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1、线性系统理论全册配套完整课件线性系统理论全册配套完整课件线性系统理论绪 论 0.1 0.1 现代控制理论概述现代控制理论概述 控制理论包括控制理论包括: :古典控制理论、现代控制理论两大部分。古典控制理论、现代控制理论两大部分。古典控制理论：古典控制理论：1.1.以单变量线性定常系统为主要研究对象以单变量线性定常系统为主要研究对象; ;2.2.以频率法作为研究控制系统动态特性的方法以频率法作为研究控制系统动态特性的方法; ;3.3.以各种图表以各种图表, ,如如NichlesNichles图、图、BodeBode图、图、NyquistNyquist曲线、根轨迹、曲线、根轨迹、RouthRout

2、h表等作为系统分析和综表等作为系统分析和综合的主要工具合的主要工具。 现代控制理论：现代控制理论： 起源：起源：2020世纪世纪6060年代年代 标志：标志： 用于系统的整个描述、分析和设用于系统的整个描述、分析和设计过程的状态空间方法；计过程的状态空间方法； 最优控制中的最优控制中的PontriaginPontriagin极大值极大值原理和原理和BellmanBellman动态规划；动态规划； 随机系统理论中的随机系统理论中的KalmanKalman滤波技滤波技术。术。 现代控制理论的特点：现代控制理论的特点： 以多变量线性系统和非线性系统以多变量线性系统和非线性系统为研究对象；为研究对象；

3、 以时域法，特别是以状态空间方以时域法，特别是以状态空间方法为主要研究方法；法为主要研究方法； 以现代数学为主要分析手段；以现代数学为主要分析手段； 以计算机为主要实现工具。以计算机为主要实现工具。现代控制理论研究内容与分支现代控制理论研究内容与分支 图0.1.1动力学系统分类图 控制理论研究对象是控制理论研究对象是系统系统，控制是指对系统的控制，控制是指对系统的控制线性系统理论概述线性系统理论概述 线性系统理论：线性系统理论：现代控制理论中最基本、最成熟的分支现代控制理论中最基本、最成熟的分支。 线性系统理论的研究对象：线性系统理论的研究对象：线性动态系统，简称：线性系统。当动线性动态系统，

4、简称：线性系统。当动态系统的数学方程具有线性属性时，称相态系统的数学方程具有线性属性时，称相应的系统为线性系统。应的系统为线性系统。线性系统的一个基本特征是满足叠加原线性系统的一个基本特征是满足叠加原理。此属性导致其在数学处理上的简便性。理。此属性导致其在数学处理上的简便性。1 1221122()()()L cuc uc L uc L u线性系统理论的主要任务 系统数学模型的建立系统数学模型的建立 数学模型：变量、参量、常量及它们之间的关系 系统分析系统分析 定量分析和定性分析 系统设计系统设计 系统满足所规定的任务或性能指标。线性系统理论的发展过程 20世纪世纪50年代：年代： 古典线性系统

5、理论成熟、完备（外部特性古典线性系统理论成熟、完备（外部特性研究）研究） 20世纪世纪60年代：年代： 线性系统理论新发展：用线性系统理论新发展：用“内部研究内部研究”代代替替“外部研究外部研究”建立在状态空间法上的线性系统分析和综建立在状态空间法上的线性系统分析和综合方法通常称为现代线性系统理论。合方法通常称为现代线性系统理论。线性系统理论的主要学派 线性系统的状态空间法线性系统的状态空间法状态空间法状态空间法 线性系统的几何理论线性系统的几何理论 几何形式的线性代数几何形式的线性代数 线性系统的代数理论线性系统的代数理论 变量间的关系视为代数结构之间的映射关系变量间的关系视为代数结构之间的

6、映射关系 多变量频域方法多变量频域方法 频率域：系统描述、计算方法来分析及综合频率域：系统描述、计算方法来分析及综合线性定常系统。线性定常系统。内容安排 第一部分：第一部分： 数学基础：第一章数学基础：第一章 第二部分：第二部分： 主体内容：第二章至第十章主体内容：第二章至第十章 第三部分：第三部分： 介绍性内容：介绍性内容： 离散线性系统理论（第十一章）、鲁棒控离散线性系统理论（第十一章）、鲁棒控制（第十二章）制（第十二章） 线性系统理论线性系统理论 主讲：张治国 第一章 数学基础1.11.1线性空间与线性变换线性空间与线性变换1.1.11.1.1线性空间定义线性空间定义在集合上赋予一定的结

