高等数学课件：2013.11.12-单调性.极值（第一章）.ppt

1、二、几个初等函数的麦克劳林公式二、几个初等函数的麦克劳林公式 第三节一、泰勒公式的建立一、泰勒公式的建立机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、泰勒公式的应用三、泰勒公式的应用 应用用多项式近似表示函数理论分析近似计算泰勒 ( Taylor )公式 第三三章 公式 称为 的 n 阶泰勒公式阶泰勒公式 .)(xf公式 称为n 阶泰勒公式的拉格朗日余项拉格朗日余项 .泰勒中值定理泰勒中值定理 :内具有的某开区间在包含若),()(0baxxf1n直到阶的导数 ,),(bax时, 有)(xf)(0 xf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()(xRn其中10)1

2、()(! ) 1()()(nnnxxnfxR则当)0(之间与在xx泰勒 目录 上页 下页 返回 结束 公式 称为n 阶泰勒公式的佩亚诺佩亚诺(Peano) 余项余项 .在不需要余项的精确表达式时 , 泰勒公式可写为)(xf)(0 xf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()(0nxxo)()(0nnxxoxR注意到机动 目录 上页 下页 返回 结束 称为麦克劳林（麦克劳林（ Maclaurin ）公式）公式 ., ) 10(,00 xx则有)(xf)0(fxf)0( 1) 1(! ) 1()(nnxnxf2!2)0(xf nnxnf!)0()(在泰勒公式

3、中若取)(xf)(0 xf)(00 xxxf10)1()(! ) 1()(nnxxnf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()0(之间与在xx)(xf)0(fxf)0( ,)()1(Mxfn则有误差估计式1! ) 1()(nnxnMxR2!2)0(xf nnxnf!)0()(若在公式成立的区间上麦克劳林 目录 上页 下页 返回 结束 由此得近似公式二、几个初等函数的麦克劳林公式二、几个初等函数的麦克劳林公式xexf)() 1 (,)()(xkexf),2, 1(1)0()(kfkxe1x!33x!nxn)(xRn!22x其中)(xRn! ) 1( n) 10(1nxxe机

4、动 目录 上页 下页 返回 结束 )sin( xxxfsin)()2()()(xfkxsinx!33x!55x! ) 12(12mxm)(2xRm其中)(2xRm)sin(212mx2k2sin)0()(kfkmk2,012 mk,) 1(1m),2, 1(m1) 1(m) 10(12mx! ) 12(m)cos() 1(xm机动 目录 上页 下页 返回 结束 ! )2(2mxmxxfcos)()3(类似可得xcos1!22x!44x)(12xRm其中)(12xRm! )22(m)cos() 1(1xm) 10(m) 1(22mx机动 目录 上页 下页 返回 结束 ) 1()1 ()()4(x

5、xxf)()(xfk)1 (x1x2xnx)(xRn其中)(xRn11)1 (! ) 1()() 1(nnxxnn) 10(kxk)1)(1() 1() 1() 1()0()(kfk),2, 1(k!2 ) 1(! n) 1() 1(n机动 目录 上页 下页 返回 结束 ) 1()1ln()()5(xxxf已知)1ln(xx22x33xnxn)(xRn其中)(xRn11)1 (1) 1(nnnxxn) 10(1) 1(n类似可得)()(xfkkkxk)1 (! ) 1() 1(1),2, 1(k机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、泰勒公式的应用三、泰勒公式的应用1. 在近似计算中的应用在近

6、似计算中的应用 误差1! ) 1()(nnxnMxRM 为)() 1(xfn在包含 0 , x 的某区间上的上界.需解问题的类型:1) 已知 x 和误差限 , 要求确定项数 n ;2) 已知项数 n 和 x , 计算近似值并估计误差;3) 已知项数 n 和误差限 , 确定公式中 x 的适用范围.)(xf)0(fxf)0( 2!2)0(xf nnxnf!)0()(机动 目录 上页 下页 返回 结束 已知例例1. 计算无理数 e 的近似值 , 使误差不超过.106解解:xe! ) 1( nxe1nx令 x = 1 , 得e) 10(! ) 1(!1!2111nen) 10(由于, 30ee欲使)

7、1 (nR!) 1(3n610由计算可知当 n = 9 时上式成立 ,因此e!91!2111718281. 2xe1x!33x!nxn!22x的麦克劳林公式为机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 利用泰勒公式求极限利用泰勒公式求极限例例2. 求.43443lim20 xxxx解解:由于x431243 x21)1 (243x 2)(14321x!21) 1(2121243)( x)(2xo用洛必塔法则不方便 !2x用泰勒公式将分子展到项,11)1 (! ) 1()() 1(nnxxnnnx! n) 1() 1(n)1 (x1x2x!2 ) 1() 10(机动 目录 上页 下页 返回 结束 x

