控制工程课件：第2章 数学建模（新）.ppt

1、内容提要内容提要2.1 2.1 系统运动微分方程的建立系统运动微分方程的建立2.2 2.2 拉普拉斯积分变换拉普拉斯积分变换2.3 2.3 动态系统的传递函数动态系统的传递函数2.4 2.4 典型环节的传递函数典型环节的传递函数2.5 2.5 传递函数的求取方法传递函数的求取方法2.6 2.6 控制系统的传递函数控制系统的传递函数重点：重点：传递函数概念的建立，典型环节和控制系统传递函数传递函数概念的建立，典型环节和控制系统传递函数 的推导。的推导。难点：难点：实际物理系统，特别是机械系统的传递函数的推导。实际物理系统，特别是机械系统的传递函数的推导。 为了从理论上对控制系统进行定性分析和定量

2、分析，首为了从理论上对控制系统进行定性分析和定量分析，首先要建立系统的数学模型。先要建立系统的数学模型。 概述概述 数学模型数学模型 描述系统动态特性的描述系统动态特性的数学表达式数学表达式，称为系统的，称为系统的数学模型，它揭示了系统结构及其参数与系统性能数学模型，它揭示了系统结构及其参数与系统性能之间的内在关系。之间的内在关系。 作用作用 数学模型是设计和分析控制系统的依据。显然，数学模型是设计和分析控制系统的依据。显然，建立正确、合理的系统的数学模型是分析系统关键性建立正确、合理的系统的数学模型是分析系统关键性的步骤。的步骤。 明确输入、输出，并分析信号传递、变换过程；明确输入、输出，并

3、分析信号传递、变换过程； 从输入端开始，按信息传递、变换过程列写各变量之从输入端开始，按信息传递、变换过程列写各变量之间的数学关系式；间的数学关系式；( (注意因果关系注意因果关系) ) 消去中间变量，得到输出消去中间变量，得到输出输入关系式；输入关系式； 整理成标准形式。整理成标准形式。二、解析法建模步骤：二、解析法建模步骤：反映系统内在运动规律的物理学定律和各专业理论。反映系统内在运动规律的物理学定律和各专业理论。 建模基本方法：建模基本方法：解析法解析法(机理法机理法)、实验法实验法(测试法测试法)。一、解析法建模依据一、解析法建模依据 设系统的输入量为外作用力设系统的输入量为外作用力f

4、i(t)，输，输出量为质量块的位移出量为质量块的位移xo(t)。例例1 1：机械平移动力学系统：机械平移动力学系统确定确定 fi(t)与与xo(t)之间的关系之间的关系? ? 明确输入、输出，并分析信号传明确输入、输出，并分析信号传递、变换过程递、变换过程 在在 fi(t) 力的作用下，质量块力的作用下，质量块 m 将有加速度，从而产生速将有加速度，从而产生速度和位移。度和位移。 质量块的速度、位移使阻尼器和弹簧产生粘性阻尼力质量块的速度、位移使阻尼器和弹簧产生粘性阻尼力 fB(t) 和弹性力和弹性力 fk(t)。这两个力反作用于质量块，影响输入。这两个力反作用于质量块，影响输入 fi(t)

5、的作的作用效果，从而使质量块的速度和位移发生变化，产生动态过程。用效果，从而使质量块的速度和位移发生变化，产生动态过程。m)(tfi)(0txkB2.1系统运动微分方程的建立（2 2）列写各变量之间的数学关系式（）列写各变量之间的数学关系式（平衡工作点平衡工作点）2.1系统运动微分方程的建立fk(t)fB(t)mkBkB)(0tx未加质量块未加质量块加质量块加质量块0 xkB)(tfim)(0tx 根据牛顿第二定律，应有根据牛顿第二定律，应有: :)()()()(2txdtdmtftftfokBi中间变量中间变量由阻尼器、弹簧的特性有由阻尼器、弹簧的特性有: :)()(txdtdBtfoB)(

6、)(tkxtfokfk(t)fB(t)机械平移动力学系统机械平移动力学系统)()()()(200txdtdmtkxtxdtdBtfoi)()()()(22tftkxtxdtdBtxdtdmiooo（3）消去）消去中间变量，得到输出中间变量，得到输出输入关系式输入关系式（4）写成标准型）写成标准型m)(tfi)(0tx2.1系统运动微分方程的建立)()()()(2txdtdmtftftfokBi)()(txdtdBtfoB)()(tkxtfok二阶常系数线性微分方程)()()()(0tutututuiRL输入：输入：ui(t)输出：输出：u0(t)研究输入电压研究输入电压ui(t) 和输和输出电

