电磁学第五章稳恒磁场的基本性质-高斯和环路定理.ppt

1、1第四章 真空中的静磁场 1 磁现象与安培定律磁现象与安培定律 2 稳恒磁场与毕奥萨伐尔定律稳恒磁场与毕奥萨伐尔定律 3 稳恒磁场的基本性质稳恒磁场的基本性质 4 安培力与洛伦兹力安培力与洛伦兹力 1基本磁现象2安培定律3磁感应强度矢量4磁场的高斯定理5安培环路定律6磁场对载流导线的作用7磁场对运动带电粒子的作用2静电场：静电场：磁场：磁场：?dSSB0/diSeqSE静电场是有源场静电场是有源场3 稳恒磁场的基本性质稳恒磁场的基本性质 高斯定理和环路定理高斯定理和环路定理1、磁场的高斯定理磁场的高斯定理3 磁通量磁通量定义定义：通过磁场中任何一个曲面的磁力线的条数称为该面：通过磁场中任何一个

2、曲面的磁力线的条数称为该面 的磁感应强度通量或磁通量。的磁感应强度通量或磁通量。表示。用mdSBScos单位：单位： 1Tm2 =1Wb（韦伯）（韦伯）SdBdmSSmmSdBdSdBn磁力线穿入磁力线穿入规定规定0m磁力线穿出磁力线穿出0m4xIB =2o,md.B dS=,abxdxlI+B例例 在真空中有一无限长载流直导线，在真空中有一无限长载流直导线，试求：通过其右侧矩形线框的磁通量。试求：通过其右侧矩形线框的磁通量。 解：解：SmSdBldxds ldxxIbaa20abaIlln205磁场的高斯定理磁场的高斯定理 通过磁场中任何闭合曲面的磁感应通量通过磁场中任何闭合曲面的磁感应通量

3、总为零，这是磁场必须遵守的基本规律。总为零，这是磁场必须遵守的基本规律。 上式表明：磁场是无源场，上式表明：磁场是无源场，即孤立磁荷不即孤立磁荷不可能存在可能存在。0SSdB电流产生的磁感应线既没有起始点，也电流产生的磁感应线既没有起始点，也没有终止点，即磁场线没有终止点，即磁场线既既没有源头，也没有源头，也没有尾闾。没有尾闾。6电流元磁场的高斯定理的证明电流元磁场的高斯定理的证明 78磁场高斯定理的微分形式磁场高斯定理的微分形式92 2 磁场的安培环路定理磁场的安培环路定理一一. .磁场的安培环路定理磁场的安培环路定理静电场静电场: 0d lE静电场是保守场静电场是保守场磁磁 场场:?d l

4、B以无限长载流直导线为例以无限长载流直导线为例 rIB20LlBdLlBdcosLrrId20I0磁场的环流与环路中所包磁场的环流与环路中所包围的电流有关围的电流有关 ILPIBrrLrldd10若环路中不包围电流的情况？若环路中不包围电流的情况？IL若环路方向反向，情况如何？若环路方向反向，情况如何？IBrLld rdLLrrIlBd2d0I01dlI1B2B2dl1012 rIB1r2rL2022 rIBlBlBdd21对一对线元来说对一对线元来说 2211cosdcosdlBlB2201102d2drIrrIr0d环路不包围电流，则磁场环流为零环路不包围电流，则磁场环流为零 1211 推

5、广到一般情况推广到一般情况 kII 1nkII1 在环路在环路 L 中中 在环路在环路 L 外外 L1I2IiI1kInIkIP LiLlBlBdd则磁场环流为则磁场环流为 LilBd010kiiI内）LIkii(10 安培环路定律安培环路定律 恒定电流的磁场中，磁感应强度沿一闭合路径恒定电流的磁场中，磁感应强度沿一闭合路径 L L 的线积分的线积分等于路径等于路径 L L 包围的电流强度的代数和的包围的电流强度的代数和的 0 倍。倍。内iLIlB0d环路上各点的环路上各点的磁场为所有电磁场为所有电流的贡献流的贡献12(1) 积分回路方向与电流方向呈右螺旋关系积分回路方向与电流方向呈右螺旋关系

