大地测量学基础课件：大地测量学资源课-第4.7节.ppt

1、 4.7 大地测量主题解算大地测量主题解算4.7.1 大地主题解算一般说明大地主题解算一般说明 )()( ,180 ,212222121221221212yyxxdyyxxarctg 首先讨论最简单的平面上的计算问题首先讨论最简单的平面上的计算问题：在平面直角坐标系中，P1, P2两点的坐标为(x1,y1)、(x2,y2),距离为 d12，正反方位角为a12，a21，存在两类计算问题： 反解问题：已知x1， y1 ，x2， y2 。计算12, 21,d12 。 180 ,siny ,cos1221121212121212dydxx正解问题：已知x1 ，y1， a12， d12。计算 x2， y

2、2，21。 4.7大地测量主题解算大地测量主题解算 椭球面上的计算问题椭球面上的计算问题： 椭球面上点的大地经度 L、大地纬度B，两点间的大地线长度 S 以及正反大地方位角A12、A21，称为大地元素，如果已知某些大地元素推求另一些大地元素称为大地主题解算，大地主题解算分正解与反解。有些教课书称为大地解算第一主题与大地解算第二主题 。反算：反算：已知 B1 , L1, B2, L2。求 S12, A12, A21 正算：正算：已知 B1 , L1 , S12, A12。求 B2, L2, A21 从解析意义上讲，就是大地极坐标与大地坐标的相互变换。n 大地主题解算分为: 短距离(400km)

3、中距离(1000km) 长距离(1000km以上) n 大地主题解算与平面两控制点平面坐标、边长与坐标方位角正反算相似。主要用于推求一等三角锁中点的大地坐标、边长以及大地方位角。特别是空间技术的发展，大地主题解算有着重要作用。n大地主题解算方法（1954罗马会议至今70多种）大地测量主题解算大地测量主题解算 大地测量主题解算大地测量主题解算1.以大地线在大地坐标系中的微分方程为基础，直接在地球椭球以大地线在大地坐标系中的微分方程为基础，直接在地球椭球面上进行积分运算。面上进行积分运算。 上述积分不能直接计算，需要进行积分变换。其中方法之一运用勒让德级数将其展开为大地线长度S的幂级数，逐项计算。

4、典型解法高斯平均引数法。其特点解算精度与距离有关，距离越长，收敛越慢，因此只适用于较短的距离。ANBdSdABNAdSdLMAdSdBsintgcossincos212121sintgcossincos12212222PPPPPPAdSNBAAdSBNALLdSMABBn大地主题解算的理论基础大地主题解算的理论基础 大地测量主题解算大地测量主题解算2. 以白塞尔大地投影为基础以白塞尔大地投影为基础n 由于知道地球椭球的形状与圆球相似。在球面上解算大地主题问题可以借助于球面三角学公式，公式简短而严密。因此将椭球面上大地线投影到球面上为大圆弧，椭球面大地线上的点与大园弧上相应点相对应，如果我们找到

5、大地线上某点的B、L、A、S与球面上大园弧相应点元素、 、 的关系式，如实现下面的微分方程：4321 fddSfddAfddLfddB对上述微分方程积分，得到从椭球面向球面的过渡公式。白塞尔大地主题解算的基本思想：白塞尔大地主题解算的基本思想：1)按椭球面上已知值计算球面相应值，实现椭球面向球面的过渡；2)在球面上解算大地问题；3)按球面上得到的数值计算椭球面上的相应数值，即实现从圆球向椭球的过渡。 典型解法典型解法：白塞尔大地主题解算白塞尔大地主题解算 特点：解算精度与距离长短无关，它既适用于短距离解算，也适用于长距离解算。其解法有逐渐趋近的解法与直接解法。可适应20000km或更长的距离，