7、压出电压u0(t)之间的关系。之间的关系。 根据基尔霍夫定理，可写出根据基尔霍夫定理，可写出: :i(t)LCRu0(t)ui(t)电路中的电流电路中的电流 i(t) 为中间变量。为中间变量。（1 1）例例2 2：电网络系统：电网络系统dttiCtuo)(1)(（2）)()(tRituR（3）)()(tidtdLtuL（4）2.1系统运动微分方程的建立消去中间变量消去中间变量 i(t)，整理得，整理得:(6)式即为二阶常系数线性微分方程。式即为二阶常系数线性微分方程。dttiCtuo)(1)(（2） 由（由（2）式可得：）式可得：)()(tRituR（3）)()(tidtdLtuL（4）dtt

8、duCtitiCdttdu)()()(1)(00（5）)()()()(22tututudtdRCtudtdLCiooo（6）)()()()(0tutututuiLRi(t)LCRu0(t)ui(t)（1 1）2.1系统运动微分方程的建立)()()()(22tftkxtxdtdBtxdtdmiooo)()()()(22tututudtdRCtudtdLCiooo四、小结：四、小结：（1 1）物理本质不同的系统，可以有相同形式的数学模型。物理本质不同的系统，可以有相同形式的数学模型。2.1系统运动微分方程的建立 从动态性能来看，在相同形式的输入作用下，数学模型相同从动态性能来看，在相同形式的输入作

9、用下，数学模型相同而物理本质不同的系统其输出响应相似，若方程系数等值则响而物理本质不同的系统其输出响应相似，若方程系数等值则响应完全一样。这样就可以用电系统来模拟其它系统，进行实验应完全一样。这样就可以用电系统来模拟其它系统，进行实验研究。这就是控制理论中的研究。这就是控制理论中的功能模拟方法功能模拟方法的基础。的基础。机械平移动力学系统机械平移动力学系统: :电网络系统电网络系统: :（2） 在通常情况下，元件或系统的微分方程的阶次，在通常情况下，元件或系统的微分方程的阶次，等于元件或系统中所包含的独立储能元的个数。等于元件或系统中所包含的独立储能元的个数。 惯性质量、弹性要素、电感和电容都

10、是储能元。每当系统惯性质量、弹性要素、电感和电容都是储能元。每当系统中增加一个储能元时，其内部就增多一层能量的交换，即增多一中增加一个储能元时，其内部就增多一层能量的交换，即增多一层信息的交换，描述系统的微分方程将增高一阶。层信息的交换，描述系统的微分方程将增高一阶。 2.1系统运动微分方程的建立i(t)LCRu0(t)ui(t)m)(tfi)(0txkB（3 3）描述系统运动的微分方程的系数都是系统的结构）描述系统运动的微分方程的系数都是系统的结构参数及其组合。参数及其组合。 说明系统的动态特性是系统的固有特性，取决于系统结构及说明系统的动态特性是系统的固有特性，取决于系统结构及其参数。其参

11、数。)()()()(22tftkxtxdtdBtxdtdmiooom)(tfi)(0txkB)()()()(22tututudtdRCtudtdLCiooo2.1系统运动微分方程的建立)()()()(0001)1(01)(0txatxatxatxannnn )()()()(01)1(1)(trbtxbtxbtxbimimmim )(mn 五、五、 系统运动微分方程的一般形式系统运动微分方程的一般形式为输入，则：为输入，则：为系统输出，为系统输出，设设)()(0txtxi，), 2 , 1 , 0(niai ), 2 , 1 , 0(mjbj 是由系统结构和参数决定的常数。是由系统结构和参数决定

12、的常数。线性系统：能用线性微分方程描述的系统。线性系统：能用线性微分方程描述的系统。 线性微分方程描述系统的动态特性，其输出量、输入量线性微分方程描述系统的动态特性，其输出量、输入量及其各阶导数，都为线性组合。及其各阶导数，都为线性组合。2.1系统运动微分方程的建立：mn 系统中总含有惯性元件及受到能源能量的限制。系统中总含有惯性元件及受到能源能量的限制。 线性系统的线性性质线性系统的线性性质 用线性微分方程描述的系统，称为线性系统。用线性微分方程描述的系统，称为线性系统。 如果方程的系数为常数，则称为如果方程的系数为常数，则称为线性定常系统线性定常系统； 如果方程的系数不是常数，而是时间的函

