信号检测与估计课件：第二章信号检测与估计理论(1).ppt

1、2022-1-281第二章第二章 信号检测与估计理论的基础知识信号检测与估计理论的基础知识2022-1-282第二章第二章 信号检测与估计理论的基础知识信号检测与估计理论的基础知识主要内容主要内容 随机变量、随机矢量及其统计描述随机变量、随机矢量及其统计描述 随机过程及其统计描述随机过程及其统计描述 复随机过程及其统计描述复随机过程及其统计描述 线性系统对随机过程的响应线性系统对随机过程的响应 高斯噪声、白噪声和有色噪声高斯噪声、白噪声和有色噪声 信号和随机参量信号及其统计描述信号和随机参量信号及其统计描述 窄带高斯噪声及其统计特性窄带高斯噪声及其统计特性 信号加窄带高斯噪声及其统计特性信号加

2、窄带高斯噪声及其统计特性2022-1-283第一章信号模型复习第一章信号模型复习 1 1 信号的随机性及其统计处理方法信号的随机性及其统计处理方法 或或 是待处理的随机信号。是待处理的随机信号。 统计处理方法，主要体现在如下三个方面：统计处理方法，主要体现在如下三个方面： 统计描述随机信号：概率密度函数，统计平均量，功率谱密度等；统计描述随机信号：概率密度函数，统计平均量，功率谱密度等； 统计意义上的最佳处理统计意义上的最佳处理满足指标要求的处理；满足指标要求的处理； 统计评价统计评价处理结果由概率，平均代价，平均错误概率，均方误差等统计处理结果由概率，平均代价，平均错误概率，均方误差等统计量

3、来评价。量来评价。 x t = s t +n t x ts tn t； x t2022-1-284曾经的考试题2022-1-2852.2.基本概率公式基本概率公式乘法公式乘法公式 ，设，设A,BA,B是随机事件是随机事件 全概率公式，设全概率公式，设B Bi i是完备不相容事件是完备不相容事件,B,Bi i是样本空间的一个分割是样本空间的一个分割()(|) ( )(|) ( )P ABP A B P BP B A P A事件相乘事件相乘同同时发生时发生()( ) (|) (|)P ABCP A P B A P C ABiiB 完备：为必然事件（一定发生）ijB B 不相容：，不可能同时发生20

4、22-1-286 证明：证明： ( )(|) ()iiiiiAB AP AP A B P B111( ) (|)() (|)P A P BAP B P A B ( ) (|)() (|)MMMP A P BAP BP A B( )() (|)|)iiiiiP BPAAP B P A B( )() (|)iiiP AP B P A B(|)1iiP BA 2022-1-287|( )|iiiP A BP BAP BP A,|( )iiP B AP BAP A证明：|iiiiiiP A BP BP BAP A BP B 贝叶斯公式贝叶斯公式( (BayesBayes) ) 若事件若事件A A只能与

5、两两互不相容的事件只能与两两互不相容的事件B Bi i之一发生之一发生|iiiiiiP A BP BP BAP A BP B P A分母2022-1-288 贝叶斯公式贝叶斯公式( (BayesBayes) ) A A 假设袋子里面有假设袋子里面有N N个白球，个白球，M M个黑球，你伸手进去摸一把个黑球，你伸手进去摸一把，摸出黑球的概率是多大。，摸出黑球的概率是多大。 B B 如果我们事先并不知道袋子里面黑白球的比例，而是闭如果我们事先并不知道袋子里面黑白球的比例，而是闭着眼睛摸出一个（或好几个）球，观察这些取出来的球的颜色着眼睛摸出一个（或好几个）球，观察这些取出来的球的颜色之后，那么我们

