描述（2） 状态变量：状态变量：表示状态随时间变化的一组变量称表示状态随时间变化的一组变量称状态变量状态变量。则系统的状态变量则系统的状态变量任一时刻任一时刻t的状态为：的状态为：信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心

8、第第第8-8-8-7 7 7页页页电子教案8.1 8.1 系统的状态空间描述系统的状态空间描述（3） 状态矢量、状态空间：状态矢量、状态空间：状态矢量状态矢量：由状态变量构成的列矢量：由状态变量构成的列矢量X(t) 称状态矢量。称状态矢量。12( )( )( )( )nx tx ttx tX状态空间状态空间：状态矢量：状态矢量X(t) 所在的空间称状态空间。所在的空间称状态空间。信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第8-8-8-8 8 8页页页电子教案8.1 8.1 系统的状态空间描述系统的状态空间描述1122( )( )( ),( )( )( )( ),( )CLCLy

9、 titf tf ty tutut i t系统的输入：系统输出：系统的状态：例：例：2、状态方程和输出方程：、状态方程和输出方程：（1 1）状态方程：）状态方程：信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第8-8-8-9 9 9页页页电子教案8.1 8.1 系统的状态空间描述系统的状态空间描述1212,CLcLux ixdudixxdtdt令由由KCL和和KVL得：得：121()CCLLCduCfuidtRdiLufdt信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第8-8-8-101010页页页电子教案212121111111fLxLxfRCxCxRCx上面的方程

10、组称图示上面的方程组称图示RLC系统的状态方程，其矩阵形式为：系统的状态方程，其矩阵形式为：21212110010111ffLRCxxLCRCxx8.1 8.1 系统的状态空间描述系统的状态空间描述信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第8-8-8-111111页页页电子教案8.1 8.1 系统的状态空间描述系统的状态空间描述状态方程：状态方程：状态方程的一般形式状态方程的一般形式：.,21nxxx设设n阶系统的状态变量为：阶系统的状态变量为：.,21pfff系统有系统有p个输入：个输入：描述系统状态与输入之间的关系的一阶微分方程组。描述系统状态与输入之间的关系的一阶微分方

11、程组。111 1122111 11221221 1222221 122221 1221 122nnppnnppnnnnnnnnnppxa xa xa xb fb fb fxa xa xa xb fb fbfxa xa xa xb fbfb f则状态方程为：则状态方程为：信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第8-8-8-121212页页页电子教案8.1 8.1 系统的状态空间描述系统的状态空间描述令令121212,TTnnTpijijn nn pxxxxxxfffabXXfAB则则 XAXBf矩阵形式：矩阵形式：111211111211121222222122221212p

12、npnpnnnnnnnnnpbbbfaaaxxbbbfxaaaxfxxaaabbb信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第8-8-8-131313页页页电子教案8.1 8.1 系统的状态空间描述系统的状态空间描述1122( )( )( ),( )( )( )( ),( )CLCLy titf tf ty tutut i t系统的输入：系统输出：系统的状态：例：例：（2 2）输出方程：）输出方程：信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第8-8-8-141414页页页电子教案8.1 8.1 系统的状态空间描述系统的状态空间描述由由KCL和和KVL得：得：12

13、1()CCCLLCduiCfuidtRuuf112121211yxxfRRyxf 上式称图示上式称图示RLC系统的输出方程，其矩阵形式为：系统的输出方程，其矩阵形式为：11122211101001yxfRRyxf信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第8-8-8-151515页页页电子教案8.1 8.1 系统的状态空间描述系统的状态空间描述输出方程：输出方程：输出方程一般形式：输出方程一般形式：pqpqqnqnqqqppnnppnnfdfdfdxcxcxcyfdfdfdxcxcxcyfdfdfdxcxcxcy221122112222121222212121212111121

14、21111描述系统输出、输入、状态之间关系的代数方程组。描述系统输出、输入、状态之间关系的代数方程组。设设n阶系统有阶系统有n个状态、个状态、p个输入、个输入、q个输出，则输出方程为：个输出，则输出方程为：信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第8-8-8-161616页页页电子教案8.1 8.1 系统的状态空间描述系统的状态空间描述矩阵形式：矩阵形式：pqpqqppnqnqqnnqfffdddddddddxxxcccccccccyyy212122221112112121222211121121令令12,Tqijijq nq pYyyyCcDd则则YCXDf信号与系统信号与