13、数，则称为如果方程的系数不是常数，而是时间的函数，则称为线性时线性时变系统变系统。 线性系统的重要性质是可以应用叠加原理:（1 1）多个输入同时作用于线性系统的总响应，等于各个输入多个输入同时作用于线性系统的总响应，等于各个输入单独作用时分别产生的响应之和，且输入增大若干倍时，其输单独作用时分别产生的响应之和，且输入增大若干倍时，其输出亦增大同样的倍数。出亦增大同样的倍数。系统系统x1y1x2y2x3y3系统系统x1+x2+x3y1+y2+y32.1系统运动微分方程的建立（2 2）系统对输入信号的微分和积分的响应等于系统对输入信系统对输入信号的微分和积分的响应等于系统对输入信号的响应的微分和积

14、分。号的响应的微分和积分。( (线性性质线性性质) )系统系统x1y1系统系统1x1y例例：系统系统tx 1ty1系统系统)( 12tx ty1同理：积分关系也成立。同理：积分关系也成立。12xx2.1系统运动微分方程的建立 变量形式的选取问题变量形式的选取问题 系统在某一平衡点工作，变量偏离平衡点的偏离量很小，系统在某一平衡点工作，变量偏离平衡点的偏离量很小，一般只研究系统在平衡点附近的动态特性。因此，总是选择平一般只研究系统在平衡点附近的动态特性。因此，总是选择平衡工作点作为坐标系原点，变量采用增量形式。衡工作点作为坐标系原点，变量采用增量形式。其优点是系统其优点是系统的初始条件为零，便于

15、求解方程，便于非线性方程进行线性化的初始条件为零，便于求解方程，便于非线性方程进行线性化处理。处理。 负载效应问题负载效应问题 由于后一环节的存在，前一环节的输出受到影响，有如加由于后一环节的存在，前一环节的输出受到影响，有如加上了一个负载对前一环节产生影响，这种影响称为负载效应。上了一个负载对前一环节产生影响，这种影响称为负载效应。例如，无源网络输入阻抗对前级的影响，齿轮系对电机转动惯例如，无源网络输入阻抗对前级的影响，齿轮系对电机转动惯量的影响等。量的影响等。六、六、 建立动态方程时应注意的问题建立动态方程时应注意的问题2.1系统运动微分方程的建立dttitiCtuC)()(1)(2111

16、)()()(0221tutiRtuCdttiCtu)(1)(220)()()()()(212211222211tututudtdCRCRCRtudtdCRCRiooo)()()(111tutiRtuCi 例例1 1C1R1u0(t)ui(t)R2C2i1(t)i2(t) 图示无源网络。建立图示无源网络。建立以以ui(t)为输入、为输入、u0(t)为输为输出的微分方程。出的微分方程。负载效应负载效应2.1系统运动微分方程的建立解：解：1.1.设中间变量设中间变量x(t)(1tx)(2tx1k2k2B1Bx(t)dtxxdBtxk)()(211)()(21221221xxkdtxxdBdtxxdB

17、（例例2 2机械平移系统，机械平移系统，x1(t)为输入、为输入、 x2(t)为输出。为输出。由力的平衡：由力的平衡：要整理成标准型微分方程很困难！要整理成标准型微分方程很困难！2.1系统运动微分方程的建立 建立描述系统动态性能的运动微分方程之后，建立描述系统动态性能的运动微分方程之后，给定输入，解这个方程，得到它的全解，即可知道给定输入，解这个方程，得到它的全解，即可知道系统的输出响应，从而知道系统在给定输入作用下系统的输出响应，从而知道系统在给定输入作用下的运动规律，即性能。的运动规律，即性能。 问题在于：用一般微分方程理论求解高阶微分问题在于：用一般微分方程理论求解高阶微分方程是困难的。

18、人类的思路就是变换研究领域，借方程是困难的。人类的思路就是变换研究领域，借助其他方法。拉普拉斯积分变换是一种数学工具，助其他方法。拉普拉斯积分变换是一种数学工具，它可将时域中的微积分运算转化为复数域中的代数它可将时域中的微积分运算转化为复数域中的代数运算。运算。0)()()(dtetfsFtfLst1. 拉氏变换的定义拉氏变换的定义2. 拉氏变换的实质拉氏变换的实质),(tft为为自自变变量量的的实实函函数数如如果果有有一一个个以以时时间间的的拉拉氏氏变变换换为为：，那那么么函函数数它它的的定定义义域域是是)(0tft )(tf原函数：)(sF象函数：js复变量：)()(tfLsF2.2 拉普

