陕西省榆林市第十二中学2021届高三上学期第三次月考（12月）数学（文）试题.doc

1、试卷第 1页，总 4页榆林市第十二中学榆林市第十二中学 2020-2021 学年第一学期学年第一学期高三年级第三次检测数学试题高三年级第三次检测数学试题命题范围(圆锥曲线,统计与概率之外)试卷满分:150 分(卷 80 分,卷 70 分)姓名：_班级：_考号:_一、单选题一、单选题(本部分共本部分共 12 题题,每题每题 5 分分,总分总分 60 分分)1已知集合M满足1,2M1,2,3,4，则集合M的个数是（）A4B3C2D12若43zi，则zz（ ）A1B1C4355iD4355i3已知向量1.,sin, .sin,12abrv，若.abvPr，则锐角为（）A30B60C45D754中国古

2、代数学著作九章算法中的“更相减损术”可用来求两个正整数的最大公约数现应用此法求 168 与 93 的最大公约数： 记16893，为初始状态， 则第一步可得7593， 第二步得到7518，.以上解法中，不会出现的状态是（）A5718，B318，C6 9，D33，5设0.512a，0.50.3b ，0.3log0.2c ，则a、b、c的大小关系（） AbacBabcCabcDacb6小赵、小钱、小孙、小李四位同学被问到谁去过北京时，小赵说：我没去过；小钱说：小李去过；小孙说；小钱去过；小李说：我没去过假定四人中只有一人说的是假话，由此可判断一定去过北京的是（）A小钱B小李C小孙D小赵7若直线2xm

3、ym与圆222210 xyxy 相交，则实数m的取值范围为（）A() ，B()0，C(0)，D(0)(0)，试卷第 2页，总 4页8已知平面，直线 m，n 满足 m a，n，则“mn”是“m”的（）A充要条件B既不充分也不必要条件C必要不充分条件D充分不必要条件9函数5( )f xxx的图象大致为()ABCD10 已知 a， b， c 分别为.ABCV内角 A， B， C 的对边，sin2 2cos ,3bCcB b， 则当.ABCV的周长最大时，.ABCV的面积为（）A3 24B3 34C9 34D3 211四棱锥PABCD的顶点都在球 O 的球面上，ABCD是边长为3 2的正方形，若四棱锥

4、PABCD体积的最大值为 54，则球 O 的表面积为（）A36B64C100D14412已知函数 3sinf xxx xR，函数 g x满足 20g xgxxR，若函数 1h xf xg x恰有2021个零点，则所有这些零点之和为（）A2018B2019C2020D2021二、填空题二、填空题(本部分共本部分共 4 题题,每题每题 5 分分,总分总分 20 分分)13等差数列 na中，nS为 na的前n项和，若936SS，则1ad_.14设x，y满足约束条件21,21,0,xyxyxy 则32zxy最小值为_.15在ABC中，内角, ,A B C所对的边分别为, ,a b c，已知ABC的面积

5、为3 15，12,cos4bcA ，则a的值为_16我国古代数学名著九章算术商功中阐述：“斜解立方，得两堑堵斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑阳马居二，鳖臑居一，不易之率也合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣”若称为“阳马”的某几何体的三视图如图所示，图中网格试卷第 3页，总 4页纸上小正方形的边长为 1，对该几何体有如下描述：四个侧面都是直角三角形；最长的侧棱长为2 6；四个侧面中有三个侧面是全等的直角三角形；外接球的表面积为 24其中正确的描述为_三、解答题三、解答题17(12 分)已知等比数列 na的各项均为正数，234848aaa，()求数列 na的通项公式；()设4log.nnba证明：