6、可以就此对袋子里面的黑白球的比例作出什么之后，那么我们可以就此对袋子里面的黑白球的比例作出什么样的推测。样的推测。 我们往往只能知道从里面取出来的球是什么颜色，而并不我们往往只能知道从里面取出来的球是什么颜色，而并不能直接看到袋子里面实际的情况。能直接看到袋子里面实际的情况。 2022-1-289 贝叶斯公式贝叶斯公式( (BayesBayes) ) 1. 1. 算出各种不同猜测的可能性大小。算出各种不同猜测的可能性大小。 2. 2. 算出最靠谱的猜测是什么。算出最靠谱的猜测是什么。 第一个就是计算特定猜测的后验概率，对于第一个就是计算特定猜测的后验概率，对于连续的猜测空间则是计算猜测的概率密

7、度函数。连续的猜测空间则是计算猜测的概率密度函数。 第二个则是所谓的模型比较，模型比较如果第二个则是所谓的模型比较，模型比较如果不考虑先验概率的话就是最大似然方法。不考虑先验概率的话就是最大似然方法。2022-1-2810 贝叶斯公式贝叶斯公式( (BayesBayes) ) 一所学校里面有一所学校里面有 60% 60% 的男生，的男生，40% 40% 的女生。男生总是穿的女生。男生总是穿长裤，女生则一半穿长裤一半穿裙子。有了这些信息之后我长裤，女生则一半穿长裤一半穿裙子。有了这些信息之后我们可以容易地计算们可以容易地计算“随机选取一个学生，他（她）穿长裤的随机选取一个学生，他（她）穿长裤的概

8、率和穿裙子的概率是多大概率和穿裙子的概率是多大”，这个就是前面说的，这个就是前面说的“正向概正向概率率”的计算。的计算。 然而，假设你走在校园中，迎面走来一个穿长裤的学生然而，假设你走在校园中，迎面走来一个穿长裤的学生（很不幸的是你高度近似，你只看得见他（她）穿的是否长（很不幸的是你高度近似，你只看得见他（她）穿的是否长裤，而无法确定他（她）的性别），你能够推断出他（她）裤，而无法确定他（她）的性别），你能够推断出他（她）是男生的概率是多大吗？这里假设是求女生的概率，即穿长是男生的概率是多大吗？这里假设是求女生的概率，即穿长裤的女生。裤的女生。2022-1-2811 贝叶斯公式贝叶斯公式( (

9、BayesBayes) ) 问题进一步简化：问题进一步简化： 你在校园里面随机游走，遇到了你在校园里面随机游走，遇到了 N N 个穿长裤个穿长裤的人（仍然假设你无法直接观察到他们的性别），的人（仍然假设你无法直接观察到他们的性别），问这问这 N N 个人里面有多少个女生多少个男生。个人里面有多少个女生多少个男生。 2022-1-2812 贝叶斯公式贝叶斯公式( (BayesBayes) ) U U * * P(GirlP(Girl) ) * * P(Pants|GirlP(Pants|Girl) / U ) / U * * P(BoyP(Boy) ) * * P(Pants|BoyP(Pant

10、s|Boy) ) + U + U * * P(GirlP(Girl) ) * * P(Pants|GirlP(Pants|Girl) ) 。 容易发现这里校园内人的总数是无关的，可以消去。于是得到容易发现这里校园内人的总数是无关的，可以消去。于是得到 P(Girl|PantsP(Girl|Pants) = ) = P(GirlP(Girl) ) * * P(Pants|GirlP(Pants|Girl) / ) / P(BoyP(Boy) ) * * P(Pants|BoyP(Pants|Boy) + ) + P(GirlP(Girl) ) * * P(Pants|GirlP(Pants|Gi

11、rl) P(B|A) = P(AB) / P(A) P(B|A) = P(AB) / P(A) 其实这个就等于：其实这个就等于： P(B|A) P(B|A) * * P(A) = P(AB) P(A) = P(AB)概率论只是把常识用数学公式表达了出来概率论只是把常识用数学公式表达了出来 拉普拉斯。 2022-1-2813 贝叶斯公式贝叶斯公式( (BayesBayes) ) 例子：用户输入：例子：用户输入：thewthew ，那么他到底是想输入，那么他到底是想输入 the the ，还是想输入，还是想输入 thaw thaw ？到底哪个猜测可能性更大呢？到底哪个猜测可能性更大呢？ 2022-