19、拉斯积分变换时间函数时间函数复变量复变量 s 的复变函数的复变函数ateasAdteeAAeLstatat01. 指数函数：指数函数： 指数函数的拉氏变换：指数函数的拉氏变换：0)(0dtedteeeLtasstatataseLat1tttaseas0)(1asas1)1(0解：解：2.2 拉普拉斯积分变换)0( ,)(tAtfsAdteAALst0stL1)( 1 2. 阶跃函数：阶跃函数： 0t)(tf当当A=1时：时：)(1)()0( , 1)(ttfttf，此时，称之为单位阶跃函数称之为单位阶跃函数A2.2 拉普拉斯积分变换)0( ,)(tAttf20sAdtetAAtLst21stL

20、复数域中为乘复数域中为乘1/s1/s时域中的积分运算时域中的积分运算30222121sAdtetAAtLst32121stL3. .斜坡（斜坡（速度速度）函数）函数2.2 拉普拉斯积分变换单位速度函数：单位速度函数：)0( ,)(tttf单位加速度函数：单位加速度函数：)0( ,21)(2tttf0t)(tf)0( ,21)(2tAttf4. .加速度函数加速度函数0t)(tf5. 脉冲函数脉冲函数)0( , 0)0( ,)(ttt1)(dtt单位脉冲函数的拉氏变换单位脉冲函数的拉氏变换1)(tL6. 正（余）弦函数的拉氏变换正（余）弦函数的拉氏变换2222cossinsstLstL单位脉冲函

21、数单位脉冲函数可由欧拉公式证明。可由欧拉公式证明。2.2 拉普拉斯积分变换正弦函数的拉氏变换正弦函数的拉氏变换ttfsin)(dteeejtLsttjtj)(21sin0dteejtsjtsj)(21)()(0）（jsjsj1121）（2221sjsjsj22s)(21cos)(21sintjtjtjtjeeteejt欧拉公式欧拉公式同理：同理：cos tL22ss2.2 拉普拉斯积分变换)()()()(2121sBXsAXtBxtAxL1. 线性定理线性定理2. 微分定理和积分定理微分定理和积分定理)0()()(fssFdttdfL)0()0()()(222fsfsFsdttfdL)0()0

22、()0()()()1(21nnnnnnffsfssFsdttfdL（1 1）微分定理微分定理)()(ssFdttdfL)()(222sFsdttfdL)()(sFsdttfdLnnn在所有初始条件均在所有初始条件均为零时为零时)()(sFtfL)()(11sXtxL)()(22sXtxL2.2 拉普拉斯积分变换解：由解：由微分定理微分定理)0()0()()(222fsfsFsdttfdL求下列函数的拉氏变换求下列函数的拉氏变换)()()()(22tftkxtxdtdctxdtdmiooo初始条件均为零。初始条件均为零。)()(0222sXmstxdtdmLo故原方程的拉氏变换为：故原方程的拉氏

23、变换为：)()()()(0002sFskXscsXsXmsi)()(0scsXtxdtdcLo2.2 拉普拉斯积分变换（2 2）积分定理）积分定理)0(1)(1)()1(fssFsdttfL)0(1)0(1)(1)()1()1(nnnnfsfssXsdttxL在所有初始条件均为零时：在所有初始条件均为零时：)(1)(sFsdttfL)(1)(sFsdttfLnn2.2 拉普拉斯积分变换)0(1)0(1)(1)()2()1(22fsfssFsdttfL)(1)(2sFsdttfL、0)0()1(f、0)0()2(f0)0()1( nf、 )()(sFtfL若：若： 延迟定理延迟定理则有：则有：)

24、()(sFetfLs延迟函数的延迟函数的拉氏变换拉氏变换原函数的拉氏原函数的拉氏变换乘上变换乘上se)(tf)(tf)(tft： 的平移函数、延迟函数的平移函数、延迟函数)(tf)(tf2.2 拉普拉斯积分变换例：求如图所示函数的拉普拉斯变换。例：求如图所示函数的拉普拉斯变换。)(1tft2.2 拉普拉斯积分变换2)(a解：图解：图（a）3设设3)(tr)2()(1trtf则：则：)()2()(21trLetrLsFssesFs213)(即：即：)(2tftb)(ba图（图（b）设设atr)()()()(2btrtrtf则：则：)()()(2btrtrLsFseasFbs)1 ()(2即：即：

