衡水金卷2021-2022学年度高三一轮复习摸底测试卷数学（二）.docx

1、试卷第 1页，共 4页衡水金衡水金卷卷 2021-2022 学年度高三一轮复习摸底测试卷数学学年度高三一轮复习摸底测试卷数学 （二）二）学校:_姓名：_班级：_考号：_一、单选题一、单选题1已知复数2(1i)i1azaR在复平面上对应的点在直线0 xy上，则a（）A2B2C3D32已知集合l|,|n1Ayxxx xBa，若ABR，则实数a的取值范围为（）A1,B1,C,1D,13二项式623x展开式中3x项的系数为（）A20B540C4320D43204已知实数, ,x y z满足,0 xy z，则下列不等式恒成立的是（）A0zzxyB0zzxyC220 x zy zDxzyz5 九章算术是我

2、国古代著名的数学专著，其卷五“商功”中记载这样一个问题:今有方锥，下方二丈七尺，高二丈九尺，问积几何?其含义是:今有正四棱锥，下底边长为2丈7尺，高2丈9尺，问它的体积为多少立方尺（）(注1丈10尺)A7047B5408C2864D18546已知数列 na的前n项和为nS，若2nnaa，且121,2aa，则2021S（）A0B1C2D37 某无人机配件厂商从其所生产的某种无人机配件中随机抽取了一部分进行质量检测，其某项质量测试指标值 X 服从正态分布18,4N，且X落在区间20,22内的无人机配件个数为2718,则可估计所抽取的这批无人机配件中质量指标值X低于14的个数大约为（）(附:若随机变

3、量服从正态分布2,N ，则0.6827,220.9545,PP330.9973P试卷第 2页，共 4页A228B455C27D408动直线l分别与直线21yx，曲线23ln2yxx相交于,A B两点，则AB的最小值为（）A510B55C1D5二、多选题二、多选题9受疫情影响，全球经济普遍下滑.某公司及时调整产研策略，加大研发力度，不断推出新的产品，使 2021 年的经济由亏转盈，并健康持续发展.下表为 2021 年 1 月份至 6月份此公司的经济指标(y万元)与时间(x月份)的关系:x123456y1m0.32.22m4.53m其中1236.5mmm，其对应的回归方程为0.7yxa，则下列说法

4、正确的有（）Ay与x负相关B0.2a C回归直线可能不经过点3.5,2.25D2021 年 10 月份的经济指标y大约为6.810已知函数 cos04,2()xxf满足13131212fxfx，且403f，则下列说法正确的有（）A2B6C直线1312x是 fx图象的一条对称轴D点7,03是 fx图象的一个对称中心11直线l过抛物线24yx的焦点F，且交抛物线于,A B两点，P为抛物线准线1l上一点，则以下可以成立的是（）AAPB的面积为2B90APBC120APBD对任意l总存在点使得APB重心在抛物线上试卷第 3页，共 4页12若正实数, a b满足11391log2lo91g3baab，则

5、下列结论正确的有（）AabBabC2abD2ab三、填空题三、填空题13已知)in(1s63a ，则4cos3a_.14已知向量2,2 3 ,(,3)abm，若向量, a b 的夹角为3，则m的值为_.15在ABC中，角, ,A B C所对的边分别为, ,a b c，当02A时，若不等式22230abc恒成立，则a的取值范围为_.四、双空题四、双空题16 已知双曲线222210,0 xyabab的左右焦点分别为12,F F， 以12FF为直径的圆交y轴正半轴于点，线段1PF交双曲线的渐近线于点A，若点A恰好为线段1PF的中点(O为坐标原点)，则1AOF的大小为_，双曲线的离心率为_.五、解答题

6、五、解答题17已知ABC的内角, ,A B C所对的边分别为, ,a b c.且sinsinsinsinsin,2sinaBCbBaAcC aA，在ABC的周长为 6；sin2sinBC；sinsin3bCcB这三个条件中任选一个，补充在上面横线中，并解答下列问题.（1）求A；（2）求ABC的面积.注:如果选择多个条件分别解答按第一个解答计分.18已知等差数列 na中，210822,15,aaa等比数列 nb中，12440,2ba ba.（1）求数列 nb的通项公式；（2）记3log34nnnbca，比较1nc与nc的大小.19如图所示，直三棱柱111ABCABC的上、下底面的顶点分别在圆柱1