12、1-28142.1 引言12( )( )( ) 0( )()( ) 0.TMx ts tn ttTx ts tn ttT 待处理的信号模型；，是随机信号，但是其统计特性都非常有规律，因此是随机信号，但是其统计特性都非常有规律，因此选择用概率论，数理统计、随机过程等工具来描述选择用概率论，数理统计、随机过程等工具来描述. .2022-1-28152.1 随机变量、随机矢量及其统计描述FP（ ， ， ）2.2.1 2.2.1 随机变量的基本概念随机变量的基本概念1 1 概率空间：概率空间：在科尔莫戈罗夫的概率公理化结构中，称在科尔莫戈罗夫的概率公理化结构中，称为概率空间，为概率空间， 为样本空间，

13、为样本空间，F为事件域，为事件域，P为概率。为概率。a a 样本空间表示随机试验所有出现的可能结果，其中试验的某一个结样本空间表示随机试验所有出现的可能结果，其中试验的某一个结果称为样本点，样本空间中的某个子集称为事件。果称为样本点，样本空间中的某个子集称为事件。 Fb设 是样本空间， 是由 的一些子集构成的集合，如果满足以下三条nnn;( ) AFAF(iii) AFAFAFFii（i）若事件，则若事件，n=1,2.,则或者2022-1-2816c APA对于随机事件 ，如果满足如下三条，则称 （ ）为概率ii=1i=1( )0,AF(2) P(3) A,1,2,.PAPAP AF iii（

14、1）对一切；（ ）1；若事件，且两两互不相容，则 （）=2022-1-28172 2 随机变量随机变量FP( ), ( ),( )FPRxxxFx 设（ ， ， ）,、是定义在 上的单值实函数，对 xR,集合则称为概率空间（ ， ， ）上的一个随机变量。定义域为：值域为：) , ( )FPP ( ) ( ) ( )P ( ) 0 P ( ) 0ixxxxxxxxx 因此，它必然满足以下两个条件（对集合是（ ， ， ）一个事件，并 有确定的（ii） 事件和的概率等于0； 12341()X3()X2()X4()XR:XR 2022-1-28182.2.2 2.2.2 随机变量的概率密度函数随机变量

15、的概率密度函数( (pdfpdf) )2F ( ) ( )P ( )F ( ),( )F,F()()(2) ( )F()( )(3) ( )xxxxxxxxxxxxF xF xF xF x 121 在 中，组成事件的元素随 的不同取值而变化，因此，的概率取决于 的值，用F(x)表示 (x)=P称为随机变量的分布函数，其具有以下性质（1） (x)是单调不减的函数，即若x x 则x是左连续函数，即x0 ；F()lim( )0;F( )lim( )1xxF xF x 满足如下关系：1 1分布函数分布函数(CDF)(CDF)2022-1-2819201200110,F()(),.lim()( ) (

16、)()() ()()()F()Flim()lim( )nnnnnnnnnnnF xxxxxxF xF xF xF xP xxF xF xF xF xF xF x 121即若x x 则x因此 只须证明对于一单调上升的数列成立即可因为所以 (x-0)=可以看出分布函数证明:因为已经证明了 (x)的单调性,的三个基本性质,正好对应概率的三个基本性质.(2)( )F()( )F xF x是左连续函数，即x-0 ；分布函数左连续的证明教材分布函数左连续的证明教材p9p9 2022-1-28202112( )F( ),F( )(1) F(2) , ( )0,(3) 1(4) G( )xxxxxxxpx p