25、)()(sXtxL)()(asXetxLat的的效效果果。去去替替代代的的拉拉氏氏变变换换，有有以以sasetxat)()(22cossstL解解： 位移定理位移定理设：设：按拉氏变换定义可得：按拉氏变换定义可得：22)(cosasasteLat所以，所以，例例1：costeLat求2.2 拉普拉斯积分变换初值定理初值定理表明时间函数在原点的性质与表明时间函数在原点的性质与sX（s）在复数域无穷远处的性质一致；在复数域无穷远处的性质一致；终值定理终值定理则表明，时则表明，时间函数在时间无穷远点的性质与间函数在时间无穷远点的性质与sX（s）在复数域原）在复数域原点处的性质一致。即建立了时间函数在

26、无穷远点（原点处的性质一致。即建立了时间函数在无穷远点（原点）与复变函数点）与复变函数sX（s）在坐标原点（无穷远点）的）在坐标原点（无穷远点）的值之间的关系。值之间的关系。)()()(lim)(lim0sXtxLtxtxtt存在，且有、若：)(lim)(0ssXxs 初值定理和终值定理初值定理和终值定理)(lim)0(ssXxs则有：则有：2.2 拉普拉斯积分变换dtgfth)()()()()()(tgtfth)()()()(sGtgLsFtfL，若若：)()()()(sGsFtgtfL则则： 卷积定理卷积定理卷积的数学定义卷积的数学定义符号表示：符号表示：卷积定理卷积定理用于信号分析与处理

27、！用于信号分析与处理！2.2 拉普拉斯积分变换1. 指数函数：指数函数： stL1)( 1 2. 阶跃函数：阶跃函数： aseLat121stL32121stL4. 加速度函数：加速度函数：3. 斜坡函数：斜坡函数：5. 脉冲函数：脉冲函数：1)(tL6. 正弦函数正弦函数:22cossstL7. 余弦函数余弦函数:22sinstL)()()()(2121sBXsAXtBxtAxL1. 线性定理线性定理)0()0()0()()()1(21nnnnnnffsfssFsdttfdL2. 微分定理微分定理3. 积分定理积分定理)0(11)(1)()1()1(nnnnfsfssXsdttxL4. 延迟

28、定理延迟定理)()(sFetfLs)()(asXetxLat5. 位移定理位移定理)(lim)(0ssXxs6. 初值定理和终值定理初值定理和终值定理)(lim)0(ssXxs典型函数的拉氏变换典型函数的拉氏变换拉氏变换定理拉氏变换定理2.2 拉普拉斯积分变换)()()()(21sFsFsFsFn)()()()(21tftftftfn反变换反变换:已知已知 F(s)，求，求 f(t) 的数学过程。的数学过程。1. 基本思想基本思想如何分解如何分解F(s)？ 将将F(s)分解成标准形式的简单函数之和，然分解成标准形式的简单函数之和，然后利用拉氏变换表和性质定理直接求出后利用拉氏变换表和性质定理直

29、接求出 f(t)2.2 拉普拉斯积分变换)()(1tfsFL)()(sFsfLniimjjnmpszspspspszszszssF112121)()()()()()()(（1） 根据多项式定理求根据多项式定理求F(s)的极点的极点F(s)的极点：使的极点：使 F(s)= 的的 s 值值F(s)的零点：使的零点：使 F(s)=0 的的 s 值值)()()(01110111sDsNasasasabsbsbsbsFnnnnmmmm 2. 基本步骤基本步骤2.2 拉普拉斯积分变换（2） 根据部分分式法，将根据部分分式法，将F(s)展成部分分式展成部分分式 niiinnpscpscpscpscsF122

30、111)(（3）求出待定系数）求出待定系数ci （4） 查拉氏变换表和利用性质、定理求逆变换查拉氏变换表和利用性质、定理求逆变换 nitpitpntptpinecececectf12121)(在复变函数中在复变函数中c ci i称为称为s s = =p pi i极点处的留数。极点处的留数。 )()(asXetxLatatetxasXL)()(12.2 拉普拉斯积分变换niniiiipspsccpspscpspscpssF)()()()(2211ipsiipscpssFi)(limipsiipssFc)(niiinniipscpscpscpscpscsF122111)( 简单极点简单极点（n 个

