辽宁省大连市普兰店区第三十八中学2021届高三第一学期第四次考试数学试卷.doc

1、普兰店区第普兰店区第 38 中学中学 20202021 学年第一学期第四次考试学年第一学期第四次考试高三数学试卷高三数学试卷总分：总分：150 分分时间：时间：120 分钟分钟第第卷（客观题卷（客观题 共共 60 分）分）一一、选择题选择题：本题共本题共 8 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 40 分分。在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一只有一项是符合题目要求的。项是符合题目要求的。1.已知集合 |1Ax x,2 |log1Bxx,则BA=（）A.2x x B.1x x C.01xxD.02xx2.复数 z 满足23+ ,zii则复数 z 的虚部是（）A. 1B.

2、-1C. iD. -i3.已知非零向量 a、b 满足|a|=|b|，且(2a+b)b，则 a 与 b 的夹角为（）A.6B.4C.3D.234. 九章算术中有一分鹿问题：“今有大夫、不更、簪袅、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿欲以爵次分之，问各得几何”在这个问题中，大夫、不更、簪袅、上造、公士是古代五个不同爵次的官员，现皇帝将大夫、不更、簪枭、上造、公士这 5 人分成 3 组派去三地执行公务，每地至少去 1 人，至多去 2 人，则不同的方案有（）种A.60B.90C. 150D. 1805.设 a0,b0，若 1 是 a 与 2b 的等差中项，则21ab的最小值为（）A. 5B.92C. 4D.

3、 36. 函数( )cosxf xex的图象大致为（）A.B.C.D.7.有关部门往往会采用一个系数 K 来评估一次疫情蔓延的程度，就是指在无任何干预下，平均一个感染者每天能传播K个人， 若K=2， 则一个感染者传播2亿人大约至少需要经过 （）(1g30.447.1g20.3010)A.15 天B. 18 天C. 19 天D.20 天8.若函数( )(2.718xe f x e ，e为自然对数的底数）在( )f x的定义域上单调递增，则称函数( )f x具有M性质给出下列函数：具有M性质的为()A( )f xlnxB2)(xxfC( )sinf xxD3( )f xx二二、选择题选择题：本小题

4、共本小题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分。在每小题给出的选项中在每小题给出的选项中，有多项符有多项符合题目要求。全部选对的得合题目要求。全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分。分。9.某城市收集并整理了该市 2019 年 1 月份至 10 月份各月最低气温与最高气温(单位：)的数据，绘制了下面的折线图. 已知该城市各月的最低气温与最高气温具有较好的线性关系，则根据折线图，下列结论正确的是（）A. 最低气温与最高气温无关B. 10 月的最高气温不低于 5 月的最高气温C. 最低气温低于 0的月份有 4 个D. 月温差

5、(最高气温减最低气温)的最大值出现在 1 月10.如图所示，棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，P 为线段 A1B 上的动点（不含端点） ，则下列结论正确的是（）A.PDAP1B.AP平面11DDCCC. 平面11D AP 平面1A APD. 三棱锥11BD PC的体积为定值11.函数( )cos|cos|f xxx，xR是()A最小正周期是 2B在区间0，1上为增函数C图象关于点(k，0)()kZ对称D图象有无数条对称轴12.在数列 na中，若211nnnnaakaa（k为常数） ，则称 na为“等差比数列” ，下列对“等差比数列”的判断错误的是（）A. “等差比数列”中的项不

6、可能为0B.k不可能为0C.等差数列一定是“等差比数列”D. 等比数列一定是“等差比数列”第第卷（主观题卷（主观题 共共 90 分）分）三、填空题三、填空题：本大题共本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分,其中其中 16 题第一空题第一空 2 分，第二空分，第二空 3 分分13.我国古代数学名著数术九章有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米 1530 石，验得米内夹谷， 抽样取米一把， 数得 252 粒内夹谷 28 粒.估计这批米内所夹的谷有_石.14.用a，b，c表示三条不同的直线，表示平面，则下列命题正确的是（填写所有正确命题的序号）若/ /ab，/ /b

7、c，则/ /ac若ab，bc，则ac若/ /a，/ /b，则/ /ab若a，b，则/ /ab15.ABC 中，222sinsinsinsin sinABBCC，则 A 的取值范围为_16.公园里设置了一些石凳供游客休息,这些石凳是经过正方体各棱的中点截去 8 个一样的四面体得到的（如图所示） 设石凳的体积为 V1,正方体的体积为 V2,则12VV的值是_，若正方体棱长为 1，石凳的所有顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为四解答题：本大题共四解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.（本小题满分 1

8、0 分）从下列条件中选一个填在横线上，完成本题条件：287S条件：843 aa条件：421,aaa成等比数列，且公比不为 1注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分已知等差数列 na前n项和为nS，且11a ，（1）求数列 na通项公式na及前 n 项和nS；（2）若nnSb1，求数列 nb的前n项和nT18.（本小题满分 12 分）已知ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，且 cos2A+3cosA-1=0（1）求角 A 的值.（2）若ABC 面积为3 3，且 b+c=7，求 a 值.19.（本小题满分 12 分）已知数列 na的前n项和为nS，且22nnaS（1）求

