矩阵理论课件：线性空间及分解.ppt

1、返回矩阵理论作者：黄廷祝、钟守铭、李正良作者：黄廷祝、钟守铭、李正良高等教育出版社高等教育出版社返回引言：码理论中的矩阵方法引言：码理论中的矩阵方法矩阵：矩阵：)1, 0()1之间之间与与，而且，而且或或矩阵的元素都是矩阵的元素都是1010:的运算满足的运算满足; 011, 101, 110, 000 . 111, 001, 010, 000 格雷码：格雷码：)2.是是一一种种改改变变量量最最小小的的码码个个相相邻邻的的数数字字间间，其其改改在在二二进进数数码码内内，往往往往两两01143.，二二进进数数码码是是由由变变到到比比如如由由变变量量不不是是最最小小.3100位位，其其改改变变量量是

2、是变变到到返回0123456700000101001110010111011100000101101011011110110001326754十进数二进码格雷码格雷码十进数返回二进码转换为格雷码：二进码转换为格雷码：)3 000000110011001 100100110011001 110010110011001 010110110011001返回 011001110011001 111101110011001 101011110011001 001111110011001返回 110000011000001000000110000011000001P的转换矩阵：的转换矩阵：到到120 p返

3、回第一章线性代数基础返回1.1 1.1 线线 性性 空空 间间1、什么是线性空间？、什么是线性空间？中中定定义义加加法法：在在是是一一个个数数域域是是一一非非空空集集合合，设设VPV.如果如果之间定义数量乘法：之间定义数量乘法：与与在在.;kPVv加法与数量乘法满足：加法与数量乘法满足：1)2) ()()3)0,0VV有有4), .0VV s t 1)5 )()()6kllk lklk )()7 lkk )()8性空间.则V称为数域P上的线返回.2线性空间判断下列集合是否构成的的全全体体向向量量所所构构向向量量空空间间中中不不平平行行于于一一已已知知 )1成成的的集集合合，的的多多项项式式全全

4、体体所所上上次次数数等等于于定定数数数数域域)1()2 nnP构构成成的的集集合合，?性性空空间间是是否否构构成成复复数数域域上上的的线线返回线线性性空空间间的的基基和和维维数数. 311:,1,. nnVnVnVn 定定义义 在在中中有有 个个线线性性无无关关的的向向量量而而中中任任意意个个向向量量都都线线性性相相关关 则则称称是是的的一一组组基基就就是是线线性性空空间间的的维维数数返回. 4与与一一组组基基求求下下列列线线性性空空间间的的维维数数，阶阶方方阵阵构构成成的的空空间间上上全全体体数数域域nnPnP )1.)2上上的的空空间间域域中中全全体体对对称称矩矩阵阵构构成成数数PPnn

5、解：解：njiEPijnn, 2 , 1,)1 基基为为2)dim(nPnn njiEEEFiijiijij 1)2令令.2)1( nn维维数数为为返回可可交交换换的的矩矩阵阵组组，证证明明：全全体体与与设设APAnn 5).(AC成成的的一一个个子子空空间间，记记为为证EAAE ).(ACE )(,21ACAA 2211,AAAAAAAA AAA)()121 AAAA21 21AAAA )(21AAA :,.PVWVWV定义 如果数域 上的线性空间 的一非空子集对于 的两种运算也构成线性空间 则称是线性子空间的返回AkA )()21)(1AAk )(1AAk )(1kAA .)(的的子子空空

6、间间是是nnPAC 则则的两个非平凡子空间，的两个非平凡子空间，是线性空间是线性空间、设设VVV21. 6.21同同时时成成立立、，使使中中存存在在向向量量VVV 是非平凡子空间是非平凡子空间1V证：证：1V 存存在在向向量量，则则结结论论成成立立如如果果2V V2, 如如果果: :是非平凡子空间是非平凡子空间2V返回2V 存存在在向向量量，则则结结论论成成立立如如果果1V ，就就有有如如果果1V 1122,;, VVVV 21,VV 返回1.2 空间分解与维数定理空间分解与维数定理1 12 21 12 2, , ,V VV VV VV VV V定定义义1 1 设设是是线线性性空空间间的的子子

7、空空间间 则则与与的的和和为为12 VV121122|, VV1l2l 2 1 1V2V返回定理定理1：设：设1V2V和和是线性空间是线性空间V的子空间，则的子空间，则121212dim()dim()dim()dim() VVVVVV 121122(,)VV有有且是唯一的，这个和且是唯一的，这个和12VV就称为直和就称为直和,记为记为12 VV定义定义2 设设1V2V和和 是线性空间是线性空间V的子空间的子空间,若对若对 12, VV 返回定理定理2：设设1,V2V是线性空间是线性空间V的子空间的子空间,则下列命题等价则下列命题等价（1）12 VV是直和；是直和； （2） 零向量表示法唯一；零

8、向量表示法唯一；（3）120. VV 例例 1：,( )( ),LL 设设线线性性无无关关 则则是是直直和和.()( )LL而，不是直和而，不是直和返回相互等价：相互等价：（2） 零向量表示法唯一；零向量表示法唯一；定理定理3：设设是线性空间是线性空间V的子空间，则下列命题的子空间，则下列命题12,sV VV（1）是直和；是直和；12sWVVV（3）()0. ijj iVV （4）dim()dim(). iWV定义定义3：设：设12,sV VV是线性空间是线性空间V的子空间，如果和的子空间，如果和12sVVV12,(1,2, )siiV is 12 sVVV中的每个向量中的每个向量 的分解式的分解式是唯一的，这个和是唯一的，这个和就称为直和，记为就称为直和，记为12 sVVV