7、OO的上、下底面的圆周上，且 AB 过圆柱下底面的圆心,O D为1CB与1BC的交点.试卷第 4页，共 4页（1）求证:/ /OD平面11ACC A；（2）若圆柱底面半径为2，母线长为4,6ABC，求直线1DA与平面11ACC A所成角的正切值.20 已知椭圆2222:10 xyCabab的离心率为32， 圆22()1xyb与x轴相切，O为坐标原点.（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆C的右焦点为F，过点F的直线l交椭圆于,A B两点，是否存在直线l使OAB的面积为2 65？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.21交通信号灯中的红灯与绿灯交替出现.某汽车司机在某一线路的行驶过程要经过

8、,A B两段路，若已知A路段共要过4个交通岗，且经过交通岗时遇到红灯或绿灯是相互独立的，每次遇到红灯的概率为13，遇到绿灯的概率为23，在B路段的行驶过程中，首个交通岗遇到红灯的概率为113P ，且上一交通岗遇到红灯，则下一交通岗遇到红灯的概率为23，遇到绿灯的概率为13；若上一交通岗遇到绿灯，则下一交通岗遇到红灯的概率为13， 遇到绿灯的概率为23， 记B段线路中第n个交通岗遇到红灯的概率为*,nP nN.（1）求该司机在A路段的行驶过程中遇到红灯次数X的分布列与期望；（2）求该司机在B路段行驶过程中第n个交通岗遇到红灯的概率 nP的通项公式；试判断在最后离开B路段时的最后一个交通岗遇到红灯

9、的概率大于12，还是小于12，请用数据说明.22已知函数 2exf xxax.（1）当1a 时，求函数 fx的单调区间；（2）若不等式 ln1fxx恒成立，求实数a的取值范围.答案第 1页，共 16页参考答案参考答案1D【分析】由复数的四则运算得出复数z在复平面上对应的点的坐标，再代入直线方程得出a.【详解】因为i()()(1 221i1i 1 2i1 2i1 2i 1 2i5)()aaaaz所以其对应点的坐标为1 22,55a a由题意知1 22055aa，解得3a 故选：D.2B【分析】由已知求得集合A,根据ABR即可求得结果.【详解】题可知ln11Ax yxx x所以由ABR得1a .故

10、选:B.3D【分析】由二项展开式的通项求解即可.【详解】666166()2332rrrrrrrrTCxCx 令6r3 ，得3333346324320TCxx 故选：D.4D【分析】根据已知条件取特殊值或者作差法比较大小，依次判断各选项即可得出结果.【详解】答案第 2页，共 16页令211xyz，则102zzxy ，即zzxy.所以 A 选项错误；令1,1,1xyz ，则20zzxy，即zzxy，所以 B 选项错误；令1,2,1xyz ，则2230 x zy z ，所以 C 选项错误；因为()xzyzxy z，由,0 xy z得0,xzyzxzyz，所以 D 选项正确.故选:D.5A【分析】由已

11、知分别计算出底面积，根据锥体的体积公式计算即可得出结果.【详解】由题可知下底面积为2727S ，高为29,h 所以由体积公式可知1127 27 299 27 29704733VSh 立方尺.故选:A.6B【分析】由2nnaa，得42nnnaaa ，则数列 na是周期为4的数列，根据已知条件计算即可得出结果.【详解】由2nnaa，得42nnnaaa ，所以数列 na是周期为4的数列，所以由121,2aa得341,2aa所以12340aaaa，所以202112341() 5051Saaaaa，答案第 3页，共 16页故选：B.7B【分析】利用正态分布的性质得出14P X 的值，进而估计所抽取的这批

12、无人机配件中质量指标值X低于14的个数.【详解】因为X服从正态分布18,4N，所以18,2则()(120)()222222PXPXPXPX0.95450.682710.13592且X在区间20,22内的个数为2718，故可估计n值约2万个.则1()211421221 0.95450.022752P XP XPX故可估计所抽取的这批无人机配件中质量指标值X低于14的个数大约为20000 0.02275455.故选：B.8A【分析】当点B处的切线和直线21yx平行时，AB的值最小，结合导数和解析式求得点B，再由点到直线距离公式即可求解.【详解】设点A是直线21yx上任意一点点B是曲线23ln2yx

13、x上任意一点， 当点B处的切线和直线21yx平行时，这两条平行线间的距离AB的值最小因为直线21yx的斜率等于2，曲线23ln2yxx的导数13yxx ，令2y ，可得1x 或13x (舍去)，故此时点B的坐标为31,2，min32 152105AB ，故选：A.答案第 4页，共 16页9BD【分析】由线性回归方程可直接判断 A，由所给数据求出, x y（可判断 C） ，代入回归方程可求a；将10 x 代入求y可判断 D.【详解】由回归方程中x的系数0.7为正数，知y与x正相关，故 A 选项错误由题意可知123111234563.50.32.24.52.2566xymmm，所以2.250.7