9、 na的通项公式；（2）若21nnbna，求数列 nb的前n项和nT20.（本小题满分 12 分）如图，三棱柱 ABCA1B1C1中，1A A 底面 ABC，点 D 是棱 B1C1的中点.（）求证：1/ /AC平面1ABD；（）若2ABAC，12BCBB，在棱AC上是否存在点 M，使二面角1B AD M的大小为 45，若存在，求出MCAM的值；若不存在，说明理由.21.（本小题满分 12 分）某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系,对该校 200 名学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间(单位:min)进行调查,将收集到的数据分成0,10),10,20),20,30),30,40),

10、40,50),50,60六组,并作出频率分布直方图(如图).将日均课外体育锻炼时间不低于 40 min 的学生评价为“课外体育达标”.(1) 请根据频率分布直方图中的数据估计该校学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间的中位数和平均数；(2)请根据频率分布直方图中的数据填写下面的 22 列联表,并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为“课外体育达标”与性别有关?课外体育不达标课外体育达标总计男60女110总计附参考公式与数据:K2=2(-)()()()()n ad bcab cd ac bdP(K2k0)0100.050.0100.0050.001k02.7063.8416

11、.6357.87910.82822.（本小题满分 12 分）函数 2lnxxf xaxx， g x为 f x的导数（1）若1a ，求 f x在1x 处的切线方程；（2）求 g x的单调区间；（3）若方程 0g x 有两个不等的实根，求 a 的取值范围普兰店区第普兰店区第 38 中学中学 20202021 学年第一学期第四次考试学年第一学期第四次考试高三数学试卷答案高三数学试卷答案一选择题一选择题1-8CADBCDCA二选择题二选择题9. BD10. BCD11.AD12. ACD三填空题三填空题： （本大题共（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分，分，其中其中 1

12、6 题第一空题第一空 2 分，第二空分，第二空 3分分）1317014. 15.0,316.56,2四解答题四解答题： （本大题共（本大题共 6 小题，共小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分 10 分）（1）nan，2) 1( nnSn；（2）) 1(2nnbn，12nnTn18.解： （1）cos2A+3cosA-1=0 ,(2cosA-1)(cosA+2)=0,cosA=-2(舍) ，cosA=21，所以3A（2）由ABC 面积为113sin3 3222SbcAbc，解得12bc ；又 b+c=7，由余弦

13、定理得，13cos2222Abccba，所以13a ；19. 解（1）)22(2211nnnnnaaSSa所以12nnaa所以21nnaa所以数列 na为等比数列，公比为 2，因为22111aSa，21a所以nna2；（2）21nnbnann2) 12(，62)32(1nnnT20.解： （）如图所示：连接1AB，与1AB相交于点O，连接OD，因为点D是棱11BC的中点，所以1/ /ACOD，且1AC 平面1ABD，OD平面1ABD，所以1/ /AC平面1ABD；（）因为2ABAC，12BCBB，所以ABAC，又因为1A A 底面ABC，建立如图所示空间直角坐标系：设AMAC，即AMAC ，则

14、1220,0,0 ,2,0,0 ,0,2,00,0,2 ,222ABCAD，11222,0, 2 ,0 ,0,2,0 ,22ABADAC 1110, 2 , 2AMA AAMA AAC ，设平面1BAD的一个法向量为1111,nx y z，则111100n ABn AD ，所以111122022022xzxy，取11z ，则12,2,1n ，设平面1MAD的一个法向量为2222,nxyz，则212100n AMn AD ，所以222222022022yzxy，取22x ，则22,2, 2n ，因为二面角1B AD M的大小为45，所以1121124 25822cos452n nnn，即2316

15、120，解得23或6 (舍去)，所以存在点M，有23AMAC，即MCAM=2 使二面角1B AD M的大小为45.21.解(1) 0,10),10,20),20,30),频率和为（0.01+0.018+0.022）10=0.5，所以样本的中位数为30样本平均数2 .2905. 0552 . 04525. 03522. 02518. 0151 . 05由样本的中位数和平均数估计总体所以该校学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间的中位数为 30min,平均数为 29.2min.（2）根据频率分布直方图,得“课外体育达标”的学生数为 200(0.020+0.005)10=50.由 22 列联表可知“课

16、外体育达标”的男生人数为 30,女生人数为 20.补全 22 列联表如下:课外体育不达标课外体育达标总计男603090女9020110总计15050200计算 K2=22(-)200 (60 20-90 30)()()()()90 110 150 50n ad bcab cd ac bd6.0616.635,故在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下不能认为“课外体育达标”与性别有关.22. 解： （1）当1a 时， 2lnf xxxxx， ln2fxxx，切线斜率 12kf ，()12f= -，切点1, 2，切线方程20 xy（2） ln2g xfxxax，定义域0,， 1122axgxaxx，1当0a ， 0gx恒成立，即 g x在0,单调递增，2当0a ，令 0gx，解得102xa，即 g x在10,2a单调递增，令 0gx，解得12xa，即 g x在1,2a单调递减（3） 0g x 有两个不等的实根，即ln2xax有两个不等实根，等价于 ln xh xx与2ya有两个不同的交点，因为 21 ln xh xx，所以当0,xe时，( )0h x ，当,xe时，( )0h x 即 h x在0,e单调递增，, e 单调递减，而易知0,1x， 0h x ，1,x， 0h x ， 1h ee，102ae，即102ae （其他合理方法均可）