1、 4.4 原点矩与中心矩原点矩与中心矩 一、矩一、矩 定义定义 设设X和和Y为两个随机变量，若为两个随机变量，若E(Xk) (k=1,2,) 存在，则存在，则 称它为称它为 X 的的k 阶原点矩阶原点矩，简称，简称 k 阶矩阶矩 若若EXE(X)k (k=1,2,)存在，则称它为存在，则称它为 X 的的k 阶中心矩阶中心矩 若若 E(X kY l ) (k=1,2,；l=1,2,) 存在，则称它为存在，则称它为 X 和和Y 的的 kl 阶混合矩阶混合矩 若若 EXE(X)kYE(Y)l (k=1,2,；l=1,2,) 存在，则存在，则 称它为称它为 X 和和Y 的的kl 阶混合中心矩阶混合中心
2、矩 E(X)是是X 的一阶原点矩；的一阶原点矩； D(X)是是X 的二阶中心矩；的二阶中心矩； Cov(X, Y) 是是X 和和Y 的二阶混合中心矩的二阶混合中心矩 二、二、n 维随机变量的协方差矩阵维随机变量的协方差矩阵 设设n维随机变量维随机变量(X1,X2,Xn)的第的第i个分量个分量Xi和第和第j个分量个分量Xj的协方差的协方差 ij EXiE(Xi) XjE(Xj) (i 、j =1,2,n)存在，则称矩阵存在，则称矩阵 nnnnnn 212222111211为为(X1, X2, , Xn)的的协方差矩阵协方差矩阵，记为，记为 B 注：注：B 为对称阵。为对称阵。 的相关系数，则称的
3、相关系数，则称与与是是若若jiijYX nnnnnn 212222111211 为为(X1, X2, , Xn) 的的相关矩阵相关矩阵，记为，记为R 利用矩阵表示，可将利用矩阵表示，可将n维正态分布的概率密度函数表示成一维正态分布的概率密度函数表示成一种简单形式设种简单形式设(X1, X2) 服从二维正态分布，概率密度函数为服从二维正态分布，概率密度函数为 22111121),( yxf)()(2)()1(2122222212211212112 xxxxe 21xxX令令 21 由由(X1,X2)的协方差阵的协方差阵 2221212122211211 B 212121221|1 BB)()(1
4、 XBX 2211212121222211)(|1 xxxxB 22222212211212112)()(2)(11 xxxx于是于是(X1, X2) 的概率密度函数可表示为的概率密度函数可表示为)( )(2121211|21),( XBXeBxxf 推广到推广到n 维正态随机变量维正态随机变量(X1, X2, , Xn)，令，令 nxxxX21 )()()(2121nnXEXEXE 那么那么n 维随机变量维随机变量(X1, X2, , Xn)的概率密度的概率密度)( )(21212211|)2(1),( XBXnneBxxxf其中其中 B 是是(X1, X2, , Xn) 的协方差矩阵的协方差矩阵
