大地测量学基础课件：第四章 地球椭球数学投影(10－11节).ppt

1、Fundation of Geodesy14.10 横轴墨卡托投影和高斯投影簇的概念横轴墨卡托投影和高斯投影簇的概念4.10.1通用横轴墨卡托投影概念通用横轴墨卡托投影概念 UTM (Universal Transverse Mercator Projection)投影属于横轴等投影属于横轴等角割椭圆柱投影角割椭圆柱投影 ,它的投影条件是取第它的投影条件是取第3个条件个条件“中央经线投影长度比中央经线投影长度比不等于不等于1而是等于而是等于0.9996”，投影后两条割线上没有变形，它的平面直，投影后两条割线上没有变形，它的平面直角系与高斯投影相同，且和高斯投影坐标有一个简单的比例关系，因角系与

2、高斯投影相同，且和高斯投影坐标有一个简单的比例关系，因而有的文献上也称它为而有的文献上也称它为m00.9996的高斯投影。的高斯投影。 UTM 投影投影Fundation of Geodesy2UTM UTM 投影投影 基本公式如下基本公式如下:)495(cossin24cossin29996. 042342tBBNlBBNlXx)5414185(cos120 )1(cos6cos9996.022242552233tttBNltBNlBNlycos81)2(cos61)1 (cos211 9996. 04424222lBtBlBmFundation of Geodesy3不同纬度和经度处的长度

3、变形不同纬度和经度处的长度变形Fundation of Geodesy4 UTMUTM投影变形的特点：投影变形的特点： UTM投影的中央经线长度比为投影的中央经线长度比为0.999 6，这是为了使得，这是为了使得,处的最大变形值小于处的最大变形值小于0.001而选择的数值。两条割线而选择的数值。两条割线(在赤道上，它们位于离中央子午线大约在赤道上，它们位于离中央子午线大约180(约约 )处处)上没有长度变形；离开这两条割线愈远变形愈大；在两条割线以上没有长度变形；离开这两条割线愈远变形愈大；在两条割线以内长度变形为负值；在两条割线之外长度变形为正值。内长度变形为负值；在两条割线之外长度变形为正

4、值。 UTMUTM投影带的划分：投影带的划分： UTM投影的分带是将全球划分为投影的分带是将全球划分为60个投影带，带号个投影带，带号1，2，3，60连续编号，每带经差为，从经度连续编号，每带经差为，从经度 180和和17之间为起始带之间为起始带(1号带号带)，连续向东编号，连续向东编号。 401直角坐标系的实用公式：直角坐标系的实用公式：北半球）轴之西），南半球）轴之东），实实实实( (000 500(000 000 10000( 50 xxyyxxyyFundation of Geodesy54.10.2高斯投影簇的概念高斯投影簇的概念 高斯投影簇是概括依经线分带的一簇横轴等角投影。它应满

5、足的高斯投影簇是概括依经线分带的一簇横轴等角投影。它应满足的投影条件是：投影条件是：1.1.中央经线和赤道投影后为相互垂直的直线，且为投影的对称轴；中央经线和赤道投影后为相互垂直的直线，且为投影的对称轴；2.2.投影具有等角性质；投影具有等角性质；3.3.中央经线上的长度比中央经线上的长度比 。0()mfB55331144220lalalaylalaaxFundation of Geodesy6高斯投影簇变形的特点：高斯投影簇变形的特点： 1)设设q=0，则则 m，该投影即为高斯该投影即为高斯.克吕格投影。长度变形在边克吕格投影。长度变形在边界子午线与赤道处达到界子午线与赤道处达到0.138%

6、，变形随纬度的增大而减小。，变形随纬度的增大而减小。 2)设设q=0.0004，K=0，则则 m0.9996，该投影即为通用横轴墨卡托投该投影即为通用横轴墨卡托投影。长度变形在边界子午线与赤道处达到影。长度变形在边界子午线与赤道处达到0.098%，中央子午线变形，中央子午线变形-0.04%。 3)设设q=0.000609，K=1，则，该投影即为双标准经线等角横椭圆柱投影。则，该投影即为双标准经线等角横椭圆柱投影。双标准经线距中央子午线双标准经线距中央子午线2度处没有变形。长度变形在边界子午线与度处没有变形。长度变形在边界子午线与赤道处达到赤道处达到0.077%，中央子午线变形，中央子午线变形-

