1、 3.2 边缘分布边缘分布 对于二维随机变量对于二维随机变量(X, Y)，分量，分量X 的分布函数称为的分布函数称为(X, Y)关于关于 X 的边缘分布函数的边缘分布函数，记为，记为FX(x)；分量；分量Y 的分布函数称为的分布函数称为(X, Y) 的的 关于关于Y 的边缘分布函数的边缘分布函数，记为，记为FY(y) 由于由于(X, Y) 的联合分布函数全面反映了的联合分布函数全面反映了(X, Y) 的取值情况，因的取值情况，因 此此(X, Y) 的边缘分布函数可以由的边缘分布函数可以由(X, Y) 的分布函数的分布函数F(x, y)来确定来确定 FX(x) =PX x = PX x, y =
2、 F(x, ) 同理同理 FY(y) =F(, y)一、二维离散型随机变量的边缘分布一、二维离散型随机变量的边缘分布 设设PX= xi Y= yj= pij(i、j =1, 2, )，于是，于是 FX(x)= F(x, ) = xxjijip1 xxiixXP), 2 , 1(1 ippijij), 2 , 1(1 jppyYPjiijj同理同理对比一维随机变量分布函数的式子有对比一维随机变量分布函数的式子有 F(x)=PX x = 故有故有 PX xi = 二维离散型随机变量的联合分布的边缘分布常被列二维离散型随机变量的联合分布的边缘分布常被列成表格的形式（见下表）成表格的形式（见下表） 显
3、然显然(X, Y) 关于关于X 的边缘分布可由表的边缘分布可由表依列累加依列累加求得，求得， 而而(X, Y) 关于关于Y 的边缘分布可由表的边缘分布可由表依行累加依行累加求得分别称求得分别称 p i.、p.j(i、j =1,2,)为为(X, Y) 关于关于X 和和Y 的的边缘分布律边缘分布律 1 p1. p2. pi. pi.p.1p.2p.j p11 p21 pi1 p12 p22 pi2 p1j p2j pij y1 y2 yjp.j x1 x2 xi X Y 例例1 设二维随机变量设二维随机变量(X, Y)的概率分布为的概率分布为0123010/506/504/501/5019/501
4、0/50 3/50025/502/5000XY求求1| YXP及及X 和和Y 的边缘分布律的边缘分布律解解1| YXP表中红色部分相加表中红色部分相加0123pi.010/506/504/501/5021/5019/5010/503/50022/5025/502/50007/50 p.j 24/5018/507/501/501XY 二、二维连续型随机变量的边缘分布二、二维连续型随机变量的边缘分布 设连续型随机变量设连续型随机变量(X, Y) 的概率密度为的概率密度为f(x, y)，由，由 FX(x)=F(x, )dxdyyxfx),( 对比一维连续型随机变量的分布函数式子：对比一维连续型随机变
5、量的分布函数式子： 分别称分别称 fX(x)、fY(y)为为(X, Y) 关于关于X 和和Y 的的边缘概率密度边缘概率密度 xXdttfxF)()( dyyxfxfX),()(得：得：同理有：同理有： dxyxfyfY),()(fX(x)为为X、Y 的联合密度的联合密度f(x, y) 在整个在整个y 轴上对轴上对y积分积分fY(y) 为为X、Y 的联合密度的联合密度f(x, y) 在整个在整个x 轴上对轴上对x积分积分 例例2 设二维随机变量在区域设二维随机变量在区域D：0 x1，0y22x上服上服 从均匀分布，试求从均匀分布，试求X 和和Y 的边缘分布密度的边缘分布密度 解解 由定义知联合密
6、度为由定义知联合密度为 DyxDyxyxf),(0),(1),( dyyxfxfX),()( 其其它它01022xx 其其它它0101220 xdyx 其其它它0201210ydxy dxyxfyfY),()( 其他其他02021yy 例例3 设二维随机变量设二维随机变量(X, Y) 的概率密度为的概率密度为)()(2)()1(212212222212121212121),( yyxxeyxf(x, y)其中其中1,2,1,2 ,都是都是常数，且常数，且1 0，2 0，11，称，称(X, Y)为服从参数为服从参数1,2,1,2 ,的的二维正态分布二维正态分布试求试求(X, Y) 的边缘分布的边缘分布 解解211221122 xxy dyyxfxfX),()( 22112222 yxy由由于于dyeexfxyxX 2112222121)()()1(212)(221121)( )()(1111222 xyt令令dteexftxX22)(12212121)( )(21)(22222)(2 yeyfyY 同理同理)(21)(21212)(1 xexfxX 即即可见：可见：二维正态分布的边缘分布都是一维正态分布二维正态分布的边缘分布都是一维正态分布二维正态分布二维正态分布的概率密度随着的概率密度随着值不同而变化，但其边缘概率密度却与值不同而变化，但其边缘概率密度却与无关无关