17、 xxP xxx 12设连续随机变量的分布函数为如果对 的一阶导数存在，即dF(x) （x）=dx（x）=p(z)dz对所有p(x)dx随机变量在区间(x ,x )在量子力学中，粒子在某个区域 的出现是通过概率来描的概率p(x述的，)d若以x表22Gdxdydz示粒子的波函数，则即为密度函数，就表示该粒子在区域 出现的概率。2 2 概率密度函数概率密度函数( (pdfpdf) )2022-1-2821能能斯特斯特洛伦兹洛伦兹维恩、居里夫人、庞加莱维恩、居里夫人、庞加莱普朗克普朗克卢瑟福卢瑟福朗之万朗之万M德布罗意德布罗意1911年年10月月30日第日第一次索尔维会议一次索尔维会议索末菲索末菲昂

18、内斯昂内斯金斯金斯最最明亮的一颗星明亮的一颗星2022-1-28221927年第五次索尔维会议年第五次索尔维会议2022-1-2823玻尔与爱因斯坦的论战：玻尔与爱因斯坦的论战：1927年第五次索尔维会议年第五次索尔维会议爱因斯坦爱因斯坦洛伦兹洛伦兹居里夫人居里夫人普郎克普郎克郎之万郎之万狄拉克狄拉克薛定谔薛定谔德布罗意德布罗意泡利泡利海森伯海森伯玻恩玻恩玻尔玻尔德拜德拜布拉格布拉格埃仑费斯特埃仑费斯特布里渊布里渊康普顿康普顿2022-1-282419051905年，爱因斯坦，年，爱因斯坦， 2626岁（光量子理论）岁（光量子理论）19131913年，玻尔，年，玻尔， 2828岁（氢原子理论）

19、岁（氢原子理论）19231923年，德布罗意，年，德布罗意， 3131岁（相波）岁（相波）19251925年，海森伯，年，海森伯， 2424岁（不确定关系）岁（不确定关系）19251925年，泡利，年，泡利， 2525岁（不相容原理）岁（不相容原理）19271927年，狄拉克，年，狄拉克， 2525岁（相对论量子力学）岁（相对论量子力学）19251925年，薛定谔，年，薛定谔， 3636岁（薛定谔方程）岁（薛定谔方程）19251925年，乌仑贝克年，乌仑贝克 2525岁岁 古兹密特，古兹密特， 2323岁（电子自旋）岁（电子自旋）19261926年，费米，年，费米， 2525岁（量子统计）岁（

20、量子统计）光阴迅逝光阴迅逝风华难驻风华难驻转瞬即过而立年转瞬即过而立年空悲切空悲切狄拉克狄拉克（Paul Dirac 1902-1984 ）2022-1-2825( )dF xp xdx 实际上,有时候获得（ ）比较困难.2.2.3 2.2.3 随机变量的统计平均量随机变量的统计平均量1 1 随机变量的均值随机变量的均值( )( ), ( )( ) ( ) xxE xxpxpdx dxE axbabfp x设连续随机变量的为则其统计均值定义为 随机变量函数的均值随机变量函数的均值2022-1-28262 2 随机变量的矩随机变量的矩 数学期望、方差、协方差数学期望、方差、协方差( (混合中心矩

21、混合中心矩) )等都是随机变量等都是随机变量的最常用的数字特征，它们都是某种矩，矩是最广泛使用的的最常用的数字特征，它们都是某种矩，矩是最广泛使用的一种数字特征，在概率论和数理统计中占有重要地位。最常一种数字特征，在概率论和数理统计中占有重要地位。最常用的矩有两种：用的矩有两种：原点矩和中心矩原点矩和中心矩。2022-1-28272 2 随机变量的矩随机变量的矩原点矩原点矩0 0阶原点矩，阶原点矩，1 1阶原点矩，阶原点矩，2 2阶原点矩称之为均方值阶原点矩称之为均方值随机变量的矩随机变量的矩中心矩中心矩2022-1-28282 2 随机变量的矩随机变量的矩 原点矩和中心距之间的关系原点矩和中