6、这对于国际联测，精密导航，远程导弹发射等都具有重要意义。 大地测量主题解算大地测量主题解算 大地测量主题解算大地测量主题解算3.利用地图投影理论解算大地问题利用地图投影理论解算大地问题n 在地图投影中，采用椭球面对球面的正形投影或等距离投影。它们都可以用于解算大地主题。此类方法受距离限制，常应用于某些特定的情况下。解算方法参考椭球大地测量（熊介编著）以及其它文献。4.对大地线微分方程进行数值积分的解法对大地线微分方程进行数值积分的解法n 此类解不采用勒让德级数，也不采用辅助面，而是对大地微分方程直接进行数值积分运算解决大地主题解算问题。常用的数值积分方法有高斯法、龙格-库塔法、牛顿法等。此类算

7、法易于编程计算，适合任意距离。但随着距离的增长，精度降低。 大地测量主题解算大地测量主题解算4.7.2 勒让德级数式（勒让德级数式（18061806）! 3! 2!313321221112SdSLdSdSLdSdSdLnSdSLdLLLnnnn 过已知点P1(L1、B1)且在该点处大地方位角为 A12 的大地线长 S 上有任意点 P2 ，其大地坐标（L2、B2)及其反方位角 A21 是大地长度 S 的函数 当S=0，则其函数值分别为 P1 点的相应值，即初始条件为SAASLLSBB2122 , , 0 0 01211AA,LL,BB! 3! 2!313321221112SdSBdSdSBdSd

8、SdBnSdSBdBBBnnn 大地测量主题解算大地测量主题解算l一阶导数：一阶导数：l二阶导数：二阶导数：n为了计算为了计算 的级数展开式，关键问题是推求各阶导的级数展开式，关键问题是推求各阶导数。数。AL,B ,AtgBcVANtgBdSdABBcVBNAdSdLAcVMAdSdBsinsinsinseccossincoscos3)sincos3(2222422AAtcVdSdAdSdBAdSdBdSdBBdSBd! 3! 2!1803133212211012SdSAdSdSAdSdSdAnSdSAdAAAnnn 大地测量主题解算大地测量主题解算l三阶导数三阶导数)51 (cos3)931

9、 (sincos222222222223533ttAttAAcVdSBdAABtcVdSdAdSdLAdSdBdSdLBdSLdcossinsec22222)21 (cossin222222tAAcVdSdAdSdAAdSdBdSdABdSAdsin)31 (cossinsec2322223333AttAABcVdSLd)21 (sin)465 (sincos22242223333tAtAAtcVdSLd 大地测量主题解算大地测量主题解算11sin , cosASvASu令次项630)15152(120)45301( 212)91364( 24)931(2)51( 6)931(222)(235

10、14121214514121214412112122412121212112144121212121121331212121212121231212121212122112121221121121 12vuNttVuvNttVuNtVvuNtttVvNtttVuNttVuvNttVuNtVvNtVuNVBB次项615)15152( 15)30201 ( 15)31 ( 3)32(3)31 ( 3)1 (31cos)(45141213251412155121134121211341212112312121231212111 1 12vuNttvuNttvNttvuNttuvNttvuNtvNtu

11、vNtuNBLL 大地测量主题解算大地测量主题解算n上述公式是勒让德级数大地主题正算的基本公式，其特点是仅适合于解算边长小于30KM的情况，而且级数收敛速度慢，距离越长解算精度越差。n为了克服上述缺点，高斯1864年对勒让德级数进行了改化，提出了以大地线两端点平均纬度两端点平均纬度及平均方位角平均方位角为依据的高斯平均引数公式。该方法公式项数少，级数收敛快，计算简单等特点。次项6120)2418061( 120)24028058( 120)24201 ( 24)8624285( 24)8224201 ( 6)65( 6)21 (2)21 ()(4514121132514121155141211