6、满足右螺旋关系时满足右螺旋关系时 0iI, ,反之反之 0iI(2) 磁场是有旋场磁场是有旋场 电流是磁场涡旋的轴心电流是磁场涡旋的轴心;也也 称为非保守场称为非保守场 。(4) 安培环路定理只适用于闭合的载流导线，对于安培环路定理只适用于闭合的载流导线，对于任意设想的一段载流导线不成立。任意设想的一段载流导线不成立。讨论讨论内iLIlB0d(3) B的环流仅与环路内电流有关，与环路外电流无关；的环流仅与环路内电流有关，与环路外电流无关；但是环路上任意点但是环路上任意点B却与环路内外电流都有关系。却与环路内外电流都有关系。0ll dB，B并不一定等于零并不一定等于零。 Ii =0时，时，130

7、 l dE静电场静电场稳恒磁场稳恒磁场 iiIl dB0 0 SdB isqSdE01 磁场没有保守性，它是磁场没有保守性，它是非保守场，或无势场非保守场，或无势场电场有保守性，它是电场有保守性，它是保守场，或有势场保守场，或有势场电力线起于正电荷、电力线起于正电荷、止于负电荷。止于负电荷。静电场是有源场静电场是有源场 磁力线闭合、磁力线闭合、无自由磁荷无自由磁荷磁场是无源场磁场是无源场14安培环路定理的微分形式由数学上的斯托克斯定理推导出其中j为体电流密度矢量。上式表明：稳恒磁场中每一点磁感应强度B的旋度等于该点电流密度矢量j的0倍，即有电流的地方磁场有旋的。因此磁场有无源有旋无源有旋的矢量

8、场。jB015安培环路定理的应用安培环路定理的应用 例例1 求无限长圆柱面电流的磁场分布。求无限长圆柱面电流的磁场分布。 RIrPL解解 系统有轴对称性，圆周上各点的系统有轴对称性，圆周上各点的 B 相同。相同。PIddIBddB时时过圆柱面外过圆柱面外P 点点做一圆周，做一圆周，Rr LlBdcosLlB drB 2I0rIB20LlBdcosLlB drB 2Rr 时在时在圆柱面圆柱面内做一圆周，内做一圆周，00B16无限长圆柱体载流直导线的磁场分布无限长圆柱体载流直导线的磁场分布 Rr 区域：区域：rIB20区域：区域：Rr rB 220rj2RIj202 RIrB推广推广RI17作业：

9、作业： 证明证明: :无限长载流无限长载流圆柱面圆柱面的磁场。的磁场。 rR: rR:rIB200B18例例2、长直载流螺线管内部的磁场。已知、长直载流螺线管内部的磁场。已知I，n，真空。，真空。cddabcababcdal dBl dBl dBl dBl dB 取如图所示的闭合环路取如图所示的闭合环路abcda：abBl dBabIabnI00解解：IabnabB0ILNnIB00I I. . . . . .+Babcd19roIN作业作业: : 求螺绕环电流的磁场分布及螺绕环内的磁通量。求螺绕环电流的磁场分布及螺绕环内的磁通量。 解解 h1R2RSrd 在螺绕环内部做一个环路，可得在螺绕环

10、内部做一个环路，可得LlBdcosLlB drB2NI0rNIB2/0 若螺绕环的截面很小，若螺绕环的截面很小，rr IrNB20内nI0 若在外部再做一个环路，可得若在外部再做一个环路，可得 0iI0外B螺绕环内的磁通量为螺绕环内的磁通量为21dRRmSBrhrNIRRd2210120ln2RRhNI20例例4 求无限大平面电流的磁场求无限大平面电流的磁场 解解 面对称面对称 iBBPabcddacdbcablBlBlBlBlBddddddcbalBlBddBab2abi02/0iB推广：有厚度的无限大平面电流推广：有厚度的无限大平面电流 jd2/0jdBjxB0 在外部在外部 在内部在内部

11、 x21小结：小结：磁场与电场分布的特殊对称情况对比：磁场与电场分布的特殊对称情况对比：球对称：球对称：电场电场磁场磁场不存在不存在圆柱：圆柱：平面：平面：电场电场磁场磁场求解：求解： 高斯定律高斯定律 环路定理环路定理232425两条定理与毕奥萨伐尔定律的关系两条定理均通过毕奥萨伐尔定律导出。从高斯定理的证明过程可知它不要求毕奥萨伐尔定律中的距离平方反比关系，当n2时高斯定理仍然成立。但安培环路定理则要求n=2，从证明过程可知，利用无穷长直导线电流的磁场，可推出当n2时，该环路值与回路半径r0有关，使安培环路定理不能成立。实验表明，对随时间变化的磁场，高斯定理仍然有效，但安培环路定理应予修正

