1、随机变量的函数随机变量的函数电子科技大学1. .问题问题1的回答的回答两个问题两个问题1. 随机变量的函数是否仍为同一概率空间随机变量的函数是否仍为同一概率空间 上的随机变量上的随机变量? ?2. 如何确定其分布？如何确定其分布？1.3 随机变量的函数随机变量的函数结论结论 有一般充分条件成立有一般充分条件成立. .随机变量的函数随机变量的函数电子科技大学2. .确定随机变量的函数的分布确定随机变量的函数的分布 1）设已知设已知(X1,X2,Xn)的联合分布的联合分布, ,并有并有k个个n元连续函数：元连续函数： y1=g1(x1,xn) , yk=gk(x1,xn)则则 Yi=gi(X1,X
2、n), ( i=1,2,k)是随机变量是随机变量. . (Y1,Y2,Yk)的联合分布函数为：的联合分布函数为：,),(221121kkkyYyYyYPyyyF ),(,),(1111knknyXXgyXXgP 随机变量的函数随机变量的函数电子科技大学当当（X1,X2,Xk）是连续型的随机变量时是连续型的随机变量时),(21kyyyF nndxdxxxf11D),(,1,2,),(: ),(11kiyxxgxxDinin 其中其中当当（X1,X2,Xk）是离散型的随机变量时是离散型的随机变量时),(21kyyyp DxxnnnxXxXP),(111,11(,):(,),1,2, niniDxx
3、g xxy ik其其中中随机变量的函数随机变量的函数电子科技大学2)关于一个关于一个( (或几个或几个) )随机变量的函数随机变量的函数3）二维随机变量的变换二维随机变量的变换 定理定理1.3.1 设设(X1, X2)的联合密度为的联合密度为f(x1, x2),若若函数函数 ).,(; ),(21222111xxgyxxgy满足下述条件满足下述条件: :随机变量的函数随机变量的函数电子科技大学 . ),(, ),(21222111yyxxyyxx 存在惟一反函数存在惟一反函数 有连续的一阶偏导数；有连续的一阶偏导数； Jacobi行列式行列式 022122111 yxyxyxyxJ则则Y1=g
4、1(X1,X2), Y2=g2(X1,X2)的联合概率密度为的联合概率密度为Jyyxyyxf),(, ),(212211随机变量的函数随机变量的函数电子科技大学证证 Y1, Y2是随机变量，其联合分布函数为是随机变量，其联合分布函数为 D121212),(),(dxdxxxfyyF),(,),(: ),(D2212121121yxxgyxxgxx 其其中中11122212(,);(,).xx u uxx u u 做积分变换做积分变换 121211221212(,)(,),(,) JyyF yyf x u ux u udu du 随机变量的函数随机变量的函数电子科技大学2121221),(),(
5、yyyyFyyf Jyyxyyxf),(),(212211 Ex.2 和的分布和的分布Y=X1+X2 1221121211yyxyxxxyxy令令反函数反函数随机变量的函数随机变量的函数电子科技大学, 1110122122111 yxyxyxyxJ得得Y1=X1和和Y2=X1+X2的联合密度为的联合密度为JyyyfyyfXXYY),(),(121,21,2121 关于关于Y2=X1+X2的边缘密度为的边缘密度为: : 1121,2),()(2121dyyyyfyfXXXX随机变量的函数随机变量的函数电子科技大学若若X1, X2相互独立相互独立, ,则则 11212)()()(2121dyyyfyfyfXXXX称为两个函数称为两个函数的卷积或褶积的卷积或褶积