12、3412121214121341212121412123141212113312121121212111 12vuNtttvuNtttvNtttvuNtttuvNtttvuNttvNttuvNtvNtAA高斯平均引数法高斯平均引数法4.7.3 高斯平均引数正算公式高斯平均引数正算公式n高斯平均引数正算公式推导的基本思想高斯平均引数正算公式推导的基本思想首先把勒让德级数在P点展开改在大地线长度中点 M 展开，以使级数公式项数减少，收敛快，精度高；其次，考虑到求定中点 M 的复杂性，将M点用大地线两端点平均纬度及平均方位角相对应的 m 点来代替，并借助迭代计算便可顺利地实现大地主题正解。 n高斯平

13、均引数正算解算过程高斯平均引数正算解算过程 如右图所示：假设M点是大地线P1P2的中点，即M点到点P1和P2的大地线长度相等2 212SMP,SMP高斯平均引数法高斯平均引数法(1)建立级数展开式建立级数展开式: 86142123332222SdSBdSdSBdSdSdBBBMMMM上述两式相减可得：上述两式相减可得： 86142123332221SdSBdSdSBdSdSdBBBMMMM333 1224)(SdSBdSdSdBBBBMM高斯平均引数法高斯平均引数法同理可得:333 1224)(SdSLdSdSdLLLLMM(2)由于BM，AM 均未知不能直接计算，采用起始两点的平均纬度与平均

14、方位角相对应的 m 点代替 M 点。333 122124)(SdSAdSdSdAALAMMmmMMABAB,mMmMAABB,)180(21 ),(21122121AAABBBmmMmMdSBdSBB)(8222MmMdSAdSAA)(8222高斯平均引数法高斯平均引数法n 上述两式均属于二阶微小量。由于以 BM 、AM为依据的导数无法计算，只要以BM 、AM 为依据的导数转化为 Bm 、Am为依据的导数值，问题就可以得到解决。 mMmmMmMMMAAA,BBBfA,BfdSdBmMmmMmmmMAAAfBBBfA,BfdSdBmMmmMmmmMAAAdSdBBBBdSdBA,BfdSdB)(

15、)(将上式以Bm，Am为依据级数展开高斯平均引数法高斯平均引数法mmmmmmAtNBAcVBdSdBcos3)cos()(23MmMdSBdSBB)(8222(3)由大地线微分方程依次求偏导数由大地线微分方程依次求偏导数:MmMdSAdSAA)(8222其中：mmmmmmmmANVAcVMAdSdBcoscoscos23mmmmmmANVAAcVAdSdBsin)cos()(23高斯平均引数法高斯平均引数法n 将上述各式代入得到：n 因为BM 、AM与Bm 、Am相差很小，二阶以上导数近似相等。)co3sin(8)(822222222mmmmmmmmmMAstAtNVSdSBdSBB)2(1c

16、ossin8)(8222222mmmmmmmMtAANSdSAdSAA次项5)2(1cossin8 cos3sincos83cos)(322322222223222StAANVSAAtANVASNVdSdBSmmmmmmmmmmmmmmmmmM高斯平均引数法高斯平均引数法次项5)41(cos3 )23(2sin241cos)(222222222222 2 12mmmmmmmmmmmmmm ttAttANSASNVBBBmMdSBddSBd)()(3333n将上述各式代入得到：将上述各式代入得到：n因为三阶导数有因为三阶导数有 次项5)51 (cos3 )931 (sincos24)(24322

17、2222222223233SttAttAANVdSBdSmmmmmmmmmmmmmmM高斯平均引数法高斯平均引数法n同理可得：同理可得：次项5)9(1cos sin241sinsec)(422222222 12mmmmmmmmmmm tAtANSABSNLLL次项5)2(2sin)5 97(2cos241sin)(2224222222 1221 mmmmmmmmmmmmtAtANStASNAAA高斯平均引数法正算高斯平均引数法正算n注意：注意：从公式可知，欲求，及，必先有及 。但由于2和21未知，故精确值尚不知，须用逐次趋近的逐次趋近的迭代方法迭代方法进行公式的计算。 除此之外，此方法适合与2