8、3421)1 (243x220 limxx 原式)(2216921xox 329x43)(2216941xox 2x43)(2216941xox 11)1 (! ) 1()() 1(nnxxnnnx! n) 1() 1(n)1 (x1x2x!2 ) 1() 10(3. 利用泰勒公式证明不等式利用泰勒公式证明不等式例例3. 证明).0(82112xxxx证证:21)1 (1xx21x2) 121(21!21x325)1)(221)(121(21!31xx) 10(3225)1 (161821xxxx)0(82112xxxx机动 目录 上页 下页 返回 结束 , 1 ,0)(上具有三阶连续导数在设

9、函数xf, 0)(,2) 1 (,1)0(21fff.24)(, f使一点)(xf)(21之间与在其中x, 1,0 x由题设对证证:备用题备用题 1.321)(!31 xf)(21f221)( x)(! 2121f )(2121xf有)(21f221)( x)(!2121f 321)(!31 xf内至少存在证明) 1,0(且得分别令, 1,0 x机动 目录 上页 下页 返回 结束 ), 0(211)(21f)1 ,(2123211)(! 3)( f3212)(! 3)(f )0(1f)(21f22121)(! 2)( f) 1 (2f22121)(! 2)(f 1下式减上式 , 得)()(48

10、112ff )()(48112ff )(241f ) 10(令)(,)(max)(12fff 24)( f机动 目录 上页 下页 返回 结束 4224642024612! ) 12() 1(9!917!715!513!311sinnnxxxxxxxn)(2nxo!33xxy!5!353xxxy!7!5!3753xxxxyxysinxy xsin泰勒多项式逼近泰勒多项式逼近机动 目录 上页 下页 返回 结束 12! ) 12() 1(9!917!715!513!311sinnnxxxxxxxn)(2nxoxsin42246420246xysin!9!7!5!39753xxxxxy!11!9!7!

11、5!3119753xxxxxxy泰勒多项式逼近泰勒多项式逼近机动 目录 上页 下页 返回 结束 第四节一、函数单调性的判定法一、函数单调性的判定法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数的单调性与极值 第三三章 三、最大值与最小值问题最大值与最小值问题二、函数的极值及其求法函数的极值及其求法 一、一、 函数单调性的判定法函数单调性的判定法若定理定理 1. 设函数)(xf0)( xf则 在 I 内单调递增)(xf, )0)( xf(递减) .证证: 无妨设,0)(Ixxf任取)(,2121xxIxx由拉格朗日中值定理得)()()(1212xxfxfxf),(21xxI0故. )()(21xfx

12、f这说明 在 I 内单调递增.)(xf在开区间 I 内可导,机动 目录 上页 下页 返回 结束 证毕例例1. 确定函数31292)(23xxxxf的单调区间.解解:12186)(2xxxf)2)(1(6xx令,0)( xf得2, 1xxx)(xf )(xf) 1,(2001)2,1 (),2(21故)(xf的单调增单调增区间为, ) 1,();,2()(xf的单调减单调减区间为).2,1 (12xoy12机动 目录 上页 下页 返回 结束 yxo说明说明: 1) 单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点. 例如,),(,32xxy332xy 0 xy32xy 2) 如果函数在某驻点两边导

13、数同号, 则不改变函数的单调性 .例如,),(,3xxy23xy 00 xyyox3xy 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 证明20 x时, 成立不等式.2sinxx证证: 令,2sin)(xxxf,2,0()(上连续在则xf，上可导在)2,0(2sincos)(xxxxxf)tan(cos2xxxx1xtanx0,)2,0()(内单调递减在因此xf从而2,0(,2sinxxx0)2()(fxf,2)(处左连续在又xf因此且证证证明 目录 上页 下页 返回 结束 * 证明0tanxx令,tan)(xxx则xx2sec1)(x2tan),0(,02x,),0()(2上递减在x从而0)

14、0()(x即),0(,0tan2xxx证明方程0155 xx有且仅有一个小于1 的正实根 .前面曾经介绍过的一个例子前面曾经介绍过的一个例子1.存在性：零点定理可证2.唯一性：可用单调性证( )155f xxx( )455 0 (0,1)fxxx单调，所以只可能有一个根。二、函数的极值及其求法函数的极值及其求法定义定义:,),()(内有定义在设函数baxf, ),(0bax ，的一个邻域若存在0 x在其中当0 xx 时, )()(0 xfxf(1) 则称 为 的极大点极大点 ,0 x)(xf称 为函数的极大值极大值 ;)(0 xf, )()(0 xfxf(2) 则称 为 的极小点极小点 ,0

