1、斯托克斯公式 第七节一、斯托克斯公式一、斯托克斯公式*二、空间曲线积分与路径无关的条件二、空间曲线积分与路径无关的条件 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第11章 yozx一一、 斯托克斯斯托克斯( Stokes ) 公式公式 定理定理1. 设光滑曲面 的边界 是分段光滑曲线, yxyPxQxzxRzPzyzQyRddddddzRyQxPddd (斯托克斯公式斯托克斯公式)个空间域内具有连续一阶偏导数, 的侧与 的正向符合右手法则, RQP,在包含 在内的一证证:情形情形1 与平行 z 轴的直线只交于 一点, 设其方程为yxDyxyxfz),(, ),(:n为确定起见, 不妨设 取上侧 (如
2、图).yxDC则有简介 目录 上页 下页 返回 结束 则xPdCxyxzyxPd),(,(利用格林公式) yxyxzyxPyyxDdd),(,(yxyzzPyPyxDddSfzPyPydcos,cos2211yxff ,cos221yxyfffcoscosyfyozxnyxDC定理1 目录 上页 下页 返回 结束 因此SzPyPxPdcoscoscosdSyPzPdcoscosyxyPxzzPdddd同理可证yQdzyzQyxxQddddxRdxzxRzyyRdddd三式相加, 即得斯托克斯公式 ;定理1 目录 上页 下页 返回 结束 情形情形2 曲面 与平行 z 轴的直线交点多于一个, 则可
3、通过作辅助线把 分成与z 轴只交于一点的几部分,在每一部分上应用斯托克斯公式, 然后相加, 由于沿辅助曲线方向相反的两个曲线积分相加刚好抵消,所以对这类曲面斯托克斯公式仍成立. 注意注意: 如果 是 xOy 面上的一块平面区域, 则斯托克斯 公式就是格林公式, 故格林公式是斯托克斯公式的特例. 证毕定理1 yxyPxQxzxRzPzyzQyRddddddzRyQxPddd 为便于记忆, 斯托克斯公式还可写作:RQPzyxyxxzzyddddddzRyQxPddd 或用第一类曲面积分表示:SRQPzyxdcoscoscoszRyQxPddd 定理1 目录 上页 下页 返回 结束 yxzyxxzz
4、yzyxddddddzxy111o例例1. 利用斯托克斯公式计算积分zyyxxzddd其中为平面 x+ y+ z = 1 被三坐标面所截三角形的整个解解: 记三角形域为, 取上侧, 则边界, 方向如图所示. zyyxxzdddyxxzzydddddd利用对称性yxDyxdd323yxD机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 为柱面与平面 y = z 的交线,从 z 轴正向看为顺时针, 计算.ddd2zxzyxyxyIoz2yx解解: 设为平面 z = y 上被 所围椭圆域 , 且取下侧,0cos利用斯托克斯公式得SIdSzyd)(210则其法线方向余弦,21cos21coscoscosc
5、oszyxzxyxy2yyx222公式 目录 上页 下页 返回 结束 zRyQxPudddd*二、空间曲线积分与路径无关的条件二、空间曲线积分与路径无关的条件定理定理2. 设 G 是空间一维单连通域, 内在函数GRQP,具有连续一阶偏导数,则下列四个条件相互等价: (1) 对G内任一分段光滑闭曲线 , 有0dddzRyQxP(2) 对G内任一分段光滑曲线 , zRyQxPddd与路径无关(3) 在G内存在某一函数 u, 使(4) 在G内处处有zPxRyRzQxQyP,机动 目录 上页 下页 返回 结束 ),(),(000ddd),(zyxzyxzRyQxPzyxu证证:) 1 ()4(由斯托克
6、斯公式可知结论成立;)2() 1 (自证) )3()2(设函数 则xu),(),(0ddd1limzyxxzyxxzRyQxPx0limxxzyxuzyxxu),(),(xxxxxPxd1lim0),(lim0zyxxpx),(zyxP定理2 目录 上页 下页 返回 结束 同理可证 ),(zyxQyu),(zyxRzu故有zRyQxPudddd)4()3(若(3)成立, 则必有RzuQyuPxu,因P, Q, R 一阶偏导数连续, 故有yxuyP2xQ同理zPxRyRzQ,证毕定理2 目录 上页 下页 返回 结束 zyxyxzxzyd)(d)(d)(与路径无关, 并求函数zyxyxzxzyzy
7、xuzyxd)(d)(d)(),(),()0 , 0 , 0(解解: 令yxRxzQzyP,1xQyP,1yRzQyPxR1 积分与路径无关,),(zyxuzyxxy)( yxyd0zyxzd)(0zxyzxyxzyo),(zyx)0 ,(yx)0 , 0 ,(xxxd00因此例例3. 验证曲线积分定理2 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1. 斯托克斯公式斯托克斯公式zRyQxPdddRQPyxxzzyzyxddddddSRQPzyxdcoscoscos机动 目录 上页 下页 返回 结束 zRyQxPddd在内与路径无关在内处处有xQyP,yRzQ,zPxR2. 空间曲线积分与路径无关的充要条件空间曲线积分与路径无关的充要条件设 P, Q, R 在内具有一阶连续偏导数, 则机动 目录 上页 下页 返回 结束
