1、固体物理学固体物理学周 健2012.03.292011-2012学年第二学期第四章 能带论引 言固体能带论是布洛赫(Bloch)为了解决金属的电导问题，于1928年创立的。20世纪初，量子力学建立，首先在原子物理领域取得巨大成功，之后一个方向就是研究更微小的原子核和基本粒子，另一个方向就是研究分子和固体等大量粒子的系统。经典的自由电子气模型（电子基本是自由的，采用波尔兹曼统计来处理电子的速度分布）可以解释金属的电导率和电阻率的关系，即Wiedeman-Franz经验定律：金属的电导和热导是同一种载流子引起的两种现象。该定律与实验符合的很好。但经验理论不能说明金属电阻与温度的关系；以及为什么在如
2、此密集的离子实中运动的电子却具有十分长的自由程。经典的自由电子气模型也不能解释为什么这些自由电子对比热容的贡献却微乎其微。如果电子有充分的自由度来运载电流，那么这些自由度同样对比热容有贡献。有N个离子和n个电子的系统，高温下除了有3NkB的晶格比热容外，还应该有3nkB/2的额外比热容。但实际上并没有如此大的额外比热容。这是自由电子论的困难所在。Pauli和Sommerfeld用量子力学处理电子的运动，采用Fermi-Dirac统计替代波尔兹曼统计，成功解决了这个电子比热容之谜。这是因为参与比热容贡献和电导的不是所有价电子，而是费米面附近的少数电子。所以计算得到的电子气的比热容大大低于经典电子
3、的比热容数值。只有在极低温情况下，电子比热容才会有大的作用。1928年，布洛赫提出，为什么实际晶体中电子的运动，能几乎忽略充满密集的离子的作用呢？为什么那么多离子对电子的散射没有表现出一个巨大的电阻呢？布洛赫意识到，由于理想晶体中的原子是按照点阵排列的，电子感受到的一个严格的周期势，它受到的散射也不是无规律的。在一个规则的周期晶格中，存在薛定谔方程的许多本征解，每个解是一些周期调制传播的波，它即不被散射也不衰减，因此能不显示出电阻。只有当晶格偏离理想的周期性，或者有缺陷、杂质以及晶格振动，才会有电阻。但实际中，这种缺陷、杂质以及晶格振动都是难免的，所以金属总是表现出一定的电阻。作为理论，我们首
4、先考虑是理想晶格情况下的电子波函数。发现其波函数具有所谓布洛赫波函数的形式。固体包含众多的离子和电子，能带论只是个近似理论，它包含了以下三个基本的近似：绝热近似绝热近似单电子近似单电子近似电子感受到的势场，包括离子实与电子之电子感受到的势场，包括离子实与电子之间的平均场，是一个严格的周期性势场。间的平均场，是一个严格的周期性势场。如果对于有限大小的晶体，应采用波恩如果对于有限大小的晶体，应采用波恩- -卡卡曼边界条件处理。曼边界条件处理。能带论的核心问题是求解一个周期势场中的单电子问题，基本方程是：但其实电子的能带理论和晶格动力学有许多相似问题。从宏观上来说，两者都是波在周期系统中的传播，比如
5、都具有能带的概念，态密度的概念以及倒空间的概念等等。两者也有不同之处，比如电子是费米子，有费米面的概念，而声子是玻色子，无费米面的概念。另外，其实光波以及声波在周期系统（比如光子晶体和声子晶体）中传播，和电子德布罗意波以及弹性波，也有许多类似之处，比如能带等。4.1 布洛赫定理和布洛赫波一、平移算符、周期场中单电子状态的标志我们从晶格的平移对称性出发，讨论周期场中单电子运动的普遍规律。量子力学中，用一组量子数取标志一个态，比如氢原子的波函数：平移算符平移算符的本征值及其量子数二、布洛赫定理和布洛赫波三、布洛赫波能谱特征1. 对于一个确定的k，有无穷多个分立的能量本征函数En(k)和相应的本征函数2. 对于一个确定的n， 能量本征值和波函数都是k的周期函数对比所以将k限制在一个倒点阵元胞体积内，通常选择限制在第一布里渊区范围内，称为简约波矢。3. 能谱成带结构单层石墨的布里渊区FCC结构的简约布里渊区形状和坐标 BCC结构的简约布里渊区形状和坐标 4.能谱的对称性5. 等能面垂直于布里渊区界面布洛赫定理是描述周期结构中，一切波传播特征的基本定理。表面看来，似乎声子和电子的能谱特征存在细微的差别。比如电子原则上存在无限多能带，但声子只存在有限支的频带。比如对于三维复式晶格只有3nN种格波。