14、3.50.2,a 所以0.70.2yx，故 B 选项正确；回归直线过点, x y，即过点3.5,2.25，故 C 选项错误令10,x 得0.7 100.26.8y ，故 D 选项正确.故选：BD.10ACD【分析】由13131212fxfx可知直线1312x是函数 fx的图象的一条对称轴，又403f， 所以4,03是函数 fx的图象的一个对称中心， 则41331242TkTkZ，即221Tk，可求得的值，根据余弦型函数的性质计算即可判断各选项.【详解】由13131212fxfx可知直线1312x是函数 fx的图象的一条对称轴，故 C 选项正确；又403f，所以4,03是函数 fx的图象的一个对

15、称中心，所以41331242TkTkZ， 即()21TkZk， 又因为2T， 所以42kkZ因为04，所以当0k 时，2符合，故 A 选项正确；所以()13212kkZ ，所以136kkZ因为2，所以当2k 时，6 符合条件，故 B 选项错误；答案第 5页，共 16页从而 7149cos03362cos 2,cos6fxxf，故点7,03是 fx图象的一个对称中心故D选项正确.故选：ACD.11AB【分析】对 A 采用临界条件判断，APB面积的取值范围为0,；由抛物线性质可知，以AB为直径的圆与1l相切，从而判断 B、C；对 D，设1,Pm，1122,A x yB xy，联立直线和抛物线方程，

16、结合重心定义表示出重心，反带抛物线方程检验即可求解.【详解】对于 A:l与1l交于,M P接近于M时，APB面积接近于0，故APB面积接近于0，故APB面积的取值范围为0,，所以 A 正确；对于 B：以AB为直径的圆与1l相切故APB可取90；对于 C：由B知，APB不可取120；对于 D：设1,Pm，1122,A x yB xy，则重心为12121,33xxyym，设直线l方程为1xty，联立2214404xtyytyyx，124yyt，21212242xxt yyt，则重心为241 4,33ttm， 代入抛物线方程得22441433tmt， 化简得22328120tmtm，222644 3

17、21219215360mmm 不恒成立，即方程不恒有解，所以 D 项错误.故选：AB12AC【分析】通过构造函数 13log13xf xx，可判断函数为减函数，采用 ,2f af bf afb，结合11391log2lo91g3baab代换，由指数和对数函数单调性即可判断.【详解】答案第 6页，共 16页设 13log13xf xx，则 fx在0,为减函数，因为1113931log2loglog31199bbaabb所以 21111333311111111loglogloglog33939333abbbbbbbf af babbb，因为20,bb所以21133bb，所以211033bb，即 f

18、 af b，从而,ab所以 A 正确，B 错误；而 2221111333311112loglog2loglog23333abbbf afbabbb1133loglog20bb所以 2,f afb所以2ab，所以 C 正确，D 错误.故选：AC.1313【分析】结合诱导公式化简即可求解.【详解】41coscoscossin332663aaaa .故答案为：13143【分析】根据条件求出ar，b，再利用数量积公式列方程求解.【详解】答案第 7页，共 16页由2,()2 3a 得4a ，由,3bm得29bm，又26 3a bm 所以cos3a ba b ，即得到226 31249mm，解得3m 故答

19、案为：3.151,)【分析】由余弦定理得出222bca，将题设不等式化为23 2 ,aa 再解一元二次不等式即可.【详解】由余弦定理得222cos2bcaAbc因为02A，所以由cos0A 得222bca所以若不等式22230abc，即2232abc 恒成立则23 2 ,aa 即)03 (1aa，所以1a 或3a (舍).故答案为：1,)164#【分析】根据题意，可知214PF F，再由三角形中位线的性质得出2/OAPF，从而得出1AOF；再由双曲线的渐近线AO为第二、四象限的平分线，所以ab，结合222abc和离心率cea，即可得出双曲线的离心率.【详解】解：由点P为以12FF为直径的圆与y

20、轴正半轴的交点，可知214PF F，又因为原点O为12FF的中点，A为1PF中点，所以2/OAPF，所以14AOF，答案第 8页，共 16页从而双曲线的渐近线AO为第二、四象限的平分线，所以ab，而222abc，则222ac，即2ca，所以2cea.故答案为：4；2.17（1）3（2）答案见详解【分析】（1）先利用正弦定理角化边，然后用余弦定理计算即可.（2）先利用正弦定理进行边角转化，再利用余弦定理求出其他的边角，最后通过面积公式求出面积即可.（1）由正弦定理及sinsinsinsinsinsinaBCbBaAcCA，得222babcc，即222bcabc，由余弦定理得2221cos22bc