7、构或一定的要求在集合上赋予一定的结构或一定的要求, ,这个集合就称为一个特定的空间。这个集合就称为一个特定的空间。定义定义1.1.11.1.1线性空间定义（线性空间定义（1111页）：页）：设设V V是一个非空集合是一个非空集合,P,P是一个数域是一个数域例例 1.1.21.1.2 将将mn 个实数排成如下矩阵个实数排成如下矩阵 nmnnmmxxxxxxxxx212222111211用用mnR 表示表示mn 维实矩阵全体的集合。设维实矩阵全体的集合。设 nmnnmmxxxxxxxxxA212222111211， nmnnmmyyyyyyyyyB212222111211则则 也是实数域也是实数域

8、 R R上的线性空间。因此不难看上的线性空间。因此不难看出，实数域上的线性空间的本质是指他们内部的出，实数域上的线性空间的本质是指他们内部的运算具有线性性。运算具有线性性。 例例1.1.31.1.3 设设 是线性空间，是线性空间， 则不难验证则不难验证 是是 的子空间。它也称为由的子空间。它也称为由 构成的子空间。构成的子空间。mnR VVv RaavvvV,111Vv例例1.1.41.1.4 设设 是线性空间是线性空间 是是 的子空间，也称的子空间，也称 是由是由 所所生成的子空间生成的子空间 例例1.1.51.1.5 设设 是线性空间，显然是线性空间，显然 ，那么，那么 是是 的子空间，称

9、为零子空间。的子空间，称为零子空间。 中中 个元个元 或称为或称为 中中 的的 个向量，则个向量，则maaa,21maaa,21mVmV1VVVV 0 VV01 miRaaavvVlmm, 2 , 1,2211111 1.1.2 线性空间的基和维数线性空间的基和维数121 122121212,1,2,0,:0(),mimmmmmu uuVa imaua ua uu uuu uuaaa定义1.1.4:设是 中的一组向量 可以重复 如果存在一组不全为0的实数使则称为线性相关 否则称为线性无关,此时必然有:12121 122121212,1,2,5:(),:,mmimmmmmv vvVuv vva

10、imuaua ua uu uuu u uuuu uu定义1.1. 设是 中一组向量可以重复 称向量 是的线性组合 是指有实数存在 使由此定义可知 如果线性无关 而线性相关 则 为的线性组合.1212126:,dim(.,)nnne eeVe eee eeVnnVVnVV定义1.1.如果向量线性无关而 中每个向量均可由它们的线性表示则称构成线性空间 的一组基而基的个数称为 的维数 记为当时 称 为有穷维线性空间;当时 称 为无穷维线性空间.nR例例1.1.61.1.6 在欧氏空间在欧氏空间 中选取个无关向量中选取个无关向量它们便构成它们便构成 的一组基。因此，的一组基。因此， 也称为也称为 维欧

11、维欧氏空间。氏空间。 100,010,00121neeenRnRn1.1.3 线性变换线性变换121211211212111211,(), (),|Im7:,.,.,V VRTVVTT abTaTb TaTaa bVRTVVTTVTvvVVTVTTTVVVTVV定义1.1.设均为实数域 上的线性空间是由 到 的一个映象 当 满足:时 称 为由 到 的线性变换或线性算子称为的定义域.若令则也是一个线性空间 它被称为 的值域空间记为在时 称 为 上的线性变换例例1.1.71.1.7 记记 这里这里 表示表示 区间上一次可微函区间上一次可微函数的全体，数的全体， 表示表示 区间上连续函区间上连续函数

12、的全体。容易验证数的全体。容易验证 都是实数域都是实数域 上的上的线性空间。定义线性空间。定义也不难验证也不难验证 是是 到到 的线性变换，有时的线性变换，有时也称为线性算子或微分算子也称为线性算子或微分算子。 baCVbaCV,211 baC,1 baC,21, VV ba, ba ,RdtdT T1V2V1 .1 .8,.VNVTNK erTTVN =x | T x =定 义设为 一 线 性 空 间若是上 的 线 性 变 换 , 构 造集 合 :则是的 一 个 子 空 间称 为线 性 变 换的 核 空 间 记 为0 , xV例例1.1.81.1.8 令令则则 为为 上的线性变换，易知上的线