6、nb为等差数列，并求 nb的前 n 项和nS18(12 分)已知向量.(2cos , 1)axr，2.sin2cos ,2cosbxxxr，设( ).f xa brr（1）求( )f x的单调递增区间；（2）已知角A为.ABCV的一个内角，且261247Af ，求cos A的值19 (12 分) 在三棱柱111ABCABC中， 底面是边长为 4 的等边三角形， 侧棱垂直于底面，16AA ，M 是棱 AC 的中点.（1）求证：1AB /平面1MBC；（2）求四棱锥11MBBC C的体积.试卷第 4页，总 4页20(12 分)已知函数 3233fxxxbxc在0 x 处取得极大值 1.（1）求函数

7、 yf x的图象在1x 处切线的方程；（2）若函数 fx在,2t t 上不单调，求实数t的取值范围.21(12 分)设0a ，函数 222 lnf xxaxax（1）当1a 时，求函数 fx的单调区间；（2）若函数 yf x在区间0,上有唯一零点，试求 a 的值选做题(22 题与 23 题选择其中一个即可,若两题都做,则以第一题为准)22(10 分)在直角坐标系xOy中，圆221:(3)4Cxy，曲线2C的参数方程为22cos(2sinxy为参数） ，并以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）写出1C的极坐标方程，并将2C化为普通方程；（2）若直线3C的极坐标方程为2(),3R C与3

8、C相交于,A B两点，求1ABC的面积（1C为圆1C的圆心）.23(10 分) 3已知函数( ) |1|2|f xxx.（1）求不等式( )13f x 的解集；（2）若( )f x的最小值为k，且211kmn(0)mn ，证明：16mn .答案第 1页，总 13页参考答案参考答案1B【分析】利用列举法，求得集合M的所有可能，由此确定正确选项.【详解】由于集合M满足1,2M1,2,3,4，所以集合M的可能取值为 1,2 , 1,2,3 , 1,2,4，共3种可能.故选：B【点睛】本小题主要考查子集和真子集的概念，属于基础题.2D【详解】由题意可得 ：22435z ，且：43zi，据此有：4343

9、555ziiz.本题选择 D 选项.3C【解析】1,sin,sin ,12ab，ba，21sin2，又为锐角，2sin,452选 C4C【分析】根据更相减损术原理计算可得答案.【详解】答案第 2页，总 13页根据更相减损术可知，168 9375，937518，75 1857，57 1839，39 1821，21 183，18 315 ，15312，1239 ，936 ，633 ，3 30 ，所以第三步得到(57,18)，第四步得到(39,18)，第五步得到(21,18)，第六步得到(18,3)，第七步得到(15,3)，第八步得到(12,3)，第九步得到(9,3)，第十步得到(6,3)，第十一步

10、得到(3,3)，由此可知不会出现的状态是6 9，.故选：C【点睛】关键的点睛：理解更相减损术原理是解题关键.5A【分析】利用对数函数，幂函数的单调性比较大小即可.【详解】解：因为12yx在0,)上单调递增，110.32所以0.50.50.5110.32，即0.50.5110.32因为0.30.3log0.2log0.31所以bac故选：A【点睛】本题主要考查了利用对数函数，幂函数的单调性比较大小，是中档题.6A【解析】由题意的，如果小赵去过长城，则小赵说谎，小钱说谎，不满足题意；如果小钱去过长城，则小赵说真话，小钱说谎，小孙、小李说真话，满足题意，故选 A.7D【分析】圆心到直线的距离小于半径

11、解不等式即可.【详解】答案第 3页，总 13页解：圆的标准方程为22(1)(1)1xy，圆心(11)C ，半径1r ，直线与圆相交，21211mmdrm，解得0m 或0m，故选：D.8D【分析】根据线面平行的判定定理以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可【详解】若“/mn”则“/ /m”成立，即充分性成立，/ /m，m不一定平行n，因为m还有可能和n异面.即“/mn”是“/ /m”的充分不必要条件，故选：D【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合线面平行的判断和性质是解决本题的关键9B【分析】根据函数是奇函数排除 C,D,再用特值法，排除 A.【详解】因为f(x)5xx(5xx)f