15、x)(xf称 为函数的极小值极小值 .)(0 xf极大点与极小点统称为极值点极值点 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 注意注意:3x1x4x2x5xxaboy41,xx为极大点52,xx为极小点3x不是极值点2) 对常见函数, 极值可能出现在导数为 0 或 不存在的点.1) 函数的极值是函数的局部性质.31292)(23xxxxf例如例如 (P146例例4)1x为极大点 , 2) 1 (f是极大值 1)2(f是极小值 2x为极小点 , 12xoy12机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理 1 (极值第一判别法极值第一判别法),)(0的某邻域内连续在设函数xxf且在空心邻域内有导数,0

16、时由小到大通过当xx(1) )(xf “左左正正右右负负” ,;)(0取极小值在则xxf(2) )(xf “左左负负右右正正” ,.)(0取极大值在则xxf(自证)机动 目录 上页 下页 返回 结束 点击图中任意处动画播放暂停例例1. 求函数求函数32) 1()(xxxf的极值 .解解:1) 求导数32)(xxf3132) 1(xx35235xx2) 求极值可疑点令,0)( xf得;521x令,)( xf得02x3) 列表判别x)(xf )(xf0520033. 0)0,(),0(52),(520 x是极大点， 其极大值为0)0(f是极小点， 其极小值为52x33. 0)(52f机动 目录 上

17、页 下页 返回 结束 定理定理2 (极值第二判别法极值第二判别法)二阶导数 , 且处具有在点设函数0)(xxf,0)(0 xf0)(0 xf,0)() 1 (0 xf若则 在点 取极大值 ;)(xf0 x,0)()2(0 xf若则 在点 取极小值 .)(xf0 x证证: (1)(0 xf 00)()(lim0 xxxfxfxx0)(lim0 xxxfxx,0)(0知由 xf存在,0,00时当xx0)(0 xxxf时，故当00 xxx;0)( xf时，当00 xxx,0)( xf0 x0 x0 x由第一判别法知.)(0取极大值在xxf(2) 类似可证 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2

18、. 求函数1) 1()(32 xxf的极值 . 解解: 1) 求导数,) 1(6)(22xxxf) 15)(1(6)(22 xxxf2) 求驻点令,0)( xf得驻点1,0, 1321xxx3) 判别因,06)0( f故 为极小值 ;0)0(f又,0) 1 () 1( ff故需用第一判别法判别.,1)(左右邻域内不变号在由于xxf.1)(没有极值在xxf1xy1机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理3 (判别法的推广判别法的推广)阶导点有直到在若函数nxxf0)(,0)()()(0)1(00 xfxfxfn,0)(0)(xfn则:数 , 且1) 当 为偶数时,n,0)(0)(时xfn0

19、x是极小点 ;,0)(0)(时xfn0 x是极大点 .2) 当 为奇数时,n0 x为极值点 , 且0 x不是极值点 .)()()(000 xxxfxfxfnnxxnxf)(!)(00)()(0nxxo)()(0 xfxf)(0nxxonnxxnxf)(!)(00)(当 充分接近 时, 上式左端正负号由右端第一项确定 ,0 xx故结论正确 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 证证: 利用 在 点的泰勒公式 ,)(xf0 x可得例如例如 , 例2中1) 1()(32 xxf, )35(24)(2 xxxf0) 1( f所以1x不是极值点 .极值的判别法( 定理1 定理3 ) 都是充分的. 说明说

20、明:当这些充分条件不满足时, 不等于极值不存在 .例如例如:)(xf, )sin2(212xx,20 x0 x2)0(f为极大值 , 但不满足定理1 定理3 的条件.xy11机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、最大值与最小值问题最大值与最小值问题 ,)(上连续在闭区间若函数baxf则其最值只能在极值点极值点或端点端点处达到 .求函数最值的方法求函数最值的方法: :(1) 求 在 内的极值可疑点)(xf),(bamxxx,21(2) 最大值 maxM, )(1xf, )(2xf, )(,mxf, )(af)(bf最小值 minm, )(1xf, )(2xf, )(,mxf, )(af)(bf

21、机动 目录 上页 下页 返回 结束 特别特别: 当 在 内只有一个极值可疑点时,)(xf,ba 当 在 上单调单调时,)(xf,ba最值必在端点处达到.若在此点取极大 值 , 则也是最大 值 . (小) 对应用问题 , 有时可根据实际意义判别求出的可疑点是否为最大 值点或最小值点 .(小)机动 目录 上页 下页 返回 结束 )1292(2 xx1224)9(209681012922xx )(xxf041x250 x041x250 x例例3. 求函数xxxxf1292)(23在闭区间,2541上的最大值和最小值 .解解: 显然, ,)(2541Cxf且)(xf, )1292(23xxx,1292