22、心距之间的关系2022-1-2829切比雪夫不等式在切比雪夫不等式在数学上解释数学上解释了了方差能刻画方差能刻画随机变量随机变量取值的取值的离散程度离散程度，即方差越小，即方差越小，X X偏离其数学期望偏离其数学期望的概率越小，从而取值集中的概率越小，从而取值集中在附近。在附近。1设设随随机机变变量量具具有有数数学学期期望望方方差差则则对对于于任任意意正正数数不不等等式式成成立立引引理理1 1222XE(x)= ,D(x)= ,P x - 0，则称则称x服从参数为服从参数为 和和 的正态分布的正态分布. 222022-1-2838(1) p(x)(1) p(x)0, ( )1p x dx(2)

23、(2)图 2.2高斯分布随机变量的pdf曲线（x0） 2022-1-2839 正态分布正态分布 的图形特点的图形特点),(2N正态分布的密度曲线是一条关于正态分布的密度曲线是一条关于 对称的对称的钟形曲线钟形曲线. .特点是特点是“两头小，中间大，左右对称两头小，中间大，左右对称”. .2022-1-2840 决定了图形的中心位置，决定了图形的中心位置， 决定了图形决定了图形中峰的陡峭程度中峰的陡峭程度. . 正态分布正态分布 的图形特点的图形特点),(2 N2022-1-2841 这说明曲线这说明曲线 p p( (x x) )向左右伸展时，越来越向左右伸展时，越来越贴近贴近x x轴。即轴。即

24、p p( (x x) )以以x x轴为渐近线。轴为渐近线。 22()21( ),2xp xex 当当xx 时，时，p p( (x x) )0 0, ,2022-1-2842用求导的方法可以证明，用求导的方法可以证明，22()21( ),2xp xex 为为p (x)的两个拐点的横坐标。的两个拐点的横坐标。x = 2022-1-2843标准高斯分布标准高斯分布221,( ),2uxxup ueu 22()21( ),2xp xex 2022-1-2844练习题练习题 若证明2022-1-2845标准高斯分布的一维累积分布函数和右尾积分标准高斯分布的一维累积分布函数和右尾积分201 21(u)()

25、exp22( )xdux0 x( )p xx0 x（）0 x21 201(u)()exp22( ) 1( )xduQ x x2022-1-2846例:data=normrnd (0,1,30,1);p=capaplot(data,-2,2)p =0.97932022-1-2847在指定的界线之间画正态密度曲线在指定的界线之间画正态密度曲线p=p=normspec(specs,mu,sigmanormspec(specs,mu,sigma) ) %specs%specs指定界线，指定界线，mumu、sigmasigma为正态分布参数，为正态分布参数，p p为样本落在为样本落在上、下界之间的概率。

26、上、下界之间的概率。例例:p=normspec(10 Inf,11.5,1.25);p=0.8849:p=normspec(10 Inf,11.5,1.25);p=0.88492022-1-2848则称则称 x 服从参数为服从参数为 的的单边带单边带指数分布指数分布.若随机变量若随机变量x x具有概率密度具有概率密度0( ),000 xexp xx常简记为常简记为 xE( ) .3 3 指数分布随机变量指数分布随机变量分布函数为：分布函数为： . 0, 0, 0,1)(xxexFx 2022-1-284900( )1.xxp x dxedxe p(x)p(x)0, 221 1 xx其 均 值

27、和 方 差 分 别 为2022-1-2850若随机变量若随机变量x x具有概率密度具有概率密度| |( )02xp xe2220; xx其 均 值 和 方 差 分 别 为2022-1-28513 3 指数分布随机变量指数分布随机变量图图2.62.6单单/ /双边指数分布随机变量的双边指数分布随机变量的PDFPDF曲线（曲线（0 0）2022-1-2852 4 4 瑞利分布随机变量瑞利分布随机变量(1)(1)高斯过程通过窄带线性系统后成为窄带高斯过程，其包络高斯过程通过窄带线性系统后成为窄带高斯过程，其包络的分布属于瑞利分布；的分布属于瑞利分布；(2)(2)信号在信道中传输，其幅度的衰落通常也认