15、系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第8-8-8-171717页页页电子教案二、离散系统状态变量、状态方程、输出方程：二、离散系统状态变量、状态方程、输出方程：8.1 8.1 系统的状态空间描述系统的状态空间描述（1）初始状态：初始状态：设初始时刻设初始时刻 ，对，对n n阶系统，阶系统， 初始状态通常指：初始状态通常指：00K.)(,)2(,) 1(nyyy0K时刻状态的时刻状态的一般定义一般定义：0K 时刻的状态是数目最少的一组数，知道了这组数时刻的状态是数目最少的一组数，知道了这组数和和 区间上的输入，就可完全确定系统在区间上的输入，就可完全确定系统在K时时刻的输出。刻的输出。KK

16、 ,01 1、状态变量：、状态变量：信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第8-8-8-181818页页页电子教案8.1 8.1 系统的状态空间描述系统的状态空间描述（2）状态变量、状态矢量：状态变量、状态矢量：状态变量：状态变量：表示状态随时间变化的一组变量。表示状态随时间变化的一组变量。12( ) ,( ) ,( )nx kx kx k。状态矢量：状态矢量：由状态变量构成的列矢量由状态变量构成的列矢量X(k) 称状态矢量。称状态矢量。12( )( )( )( )nx kx kkx kX表示：表示：对对n阶系统，状态变量表示为：阶系统，状态变量表示为：信号与系统信号与系统

17、西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第8-8-8-191919页页页电子教案8.1 8.1 系统的状态空间描述系统的状态空间描述2 2、状态方程和输出方程：、状态方程和输出方程：例例1.1. 设系统的方程为设系统的方程为100( )(1)(2)( )y ka y ka y kb f k则有则有设设12( )(2) ,( )(1)x ky kx ky k12010( )( )( )( )y ka x ka x kb f k12201120(1)( )(1)( )( )( )x kx kx ka x ka x kb f k信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第8-8-8-2

18、02020页页页电子教案8.1 8.1 系统的状态空间描述系统的状态空间描述矩阵形式：矩阵形式：式称系统的状态方程；式称系统的状态方程；式称系统的输出方程。式称系统的输出方程。110021200(1)1( )( )(1)( )x kx kf kabx kax k10102( )( )( )( )x ky kaab f kx k信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第8-8-8-212121页页页电子教案8.1 8.1 系统的状态空间描述系统的状态空间描述)()() 1()()()() 1() 1() 1(212122221112112121222211121121kfBkX

19、AkXfffbbbbbbbbbkxkxkxaaaaaaaaakxkxkxpnpnnppnnnnnnnn(1)( )( )kkkXAXBf离散系统状态方程、输出方程的一般形式：离散系统状态方程、输出方程的一般形式： 状态方程状态方程：描述系统状态与输入关系的一阶前向差分：描述系统状态与输入关系的一阶前向差分 方程组。方程组。一般形式一般形式：n n阶系统，阶系统，p p个输入。个输入。信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第8-8-8-222222页页页电子教案8.1 8.1 系统的状态空间描述系统的状态空间描述输出方程输出方程：描述系统输出、输入、状态之间关系的：描述系统输

20、出、输入、状态之间关系的 代数方程组。代数方程组。一般形式一般形式： n阶系统，阶系统，p个输入，个输入，q个输出。个输出。)()()()()()()()()(212122221112112121222211121121kfDkXCkYfffdddddddddkxkxkxccccccccckykykypqpqqppnqnqqnnn( )( )( )kkkYCXDf信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第8-8-8-232323页页页电子教案8.2 8.2 状态方程的建立状态方程的建立8.2 8.2 状态方程的建立状态方程的建立一、连续系统状态方程的建立：一、连续系统状态方程

21、的建立：（1 1）状态变量的选择）状态变量的选择: : 1、RLC系统状态方程的建立系统状态方程的建立直观编写法：直观编写法：例：例：信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第8-8-8-242424页页页电子教案8.2 8.2 状态方程的建立状态方程的建立信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第8-8-8-252525页页页电子教案8.2 8.2 状态方程的建立状态方程的建立（2 2）直观编写法步骤）直观编写法步骤: : 例：例：选状态变量选状态变量: : 11223,LLCxixixi 。设输出为设输出为: : 122,Labyuyu列状态方程列状态方