13、性变换，易知是是 的核空间，即的核空间，即 00:, 2 , 1,12121xxxxTRniRxxxxVnninTV niRxxxNin,3,2,02TKerTN 显然，若向量显然，若向量 构成构成 的一组基，的一组基，则由上述基的定义可知，对所有则由上述基的定义可知，对所有 ，均可以，均可以惟一表成惟一表成我们称我们称 为关于基为关于基 的坐标。若的坐标。若向量向量 构成构成 的另一组基，则有的另一组基，则有 neee,21nRnRu nnnnaaaeeeeaeaeau21212211 TTnTTaaa21neee,21 neee,21nR nnnnRPPeeeeee ,2121而对任意而对

14、任意 ，有，有由此可知由此可知 我们称我们称 为基为基 和基和基 之间的坐标之间的坐标变换。容易验证，坐标变换也是变换。容易验证，坐标变换也是 上的线性变换。上的线性变换。nRv nnnnvvveeevvveeev21212121 nnvvvPvvv2121neee,21 neee,21PV1.2 矩阵代数中的几个结果矩阵代数中的几个结果1.2.1 矩阵必秩的条件矩阵必秩的条件定义定义1.2.11.2.1 矩阵矩阵 列秩列秩: :矩阵中列向量的最大线性无关组的个数；矩阵中列向量的最大线性无关组的个数； 行秩行秩: :矩阵中行向量的最大线性无关组的个数。矩阵中行向量的最大线性无关组的个数。 矩阵

15、的行秩与列秩相等。矩阵的行秩与列秩相等。 矩阵矩阵A A的行秩和列秩称为矩阵的行秩和列秩称为矩阵A A的秩。的秩。m nijAaR,0,0.,01.2.1,1.2.1.2.21.2.Q.,0.,m nijmTmn mn mAaRARAARAARQRA QQAQAT定理设则矩阵 行降秩的充要条件是存在向量满足矩阵 列降秩的充要条件是存在向量满足定理设且则矩阵 降秩的充要条件是矩阵 列降秩矩阵秩的充要条件是矩阵,=满正定,1.2.2 Vendermonde Vendermonde矩阵与友矩阵矩阵与友矩阵 VendermondeVendermonde矩阵及基性质矩阵及基性质111,1,2,:innn

16、inPVendermonde12n12n设为一组复数,定义:111P=矩阵 称为矩阵1111(),1,2,1,2,()( ),1,2,1).,(1.2jii j nijjjiijjiijj iininijtzf zt zin i-1i引理1.2.1 推论 矩阵 可逆的充要条件det(P)=Vender是互异.引理1.2.2 设互异,则的第行第列元素 由多项式展开式决定,即moP:ndePT=友矩阵及其性质友矩阵及其性质1110011,( )det()0101n nnnncnARD ssIAsasa saAaaaA设其特征多项式为定义矩阵 为矩阵 的友矩阵.21112,1,2, ,1,2, ,1

17、(,1.2.31.2.2,)n nciiciTniiiin ncnARinAinApARAPdingPP 引理 设矩阵具有互异特征值则其友矩阵亦以为特征值,且与 相对应的特征向量为推论 设矩阵具有互异特征值Venderm,o则n有其d中 矩阵 为e矩阵.0102010010,/1:/100001000010ncaaaaaaaaA命题1.2.2 具有互异特征值的矩阵与其友矩阵是相似的.定理1.2.3 友矩阵可逆的充要条件是且1.2.3 Cayley-Hamilton定理与化零多项式定理与化零多项式121201212012,1.2.,( )( )0(), ,3.nnnnnnnnmnnD sAD A

18、asasaaAaAa Imn AAAA I n nnnn nAR D(s)=s 凯莱哈密顿定理 设为矩阵的特征多项式 则记 AA由凯莱哈密顿定理可得:命题 设则对于一切均可表示为的线性组合R1.2.3.1.,( )( )0,( ),1.2.4,( )(:)(),(;2.)nn nTTTTnn nTTTRARsf sz f AzzAzARARf szAAf sp s sz p AAA 定义 设如果关于 的多项式满足则称其是相对 的化零多项式阶次最低的首一的相对 的化零多项式称为相对的极小多项式命题 设相对 的0z0z为极小多项式为其零点 则为矩阵 的特征值当记时为矩阵 的属于的左特征向.量1.2