28、为服从瑞利分信号在信道中传输，其幅度的衰落通常也认为服从瑞利分布。布。则称则称x x服从服从瑞利瑞利分布分布. .若随机变量若随机变量x x具有概率密度具有概率密度22220( )00 xxexp xx2222121212,(0,),(0,),.xxxxNxNxx式中且与相互独立2022-1-28532022-1-2854 瑞利分布是最常见的用于描述平坦衰落信号接瑞利分布是最常见的用于描述平坦衰落信号接收包络或独立多径分量接受包络统计时变特性的一收包络或独立多径分量接受包络统计时变特性的一种分布类型。两个正交高斯噪声信号之和的包络服种分布类型。两个正交高斯噪声信号之和的包络服从瑞利分布。从瑞利

29、分布。 4 4 瑞利分布随机变量瑞利分布随机变量图图2.8 2.8 瑞利分布随机变量的瑞利分布随机变量的PDFPDF曲线（曲线（2 2=1=1）2022-1-285522 24 2xx瑞 利 分 布 的 均 值 和 方 差 分 别 为 高斯过程通过窄带线性系统后成为窄带高斯过程，其包高斯过程通过窄带线性系统后成为窄带高斯过程，其包络的分布属于瑞利分布；络的分布属于瑞利分布； 信号在信道中传输，其幅度的衰落通常也认为服从瑞利信号在信道中传输，其幅度的衰落通常也认为服从瑞利分布。分布。2022-1-28565 5 广义瑞利分布随机变量广义瑞利分布随机变量( (也称莱斯分布也称莱斯分布) )正弦信号

30、加窄带高斯过程其包络的分布就服从广义瑞利分布。设正弦信号的幅度为a,相位 在 之间均匀分布，高斯过程的均值为0，方差为(,) 2I0是第一类零阶修改郑贝塞尔函数（Bessel function）2022-1-28575 5 广义瑞利分布随机变量广义瑞利分布随机变量 如果令如果令 , 则得到归一化的广义瑞利则得到归一化的广义瑞利分布的概率密度函数为分布的概率密度函数为/ux/da图图2.92.9广义瑞利分布随机变量的广义瑞利分布随机变量的PDFPDF曲线（曲线（2 2=1=1）2022-1-28585 5 广义瑞利分布随机变量广义瑞利分布随机变量广义瑞利分布随机变量的各阶矩由下式给出广义瑞利分布

31、随机变量的各阶矩由下式给出)()(mmxxEr 为输入功率信噪比，为输入功率信噪比，1F1为库默尔函数，亦称合流为库默尔函数，亦称合流超几何函数超几何函数222/da2022-1-28596 6 三角对称分布随机变量三角对称分布随机变量图图2.4 2.4 三角对称分布三角对称分布图2.5三角对称分布2022-1-28602.2.5 2.2.5 随机矢量及其统计描述随机矢量及其统计描述 主主 要要 内内 容容1 1 随机矢量的概念随机矢量的概念2 2 随机矢量的概率密度函数随机矢量的概率密度函数3 3 均值矢量和协方差矩阵均值矢量和协方差矩阵4 4 统计独立性和独立同分布统计独立性和独立同分布5

32、 5 联合高斯随机矢量联合高斯随机矢量2022-1-28611 1 随机矢量的概念随机矢量的概念12NT12NFP( ),( ),.( ). .N( )( ),( ),.( )Nxxxr vxxxx设（ ， ， ）为一概率空间,为N个则由这 个随机变量构成的矢量，称为 维随机矢量。2 2 随机矢量的分布函数随机矢量的分布函数T12N112212N1122( )( ),( ),.( )( ),( ),.( ),NF( )( ,.)( ),( ),.( )NNNNxxxxxxxxxxxF x xxP xx xxxx给定,同时考虑事件的概率 则定义 维随机矢量的N维累积分布函数为2022-1-286