22、程: : 第一步第一步: : 1 122,KVLL x L x关于（电感电压）列方程：1 111312212312()LL xufxR xxfRxRxxff 22231221232()LL xuxR xxfRxRxxf信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第8-8-8-262626页页页电子教案8.2 8.2 状态方程的建立状态方程的建立第二步第二步: : 3KCLCx 关于（电容电流）列方程：312CCxixx第三步第三步: : 消去除了状态变量和输入以外的其它变量，把状态方程整理成标准形式：112312111112123222223121111111RRxxxxffLL

23、LLLRRxxxxfLLLLxxxCC 信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第8-8-8-272727页页页电子教案1111111122222223311111011000RRLLLLLxxfRRxxfLLLLxxCC列输出方程列输出方程：122212322232122LabcyuL xRxRxxfyui RfCx RfRxRxf8.2 8.2 状态方程的建立状态方程的建立矩阵形式矩阵形式：信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第8-8-8-282828页页页电子教案1112223101001xyfRRxyRRfx2 2、由系统微分方程编写状态方程：、

24、由系统微分方程编写状态方程： （1） 选择状态变量：选择状态变量：令令 , ,321yxyxyx8.2 8.2 状态方程的建立状态方程的建立)()()()()(001 2 tfbtyatyatyaty列出系统的状态方程和输出方程。列出系统的状态方程和输出方程。例例1 1：已知系统方程为已知系统方程为解解：信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第8-8-8-292929页页页电子教案（2） 状态方程：状态方程：fbxaxaxaxxxxx032211033221（3） 输出方程：输出方程：1xy 矩阵形式：矩阵形式：fbxxxaaaxxx03212103210010001032

25、1001xxxy8.2 8.2 状态方程的建立状态方程的建立信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第8-8-8-303030页页页电子教案（1）选择状态变量：）选择状态变量：令令123,xqxqxq引入引入 ：)(tq)()()( )( )( 012tftqatqatqatq18.2 8.2 状态方程的建立状态方程的建立例例2. 已知系统方程为已知系统方程为)()()()()()(0101 2 tfbtfbtyatyatyaty列出系统状态方程和输出方程。列出系统状态方程和输出方程。 式代入原方程得：式代入原方程得：)()( )(01tqbtqbty21信号与系统信号与系统

26、西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第8-8-8-313131页页页电子教案（2） 列状态方程：列状态方程：fxaxaxaxxxxx32211033221（3） 列输出方程：列输出方程：1021xbxby矩阵形式：矩阵形式：fxxxaaaxxx100100010321210321321100 xxxbby8.2 8.2 状态方程的建立状态方程的建立信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第8-8-8-323232页页页电子教案8.2 8.2 状态方程的建立状态方程的建立3、由系统框图、流图编写状态方程：、由系统框图、流图编写状态方程：例：例：某某LTILTI二阶系统框图和流

27、图如图所示，列写状态二阶系统框图和流图如图所示，列写状态方程和输出方程。方程和输出方程。(1)选状态变量：选状态变量：选积分器输出为状态变量，如图所示；选积分器输出为状态变量，如图所示；信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第8-8-8-333333页页页电子教案(2) 状态方程：状态方程： fxaxaxxx2110221(3) 输出方程：输出方程：011220112002111 22()()()yb xb xba xa xfba b xbab xf8.2 8.2 状态方程的建立状态方程的建立矩阵形式：矩阵形式：1101220101xxfaaxx 100211 22xyba

28、 bbabfx信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第8-8-8-343434页页页电子教案(1) 状态变量选择：状态变量选择：(2) 状态方程：状态方程：)()()() 1()() 1(2110221kbfkxakxakxkxkx8.2 8.2 状态方程的建立状态方程的建立例例1：已知系统方程为已知系统方程为)()2() 1()(01kbfkyakyaky列状态方程和输出方程。列状态方程和输出方程。二、离散系统状态方程、输出方程的编写：二、离散系统状态方程、输出方程的编写：1 1、由差分方程编写：、由差分方程编写：) 1()(,)2()(21kykxkykx令令解：解：信