19、.4 豫解矩阵与豫解矩阵与Leverrier算法算法11()()()(.)( )()sIAAadj sIAsIAD sLeverrierD sadj sIA矩阵称为 的豫解矩阵:算法为求解和的递推算法120121011,0,11.2(),14,.,2nnnnn kn kn knnn kn kaaaRRR sRRRAaI Ratr RAaknk nn-1n-2n-1n-2D(s)=sss adj(sI-A)定=ss理 记有( )()1.( )/(2.5.),m sadj sIAD sm sA定理 设为中所有元素的首一最大公约式 则为矩阵 的最小多项式10120121231132211( )( )

20、( )(1.2.3):( )( )1:nkkknnnnnnnnnP sAD sp ssasa sap ssasa sapssaps-1-1An(sI-A) (sI推论 设 为 阶方阵,则其豫解矩阵具有下述表达式其中-A)1.3 1.3 多项式矩阵多项式矩阵( )( )( ) .,ijijm nm nA saassA ssm nRs如果阶矩阵的所有元素均为变量 的实数多项式,则称为一个关于 的阶实数域上的多项式矩阵 其全体记为1.3.1 基本概念基本概念1110( )( ),1,2,0( ),.:,llllm nilmnA sA sAsA sAsAARilAlA s一个阶的多项式矩阵具有下述一般

21、表示其中均为定常的实矩阵 在的条件下 代表了的次数( ),( )( ).( ) ,1.3.1()(,( )( )1.m nm nA sRsrrrA srankA srA sRs rmnA srA srr定义1.3.1 对于如果至少有一个 级子式不恒等于零 而所有的 级以上子式恒等于零 则称 为多项式的秩 记为命题 设为不大于 或的正数,则的秩为 的充要条件是中有 个列 行 线性独立,而其任何个列行 均线性相关1.1.3. ,( )( ).( )( )det( )2( )m nRsA sA sadjA sA sA sA s 定义1.3.2 如果多项式矩阵均为可逆的,则必有是一个不为零的常数这样的

22、多项式矩阵称为幺矩阵命题 多项式方阵为幺矩阵的充要条件是逆存在且仍sde为多项t 式矩阵.1.3.2 1.3.2 初等变换初等变换多项式的初等行多项式的初等行(列列)变换变换,是指下列三种典型是指下列三种典型操作操作:矩阵的两行矩阵的两行(或两列或两列)互换位置互换位置;矩阵的某一行矩阵的某一行(或某一列或某一列)乘以非零的常数乘以非零的常数C;矩阵的某一行矩阵的某一行(或某一列或某一列)加上另一行加上另一行(或列或列)的的(s)倍倍, (s)为一个多项式。为一个多项式。1.3.3( ).)(A sA s命题 多项式方阵幺矩阵的充要条件是可表示成一系列初选行或列 变换矩阵之积为1.3.3 Sm

23、ith1.3.3 Smith标准型标准型定义定义1.3.31.3.3 如果可以用一系列初选变换将多项如果可以用一系列初选变换将多项 式方阵式方阵A(s)A(s)化为多项式矩阵化为多项式矩阵B(s),B(s),则称多项式则称多项式A(s)A(s)和和B(s)B(s)互相等价。互相等价。 等价是多项式矩阵之间的一种关系，有下等价是多项式矩阵之间的一种关系，有下述三个性质：述三个性质：反身性，每一个多项式矩阵均与自身等价；反身性，每一个多项式矩阵均与自身等价；对称性，对称性， A(s)A(s)等价等价B(s)B(s)， B(s) B(s) 等价等价A(s)A(s)；传递性，传递性，A(s)A(s)等

24、价等价B(s)B(s)， B(s) B(s) 等价等价C(s)C(s)， A(s)A(s)等价等价C(s)C(s) 。 ,( )0( )( )000000( ),1,2,( ),( )(1,2,1)1 3 1. .sssss irssjrm n12crij+1j A(s) R r=rankA(s)min m令则等价于标准型其中是不为零的首一多项式且可被,nA(s)SmithddA整除(s)=ddd定理d,1.3.4nB nn r ARR ranksI-A Bn, sCP(s)Q(s)命设为数字矩阵且条件:成立,则存在适当和幺矩阵和满P(s)A-sI BQ(s)=:题 足0 I:.0000( )