18、00公里以下的大地问题解算，其计算经纬计算精度可达到0.0001”，方位角计算精度可达到0.001”。180 12211212 AAALLLBBB 21 2 )(21112121 mBBBBBBBB 2112 mAAA4.7.4 高斯平均引数反算公式高斯平均引数反算公式 由于两点间的经差,纬差以及平均纬度均为已知，故高斯平均引数反算公式可以依据正算公式导出。按正算两公式等式两边移项，整理得到 上述两式的主式为:222222222sinsincossin24cos(19)mmmmmmmmmmmSALSANBS tAN SAt2222222222222coscossin(232)243cos(14

19、)mmmmmmmmmmmmm mNSABSASAtVN SAtt2sincos,cosmmmmmmNLBSANB SAV高斯平均引数法反算高斯平均引数法反算3 302 12 103 03 2 21 01cossinBsLBsBsASLrLBrLrASmm23303422243210124cos)49(124cos cosm mmmmmmm mmm mtBNrtVBNrBNr30322101 LtLBtLtA)(8)23(224cos4222633022223221210mmmmm mmmmm mm mmtVNsttVBNsVNs)22(24cos )5972(24cos cos22230342

20、22422101mm mmmmmmm mmmmttBttVtBtBtt高斯平均引数反算公高斯平均引数反算公式式n其相应的系数如下：其相应的系数如下：mmMmmAASSASAStgAsinsin cossin0211218021 21 m mAAAAAAm.S.A.L.B 282644797664013 12 44330036 49 35647052 46 471211n算例 已知数据： 计算结果： 12 1 253.550 30 2240005.45 14 366384.09 40 48ALB高斯平均引数正反算算例高斯平均引数正反算算例注意事项：计算方位角注意事项：计算方位角Am要进行象限判断

21、，参见教材。要进行象限判断，参见教材。 高斯平均引数正算步骤高斯平均引数正算步骤 ,)1 (sin1 ,cos , ,1113121122112 2111222 WaNWeaMBeWBetgBteee1）计算辅助量2）计算 的初始值 ,ALB tgsinsincoscos1121 01211 0121 0BASNAASBNLASMB高斯平均引数高斯平均引数正算步骤正算步骤 21 21 21 012 01 01AAALLLBBBmmm ,ALB)41(cos3 )23(2sin241cos222222222222 mmmmmmmmmmmmmttAttANSASMB3）计算 Bm, Lm, Am4

22、） 重计算)9(1cossin241sincos422222222 mmmmmmmmmmmtAtANSASBNL)2(2sin )597(2cos241sin2224222222 mmmmmmmmmmmmtAtANStASNA高斯平均引数正算步高斯平均引数正算步骤骤5） 重复计算3）、4）步，直到满足) 180 180(180121212211212AAAAALLLBBBiii，6） 计算 B2, L2, A21 2 11 11 1nnnnnnAALLBB高斯平均引数正算步高斯平均引数正算步骤骤 高斯平均引数反算步骤高斯平均引数反算步骤1）已知两点大地坐标计算经纬度差B,L, Bm,及相应的系

23、数303221013302121030322101cossinLtLBtLtABsLBsBsASLrLBrLrASmm高斯平均引数反算步骤高斯平均引数反算步骤2）计算）计算S12, A12, A2121221212)cos()sin(mmASASSmmmmASAScLBccarctgLBASASarctgTsincos 114 cossin0 , 0 2/0 , 0 20 , 0 0 , 0 0 , 0 LBLBTLBTLBTLBTAm当当当当当），( )( 21 2112122112AAAAAAAAmm高斯平均引数反算步骤高斯平均引数反算步骤高斯平均引数反算应注意的问题高斯平均引数反算应注意

24、的问题l当两点同在赤道、平行圈上，大地线长度或正反方位角无法解算 0B0cosmASmmmASAStgAcossin2112, AAl当两点同在子午线上时，方位角计算判断不够准确。通过实验计算表明，在旧版大地测量学基础与控制测量学材中，高斯平均引数法存在的主要问题包括：l高斯平均引数法反算数学模型不够准确，计算中发现原计算模型精度不够(短距离计算与白塞尔计算结果比较而言)。4.7.5 白塞尔大地主题解算方法白塞尔大地主题解算方法 n白塞尔法解算大地主题的基本思想白塞尔法解算大地主题的基本思想: : 以辅助球面为基础,将椭球面三角形转换为辅助球面的相应三角形,由三角形对应元素关系,将椭球面上的大