12、(x)，所以函数f(x)5xx是奇函数，图象关于原点对称，因此排除 C，D.又f(1)110，151111115032323223232f，因此排除 A.故选 B.【点睛】识别函数的图象，可用函数的单调性判断图象的变化趋势，奇偶性判断函数的对称性，周期性判断函数图象的循环往复，也可用特值法筛选正确或错误的选项.10A【分析】利用正弦定理将sin2 2cosbCcB进行边化角，可得tansin,cosBBB，的值，再结合余弦定理和基本不等式即得【详解】解析：由正弦定理得sinsin2 2sincosBCCB，答案第 4页，总 13页(0, )C,sin0C tan2 2B ，2 2sin3B ，

13、1cos3B ，由余弦定理得：222222288132cos()()()3323acbacacBacacacac，3ac，当且仅当32ac时取等号，此时13 2sin24SacB11C【分析】根据四棱锥PABCD体积的最大值为 54，可求得 P 到平面ABCD的最大距离，根据四棱锥的几何性质，即可求得球 O 的半径 r，代入表面积公式，即可得答案.【详解】设球心到平面ABCD的距离为 h，球 O 的半径为 r，根据题意，当 P 到平面ABCD距离最大，即为 r+h 时，四棱锥PABCD的体积最大，所以13 23 2()543Vrh，解得9rh，又ABCD、 、 、都在球面上，设平面ABCD所在

14、圆心为O，由题意得22(3 2)(3 2)32O A，所以2223rh，解得=5r，所以表面积245100S.故选：C【点睛】本题关键点在于根据体积最大值，求得 P 到平面ABCD的最大距离，再根据外切关系，利用勾股定理，求得半径 r，考查空间想象，分析计算的能力，属中档题.12D【分析】由奇偶性定义可知 fx为奇函数且 00f，由此可得1f x关于1,0对称；由 20g xgx可知 g x关于1,0对称且 10g，由此可知 h x关于1,0对称且答案第 5页，总 13页 10h，由对称性可知除1x 外， h x其余零点关于1,0对称，由此可求得结果.【详解】 3sinfxxxf x fx为奇

15、函数，图象关于0,0对称且 00f1fx图象关于1,0对称 20g xgx g x图象关于1,0对称令1x 得： 110gg 10g h x图象关于1,0对称且 1010hfg h x有一个零点为1x ，其余零点关于1,0对称 h x所有零点之和为2020 12021 故选：D【点睛】本题考查函数奇偶性和对称性的应用，关键是能够通过函数解析式和抽象函数关系式确定函数的对称中心，从而可确定零点所具有的对称关系.132【分析】直接利用等差数列求和公式求解即可.【详解】因为9131936633SadSad，所以12ad，所以12ad.故答案为：2.145【分析】作出可行域，作出目标函数对应的直线，平

16、移该直线可得最优解【详解】作出可行域，如图四边形OABC内部（含边界） ，作直线:320lxy，向上平移直线l，32zxy减小，l过点( 1,1)B 时，32zxy取得最小值5故答案为：5【点睛】本题考查简单的线性规划，解题关键是作出可行域158【解析】试题分析：因,故,由题设可得,即,所以答案第 6页，总 13页,所以,应填.考点：余弦定理及三角形面积公式的运用【易错点晴】本题的设置将面积与余弦定理有机地结合起来,有效地检测了综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力.求解时先借助题设条件和三角形的面积公式及余弦定理探究出三边的关系及,先求出,在运用余弦定理得到.16【解析】 【分析】 由三视

17、图还原几何体， 可知该几何体为四棱锥， PA底面 ABCD， PA2， 底面 ABCD为矩形，AB2，BC4，然后逐一分析四个命题得答案【详解】由三视图还原原几何体如图，可知该几何体为四棱锥，PA底面 ABCD，PA=2，底面 ABCD 为矩形，AB=2，BC=4，则四个侧面是直角三角形，故正确；最长棱为 PC，长度为 26，故正确；由已知可得，PB=22，PC=26，PD=25，则四个侧面均不全等，故错误；把四棱锥补形为长方体，则其外接球半径为12PC=6，其表面积为 426=24，故正确其中正确的命题是故答案为【点睛】本题考查由三视图还原原几何体，考查多面体外接球表面积与体积的求法，是中档