25、( ),( )( )P sG s Q sH s nnr (A-sI BSmith)A-sIBI E(s)=II ranksI-A Bn, sCE(s)0IG(s) E(s)=H(化为标准型第一步:组成增广矩阵第二步 在条件下将化为形算法1.3.1s式第三步 取*即为所求)1.41.4有理分式矩阵及其互质分解有理分式矩阵及其互质分解11( ),( )( )( )( )( )( )( )( )ijsnrW swssW sW sN s DsW sLs H s如果一个与变量 相关的的矩阵其每一元均为变量 的有理分式,则称为一个有理分式矩阵.任何一个有理分式 矩阵总可以表示成:称为右分解 或 称为左分解

26、11( ),( ),( ), ( )( )( )( )( ) ( ),( )( ) ( )( )( ) ( ),( )(.)( )( )(:)( )( ).r rr rW s N s D s L sH sU sRRN sN s U s D sD s U sL sV s L s H sV s H sN s DsLs H s设和如上所 sV(s)s W(s)= 述和为幺命题1.4.1模阵,令则和 W(s)成立=1.4.1 互质多项式矩阵互质多项式矩阵( ) , ( ) ( ),:1.4. ( )( ) ( )( )( )(1(,)m nm pp nA sRs B sRsC sRsA sB s C

27、sB sA sA sB s设和如果它们三者之间存在关系 则称为的左因子定义为的 右倍式.222222( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )1.( )( )( )( )( )(4)( ) ( ).,(.)2:A sA sB sA sA sB sA sA sD sA sA sA sA sA sA sB sD sB s Z sZ s111111设和为两个同行数的多项式矩阵如果多项式矩阵同为和的左公因子,则称为和的左公因子.如果多项式矩阵是和的左公因子,且同时是和的所有左公因子的右倍式 即对于和的任意左公因子均有满足 的多项式矩阵 定义2( )( ),.( )D sA sA

28、 s1存在 则称是和的最大左公因子121222,( ) ,( ) ()(1)(.4)(,.)( ),()3.m nm nmn nn rA sRsA sRsnnmA sA sSmithIA sA sARBRsIAB 1211 0ranksI-A B设如果的标准型为则称和左互质. 由命题1.3.4知,当条件式n, s定满足时 有义C和 互质 1212222( ) ( ) ,( )( ),.( )( )( )( )( ) ( ) :( )(:1)(;2.).(;3m nm nnmnmmA sRsA sRsrank A sA smA sA sA sA sm mB sRsB sRsA s B sA s

29、B sI12111121122 设 和且则下述三个条件等价和左互质和的的最大左公因定 子为幺模阵存理1.4.1在满 和足12122( ) ,( ) ( )(),( )( )(1.4.3)0mnmnnA sRsA sRsA smmnSmithA sIA sA s12121设如果矩阵定的标准型为则称和 义 右互质.121222( ) ,( ) ( )( )( )( ).( )( )( ) ( ) ( )( ):1.;2:)3.(;mnmnn mn mA sRsA sRsA sranknA sA sA sA sA sm mB sRsB sRsB s A sB s A sI121211121122 设

30、且则下述三个条件等价和右互质和的的最 大右公因子为幺模阵存在定理1.4.和1满足( ) ,( ) ,( )( )( )( ),:( )n rr rN sRs D sRsD sN sD sN srankrsCD s 和右互质的充要条件是设定理1 .4且.2非奇异 则1.4.2 有理分式矩阵的互质分解有理分式矩阵的互质分解1111( ),( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )(,1.4.4,.)sW sN s DsW sLs H sN sD sW sN s DsW sL sH sW sLs H sW sn r设且具有分解式和式当和右互

31、 W(s) R质时 式称为的右互质分解左定。当和互质时 式称为的左互质分解义1111221212111122121( ),1.( )( )( )( )( )( ),( )( ) ( ),( )( ) ( )( )( )( )( )( )( ),( )( )( ):21.4.3,).:(n rW sRN s DsNs DsW sU sD sD s U s N sNs U sLs H sLs HsW sV sL sV s L s H sV给定和同时为的右质分解的充要条件是存在幺模矩阵使得和同时为的左质分解的充要条件是存在幺模矩阵使得 定理 则 2( )( )s Hs1()sIAB1.4.3 矩阵的