25、地元素按照白塞尔投影条件投影到辅助球面上，然后在球面上进行大地主题解算，最后再将球面上的计算结果换算到椭球面上 ,S,L,A,A,B,B21212121关键问题是找出椭球面上的大地元素与球面上相应元素之间关键问题是找出椭球面上的大地元素与球面上相应元素之间的关系式的关系式,同时也要解决在球面上进行大地主题解算的方法。同时也要解决在球面上进行大地主题解算的方法。 白塞尔大地主题解算白塞尔大地主题解算1 1、球面上进行大地主题解算、球面上进行大地主题解算n球面上大地主题正算: 已知： 求解：n球面上大地主题反算: 已知： 求解：白塞尔大地主题解算白塞尔大地主题解算 11, 22, 21, 21,球

26、面上大地主题解算公式球面上大地主题解算公式n球面三角元素间的相互关系（球面三角公式）球面三角元素间的相互关系（球面三角公式）(3) sincossincos(2) cossinsinsin(1) cossinsinsin11221221l正弦定理：(5) cossincoscossinsin(4) coscoscossinsincos11122121(9) coscoscossinsin coscos (8) cossisincoscoscoscos(7) cossincoscossincossin(6) coscossinsincoscossin1112211122121221211nl余弦

27、定理：l五元素公式：n球面上大地主题正解球面上大地主题正解球面上大地主题解算公式球面上大地主题解算公式 22, 11,已知：，求(10) cossincoscossinsin1112(11)(8)(1) cossinsincoscossinsintg1111(12)(9)(3) sinsincoscoscossincostg11112n球面上大地主题反解方法球面上大地主题反解方法 (13)(6)(1) coscossinsincoscossin212121tg球面上大地主题解算公式球面上大地主题解算公式 21, 21,已知：，求(14)(7)(2) cossincossincoscossin2

28、12112tg(15) coscoscossinsincossin21211qptg coscos sin sincos cossin21212qp其中：2 2 、椭球面和球面上坐标关系式、椭球面和球面上坐标关系式白塞尔大地主题解算方法白塞尔大地主题解算方法l椭球面上与单位球面上的大地线微分方程为椭球面上与单位球面上的大地线微分方程为: sintgcossincosAdSNBdAdSBNAdLdSMAdB白塞尔大地主题解算方法白塞尔大地主题解算方法 sincossincosdtgddddd sintgsintgsincossincoscoscosddSNABddAddSBNAddLddSMBd

29、dB1.椭球面大地线投影到球面上为大圆弧椭球面大地线投影到球面上为大圆弧2.大地方位角大地方位角A12投影后数值不变；投影后数值不变； 白塞尔大地主题解算方法白塞尔大地主题解算方法11 u112A1111121121cos1cos ,sin1sin ,1BWuBWeutgBetgu3.球面上任意一点纬度等于椭球面上相应点的归化纬度球面上任意一点纬度等于椭球面上相应点的归化纬度。22 un白塞尔提出如下三个投影条件：白塞尔提出如下三个投影条件：2222222222cos1cos ,sin1sin ,1BWuBWeutgBetgu按照上述条件，在球面极三角形PP1P2中，依正弦定理可得白塞尔大地主

30、题解算方法白塞尔大地主题解算方法 sincossincos22121uAu 221A sincos )180sin(cossincos2120212121AuAuAu依据大地线克莱劳方程可得由上两式可得 , , ,2211122211AAuBuB至此白塞尔六个元素中，建立了4个元素之间的关系：ddSNABddAddSBNAddLddSMBddBsintgsintgsincossincoscoscos ? , LS白塞尔大地主题解算方法白塞尔大地主题解算方法VaeVceNtgBNtguAtgBNtgddS2211 sinsin uVeuWeeBeV222222222 2cos1cos11cos1