21、aAbc，由于0,A，所以3A（2）选:由ABC的周长为6，得64bca，由（1）得2222(31)6abcbcbcbc3,bc所以21643abc，所以ABC的面积为113sin43222SbcA .选:由正弦定理及sin2sin,BC得2bc，答案第 9页，共 16页由余弦定理得，2222222423abcbccccc，即243c，解得2 33c 所以4 323bc，所以ABC的面积为114 32 332 3sin223323SbcA.选:由正弦定理及sinsin3bCcB，得sinsinsinsin3()BCCB，因为0C，所以sin0C ，所以sinsin()3BB，即13sinsin

22、cos22BBB，整理可得tan3B ，因为0B，则3B，所以ABC为等边三角形，所以ABC的面积为2113sin43222SaA .18（1）3nnb （2）1nncC【分析】（1）利用等差数列通项公式基本量的计算可求得21nan，进而利用等比数列的基本量的计算即可求得数列 nb的通项公式；（2）由（1）可知3log33425nnnbncan，则1125)3 (2()nnccnn，观察分析即可得出结果.（1）设等差数列 na的公差为d，所以由210822,15aaa，得111192217152adadaadd，所以21nan，从而124403,281baba，所以33128133ba qqq

23、，所以3nnb .（2）由（1）可知3log33425nnnbncan，所以1125)3 (2()nnccnn，答案第 10页，共 16页当1n 时，为正值所以21cc；当2n 时，为负值所以23cc；当3n 时，为正值所以1nncc.19（1）证明见解析（2）64【分析】（1）法一：连接1AC可证得1/ODAC，由线面平行的判定定理即可证得结论；法二：取AC中点1,E CC中点F，连接,EF OE DF可证得四边形ODFE为平行四边形，则/ /ODEF，由线面平行的判定定理即可证得结论.（2）法一：取AC中点1,E CC中点F，连接,EF OE DF可知/ /DFBC,易证得BC 平面11A

24、CC A，从而DF 平面11ACC A，则连接11,AFDAF为直线1DA与平面11ACC A所成的角，计算即可求得结果;法二:分别以向量,CA CB ，1CC 的方向为, ,x y z的正方向建立空间直角坐标系Cxyz,求得1232AD ， ，求出平面11ACC A的一个法向量可以记为0, 3,0n ，利用数量积公式计算即可得出结果.（1）法一:连接1AC由题易知11BCC B为矩形，所以D为1BC的中点，又O为AB中点，所以1/ODAC，又OD 平面111,ACC A AC 平面11ACC A，所以/ /OD平面11ACC A.答案第 11页，共 16页法二:取AC中点1,E CC中点F，

25、连接,EF OE DF由题易知11BCC B为矩形，所以D为1BC的中点，又O为AB中点，所以/ /,/ /OEBC DFBC，所以/ /OEDF，又易知11,22OEBC DFBC，所以OEDF，从而四边形ODFE为平行四边形，所以/ /ODEF，又OD 平面11,ACC A EF 平面11ACC A，所以/ /OD平面11ACC A；（2）法一:取AC中点1,E CC中点F，连接,EF OE DF可知/ /DFBC又因为点C在圆周上，AB为圆的直径，所以,BCAC又因为直三棱柱中1CC底面ABC，所以1CCBC，从而BC 平面11ACC A，从而DF 平面11ACC A，所以连接11,AF

26、DAF为直线1DA与平面答案第 12页，共 16页11ACC A所成的角，圆柱底面半径为2,6ABC，所以12 3,32BCDFBC，又依题可知14AA ，所以12C F ，从而12 2AF ，所以在1RtDAF中，1136tan42 2DFDAFAF法二:因为C点在圆周上，AB为圆的直径，所以BCAC，又因为直三棱柱中1CC底面ABC，所以1,CA CB CC两两垂直，分别以向量,CA CB ，1CC 的方向为, ,x y z的正方向建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz圆柱底面半径为2,6ABC，母线长为4，所以2,2 3ACBC，所以110 0 02 0 40 0 40 2 3 0CACB