31、不相等的实根）个不相等的实根），两边取极限令令简易计算式：简易计算式：3. 待定系数的求法待定系数的求法 乘乘上上式式两两边边用用)(ips 由于由于F(s)的极点可以是简单实数极点、共轭复的极点可以是简单实数极点、共轭复数极点、重极点，故需分别讨论：数极点、重极点，故需分别讨论：2.2 拉普拉斯积分变换 举例举例。，求求已已知知：)(6594)(2tfssssF32)3)(2(94)(21scscssssF13292439421）（sssc329432sssc3321)(sssF)0(3)(32teetftt解：解：tesL2121tesL313332.2 拉普拉斯积分变换分解成如下形式分解

32、成如下形式: jjiiiipscpspsbsasF)()(1iipsiipsiibsapspssF)()(1令令Re )()(Re1iiiibsapspssFIm )()(Im1iiiibsapspssFiiba ,可可求求得得复数相等有：复数相等有：（2 2）共轭复数极点）共轭复数极点复数极点复数极点简单极点简单极点2.2 拉普拉斯积分变换scssbassF52)(2解：解：，求求原原函函数数。已已知知：)52(3)(2sssssFscjsjsbas)21)(21(53c解得：解得：0)(sssFc21212)52)(jsjsbassssF21213jsjsbasssajabj2(5652）

33、53a51b解得：解得：求求 a、bsssssF53521351)(2 举例举例2.2 拉普拉斯积分变换scssbassF52)(2解：通分方法：通分方法：)52(5)2()()(222sssccsbscsassF35120ccbca53a51b解得：解得：53c)52(3)(2sssssF【适用于简单表达式适用于简单表达式】2.2 拉普拉斯积分变换222) 1(23351153)(ssssFtetetftt2sin512cos5353)(sssssF53521351)(22222) 1(135213sssss注意到注意到22222) 1(2512) 1(153153)(sssssF0t合并合

34、并2.2 拉普拉斯积分变换2cos1032sin10151053ttetsin2coscos2sin51053)(ttetft)2sin(51053tet101cos103sin，则则：令令：)0( ttetetftt2sin512cos5353)(3arctan2.2 拉普拉斯积分变换nriiirrrpscpscpscpscsG10010020011)()()()()()()()()(21001110nrrrmmmmipspspspsbsbsbsbsXsXsG ipsiipssFc)(（1）对于单极点，）对于单极点，（2）对于重极点，）对于重极点，0)(01psripssFc0)(02psr

35、ipssFdsdc0)()!1(1)1()1(0psrirrrpssFdsdrc（3 3）重极点）重极点2.2 拉普拉斯积分变换) 1)(44(3)(2sssssF例：例：12)2()(302201scscscsF求求f(t)。1)2() 1()2(322201sssssc2)2() 1()2(322202sssssdsdc2)1() 1()2(3123sssssc1222)2(1)(2ssssFttteetetf22)(220t2.2 拉普拉斯积分变换 将微分方程拉氏变换，变换为将微分方程拉氏变换，变换为s s的代数方程；的代数方程； 求出系统输出的复域解；求出系统输出的复域解； 拉氏反变换

36、得系统输出的时域解。拉氏反变换得系统输出的时域解。 )()(6)(5)(22txtfdttdfdttfdi)( 1)(ttxi 初始条件为零，初始条件为零，步骤ssFssFsFs1)(6)(5)(2)3(31)2(2161)3)(2(1)65(1)(2ssssssssssFtteetf32312161)( 2.2 拉普拉斯积分变换)( 1)()(3)(3)(223ttxdttdxdttxddttxdssXssXsXssXs1)()(3)(3)(23323) 1(1) 133(1)(sssssssXtetttX) 121(1)(20)0()0()0(22xdtdxdtxd1) 1(1031sss

37、sc1) 1() 1(113321ssssc1) 1() 1(113322ssssdtdc1) 1() 1(121332223ssssdtdc11) 1(1) 1(11)(23ssssaX1) 1() 1(232223211scscscsc2.2 拉普拉斯积分变换 定义定义： 在零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输在零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比入量的拉氏变换之比 ，称为线性定常系统的传递函数。，称为线性定常系统的传递函数。)()()(0sXsXsGi 可以用方块图来表示一个具有传递函数可以用方块图来表示一个具有传递函数G(s) 的线的线性系统。图中表明，系统输入量

38、与输出量的因果关系性系统。图中表明，系统输入量与输出量的因果关系可以用传递函数联系起来。传递函数由此得名。可以用传递函数联系起来。传递函数由此得名。一、传递函数的概念和定义一、传递函数的概念和定义)()()(0sXsGsXi传递函数的图示传递函数的图示Xi(s)X0(s)(sG)()()()(22tftkxtxdtdCtxdtdmooo)()()(2sFsXkCsmso在零初始条件下，微分方程的拉氏变换为：在零初始条件下，微分方程的拉氏变换为：)(1)(2sFkCsmssXo)()()(sFsGsXo系统输出响应：系统输出响应：即：即：按传递函数定义，有：按传递函数定义，有：)()()(sFs