31、 ueV222cos11 因为：n以上两式为以上两式为白塞尔微分方程白塞尔微分方程.dueaSueaddSPP212222cos1cos1 白塞尔大地主题解算方法白塞尔大地主题解算方法同理根据椭球面与球面大地微分方程的关系式可知：ddSBNuddLcoscos ueddL22cos1 dueLLLPP212212cos1tgBNtguddS VBuddL1sinsin 3、白塞尔微分方程的积分白塞尔微分方程的积分dueaSPP2122cos1 白塞尔大地主题解算方法白塞尔大地主题解算方法120212sincos1cos Au101sin)90sin()cos(90 Au 在球面直角三角形PP0

32、Q1中：dAeeadAeaSPPPP21212022 22022sincos11 )sincos1 (1 022 2cos Ae k6644222122sin16sin8sin21)sin1 (kkkk白塞尔大地主题解算方法白塞尔大地主题解算方法令dkeaSPP21222sin11 BBBBBBBBBBBBBB8cos12816cos1614cos3272cos16712835sin6cos3214cos1632cos3215165sin4cos812cos2183sin2cos2121sin8642n因为上式的最后一项积分， 可忽略不计。 白塞尔大地主题解算方法白塞尔大地主题解算方法6cos

33、)512(4cos)256364( 2cos)51215164( )2566421 (sin166464264222kkkkkkkkkkmbk0006. 06sin30726n同类项合后并得到在保持解算具有足够精度的情况下，其它函数积分后得：2cos2sin214cos 2sin212cosn积分得到下式：积分得到下式：111112cos2sin2sinCBAS白塞尔大地主题解算方法白塞尔大地主题解算方法)2cos(2sin)2cos(2sin2211CBCBASiiiiiCBAS2cos2sin2sinn因为因为1212 ,SSS)51631281()10241532181()2565643

34、411(64642642kkbCkkkbBkkkbA222222cos2sin2sinCBAS 其中各其中各系数项为：系数项为：n适合于反算: )(2cos)(2sin)2cos(2sin11111CBCBSA白塞尔大地主题解算方法白塞尔大地主题解算方法n 适合于正算:迭代法迭代法:直接法直接法:)2cos(2sin)2cos(2sin2211CBCBAS)2cos(2sin1110CBSA)(2sin)(2cos5110100CBA)90(sin)cos(900usinAAdueLLLPP212212cos1白塞尔大地主题解算方法udueueedueueueLLLppPP2462426644

35、2212coscos16cos82 )cos16cos8cos21 (2221duAdcossindAud02sincos2022sincos1cosAun研究研究 L 的积分问题：的积分问题：将被积函数按级数展开可得：将被积函数按级数展开可得：l将三角函数幂级数用倍角函数代替，合并同类项，积分。截去4倍角项，其值小于0.0001秒。l对上式进行积分，则可得到经差计算公式白塞尔大地主题解算方法dAeAeeAeAeeeeeALpp2cos cos32cos1616 cos128cos16161682sin04602640460264642021dAeAeeeeeALpp4026202646420

36、sincos16 sincos881682sin21n正算：正算：)2sin2(sinsin12012ALLL白塞尔大地主题解算方法1111cossinsincoscossinsinAuuAtg04602640440264642cos64cos3232cos1283cos16161682AeAeeAeAeeeee)2sin2(sinsin120ALn反算：反算： 白塞尔法大地主题正算步骤白塞尔法大地主题正算步骤 )()(2122212111AA,L,BS,AA,L,B1121sin1sinBWeu1221sin1BeW111cos1cosBWu n 白塞尔法大地主题正算步骤白塞尔法大地主题正算