12、。26稳恒磁场的矢量势(磁矢势)由于磁场满足安培环路定理，B的环量一般不为0，因此不能象静电场电势那样用标量来描述。但从稳恒磁场满足高斯定理来看，可以引入另一个矢势A来代替描述稳恒磁场。矢量A称为稳恒磁场的矢量势（简称磁矢势）。ArB)(27稳恒体电流产生的磁场的磁矢势为对于线电流、面电流产生的磁场的磁矢势分别为：0)(4)(VdVRrjrA04)(LRlIdrA0)(4)(SRdSrirA284 安培力与洛伦兹力一一. .安培定理安培定理（安培试验）大小：大小：方向：方向：sinddlBIF 由右手螺旋法则确定由右手螺旋法则确定 任意形状载流导线在外磁场中受到的安培力，任意形状载流导线在外磁

13、场中受到的安培力，BlIFFdd(1) 安培定理是矢量表述式安培定理是矢量表述式zyxFFFFd,d,dd(2) 若磁场为匀强场若磁场为匀强场 BlIFd在匀强磁场中的闭合电流受力在匀强磁场中的闭合电流受力BlIFd0BlIF dd讨论讨论电流元安培力，电流元安培力，dF dlIBA.磁场对电流的作用磁场对电流的作用 安培力29 线、面、体电流元在磁感应强度为线、面、体电流元在磁感应强度为B的的外磁场中受到的安培力为：外磁场中受到的安培力为： 上式为计算电流在外磁场中受力的基本上式为计算电流在外磁场中受力的基本公式，称为安培公式。公式，称为安培公式。BlIdFdBdSiFdBdVjFd30利用

14、安培公式，可得出闭合导线电流I、面电流i（分布在导体表面S上）和体电流j（分布于导体体积V内）在外磁场中受到的安培力分别为：其中B为外磁场的磁感应强度。外磁场是指除受力电流之外的其他电流产生的磁场。LBlIdFSBdSiFVBdVjF31 这些电流（即载流导体）在外磁场B中所受的力矩分别为： 其中B为外磁场的磁感应强度。外磁场是指除受力矩电流之外的其他电流产生的磁场。LBlIdrL)(SdSBirL)(VdVBjrL)(32例 稳恒体电流和面电流在外磁场中受力问题。 当除去受力电流之外的其他电流所产生的磁场B不容易求得，而总磁场Bt和受力电流的磁场B1容易计算出来时，此时可用B=Bt-B1代替

15、。 当受力电流是稳恒体电流和面电流时，可以进一步简化为B=Bt-dB，其中dB为受力电流元在自身处产生的磁场，此时计算结果包含了电流系统内各个电流元之间的相互作用内力的合力，这合力为零，并不影响最后的正确结果。适用于体电流和面电流，不能用于线电流。33二、安培定律的应用二、安培定律的应用 求解安培力求解安培力步骤：步骤： 、选择电流元；、选择电流元； 、由安培定律给出电流元在磁场中的受力；、由安培定律给出电流元在磁场中的受力； 、利用叠加原理给出载流导体所受的力，变、利用叠加原理给出载流导体所受的力，变 矢量为标量积分求解。矢量为标量积分求解。IBF dlIa34xyOAILB此段载流导线受的

16、磁力。此段载流导线受的磁力。在电流上任取电流元在电流上任取电流元lIdlIBBlIFdddlIdFdsinddlIBFxyIBdxIBlIBFydcosdd0d00yIBFxIBLxIBFLy0d例例1 1 在均匀磁场中放置一任意形状的导线，电流强度为在均匀磁场中放置一任意形状的导线，电流强度为I I求求解解相当于载流直导线相当于载流直导线F 在匀强磁场中受的力，方向沿在匀强磁场中受的力，方向沿 y y 向。向。OA35例例2 如图所示，有一刚性闭合线圈如图所示，有一刚性闭合线圈abcdea，bcd是半径为是半径为R的半圆弧，的半圆弧，线圈中线圈中通有电流通有电流I，将其放在如图所示匀强磁场中

17、，求作用于该线，将其放在如图所示匀强磁场中，求作用于该线圈的安培力。圈的安培力。 xy解：解：作用在线圈上的安培力可看成是四作用在线圈上的安培力可看成是四段导线受力的矢量和，即：段导线受力的矢量和，即：eadebcdabFFFFFI RabcedabFdeFeaF0deabFFealealeaBIlIdlBFBlIdFeaeacos)( BIR2lIdBlIdFd36 0bcdlxxdFFbcdbcdbcdlllyyBIdlSindFSindFFxyI RabcedabFdeFeaFlIdlId IBRdBIRSinFFybcd200bcdeaFF0F若此线圈为超导线圈，通有大电若此线圈为超导