39、XsGo传递函数传递函数？例：机械平移系统例：机械平移系统kCsms212.3 动态系统的传递函数二、二、 传递函数的基本性质传递函数的基本性质1.1. 传递函数传递函数是复变量是复变量 s 的有理真分式函数，具有复的有理真分式函数，具有复变函数的所有性质。所有系数均为实数。变函数的所有性质。所有系数均为实数。)()()()(22tftkxtxdtdCtxdtdmoookCsmssFsXsG201)()()(2.2. 传递函数传递函数是一种用系统参数表示输出量与输入量是一种用系统参数表示输出量与输入量之间关系的表达式，是系统在复数域中的数学模型，之间关系的表达式，是系统在复数域中的数学模型，它

40、与微分方程有相通性。它与微分方程有相通性。2.3 动态系统的传递函数3.3. 传递函数传递函数只取决于系统或元件的结构和参数，但只取决于系统或元件的结构和参数，但它不提供任何该系统的物理结构。只要动态性能相似，它不提供任何该系统的物理结构。只要动态性能相似，不同的物理系统可具有同类型的传递函数。不同的物理系统可具有同类型的传递函数。4.4. 传递函数传递函数与输入量的形式无关，也不反映系统内与输入量的形式无关，也不反映系统内部的任何信息。部的任何信息。5.5. 当传递函数已知时，可研究系统在各种输入信号当传递函数已知时，可研究系统在各种输入信号作用下的输出作用下的输出响应。响应。)(1)(20

41、sXkCsmssXi正弦信号正弦信号速度信号速度信号阶跃信号阶跃信号脉冲信号脉冲信号)(sXi2.3 动态系统的传递函数)()()()()(011101110sDsNasasasabsbsbsbsXsXsGnnnnmmmmi 2. 零零极点模型极点模型 niimjjnmpszsKpspspszszszsKsDsNsG112121)()()()()()()()()(0111)(asasasasDnnnn 分母称为系统的特征多项式：分母称为系统的特征多项式：三、传递函数的表示形式三、传递函数的表示形式1. 输入输入输出模型输出模型2.3 动态系统的传递函数3. 典型环节模型典型环节模型 ekkkk

42、djjbicllllisTsTsTssssKsG12211122) 12() 1() 12() 1()( 工程中控制系统多样，工作原理各异。但从传递函数的工程中控制系统多样，工作原理各异。但从传递函数的角度看，都是由典型的传递函数构成角度看，都是由典型的传递函数构成称为典型环节。称为典型环节。 零、极点只能取零、极点只能取0 0、实数和复数（必共轭）值，因此，传、实数和复数（必共轭）值，因此，传递函数还可以写成典型环节乘积的形式。递函数还可以写成典型环节乘积的形式。比例环节比例环节一阶微一阶微分环节分环节二阶微二阶微分环节分环节积分环节积分环节一阶惯一阶惯性环节性环节二阶振二阶振荡环节荡环节2

43、.3 动态系统的传递函数)()(0tKxtxi1. . 方程形式：方程形式： K: :放大系数、增益。放大系数、增益。KsXsXsGi)()()(02. . 传递函数：传递函数：3. . 例例1 1：4. 特点：输出以一定比例复现输入，静态关系。特点：输出以一定比例复现输入，静态关系。kzztntn2112)()(ksNsNsG)()()(12一、比例环节一、比例环节运算放大器、分压电路、齿轮传动比、杠杆等。运算放大器、分压电路、齿轮传动比、杠杆等。n1n21z2z 部件或系统可由多个元件构成，典型环节并不代表一个元部件或系统可由多个元件构成，典型环节并不代表一个元件，而是代表一种作用，它对于

44、了解和研究系统带来很大方便。件，而是代表一种作用，它对于了解和研究系统带来很大方便。)()(201tuRtuRi（1）微分方程微分方程 120)()()(RRsUsUsGi比例环节比例环节 例例2 2运算放大器运算放大器u0(t)ui(t)1R2R（2）传递函数传递函数 由复阻抗定义知：由复阻抗定义知： 201)()(RtuRtui即：即： 2.4 典型环节的传递函数 纯比例环节少见，纯比例环节少见，只是在忽略一些因素的前提只是在忽略一些因素的前提下，才可以看为比例环节下，才可以看为比例环节。二、惯性环节二、惯性环节: :)()()(00txtxtxTiTs1极点：极点：T ：时间常数，描述系

