1、返回一、一、Kronecker积积Kronecker积积111212122212nnmmmnaBaBaBaBaBaBABaBaBaB定理定理1：Kronecker积的性质：积的性质：,m np qr sk hAPBPCPDP设设Kronecker积积(1)mnmnEEE(2)()()()ABABAB返回(3)()()()ABCACBC(4)()()ABCABC(5)(),()TTTHHHABABABAB(6),()()nr qkACBDABCD当当时时，111(7),()mn pqA BABAB当当时时，且且可可逆逆，则则返回(8),()mn pqtr ABtrA trB当时，当时，(9)()
2、rank ABrankA rankB(10),det()(det)(det)pmmn pqABAB 当当时时，证：证：121110mAPPPJ P 返回121120pBQQQJ Q 1112()()ABPJ PQJ Q112()()()PQJJPQ 12det()det()ABJJ12111()()()pppjjmjjjj 11() ()pmpmijij det()(det)(det)pmABAB 返回定义定义1 KroneckerkkAAAA 个个积积的的乘乘幂幂: :定理定理2(1),;TTAA BBAB当当时时也也是是对对称称矩矩阵阵,;HHAA BBAB当当时时也也是是HermiteH
3、ermite矩矩阵阵(2),;U VUV 当当均均为为酉酉矩矩阵阵时时也也是是酉酉矩矩阵阵 (3)().kkkABAB 返回分别为分别为m,为为mn阶阶Hadamard例例1：以以1或或-1为元素的为元素的m阶矩阵阶矩阵H，如果有，如果有TmHHmE 则称则称H 为为m阶阶Hadamard矩阵矩阵.,mnHH设设n阶阶Hadamard矩阵矩阵,则则mnHH 矩阵矩阵.证：证：()()TmnmnHHHH()()TTmnmnHHHHTTmmnnHHH HmnmEnEmnmnE 返回二、二、Kronecker积的特征值积的特征值:(1,2,),(1,2,)(1,2, ),(1,2, ),3.m mi
4、in njjijijimACx imjnBCyjnABmnxy 设设为为为为相相应应的的特特征征向向量量; ;为为为为相相应应的的特特征征向向量量, ,则则有有个个特特征征值值对对应应的的特特征征向向量量为为定定理理证：证：,iiijjjAxx Byy ()()ijijAB xyAxBy iijjxy ()ijijxy 返回:(1,2,),(1,2,)(1,2, ),(1,2, )4,.m miin njjijkijimACx imjnBCyjnABxy 设设为为为为相相应应的的特特征征向向量量; ;为为为为相相应应的的特特征征向向量量, ,则则是是的的特特征征值值为为对对定定应应的的特特征征
5、向向量量理理证：证：()()()()()()kijnijmijAB xyAExyEB xy 定义定义2 m阶矩阵阶矩阵A与与n阶矩阵阶矩阵B的的Kronecker 和和：knmABAEEB ()()ijijAxyxBy ()ijijxy 返回2、向量化算符、向量化算符111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa 设设12,cccnAAA记记A的列为的列为12(,)cccnAAAA 12cccnAAVec AA 向向量量化化算算符符: :返回性质性质1：()Vec kAlBkVec AlVec B定理定理5：设设 则则 ,m nn rr sACXCBC()()TVec AXBBA Vec X推论推论1： ,(1)()();(2)()().m mn nm nnTmACBCXCVec AXEA Vec XVec XBBEVec X设设则则例例2： 解矩阵方程解矩阵方程 11121311122122242122aaxxccaaxxcc 返回AXC 解：解：()()( )Vec AXEA Vec XVec C1112111212222111123122122422aaxcaaxcaaxcaaxc