18、线圈，通有大电流，可使线圈变形或断裂流，可使线圈变形或断裂方向？37I1I2ba,作业作业: : 求一无限长直载流导线的磁场对另一直载流导线求一无限长直载流导线的磁场对另一直载流导线CD的作用力。的作用力。已知：已知：D dlII2 dllabCdF138CDFABF三三. .磁场对平面载流线圈的作用磁场对平面载流线圈的作用B1l2lDAFBCFDCBAIsin1BIlFFBCDA（方向相反在同一直线上）（方向相反在同一直线上）2BIlFFABCD0iF（线圈无平动）（线圈无平动）对中心的力矩为对中心的力矩为sin2sin211lFlFMCDABsin21BIl l1. 在均匀磁场中的刚性矩形

19、载流线圈在均匀磁场中的刚性矩形载流线圈n（方向相反方向相反不在一条直线上）不在一条直线上）nl lnSS21BpMmnISpm令令B+ +nA(B)D(C)392. 磁场力的功磁场力的功dsinddBISMAmIBSId)cosd(mmmmIIIAmm)(d1221讨论讨论(1) 线圈若有线圈若有N 匝线圈匝线圈BpNMm负号表示力矩作正功时负号表示力矩作正功时 减小减小(2) 非均匀磁场中的平面电流环非均匀磁场中的平面电流环0iF线圈有平动和转动。线圈有平动和转动。0M40对于对于任意形状的线圈：任意形状的线圈：讨论：讨论：BPMm(3) M 作用下，磁通量增加。作用下，磁通量增加。41作业

20、作业：一半径为一半径为R的半圆形闭合线圈，通有电流的半圆形闭合线圈，通有电流I，线，线圈放在均匀外磁场圈放在均匀外磁场B中，中，B的方向与线圈平面成的方向与线圈平面成300角角，如右图，设线圈有，如右图，设线圈有N匝，问：匝，问：B060（1）线圈的磁矩是多少？）线圈的磁矩是多少？ （2）此时线圈所受力矩的）此时线圈所受力矩的 大小和方向？大小和方向？ 42一一. .洛伦兹力公式洛伦兹力公式 实验结果实验结果qBvfsin,vBqf sinBqfv 安培力与洛伦兹力的关系安培力与洛伦兹力的关系ldIqsfBqNF vddBqfm vBlIF dBlnsqdvBNqv安培力是大量带电粒子洛伦兹力

21、的叠加安培力是大量带电粒子洛伦兹力的叠加B 带电粒子在磁场中的运动带电粒子在磁场中的运动洛伦兹力洛伦兹力v43(1) 洛伦兹力始终与电荷运动方向垂直，故洛伦兹力始终与电荷运动方向垂直，故讨论讨论对电荷不作功对电荷不作功f(2) 在一般情况下，空间中电场和磁场同时存在在一般情况下，空间中电场和磁场同时存在meffFBqEqvtp d/d二二. .带电粒子在均匀磁场中的运动带电粒子在均匀磁场中的运动 BvBfqRmBq22sinvvqBmRvqBmRT22vmqBf2 粒子回转周期与频率粒子回转周期与频率情况情况v44 一般情况一般情况 B/vvhcos/vvsinvv带电粒子作螺旋运动带电粒子作

22、螺旋运动qBmqBmRsinvvqBmThcos2/vv 磁聚焦原理磁聚焦原理 B粒子粒子源源A Avv /vv 很小时很小时qBmThvv2/接收接收器器 AA发散角不太大的带电粒子束，经过一个周期后，重新会聚。发散角不太大的带电粒子束，经过一个周期后，重新会聚。v45减少粒子的纵向前进速减少粒子的纵向前进速度，使粒子运动发生度，使粒子运动发生“反射反射” 磁约束原理磁约束原理 在非均匀磁场中，速度方向与磁场不同的带电粒子，也要作在非均匀磁场中，速度方向与磁场不同的带电粒子，也要作螺旋运动，但半径和螺距都将不断发生变化。螺旋运动，但半径和螺距都将不断发生变化。qBmqBmRsinvv磁场增强