29、号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第8-8-8-353535页页页电子教案(3) 输出方程：输出方程：)()()()(2110kbfkxakxaky矩阵形式：矩阵形式：)(0)()(10) 1() 1(211021kfbkxkxaakxkx)()()()(2110kfbkxkxaaky8.2 8.2 状态方程的建立状态方程的建立信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第8-8-8-363636页页页电子教案(1) 状态变量选择：状态变量选择：(2) 状态方程：状态方程：)()()() 1()() 1(2110221kbfkxakxakxkxkx)()(1

30、kxky(3) 输出方程：输出方程：8.2 8.2 状态方程的建立状态方程的建立例例2：已知系统方程为已知系统方程为)()() 1()2(01kbfkyakyaky列写系统状态方程和输出方程。列写系统状态方程和输出方程。) 1()(,)()(21kykxkykx令令解：解：信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第8-8-8-373737页页页电子教案1（1）状态变量的选择：）状态变量的选择：( )q k引入：)()() 1()2(01kfkqakqakq22式代入式代入 式得：式得：1)() 1()2()(012kqbkqbkqbky令令) 1()(,)()(21kqkxk

31、qkx8.2 8.2 状态方程的建立状态方程的建立解：解：例例3：已知系统方程为：已知系统方程为)() 1()2()() 1()2(01201kfbkfbkfbkyakyaky列状态方程、输出方程。列状态方程、输出方程。信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第8-8-8-383838页页页电子教案(2) 状态方程：状态方程：)()()() 1()() 1(2110221kfkxakxakxkxkx(3) 输出方程：输出方程：210201121201002111 222( )(2)(1)( )( )( )( )( )( )() ( )()( )( )y kb q kbq kb

32、 q kba x ka x kf kb x kb x kba b x kbab x kb f k8.2 8.2 状态方程的建立状态方程的建立信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第8-8-8-393939页页页电子教案8.2 8.2 状态方程的建立状态方程的建立2 2、由系统框图、信号流图编写状态方程、由系统框图、信号流图编写状态方程例：例：已知系统框图、流图如图所示，列写状态方程和已知系统框图、流图如图所示，列写状态方程和输出方程。输出方程。(1)选状态变量：选状态变量：选积分器输出为状态变量，如图所示；选积分器输出为状态变量，如图所示；信号与系统信号与系统西安电子科技大

33、学电路与系统教研中心第第第8-8-8-404040页页页电子教案8.2 8.2 状态方程的建立状态方程的建立(2) 状态方程：状态方程： 1220112(1)( )(1)( )( )( )x kx kx ka x ka x kf k (3) 输出方程：输出方程：011220112002111 22( )( )( )( )( )( )()( )()( )( )y kb x kb x kba x ka x kf kba b x kbab x kf k矩阵形式：矩阵形式：11012201(1)( )0( )(1)( )1x kx kf kaax kx k 100211 22( )( )( )( )x

34、 ky kba bbabf kx k信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第8-8-8-414141页页页电子教案8.3 8.3 连续系统状态方程的解连续系统状态方程的解一、矩阵函数一、矩阵函数: 8.3 8.3 连续系统状态方程的解连续系统状态方程的解1.1.矩阵函数的定义矩阵函数的定义: :0( )iiif xx定义矩阵函数定义矩阵函数 ，)(Af0)(iiiAAf 设设A为为n阶方阵，对于收敛的幂级数阶方阵，对于收敛的幂级数A类比类比x信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第8-8-8-424242页页页电子教案8.3 8.3 连续系统状态方程的解

35、连续系统状态方程的解2.2.矩阵指数函数的定义矩阵指数函数的定义: :( )xAnf xe设 为 阶矩阵，对于指数函数201112!xiiexxxi AAtee定义矩阵指数函数和分别为:20112!AiieIAAAi2202!iAtiitteIAtAAi信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第8-8-8-434343页页页电子教案3.3.矩阵的导数、积分和卷积矩阵的导数、积分和卷积: :( )( )ijn mA ta t设矩阵(2) 卷积卷积:( )( ),( )( )ijm nijn mA ta tB tb t设( )( )( )( )A tB tA t B t等于运算中

36、元素的相乘变成卷积运算。8.3 8.3 连续系统状态方程的解连续系统状态方程的解(1) 导数、积分导数、积分:( )( )( )( )ttijn mijn mA t dta t dtddA ta tdtdt例：例： 111211121111122111121222212221222111222121122222aabbababababaabbabababab 信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第8-8-8-444444页页页电子教案4.矩阵运算的几个定理：设设A、B为为n阶方阵。阶方阵。AeAeedtdAtAtAt)(（1）)(2121ttAAtAteee（2）()At

