1、4.3 窄带高斯过程的包络和相位的分析窄带高斯过程的包络和相位的分析在本节的讨论中，假定窄带正态过程在本节的讨论中，假定窄带正态过程)(tX的均值为零，方差的均值为零，方差为为2，功率谱相对于中心频率，功率谱相对于中心频率0是对称的。是对称的。4.3.1 窄带高斯过程的包络和相位的一维概率分布窄带高斯过程的包络和相位的一维概率分布已知窄带过程的一般表达式为已知窄带过程的一般表达式为ttAttAtttAtXsc000sin)(cos)()(cos)()(由上节的讨论可知由上节的讨论可知，)(,)(tAtAsc可以看作可以看作)()(tXtX和经经过线性变换后的结果，即过线性变换后的结果，即ttX
2、ttXtAttXttXtAsc0000cos)(sin)()(sin)(cos)()(因此，因此，)(tX若为高斯过程，则若为高斯过程，则)(,)(tAtAsc也应为高斯过程，也应为高斯过程，并且都具有零均值和方差并且都具有零均值和方差2。又根据上节的讨论又根据上节的讨论，)(,)(tAtAsc在同一时刻是互不相关的在同一时刻是互不相关的，又因二者是高斯过程又因二者是高斯过程， 根据高斯过程的性质根据高斯过程的性质， 它们在同一时刻也是互它们在同一时刻也是互相独立的。相独立的。设设stctAA,分别表示分别表示)(,)(tAtAsc在在 t 时刻的取值时刻的取值， 则其联则其联合概率密度为合概
3、率密度为2exp21)()(),(2222stctstActAstctAAaaafafaafscsc又又)(sin)()()(cos)()(ttAtAttAtAsc设设ttA,分别为包络分别为包络)(tA和相位和相位)(t在在 t 时刻的取值，则时刻的取值，则)(tA和和)(t的联合概率密度为的联合概率密度为),(),(stctAAttAaafJafsc由于由于ttstttttctAAAAAsin20 ,0cos可得可得20 , 02exp2),(),(),(222ttttstctAAtstctAAttAaaaaafaaafJafscsc由此得包络的一维概率密度为由此得包络的一维概率密度为0)
4、2exp(),()(22220ttttttAtAaaadafaf为瑞利分布。为瑞利分布。相位的一维概率密度为相位的一维概率密度为2021),()(0ttttAtdaaff为均匀分布。为均匀分布。从上述分析可以看出从上述分析可以看出)()(),(ttAttAfafaf这说明这说明， 在同一时刻窄带高斯过程的包络和相位是互相独立的随在同一时刻窄带高斯过程的包络和相位是互相独立的随机变量。机变量。4.3.2 窄带高斯过程包络和相位的二维概率分布窄带高斯过程包络和相位的二维概率分布求包络和相位的二维概率密度的步骤如下求包络和相位的二维概率密度的步骤如下： 先求出四维概率密度先求出四维概率密度),(22
5、11scscAAaaaafsc，然后转换为，然后转换为),(2211aafA，最后，最后再推导出再推导出),(21aafA和和),(21f。4.3.3 窄带高斯过程的包络平方的分布窄带高斯过程的包络平方的分布若窄带高斯过程通过平方律检波器若窄带高斯过程通过平方律检波器， 其输出是包络的平方其输出是包络的平方， 即为即为0,)()(2AUtAtU根据前面的讨论，可知窄带高斯过程的包络服从瑞利分布，即根据前面的讨论，可知窄带高斯过程的包络服从瑞利分布，即0)2exp()(222ttttAaaaaf设设tU表示表示)(tU在在 t 时刻状态，通过函数变换可求得时刻状态，通过函数变换可求得tu的概率的概率密度。已知密度。已知ttUA ，则，则tU的概率密度为的概率密度为0)2exp(21)()()(22tttAtttAtUuuufdudaafJuft上式表明，窄带高斯过程的包络平方为指数分布。上式表明，窄带高斯过程的包络平方为指数分布。