18、题17 （）12nna（）见解析，234nn【解析】 【分析】 （1）利用2342248aaa qa q及28a 求得q，从而得到通项公式（2）利用定义证明 nb等差数列，并利用公式求和【详解】 （）设等比数列 na的公比为q，依题意0q 由2348,48aaa得28848qq，解得2q =故21822nnna答案第 7页，总 13页（）证明：由（）得1441loglog 22nnnnba故112nnbb，所以 nb是首项为 1，公差为12的等差数列，所以21131224nn nnnSn 【点睛】一般地，判断一个数列是等差数列，可从两个角度去考虑： （1）证明1nnaad； （2）证明：112

19、nnnaaa.18 （1）3,88kk，kZ； （2）266 214.【分析】（1）利用向量的数量积的坐标运算和三角变换可得 2sin 214fxx，再利用正弦函数的性质可求该函数的单调增区间.（2）根据（1）中的函数可得13cos47A，可利用同角的三角函数的基本关系式和两角差的余弦求得cos A的值.【详解】 （1）22( )2cos (sin2cos )2cossin22cosf xa bxxxxxxsin2cos212sin 214xxx ，令222242kxk，kZ，所以388kxk，kZ，所以 fx的单调增区间为3,88kk，kZ.（2）由261247Af 可得13cos47A，又

20、角A为ABC的一个内角，故5444A，而cos04A，答案第 8页，总 13页故442A，所以136sin14497A，所以21326266 2coscos44272714AA.【点睛】方法点睛：形如 22sinsincoscosf xAxBxxCx的函数性质的讨论，可按如下方法解决：（1）可以利用降幂公式和辅助角公式将其化为 sin 2f xAxB的形式，（2）根据复合函数的讨论方法（整体法）求该函数的单调区间、对称轴方程和对称中心等19 （1）证明见解析； （2）8 3.【分析】 （1）如图所示，连接1CB，设11CBBCO连接OM由四边形11BBCC为矩形，可得1COOB，又CMMA，利

21、用三角形中位线定理可得1/ /MOAB利用线面平行的判定定理即可得出（2）取BC的中点E，连接AE取CE的中点F，连接MF由于ABC是边长为 4 的等边三角形，可得AEBC，且AE2 3利用面面垂直的性质定理可得AE侧面11BCC B，利用三角形中位线定理与线面垂直的性质定理可得MF 侧面11BCC B，利用四棱锥11MBBCC的体积1 113BCC BVSMF矩形即可得出【详解】 （1）如图所示，连接1CB，设11CBBCO连接OM由四边形11BBCC为矩形，1COOB，又CMMA，1/ /MOAB1AB 平面1MBC，MO 平面1MBC1/ /AB平面1MBC（2）取BC的中点E，连接AE

22、取CE的中点F，连接MFABC是边长为 4 的等边三角形，AEBC，且AE2 3答案第 9页，总 13页底面ABC 侧面11BCC B，底面ABC 侧面11BCC BBC，AE侧面11BCC B，1/ /2MFAE且12MFAE=，MF侧面11BCC B，3MF 四棱锥11MBBCC的体积1 1114638 333BCC BVSMF 矩形【点睛】本题考查直三棱柱的性质、线面及面面平行与垂直的判定定理及其性质定理、三角形中位线定理、四棱锥的体积计算公式，考查空间想象与计算能力，属于中档题20 （1）320 xy； （2）20t 或02t .【分析】 （1）先对函数求导，利用题意列出方程组 000