27、， ， ， ， ， ， ，所以03 2D， ，从而1232AD ， ，又由1CC平面ABC，且AB为底面圆的直径，所以1,CCBC ACBC，又1ACCCC，可知BC 平面11ACC A，所以平面11ACC A的一个法向量可以记为0, 3,0n ，设直线1DA与平面11ACC A所成角为，则111sincos,AD nAD nAD n 2, 3, 20, 3,03434311答案第 13页，共 16页所以6tan4.20（1）2214xy（2）存在，30 xy或30 xy或2142 30 xy或2142 30 xy【分析】（1）根据圆22()1xyb与x轴相切可得b，再结合离心率即可求出椭圆C

28、的方程；（2）设直线:3l xmy，1122,A x yB xy，与椭圆联立，利用韦达定理以及1212OABSOFyy求出面积，然后解方程即可.（1）因为圆22()1xyb与x轴相切，所以1,b 所以221ac，又32cea，所以2,3ac，所以椭圆22:14xCy；（2）由（1）可知椭圆22:14xCy的右焦点为3,0F，当直线l的斜率为0时，显然不适合题意；当直线l的斜率不为0时，设直线:3l xmy，1122,A x yB xy联立22223(4)2 31014xmymymyxy ，2212440mm 恒成立，所以1212222 31,44myyy ymm ，则2221212122224

29、442 34414mmyyyyymmym所以1212OABSOFyy221212233414224myyy ym2212 34mm令2212 62 345mm，答案第 14页，共 16页解得21m 或272m ，即得1m 或14,2m 所以符合条件的直线方程分别为30 xy或30 xy或2142 30 xy或2142 30 xy.21（1）分布列见解析，43（2）1131126nnP；小于12，理由见解析【分析】（1）由题意143XB，X 的取值可能为0,1,2,3,4,由二项分布概率公式计算出概率，得分布列，再由二项分布的期望公式计算出期望；（2）由已知条件得出nP的递推关系，变形凑配出等比

30、数列，由此可得通项公式；由通项公式可得其值与12的大小关系（1）由题可知 X 的取值可能为0,1,2,3,4,且易知143XB，且44120,1,2,3,433kkkP XkCk ，所以04404412216033381P XC 133144124 232133381P XC 222244126 28233327P XC 31344124 28333381P XC 404441211433381P XC 所以X的分布列为答案第 15页，共 16页X01234P1681328182788118114433E Xnp；（2）由题可知1211113333nnnnPPPP，即111(232)1nnPP

31、又因为113P ，所以11126P ，所以12nP 是首项为16，公比为13的等比数列，所以1111263nnP ，即1131126nnP；由可知，1*11,326211nnnNP，所以最后一个交通岗遇到红灯的概率小于12.22（1） fx的单调递减区间为(,0)，单调递增区间为(0,)（2）2a【分析】（1）求出 fx，令 g xfx，进一步求出 gx，分析 gx正负取值的情况，进而可得 fx的单调性；（2）将不等式不等式 ln1fxx恒成立问题转化为2lne2ln12xxxxax恒成立，令 e1xh xx，通过求导求出2lne2ln1xxxx的最小值，进而可得答案.（1）当1a 时，得 2

32、2222(ee,e2)e12 e1xxxxxfxx fxxxx ，令 22()2ee1xxg xx，则 2224e4 e41 exxxgxxx当1x 时， 0gx，当1x 时， 0,gxg x单调递减当1x 时， 0,gxg x单调递增.答案第 16页，共 16页 222min12e(e10e1)g xg ，又当1x 时， 221 e10 xg xx 恒成立，且 00g，当0 x 时， 0,0g xfx单调递减当0 x 时， 0,0g xfx单调递减综上: fx的单调递减区间为(,0)，单调递增区间为(0,).（2） ln1fxx恒成立，即2eln1xxaxx恒成立，即2lne2ln1 (2)

33、xxxxax恒成立，因为0,x 只需2lne2ln12xxxxax恒成立，只需2lnmin2ln1e2xxxxax，令 e1,e1xxh xxhx，当0 x 时， 0,h xh x单调递减，当0 x 时， 0,h xh x单调递增，所以 00h xh恒成立，当且仅当0 x 时等号成立，所以2lne2ln10 xxxx恒成立，当且仅当2ln0 xx时等号成立，由lnyx和2yx 的图像有交点可得存在x使得2ln0 xx，所以2lnmine2ln10 xxxxx，所以20a，所以2a.【点睛】关键点点睛： （1）当一次求导不能解决问题的时候，我们需要对导函数再次求导来研究函数的性质； （2）对于恒成立问题，我们需要通过参变分离来转化为最值问题，这个过程需要构造函数来研究函数性质.