7、0.016%。 4)设设q=0.000609，K=1.5，则，该投影在分界子午线与赤道交点处变形则，该投影在分界子午线与赤道交点处变形最大，达最大，达0.077% ，中央子午线变形，中央子午线变形-0.016%，纬度，纬度60度处长度变形度处长度变形为为0。 KBqm20cos1 Fundation of Geodesy74.11 兰勃脱投影概述兰勃脱投影概述 4.11.1兰勃脱投影基本概念兰勃脱投影基本概念 兰勃脱兰勃脱(Lambert)投影是正形正轴圆锥投影。设想用投影是正形正轴圆锥投影。设想用一个圆锥套在地球椭球面上，使圆锥轴与椭球自转轴相一个圆锥套在地球椭球面上，使圆锥轴与椭球自转轴相

8、一致，使圆锥面与椭球面一条纬线相切，将椭球面上的一致，使圆锥面与椭球面一条纬线相切，将椭球面上的纬线投影到圆锥面上成为同心圆，经线投影圆锥面上成纬线投影到圆锥面上成为同心圆，经线投影圆锥面上成为从圆心发出的辐射直线，然后沿圆锥面某条母线为从圆心发出的辐射直线，然后沿圆锥面某条母线(一般一般为中央经线为中央经线L)，将圆锥面切开而展成平面，从而实现了将圆锥面切开而展成平面，从而实现了兰勃脱切圆锥投影。兰勃脱切圆锥投影。 Fundation of Geodesy8Fundation of Geodesy9Fundation of Geodesy104.11.2兰勃脱投影坐标正、反算公式兰勃脱投影坐

9、标正、反算公式1 兰勃脱切圆锥投影直角坐标系的建立兰勃脱切圆锥投影直角坐标系的建立 sincos0yx000cot BNlBf)(Fundation of Geodesy11 子午线方向长度比: 纬线向长度比: 正形投影条件:MdBdmBBNMdBdcosBNMdBdqcosdqdKqlnlnqKeBNBdlNdlBdlNdmLcoscoscosBNMdBdmcosFundation of Geodesy122、大地纬度差同等量纬度差的关系式大地纬度差同等量纬度差的关系式 已知 即可求 . 12BB、BNMdBdqcosBBNMdBq0cosBeBeeBBqsin1sin1ln2sin1sin

10、1ln21)(00BBfqqq3033202206121BdBqdBdBqdBdBdqq554433221BtBtBtBtBtq12qq、Fundation of Geodesy13)tan24tan285(cos1201)tan65(tancos241)tan63tan21 (cos61)31 (tancos21)1 (cos10402052002004024040202003402000260402001BBBtBBBtBBBtBBtBtFundation of Geodesy14幂级数回代公式：幂级数回代公式： ) 0( 11kkkaxay1kkkybx111ab3122aab)2(13

11、122513aaaab)55(132421321714aaaaaaab)211436(132215314223215221915aaaaaaaaaaaab)4228287784(15223221422216414331523133211116aaaaaaaaaaaaaaaaaaabFundation of Geodesy15 采用级数的回代公式可得:5544332210qtqtqtqtqtBBB)tantan185(cos1201)tan4056tan5(tancos241)tan277tan135tan1(cos61)341(tancos21)1 (cos040205502202002004

12、402404002202002033402000222001BBBtBBBBtBBBBtBBtBtFundation of Geodesy163 常数常数及及K的确定的确定 条件条件:两边微分：两边微分：0010dmdmm ddq, BNMdBdmcoslnln)cosln(lnBNmdqddqBdNBNdqdmm1coscos11Fundation of Geodesy17 因为因为将上述两式代入微分方程得将上述两式代入微分方程得:则有则有:即可求得即可求得K、。MBNBMdqdBdBdrdqBNdcossin)cos(dqd0sin B00sin000cotqBKeBN00sin00qBe