23、1ff，从而求得函数解析式，之后利用导数的几何意义，结合直线方程点斜式求得切线方程；（2）先令导数等于零，求得函数的极值点，函数在给定区间上不单调的等价结果是零点在区间上，得到参数的范围.【详解】 （1）因为 2363fxxxb，由题意可得 00,01,ff解得0b ，1c ，所以 3231f xxx；经检验，适合题意，又 11f ， 13f ，所以函数 yf x图象在1x 处切线的方程为131yx ，即320 xy.答案第 10页，总 13页（2）因为 236fxxx，令2360 xx，得0 x 或2x .当0 x 时， 0fx，函数 fx为增函数，当02x时， 0fx，函数 fx为减函数，

24、当2x 时， 0fx，函数 fx为增函数.因为函数 fx在,2t t 上不单调，所以02tt 或22tt ，所以20t 或02t .【点睛】思路点睛：该题考查的是有关应用导数研究函数的问题，解决该题的思路如下：（1）对函数求导，利用题意，列出方程组，求得函数解析式；（2）利用导数的几何意义，结合直线方程点斜式求得切线方程；（3）函数在给定区间上不单调等价结果是极值点在区间内.21 （1） fx的单调减区间是150,2，单调增区间是15,2； （2）12.【分析】 （1）将1a 代入 fx中可得 222lnf xxxx（0 x ）,令 0fx,解得152x,进而求得单调区间；（2）令 0fx,解

25、得21402aaax（舍）,22402aaax,可得函数 fx在20,x上单调递减,在2,x 上单调递增,则 2minf xf x,由于函数 yf x在区间0,上有唯一零点,则20f x,整理即为2212ln0 xx,设 2ln1g xxx,可得 2ln1g xxx在0,是单调递增的,则 10g,进而求得a【详解】 （1）函数 222 lnf xxaxax,当1a 时, 222lnf xxxx（0 x ）, 2222222xxfxxxx,答案第 11页，总 13页令 0fx,即210 xx ,解得152x或152x（舍）,150,2x时, 0fx；15,02x时, 0fx, fx的单调减区间是

26、150,2,单调增区间是15,2（2） 222 lnf xxaxax,则 2222222axaxafxxaxx,令 0fx,得20 xaxa,0a ,240aa ,方程的解为21402aaax（舍）,22402aaax；函数 fx在20,x上单调递减,在2,x 上单调递增， 2minf xf x,若函数 yf x在区间0,上有唯一零点,则20f x,而2x满足222xaxa,222222222 ln1 22ln0f xaxaaxaxa xxx ,即2212ln0 xx,设 2ln1g xxx, 2ln1g xxx在0,是单调递增的, g x至多只有一个零点,答案第 12页，总 13页而 10g

27、,用21x 代入222xaxa,得10aa,解得12a 【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性,考查函数零点及不等式的应用问题22 （1）1C:2+2 3cos10 ,2C:22(2)4xy;（2）32;【详解】（1）1C的极坐标方程为：2+2 3 cos10 ,2C化为普通方程为:2224xy.（2）直线3C的普通方程为3yx，显然曲线2C与3C相交于原点，不妨设,A O重合2AB,13AC ,1120BAC，1113sin12022ABCSAB AC.23 （1）( 7,6)； （2）见解析.【分析】(1)分类讨论1212xxx 、三种情况下的解集(2)先求出 fx的最小值为3，代入后运用基本不等式证明不等式成立【详解】 （1）由 13f x ，得1213xx ，则12113xx 或21313x 或221 13xx ，解得：76x ，故不等式 13f x 的解集为7,6.（2）证明：因为 12fxxx 123xx ，所以3k ，因为21191(0)kmnmnmn，所以0,0mn，19910102 916nmmnmnmnmn当且仅当9nmmn，即4,12mn时取等号，故16mn.【点睛】答案第 13页，总 13页本题考查了含有绝对值的不等式解法，需要对其分类讨论，然后再求解，在证明不等式时运用了基本不等式“1”的用法，需要掌握此类题目的解法