23、，运动半径减少磁场增强，运动半径减少 强磁场可约束带电粒子在一根磁场线附近强磁场可约束带电粒子在一根磁场线附近 横向磁约束横向磁约束 纵向磁约束纵向磁约束在非均匀磁场中，纵向运动在非均匀磁场中，纵向运动受到抑制受到抑制 磁镜效应。磁镜效应。46磁镜效应的典型应用磁镜效应的典型应用受控热核聚变受控热核聚变氢核聚变氢核聚变氢核聚变条件：氢核聚变条件：氢核的等离子体温度要高氢核的等离子体温度要高（108K）；）；氢核的等离子体密度要高；氢核的等离子体密度要高；高温和高密度要维持足够的时间。高温和高密度要维持足够的时间。恒星恒星：引力约束核聚变：引力约束核聚变氢弹氢弹：人工实现的不可控制聚变核反应：人

24、工实现的不可控制聚变核反应有没有办法将高温高密度氢核约束在一起，并维持一有没有办法将高温高密度氢核约束在一起，并维持一定时间，成为能否实现可控氢核聚变反应的关键！定时间，成为能否实现可控氢核聚变反应的关键！47线圈线圈线圈线圈B高温等离子体高温等离子体能约束运动带电粒子的磁场分布称为磁镜约束能约束运动带电粒子的磁场分布称为磁镜约束 磁瓶磁瓶最有希望的可控氢核聚最有希望的可控氢核聚变途径：变途径：磁约束磁约束实际的磁约束装置：托卡马克实际的磁约束装置：托卡马克( (Tokamak环环) )48世界上四大托卡马克聚变试验堆之一：美国普林斯顿的TFTR装置49我国第一台大型超导我国第一台大型超导托卡

25、马克装置托卡马克装置HT-7（1994年）。年）。2003年年5月我国宣布将月我国宣布将建设一座新的超导托建设一座新的超导托卡马克装置，建成后卡马克装置，建成后它将成为世界上最大它将成为世界上最大的核聚变实验平台。的核聚变实验平台。50三三. .霍尔效应霍尔效应18791879年年 霍尔发现在一个通有电流的导体板上，霍尔发现在一个通有电流的导体板上，若垂直于板面施加一磁场，则板面两侧会出现若垂直于板面施加一磁场，则板面两侧会出现微弱电势差微弱电势差( (霍尔效应霍尔效应)(1)(1)分析霍尔效应的产生机理？分析霍尔效应的产生机理？nqdIBU(2)(2)证明霍尔电压证明霍尔电压为为B磁场磁场I

26、电流电流q粒子电量粒子电量n导体板中导体板中 粒子数密度粒子数密度d厚度厚度51Bqfm v横向电场力横向电场力: :洛伦兹力洛伦兹力: :0)(BqEqv当达到动态平衡时：当达到动态平衡时：dIBKUab受力分析dnqvlnqdIBUabnqK1BEhvlEuhabBlv(霍耳系数霍耳系数)SnqIvvldIBabqmfEEEqfe(方向向下方向向下)(方向向上方向向上)+Eqfe52(2) 区分半导体材料类型区分半导体材料类型 霍尔系数的正负与载流子电荷性质有关霍尔系数的正负与载流子电荷性质有关B+abbauu ab+bauu 0K0KIIvqN 型半导体型半导体P 型半导体型半导体vq它

27、是研究半导体材料性质的有效方法它是研究半导体材料性质的有效方法（浓度随杂质、温浓度随杂质、温度等变化度等变化）B讨论讨论(1) 通过测量霍尔系数可以确定导电体中载流子浓度通过测量霍尔系数可以确定导电体中载流子浓度53高温导高温导电气体电气体B没有机械转动部分造成的没有机械转动部分造成的能量损耗能量损耗可提高效率。可提高效率。特点：特点：(3) 磁流体发电磁流体发电1998年诺贝尔物理学奖年诺贝尔物理学奖- -分数量子霍尔效应分数量子霍尔效应1985年诺贝尔诺贝尔-德国科学家整数量子霍尔效应 1880年，霍尔发现零磁场中的霍尔效应-反常霍尔效应。 量子反常霍尔效应 54小结：带电粒子在磁场中运动的应用 速度选择器 直线忽略重力则qE=qvB,v=E/B 质谱仪：通过测量电离原子(离子)的质量或荷质比对样品进行成分分析的重要仪器。 磁聚焦：带电粒子在磁场中的螺旋线运动可以使发散的粒子射线束再会聚一点。 磁约束与等离子体55小结 安培定律 毕奥萨尔定律 安培公式 洛仑兹力 磁场的高斯定理说明磁场的无源性，即孤立的磁荷不可能存在。 磁场的安培环路定理: 说明磁场的有旋性。 对所有惯性参考系，带电体所带的电量q和光速c一样，是不变量；普遍的洛仑兹力公式的形式是相同的。