13、ctgBNK00qqe（） qKeFundation of Geodesy18 根据兰勃脱割圆锥投影特殊条件：根据兰勃脱割圆锥投影特殊条件：两条标准纬线两条标准纬线(B，)的投影不变形，也就是说，这两条标准纬线投影的投影不变形，也就是说，这两条标准纬线投影前后的长度相等，即长度比。前后的长度相等，即长度比。 解方程得解方程得 212211coscosqqKeBNKeBN221112coscosln1BNBNqq212211coscosqqeBNeBNKFundation of Geodesy19 4 兰勃脱投影坐标的正反算公式兰勃脱投影坐标的正反算公式1.兰勃脱投影坐标的正算兰勃脱投影坐标的正

14、算(B, l) l=L-L0,求求x, y 兰勃脱切圆锥投影兰勃脱切圆锥投影：sincos0)(00yxelqq0sin B00sin000qBKectgBN00sin00qBectgBNKFundation of Geodesy20 兰勃脱割圆锥投影：兰勃脱割圆锥投影：221112coscosln1BNBNqq212211coscosqqeBNeBNKBeBeeBBqsin1sin1ln2sin1sin1ln21sincos0)(00yxelqq11qKe22qKe取2010或或Fundation of Geodesy21 兰勃脱投影坐标的反算公式兰勃脱投影坐标的反算公式22000)(,ar

15、ctanyxlLLlxy00ln1qqq,5544332210qtqtqtqtqtBBBFundation of Geodesy22 方向改化及距离改化的简化公式：方向改化及距离改化的简化公式： 4.11.3兰勃脱投影长度比、投影带划分及应用兰勃脱投影长度比、投影带划分及应用 )2)(62112202 . 1xxyyR)(622212120 xxxxRSSSdBNmcos23002032030020220202tan)41 (6tan21xyNBVxNBVxNVmFundation of Geodesy23 兰勃脱投影变形的特点兰勃脱投影变形的特点: : 在标准纬线在标准纬线处，长度比为处，长

16、度比为1，没有变形。当离开标准纬线，没有变形。当离开标准纬线（）无论是向南还是向北，）无论是向南还是向北，增加，数值增大，增加，数值增大，因而长度比迅速增大，长度变形因而长度比迅速增大，长度变形(m-1)也迅速增大。因此，为限制也迅速增大。因此，为限制长度变形，必须限制南北域的投长度变形，必须限制南北域的投影宽度，为此必须按纬度分带投影宽度，为此必须按纬度分带投影。影。 Fundation of Geodesy24 兰勃脱投影是正形正轴圆锥投影，它的长度变形兰勃脱投影是正形正轴圆锥投影，它的长度变形(m-1)与与经度无关，但随纬差经度无关，但随纬差，即纵坐标，即纵坐标x的增大而迅速增大，的增大

17、而迅速增大，为限制长度变形，采用按纬度的分带投影，因此，这种为限制长度变形，采用按纬度的分带投影，因此，这种投影适宜南北狭窄，东西延伸的国家和地区。这些国家投影适宜南北狭窄，东西延伸的国家和地区。这些国家根据本国实际情况，采用相应的分带方法和统一的坐标根据本国实际情况，采用相应的分带方法和统一的坐标系统。但与高斯投影相比较，这种投影子午线收敛角有系统。但与高斯投影相比较，这种投影子午线收敛角有时过大，精密的方向改化和距离改化公式也较高斯投影时过大，精密的方向改化和距离改化公式也较高斯投影要复杂，故目前国际上还是建议采用高斯投影。要复杂，故目前国际上还是建议采用高斯投影。 Fundation of Geodesy25 本章内容总结本章内容总结 1、椭球面上的基本计算问题、椭球面上的基本计算问题 2、大地线的概念与性质、大地线的概念与性质 3、大地测量主题结算、大地测量主题结算 4、天文大地网元素归算方法、天文大地网元素归算方法 5、高斯平面直角坐标的建立与计算问题、高斯平面直角坐标的建立与计算问题 6、UTM投影与高斯投影簇的概念投影与高斯投影簇的概念 7、兰勃特投影方法介绍、兰勃特投影方法介绍