37、BtA B tABBAeee设，则（3）（4）设）设X为为n维列向量，维列向量，A为为n阶方阵，则阶方阵，则XAeXeXedtdAtAtAt)(8.3 8.3 连续系统状态方程的解连续系统状态方程的解（6） 设设A、P为为n阶方阵，阶方阵，P为为非奇异阵（非奇异阵（det（P）0），则，则11PPeeAttPAP（5）设）设A为方阵，则为方阵，则 恒有逆，且恒有逆，且 。AtAtee1)(Ate信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第8-8-8-454545页页页电子教案二、状态方程的时域解：二、状态方程的时域解：状态方程：状态方程：BftAXtXBftAXtX)()()(

38、)(1)()()(tBfetAXetXeAtAtAt8.3 8.3 连续系统状态方程的解连续系统状态方程的解1 式两边乘以式两边乘以 ，得，得Ate根据矩阵函数运算的定理（根据矩阵函数运算的定理（4），上式可写成：），上式可写成：)()(tBfetXedtdAtAt21 1、状态方程的时域解：、状态方程的时域解：对对n阶系统。阶系统。信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第8-8-8-464646页页页电子教案2对对 式两边积分，得：式两边积分，得：00000( )( )( )( )( )ttAAtttAtAtAtdeXdeBfddteX teX teBfd8.3 8.3

39、连续系统状态方程的解连续系统状态方程的解00()()0( )( )( )tA t tA ttX teX teBfd设设 ，得：，得：00t()0( )(0 )( )tAtA tX te XeBfd设设 称称状态转移矩阵状态转移矩阵。Atet )(信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第8-8-8-474747页页页电子教案则则 )()(0)()()0()()()()0()()(tXtXtfxtfBtXtdBftXttX零输入分量零输入分量零状态分量零状态分量8.3 8.3 连续系统状态方程的解连续系统状态方程的解信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第8

40、-8-8-484848页页页电子教案2.2.输出方程的解：输出方程的解：把状态方程的解代入输出方程，得：把状态方程的解代入输出方程，得：( )( )(0 )( )( )( )( )(0 )( )( )( )Y tCt Xt Bf tDf tCt XCt Bf tDf t引入引入p阶对角阵阶对角阵 ：)(t( )0( )( )0( )tttt8.3 8.3 连续系统状态方程的解连续系统状态方程的解( )( )( )Y tCX tDf t输出方程为：输出方程为：则则( )( )( )tf tf t信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第8-8-8-494949页页页电子教案)(

41、)()()()()0()()()()()()0()()(tYtYfxtftDBtCXtCtftDtfBTCXtCtY)()()()()()()0()()(tDBtCthtfthtYXtCtYfx零输入响应零输入响应零状态响应零状态响应冲激响应，冲激响应，)(pq111212122212( )ppqqqphhhhhhh thhh)(thij0)(tfj,其余输入为零时，其余输入为零时， 对应的冲激响应对应的冲激响应。)(tyif8.3 8.3 连续系统状态方程的解连续系统状态方程的解信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第8-8-8-505050页页页电子教案3. 3. At

42、et )(的计算：的计算：(1) n阶方阵阶方阵A的特征方程、特征根：的特征方程、特征根：|)det(IAIA0| IA(2) 凯莱凯莱哈密顿定理：哈密顿定理：8.3 8.3 连续系统状态方程的解连续系统状态方程的解特征多项式：特征多项式： 特征根：特征根：特征方程特征方程：任何方阵任何方阵A，恒满足它的特征方程。，恒满足它的特征方程。0|)(IAq设设0)(Aq则则 ,1 , 2 , .iin特征方程的根特征方程的根信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第8-8-8-515151页页页电子教案(3) ( )Atte的计算：的计算：22012!jtjjiijitet 220

43、2!AtiiiteItAAA8.3 8.3 连续系统状态方程的解连续系统状态方程的解,1 , 2 , .iin设设n阶方阵阶方阵A的特征根为的特征根为信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第8-8-8-525252页页页电子教案根据根据A的特征方程和凯莱的特征方程和凯莱哈密顿定理可以证明：哈密顿定理可以证明：12101210jntinijjjnjie 12101210nAtininieAIAAA由由A的的n个特征根和个特征根和 的展开式确定系数的展开式确定系数 ，代入，代入 的展开式，就可求得的展开式，就可求得 。tjeiAteAte8.3 8.3 连续系统状态方程的解连续