32、右既约分解111,.1.3.4,.:,( )(),( )( )( )()( )( )nnnrARBRWssIABnrsIABnsCWsWsWssIABNs Ds 设为 两 数 字 矩 阵 则为 一 个的 有 理 分 式 矩 阵由 命 题知 在 条 件下 上 式 本 身 即 为的 一 个 左 互 质 分 解考 虑的 右 既 约 分 解 (下 式 的 求 解 rank )111 11 22 12 21 12 1()()()()()()()()0()()()()()()(),().1 .4 .:1,:nrrrWssIABNsDsPsQsPssIABQsIQsQsQsQsQsQsQsRsQsRsN右

33、既 约 分 解 式的 求 取 :第 一 步 : 利 用 算 法求 取 幺 模 矩 阵和满 足第 二 步将 幺 模 1 . 3 . 1 阵做 如 下 分 块其 中第 三 步算取 法1 12 111()(),()()()()()()()()sQsDsQsNsDsWssIABNsDs则满 足 右 既 约 分 解 式与。11:,( )( )( )1.4( )( )( )1.;2.2()( )( )sIABnsCN sD sN sD sD sW ssIABN s Ds 和满足 rank1.4在式成立的条件下,由算法给出的多项式命下述条件与右互矩质满秩;3题 .阵.式1成立。1.5 Jordan1.5 J

34、ordan分解分解1,:,.n nn nJordanARJ VCVAVJVVAJAJordan矩阵的分解是指下述事实设则存在矩阵可逆,满足:其中为矩阵 的特征向量矩阵为矩阵 的标准型,1.5.1 特征值的几何重数与代数重数特征值的几何重数与代数重数1212(,)(,)1,1, 2,1:,;.iujijliiiiqiiijiippiijiiiJordanJdiag JJJJdiag JJJJjqAJAJordanqA一 个矩 阵 的 一 般 形 式 为其 中为 矩 阵的 特 征 值为 矩 阵的 与特 征相 关 联 的块称 为 矩 阵的 特 征 值的 几 何 重 数矩阵某特征值的几何重数矩阵某特征

35、值的几何重数: : 矩阵的矩阵的JordanJordan标准型与该特征值标准型与该特征值相关联的相关联的JordanJordan块的个数块的个数. .矩阵某特征值的代数重数矩阵某特征值的代数重数: : 矩阵的矩阵的JordanJordan标准型与该特征值标准型与该特征值相关所有的相关所有的JordanJordan块的阶数之和块的阶数之和. .1.5.1iin nii1i2iqlii=1则 A设其矩阵的结构如上述.R,Jordan =max ppp,i=1,2, ,l f(s)=(s-) 记为矩阵A的最小多项式 推论1.5.1 循环矩阵的特征多项式与其最小命题多项式等同.1.5.2 广义特征向量

36、链广义特征向量链1212(,)(1.5.2)(,)(1.5.3)1,1,2,(1.5.4)1iujijliiiiqiiijiippAJordanJJdiag J JJJdiag JJJJjq 当矩阵 的标 准型 具有式我们可对应地将特征向量矩阵V按列做如下分块121212(1.5.9)iijliiiiqpijijijijVVVVVVVVVvvv iiijijVAiVJordanJ矩阵 是与矩阵 的第 个特征值 对应部分,其子块是与块相对应部分.12121110)0).)0:ijijijpijijijiijiijiijijppiijijkkiijijijvvvAijpAI vAI vvAI vv

37、AI vvv( (1.5.12)( ( 上式中列向量称为矩阵 的第 个特征 的第 组广义特征向量链为该组特征向量链的长度 广义特征向量链 , (1.5的定义式.13)1,2,1,2,1,2,ijikpjaq il 234121000100001100,111(1.5,1)1:2.23CnnnnAknnnnk 对于友矩阵若是其几何重数为和代数重数为的特征值则属于的广义特征向量链为 命题(1)(2)()(1)21n knnnn kkk k 其中 (1.5.14) : 1.5.3 Jordan1.5.3 Jordan分解的求取分解的求取),),)1.5.1,1,2,il 12li分解的求取1.利用初