22、23xxx)(xf121862xx121862xx内有极值可疑点在,)(2541xf2, 1,0321xxx,3)(321941f,0)0(f,5) 1 (f,4)2(f5)(25f故函数在0 x取最小值 0 ;在1x及25取最大值 5., )2)(1(6xx, )2)(1(6xx251241机动 目录 上页 下页 返回 结束 因此也可通过例例3. 求函数说明说明:)()(2xfx )(x求最值点.)(xf与最值点相同 , 由于)(x令( 自己练习 )xxxxf1292)(23在闭区间,2541上的最大值和最小值 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( k 为某一常数 )例例4. 铁路上 A

23、B 段的距离为100 km , 工厂C 距 A 处20AC AB , 要在 AB 线上选定一点 D 向工厂修一条 已知铁路与公路每公里货运价之比为 3:5 , 为使货D 点应如何选取? 20AB100C解解: 设,(km)xAD x则,2022xCD)100(320522xkxky)1000( x, ) 34005(2xxky23)400(40052xky 令,0 y得 ,15x又,015 xy所以 为唯一的15x极小点 ,故 AD =15 km 时运费最省 .总运费物从B 运到工厂C 的运费最省,从而为最小点 ,问DKm ,公路, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 把一根直径为

24、d 的圆木锯成矩形梁 ,问矩形截面的高 h 和 b 应如何选择才能使梁的抗弯截面模量最大? 解解: 由力学分析知矩形梁的抗弯截面模量为hbd261hbw , )(2261bdb),0(db令)3(2261bdw0得db31从而有1:2:3:bhd22bdhd32即由实际意义可知 , 所求最值存在 , 驻点只一个,故所求结果就是最好的选择 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 清楚(视角 最大) ? 观察者的眼睛1.8 m ,例例6. 一张 1.4 m 高的图片挂在墙上 , 它的底边高于x4 . 18 . 1解解: 设观察者与墙的距离为 x m , 则x8 . 14 . 1arctan,8 .

25、1arctanx),0(x222 . 32 . 3x228 . 18 . 1x)8 . 1)(2 . 3()76. 5(4 . 122222xxx令,0得驻点),0(4 . 2x根据问题的实际意义, 观察者最佳站位存在 ,唯一,驻点又因此观察者站在距离墙 2.4 m 处看图最清楚 .问观察者在距墙多远处看图才最机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1. 连续函数的极值(1) 极值可疑点 : 使导数为0 或不存在的点(2) 第一充分条件)(xf 过0 x由正正变负负)(0 xf为极大值)(xf 过0 x由负负变正正)(0 xf为极小值(3) 第二充分条件0)(,0)(00 xfxf

26、)(0 xf为极大值)(0 xf为极小值0)(,0)(00 xfxf(4) 判别法的推广 ( Th.3)定理3 目录 上页 下页 返回 结束 最值点应在极值点和边界点上找 ;应用题可根据问题的实际意义判别 .思考与练习思考与练习(L. P500 题4)2. 连续函数的最值1. 设, 1)()()(lim2axafxfax则在点 a 处( ).)()(xfA的导数存在 ,；且0)( af)()(xfB取得极大值 ;)()(xfC取得极小值;)()(xfD的导数不存在.B提示提示: 利用极限的保号性 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 设)(xf在0 x的某邻域内连续, 且,0)0(f,2

27、cos1)(lim0 xxfx则在点0 x处).()(xf(A) 不可导 ;(B) 可导, 且;0)0( f(C) 取得极大值 ;(D) 取得极小值 .D提示提示: 利用极限的保号性 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 设)(xfy 是方程042 yyy的一个解,若,0)(0 xf且,0)(0 xf则)(xf在)(0 x(A) 取得极大值 ;(B) 取得极小值 ;(C) 在某邻域内单调增加 ;(D) 在某邻域内单调减少 .提示提示:,)(代入方程将xf0)(4)(00 xfxfA机动 目录 上页 下页 返回 结束 得令,0 xx 试问 为何值时,axxaxf3sin31sin)(32x在时取得极值 ,还是极小.解解: )(xf由题意应有)32(f2a又 )(xf)32(f )(xf取得极大值为3)(32f4. ,3coscosxxa)32(3cos)32cos(a0,3sin3sin2xx 0求出该极值, 并指出它是极大机动 目录 上页 下页 返回 结束