45、统惯性时间常数，描述系统惯性；11)()()(0TssXsXsGixi(t)x0(t)kB)()()(00tkxtkxdttdxBi11)()()(0TskBsksXsXsGikBT 1. . 方程形式：方程形式： 2. . 传递函数：传递函数：3. . 例例1 12.4 典型环节的传递函数惯性环节惯性环节 例例2 2CRu0(t)ui(t)()(0tuCti)()()(0tututuRCio1111)()()(0TsRCssUsUsGi（1）建立微分方程建立微分方程)()()(tuRtituoidttiCtuo)(1)(RCT （2）传递函数传递函数RC电路电路2.4 典型环节的传递函数)(

46、ti) 10(无阻尼自然振荡频率无阻尼自然振荡频率阻尼比阻尼比)()()(2)(002022txtxdttdxTdttxdTi2221222121)(nnnTssTssTsGnTn1三、振荡环节三、振荡环节: :2.4 典型环节的传递函数kBsmssXsXsGi201)()()(传递函数：传递函数：xi(t)mkx0(t)B实例：实例：机床进给系统机床进给系统kmT mkB2微分方程：微分方程：2.4 典型环节的传递函数)()()()(000txtkxtxBtxmi )()()()(0002sXskXsBsXsXmsi1)/()/(112skBskmk121122TssTk)/()/()/(1

47、2mksmBsmkk22221nnnsskAqix0图示液压缸，图示液压缸，A为活塞面积。以流量为活塞面积。以流量qi 为输入，位为输入，位移移x0 为输出，有：为输出，有：dttqAtxti00)(1)(AssQsXsGi1)()()(0传递函数：传递函数：tidttxtx00)()(输出正比于输入对时间的积分。输出正比于输入对时间的积分。)()(0txtxissXsXsGi1)()()(0传递函数：传递函数：四、积分环节四、积分环节: :2.4 典型环节的传递函数思考思考： 为输出，为输出，传递函数又是什么？传递函数又是什么？有何意义？有何意义？)(0tx AssQsXsGi1)()()(

48、0积分环节有记忆功能：积分环节有记忆功能： 输出量取决于输入量对时间的积累过程，当输入量输出量取决于输入量对时间的积累过程，当输入量作用一段时间后，即使输入量变为零，输出量仍将保作用一段时间后，即使输入量变为零，输出量仍将保持在已达到的数值。持在已达到的数值。滞后特性：滞后特性： 当输入量为常值当输入量为常值C 时，即：时，即：A)(0tx)(tqiCtidttqAtx00)(1)(CtA1CtxAt)(0时，当dttqAtxti00)(1)(t)(0tx02.4 典型环节的传递函数Ctqi)(sTsGD)()()(0txTtxiDRCssUsUsGi)()()(0传递函数：传递函数：五、微分

49、环节五、微分环节1. 1. 理想微分环节理想微分环节2.4 典型环节的传递函数RC)(tui)(0tu)()(0tiRtudttiCtutuci)(1)()()()(0tuRCtui例例1：微分运算电路微分运算电路激磁电压u=cos(t)电枢 u0例例2：测速电机测速电机转角i)()(tTtuDoSTssUsGDi)()()(0传递函数：传递函数：)()(1)(tudttiCtuoiRtuti)()(01)()()(0RCsRCssUsUsGi（1） 建立微分方程建立微分方程)()(tRituo)()(1)(0tudttuRCtuoi)()(1)(0sUsURCssUoii(t)惯性微惯性微分

50、环节分环节CR 电路电路（2）传递函数传递函数2.4 典型环节的传递函数CRu0(t)ui(t)2. 2. 近似微分环节近似微分环节1RC当当 ，可看成近似微分环节。，可看成近似微分环节。1)()()(0STsXsXsGDi传递函数：传递函数：3 3. . 一阶微分环节一阶微分环节)()()(0txtxTtxiiD微分方程：微分方程：2.4 典型环节的传递函数1)(111CsRRsZ根据复阻抗定义：根据复阻抗定义：有源电网络有源电网络1R2RC)(tui)(0tu22)(RsZ201)()(ZsUZsUi由由：112120) 1()()()()()(RCsRRsZsZsUsUsGi得：得：RC