38、等变换化矩阵为对角型2.将的对角线上的元素分解成互不相同 的一次因式方幂的 Jordan( I-A)(s);乘积;3.列出的对角线上的所有互异一次因子则算法 ( s)即为(s) ( -矩阵A的互异( -( -特征值;12),1,2,),;iiiiqAilpppAJordanJJordan iiiiiiii( -(s)qq ( -4.找出每个一次因子在的对 角线上出现的(s)q 次数则 为 的特征 值 的几何重数;5.按的顺序 找出一次因子在的对角 q线上出现 的幂 次它们即为 矩阵的标准型 中与 相关的 个子块 的价次 1212,1,2,1,2,(,)(1.5.2)(,)(1.5.3)1,1,

39、2,6(1.5.4)1.iujijiijiliiiiqiiijiipplq pjq ilJdiag J JJJdiag JJJJjqJordani 根据的值 和式写出 矩阵 列的A标准型;11,2,1,2, ,)0,)0,1,2,1,2,1,2.:,ijijijiijppijijijipijijijqilvAIvAIvvjq ilvvjqii ( (1.5.15) 7.对于每个和求解向量满足并使得线性无关 然后取 1211212,1,2, ,)1,2,),1,.2,;8ijijijijijppijijppijijiijijipijijijii ilvAI vvAI vjqvAI vqvvvjq

40、iiii( (1.5.16)( 对于每个按公式 求出第 个特征值 的 组广义i特征向量链 ,1,2,1,2,1,2,(1.5.7)(1. .99).5kijijivkpjqilA基于上步中获得的和式构成矩阵 的特 征向量矩阵10.计算和并通过验证是否成立 V;AVVJ,检验 结果的AV=VJ正确性.1.6 1.6 广义广义SylvesterSylvester矩阵矩阵,;,.,:,;n nn rn nr nAVBWVFARBRVCWCFnJordanWCBWSylvesterAVVFC 其中:为 价的矩阵当取定阵 并令则上 (1.6.1) 式化为常 (1规.的矩阵方程6.2)1.6.1 求解问题

41、与假设条件求解问题与假设条件,n nn rARBRnJordanFVWAVBWVF已知定常以及价矩阵求矩阵 和的解析表达式.,如果一种解析解包含了方程的一切解,便称该解 析解为完全的.12121212,).,:.:,iiiiiiiiiqiiiqiiiiiqnCsIA BA BJordanFnisqqJordanFFFpppsmpppmmmn假设对于任何矩阵行满秩能控条件假设:矩阵 含有个互异特征值 其A1:第 个特征值 的几何重数为 且与其相关联的个块s ( A2 的价数分别为从 而特征值 的代 数重数为且应有此假设称为 矩.FJordan阵 的结构条件1.6.2 完全解析解之一完全解析解之一

42、011, 2( ),1.60( ),1,2,;1,2, ;1,2, ( )( ).1,:( )( )0,kkijijiijkkijijkijijiBA AvfQ svwP s vfC kpjq inP sQ sP s sIAB Q sI定理 (1.6.1) 设矩阵 列满秩 且假设成立则方程的一切解可由下式给出:其中为一组任意选取的参数向量和为满 足的幺模阵.1.6.3 完全解析解之二完全解析解之二1011,1,2( )1( )( )(1)!,1,2,;1,2,;1,1.6.2, ( )( ):,2kkkiijijkijijkkkiijijkrijijiiBA AN svfdffD swP s

43、vkdsfCkpjq inN sD s设矩阵 满秩 且定假设成立 则矩阵方程的一切解可由下式给出:其中为任意选取的参数理 (1.6.1) 和向量为(1.6.15)满足右既约分解式的多项式模阵.例例1.6.1 1.6.1 设设则由算法则由算法1.4.1 1.4.1 易得易得从而由定理从而由定理1.6.21.6.2易得，以该组矩阵构成的广义易得，以该组矩阵构成的广义sylvestersylvester矩阵方程的完全解析通解为矩阵方程的完全解析通解为 300010011,011000,100100010FBA 110,100012sssDssN 1212111111113111fNfNfNdsdfN

44、V 1212111111113111fDfDfDdsdfDW如果特别取如果特别取可得该方程的一组特解为可得该方程的一组特解为 TTfff10,01211121111 931020,010311101WV第二章 线性系统的数学描述2.1线性系统的传递函数描述2.1.1单变量情形的简单回顾( )(1)110( )(1)110111011101110( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )0:nnnnmmmmmmmnnnnnnytayta y ta y tb utbutb u tb u tb sbsb sbY sG sU ssasa sasasa sa 特特征征方方程程2.