33、23 3 随机矢量的概率密度函数随机矢量的概率密度函数121212( )(1,2.,),(,.) ( )(,.).kNNNF xx kNNNpdfF x xxp xp x xxx xx 如果对的 阶混合偏导数存在 则有维联合4 4 均值矢量和协方差矩阵均值矢量和协方差矩阵12NT12NTx( )( ),( ),.( ) ( )(,.)( ),1kxxxxkxxxxE xE xkN给定,则均值矢量定义为均值矢量均值矢量2022-1-28634 4 均值矢量和协方差矩阵均值矢量和协方差矩阵协方差矩阵定义为协方差矩阵定义为1 11 212 12 2212( ( )( ( ) .NNNNNNTxxxx

34、 xx xx xx xx xx xx xx xx xCE xxccccccccc如果如果xj与与xk互不相关，互不相关， , 协方差矩阵协方差矩阵 变为对角矩阵变为对角矩阵jkxC2022-1-28645 5 统计独立性和独立同分布统计独立性和独立同分布T12N12N12N( )( ),( ),.( )NNp( ,.)=p( ) (). ().kxxxxx xxxp xp x给定,如果对任意1和所有的x(),其维联合概率密度函数能够表示为,则称随机变量之间是相互统计独立的统计独立统计独立独立同分布独立同分布12N( ),( ),.( )Npdf,( )N.xxxx在统计独立条件下，如果所有的随

35、机变量,对全部的 都有相同的一维则称为具有独立同分布的 维随机矢量2022-1-28655 5 联合高斯随机矢量联合高斯随机矢量T12N12N1 122NNN( )( ),( ),.( ),.,( )( ).( ),( )( )N.Tkxxxxaa aaa xa xa xxx设有维随机矢量,对任意非零常值矢量当且仅当满足是高斯随机变量时 称为联合高斯随机变量,是维联合高斯随机矢量1Txx/2N( ),11( )exp( ( )( ( ) 2(2 )|xNxxp xxCxC维联合高斯随机矢量的概率密度函数完全由均值矢量和协方差矩阵决定 其定义为2022-1-2866(1)N( )( )kxx维联

36、合高斯随机矢量的每一个分量都服从一维高斯分布;N N维联合高斯随机矢量的三条主要性质维联合高斯随机矢量的三条主要性质说明：说明：N N维联合高斯随机矢量的边缘分布仍是高斯分维联合高斯随机矢量的边缘分布仍是高斯分布的，所以，也可以这样定义布的，所以，也可以这样定义N N维联合高斯随机矢量维联合高斯随机矢量的定义：的定义：如果如果N N维随机矢量的每一个分量都是时服从维随机矢量的每一个分量都是时服从高斯分布的，则称其为高斯分布的，则称其为N N维联合高斯随机矢量。维联合高斯随机矢量。2022-1-2867TNN,C ,M N( )( ),M.AAC AxxAyAxxx(2) 维联合高斯随机矢量的线

37、性变换仍然是联合高斯随机矢量,称为联合高斯随机矢量的线性变换不变性.设 维联合高斯随机矢量的均值为协方差矩阵为为任意常值非零矩阵，则是服从 维联合高斯分布的随机矢量其均值矢量为，协方差矩阵为N N维联合高斯随机矢量的三条主要性质维联合高斯随机矢量的三条主要性质2022-1-2868教材教材P19 P19 例例2.2.12.2.1T1234x1211234( )( ),( ),( ) ( )632134322110 ,23431233( ),( )( )y( )(2( ),( )2( ),( )( )y( )TxTxxxxCxxxxxxxx设四维联合高斯随机矢量，,的均值矢量和协方差矩阵分别为试