37、步骤1.计算起点的归化纬度2.计算辅助函数值，解球面三角形得:3. 按公式计算相关系数 A, B, C以及,111110sectg tg, sincossinAuAuA白塞尔法大地主题正算步骤白塞尔法大地主题正算步骤 4.计算球面长度计算球面长度 0101012cos2cos2sin2sin)(2sinl迭代法迭代法:l直接法直接法:)2cos(2sin1110CBSA0101012sin2sincos22cos)(2cos)(2cos)(2sin)2cos(2sin111111iiiCBCBSA)(2sin)(2cos5110100CBA)(2cos)(2sin)2cos(2sin10101

38、11CBCBSAi循环计算满足循环计算满足: 10001. 0ii白塞尔法大地主题正算步骤白塞尔法大地主题正算步骤 5.计算经度差改正数 sincoscoscossinsin1112Auuu6.计算终点大地坐标及大地方位角)2sin)(2(sinsin110AL22222222221 cos1cossin1sintgBetguBWuBWeu222222222222sin1sin11 sin1sin11uuearctgBuueBtg白塞尔法大地主题正算步骤白塞尔法大地主题正算步骤 注意：注意：上述相关元素的计算要进行象限的判断与确定，见上述相关元素的计算要进行象限的判断与确定，见教课书相关内容。

39、教课书相关内容。1111cossinsincocossinsinarctgAusuA12LLsinsincoscocossincosarctg111112uAsuAuA 白塞尔法大地主题反算步骤白塞尔法大地主题反算步骤 1.辅助计算辅助计算11111211221cos1cossin1sinsin1BWuBWeuBeWn 白塞尔法大地主题反算步骤白塞尔法大地主题反算步骤S,AA,AAL,B,L,B212121221122222222222cos1cossin1sinsin1BWuBWeuBeW12LLL212211212211cossin sincoscoscos sininuuubuubuua

40、usa2. 逐次趋近法同时计算起点大地方位角、球面长度及经差，第一次趋近时，取。白塞尔法大地主题反算步骤白塞尔法大地主题反算步骤 Lcoscossinsincoscossin212121uuuuutgA coscoscossinsincossin212111uuuuAqAptg coscos sin sincos cossin21212uuuuqup 重复上述计算过程2，两次迭代满足 要求为止 L白塞尔法大地主题反算步骤白塞尔法大地主题反算步骤111sec Atgutg110sincossinAuA 121102sin2sinsinAL3. 计算大地线长度S22112222cosCBsinco

41、sCBsinAS4. 计算反方位角nn 1 cossincossincoscossin212112uuuuutgA 白塞尔法大地主题反算应注意的问题白塞尔法大地主题反算应注意的问题l 当两点在赤道时，由公式可知归化纬度 u1=0,u2 =0，方位角A12无法计算,导致后续计算无法进行。因此在此特殊情况下，还在计算步骤之前加入如下算法：0, 0 , 90,270,0, 0 , 270,90,210211212210211212lBBAAalSlBBAAalSl 当两点同在子午线上时, A12, A21按象限判断也得不到正确的解 l另外也可采用其它计算方法 ,即计算步骤之前，首先判断两点是否同在子

42、午线上，如果不在子午线上，按公式计算；如果在子午线上，大地线长度依照子午线长度公式计算，大地方位角则满足： n 大地主题计算算例大地主题计算算例白塞尔法大地主题计算算例白塞尔法大地主题计算算例算例例1（80km)例2（400km)例3（15000km)参考椭球克拉索夫斯基椭球克拉索夫斯基椭球克拉索夫斯基椭球已知数据参考值2L2B1B1LS12A21A1B6784350240. 6784350240. 2200000035. 26271210130. 00000010115. 1100000090. 20015000000.538414306.00080000.000043491. 0270011236. 33000000100. 5455350181. 10400112130. 9027474540. 00000310118. 8784550043. 7972611218. 9640202930. 33800459215 38805332290. n大地主题计算程序：大地主题计算程序：白塞尔法大地主题计算程序白塞尔法大地主题计算程序n教学程序演示：（略）教学程序演示：（略）