45、1.2 2.1.2 传递函数矩阵及有关定义传递函数矩阵及有关定义 121211111221221122221122( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( ):()rmrrrrmmmmrruuuyyyy sgs u sgs u sgs u sysgs u sgs u sgs u sysgs u sgs u sgs u s 多多输输入入多多输输出出线线性性定定常常系系统统输输入入输输出出系系统统满满足足叠叠加加原原理理 线线性性11111 ( )( )( )( )( ) ( ) ( )( )( )lim( )lim

46、( ):( )( )rmmmrssy sgsgsy sG s u sysgsgsG sG sG sG s 其其向向量量方方程程的的形形式式为为零零阵阵或或 非非零零常常数数矩矩 阵阵传传递递函函数数矩矩阵阵为为严严格格真真的的或或真真的的. .当当且且仅仅当当为为真真的的或或严严格格真真的的, ,它它才才是是物物理理上上可可以以 实实现现的的. .2.2 2.2 线性系统的状态空间描述线性系统的状态空间描述 2.2.12.2.1状态与状态空间状态与状态空间 定义定义2.2.1 完全地表征系统时间域行为的一完全地表征系统时间域行为的一个最小内部变量组称为动力学系统的状态。组个最小内部变量组称为动

47、力学系统的状态。组成这个变量组的变量成这个变量组的变量 10( )( ),( )nxtx tttxt 12( ),( ),( )nx tx txt称为系统的状态变量，其中 00,ttt 为初始时刻。由状态变量构成的列向量 称为系统的状态向量，简称为状态。状态向量取值的向量空间称为状态空间。命题2.2.1 一个动态系统的任意选取的两个状态变量组之间为线性非奇异变换的关系。1.状态变量组可以完全表征系统行为;2.状态变量组的最小性体现;3.状态变量组在数学上的特征体现;4.状态变量组包含了系统的物理特征.2.2.2 2.2.2 动态系统的状态空间描述动态系统的状态空间描述11110110111(,

48、; )(,; )( , , ),( , , ),( , , )nrnnnrnnxfxxuu tttxfxxuu txf x u tttxufx u txuf x u txu (2.2.6) (2.2.6) 动动态态系系统统一一阶阶非非线线性性时时变变微微分分方方程程组组: :简简化化为为向向量量方方程程形形式式: :其其中中 ( (: :2.2.7)2.2.7)( , , )nfx u t (2.2.8) (2.2.8)111111111(,; )(,; )( , , )( , , ), ( , , )( ,:, )nrmmnrmnmygxxuu tygxxuu tyg x u tyugx u

49、 tyug x u tyugx u t 连连续续动动力力学学系系统统的的输输出出方方程程向向量量方方程程的的形形式式其其中中 (2.2.9) (2.2.9) (2.2.10) (2.2.10) (2.2.11) (2.2.11)0( , , ),( , , )xf x u tttyg x u t 系系统统的的状状态态空空间间描描述述由由状状态态方方程程和和输输出出方方程程组组成成: : 2.2.3 2.2.3 线性系统的状态空间描述线性系统的状态空间描述与相关概念与相关概念00( )( ) ,:( )( )( ),( ),( ),( ):,:,xA t xB t u ttyC t xD t u

50、A tB t C tD txAxu ttyxu T TT T都都是是与与时时间间无无关关的的常常数数矩矩阵阵线线性性系系 L (2.2.12) L (2.2.12)统统的的状状态态空空间间描描述述的的一一般般形形 L L 式式 那那么么 系系统统称称为为定定 (2.2 (2.2常常的的果果: :如如.13).13)定义2.2.2 对于系统nrank sIABn的 为系统的输入解耦零点； 称满足 nsIAranknC 的 为系统的输出解耦零点； 称满足称满足 min, nsIABranknr mCD 的 为系统的传输零点。sss0,:xAx u ttyx u T TL L ( (2 2. .2