38、求二维随机矢量的分布，若的线性变换为求的分布。2022-1-2869(3)N( ).x维联合高斯随机矢量的各分量之间的互不相关性与相互统计独立性的等价性N N维联合高斯随机矢量的三条主要性质维联合高斯随机矢量的三条主要性质说明说明 之间，若相互统计独立，一定互不相关；若互不相关，也相互统计独立。之间，若相互统计独立，一定互不相关；若互不相关，也相互统计独立。( )x例：例：mu1=-1,2; Sigma2=1 1; 1 3; % mu1=-1,2; Sigma2=1 1; 1 3; % 输入均值向量和协方差矩阵输入均值向量和协方差矩阵X,Y=meshgrid(-3:0.1:1,-2:0.1:4

39、); X,Y=meshgrid(-3:0.1:1,-2:0.1:4); xyxy=X(:) Y(:); % =X(:) Y(:); % 产产生网格数据并处理生网格数据并处理( (两列两列25012501* *2 2 ）p=mvnpdf(xy,mu1,Sigma2); p=mvnpdf(xy,mu1,Sigma2); % % 求取联合概率密度求取联合概率密度P=P=reshape(p,size(Xreshape(p,size(X); ); % % Change size(2501Change size(2501* *1 16161* *41)41)surf(X,Y,Psurf(X,Y,P) )对

40、协方差矩阵进行处理，可计算出新的联合概率密度对协方差矩阵进行处理，可计算出新的联合概率密度函数。函数。 Sigma2=diag(diag(Sigma2); % Sigma2=diag(diag(Sigma2); % 消除协方差矩消除协方差矩阵的非对角元素阵的非对角元素 p=mvnpdf(xy,mu1,Sigma2); p=mvnpdf(xy,mu1,Sigma2); P=P=reshape(p,size(Xreshape(p,size(X); ); surf(X,Y,Psurf(X,Y,P) )R R为为m m行行n n列。列。例：例：mu1=-1,2; Sigma2=1 1; 1 3; mu

41、1=-1,2; Sigma2=1 1; 1 3; R1=mvnrnd(mu1,Sigma2,2000); plot(R1(:,1),R1(:,2),o)R1=mvnrnd(mu1,Sigma2,2000); plot(R1(:,1),R1(:,2),o) Sigma2=diag(diag(Sigma2); figure; Sigma2=diag(diag(Sigma2); figure; R2=mvnrnd(mu1,Sigma2,2000); plot(R2(:,1),R2(:,2),o) R2=mvnrnd(mu1,Sigma2,2000); plot(R2(:,1),R2(:,2),o)2

42、022-1-28732.2.6 2.2.6 随机变量的函数随机变量的函数随机变量变随机变量变换前的概率换前的概率密度函数密度函数随机变量变随机变量变换后的概率换后的概率密度函数密度函数2022-1-28741 1 一维随机变量的情况一维随机变量的情况( ) p(x),( )( )( ( ),( )( ( ),( )( )|J|,( ),J,|.|xpdfxyg xxh yypdfyp xh ydh ydy设r.v 的若的函数为该函数也是一维随机变量,若它的反函数存在,即有且连续可导 则的为p(这种变换称为一维雅克比变化 其中 =为绝对值符号.2022-1-28752 N2 N维随机矢量的情况维

43、随机矢量的情况TN12N12N12kkN12kkkN111222N( ) ( ),( ),.( ) ,Np(x)=p( ,.),( )( ( ),( ),.( )( )( ),( ),.( ),NN)(,.),xxxxx xxygxxxxhyyyyyp xh y yyxh设 维随机矢量其 维联合概率密度函数它的函数为其反函数为存在 且对 连续可导 则 维随机矢量y的 维联合概率密度函数为p(N12(,.).|J|N,y yy这种变换称为 维雅克比变化 其中雅克比行列式为2022-1-2876111122221212(.)(.)(.).(.)(.)(.).J=(.)(.)(.).NNNNNNhhhyyyhhhyyyhhhyyy2022-1-28772022-1-28782022-1-28792022-1-28802022-1-2881