44、系统状态方程的解信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第8-8-8-535353页页页电子教案Ate的计算步骤：的计算步骤：（1） A的特征根为单根：的特征根为单根：第一步：第一步：求求n阶方阵阶方阵A的特征根的特征根 ，i=1 ,2 , ,n .i第二步：第二步：由由n个特征根建立以下个特征根建立以下n个方程：个方程：11221012122221011121211021nnnnntnntnntneee第三步：第三步：解上面方程组，求解上面方程组，求,0,1,2,1iin8.3 8.3 连续系统状态方程的解连续系统状态方程的解第四步：第四步：Atie把代入下式，求：2101

45、21AtnneIAAA信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第8-8-8-545454页页页电子教案8.3 8.3 连续系统状态方程的解连续系统状态方程的解（2） A的特征根有重根：设的特征根有重根：设1为为m重根，另有重根，另有n-m个单根。个单根。第一步：第一步：求求n阶方阵阶方阵A的特征根的特征根12.q , ,第二步：第二步：由特征根由特征根i建立以下建立以下n个方程：个方程：11112101 1211 12101 1211 111222101 1211 12211112101 1211 11111()()()()()()tnntnntnnmmtnnmmeddedd

46、ddeddddedd 1qnm信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第8-8-8-555555页页页电子教案8.3 8.3 连续系统状态方程的解连续系统状态方程的解23210122212210132313210121qtnntnntnqqnqeee 第三步：第三步：解上面方程组，求解上面方程组，求,0,1,2,1iin第四步：第四步：Atie把代入下式，求：210121AtnneIAAA信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第8-8-8-565656页页页电子教案例例1: 10,12AtAe求。解:2A（ ）求 的特征根：1001012012AI 8.3

47、 8.3 连续系统状态方程的解连续系统状态方程的解12| (1)(2)01,2.AI 3ii（ ）建立求 的方程，求 ：1201 1012ttee 102102ttee解方程组解方程组, ,得得: : 22012,tttteeee。1AI（）求：信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第8-8-8-575757页页页电子教案4Ate（ ）求：221010(2)()0112tttteeee220()tttteeee8.3 8.3 连续系统状态方程的解连续系统状态方程的解01AteIA信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第8-8-8-585858页页页电子教

48、案8.3 8.3 连续系统状态方程的解连续系统状态方程的解例例2: 1,2AtAe-0求。-1解:1001021021AI 1AI（）求：2A（ ）求 的特征根：212| (1)01.AI 3ii（ ）建立求的方程，求：1101101111()()tteddedd 011ttete解方程组解方程组, ,得得: : 01,tttetete。信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第8-8-8-595959页页页电子教案8.3 8.3 连续系统状态方程的解连续系统状态方程的解4Ate（ ）求：01AteIA1010()0121tttetete02tttetee信号与系统信号与系统

49、西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第8-8-8-606060页页页电子教案IeeedtdAtAttAt000| )(状态方程求解状态方程求解:Step1: 求求;)(Atet Step2: 求求);0()()(XttXxStep3: 求求);()()(tfBttXfStep4: 求求);()()(tXtXtXfx8.3 8.3 连续系统状态方程的解连续系统状态方程的解4. 4. :AteA由求信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第8-8-8-616161页页页电子教案输出方程求解输出方程求解:Step1: 求;)(Atet Step2: 求);0()()(XtCtYx

50、Step3: 求);()()(tDBtCthStep4: 求);()()(tfthtYfStep5: 求);()()(tYtYtYfx三、状态方程、输出方程的三、状态方程、输出方程的s域解域解:1 1、状态方程的、状态方程的S S域解域解: :状态方程状态方程:)()()(tBftAXtX8.3 8.3 连续系统状态方程的解连续系统状态方程的解信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第8-8-8-626262页页页电子教案s s域解域解: :根据单边拉氏变换的时域微分性质根据单边拉氏变换的时域微分性质, ,对状态方程两边对状态方程两边 取拉氏变换取拉氏变换, ,得得: :(