高中数学竞赛知识点.doc

1、数学均值不等式被称为均值不等式。即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数，简记为“调几算方 ” 。其中：，被称为调 和 平 均 数 。，被称为几何平均数。，被称为算术平均数。，被称为平方平均数。一般形式设 函 数（当 r 不等于 0 时）；（当 r=0时 ） ， 有 时，。可以注意到，Hn Gn An Qn 仅是上述不等式的特殊情形，即。特例对实数a,b ，有（当且仅当a=b 时取 “= 号 ” ） ，（当且仅当 a=-b 时取 “= 号 ” ）对非负实数a,b，有，即对非负实数a,b，有对实数a,b ，有对非负实数a,b，有对实数a,b ，有对实数

2、a,b,c ，有对非负数a,b，有对非负数a,b,c ，有在几个特例中，最著名的当属算术 几何均值不等式（AM-GM 不等式）：当 n=2 时，上式即：当且仅当时，等号成立。根据均值不等式的简化，有一个简单结论 ， 即。排序不等式基本形式：排序不等式的证明要证只需证根据基本不等式只需证原结论 正 确棣莫弗定理设 两 个 复 数 （用三角形式表示），则：复数乘方公式：.圆 排 列定义从 n 个不同元素中不重复地取出m（1 m n）个元素在一个圆周上，叫做这n 个不同元素的圆排列。 如果一个m-圆排列旋转可以得到另一个m-圆排列，则认为这 两 个 圆排列相同。计 算 公 式n 个不同元素的m-圆排

3、列个数N 为：特别地，当m=n 时， n 个不同元素作成的圆排列总数N 为：。费马小定理费马小定理 (Fermat Theory)是数论中的一个重要定理，其内容为：假如 p 是质数，且(a,p)=1 ，那么a(p-1)1（ modp ）。即：假如a 是整数， p 是质数，且a,p 互质(即两者只有一个公约数1)，那么 a 的(p-1) 次方除以p 的余数恒等于1。组 合 恒 等 式组 合 数 C(k,n) 的定义：从n 个不同元素中选取k 个进行组合的个数。基本的组合恒等式nC(k,n)=kC(k-1,n-1)C(n,k)C(m,k)=C(m,n)C(k-m,n-m)C(i,n)=2n(-1)

4、i*C(i,n)=0C(m,n+1)=C(m-1,n)+C(m,n)（这个性质叫组合的【聚合性】）C(k,n)+C(k,n+1)+C(k,n+m)=C(k+1,n+m+1)-C(k+1,n)C(0,n)C(p,m)+C(1,n)C(p-1,m)+C(2,n)C(p-2,m)+C(p -1,n)C(1,m)+C(p,n)C(0,m)=C(p,m+n)韦 达 定 理逆定理如果两数 和 满足如下关系：+=， =，那么这两个数和 是方程的根。通过韦达定理的逆定理，可以利用两数的和积关系构造一元二次方程。5推广定理韦 达 定 理 不 仅可以说明一元二次方程根与系数的关系，还可以推广说明一元n 次方程根与

5、系数的关系。定理：设（i=1、2、3、n ）是方程：的 n 个根，记k 为整数），则有：。实系数方程虚根成对定理：实 系 数 一 元n 次方程的虚根成对出现，即若z=a+bi(b 0)是方程的一个根，则=a-bi 也是一个根。无穷递 降 法无穷递 降 法 是 证明方程无解的一种方法。其步骤为：假设方程有解，并设X 为最小的解。从 X 推出一个更小的解Y。从而与 X 的最小性相矛盾。所以，方程无解。孙 子 定 理又称中国剩余定理，中国剩余定理给出了以下的一元线性同余方程组：有解的判定条件，并用构造法给出了在有解情况下解的具体形式。中国剩余定理说明： 假设整数m1,m2, .,mn两两互质，则对任

6、意 的整数： a1,a2, . ,an ，方程组有解，并且通解可以用如下方式构造得到：设是整数 m1,m2, .,mn的乘积，并设是除了 mi 以外的 n- 1 个整数的乘积。设为模的数论倒数：方程组的通解形式：在模的意义下，方程组只有一个解：同余同余公式也有许多我们常见的定律,比如相等律 ,结合律 ,交换律 ,传递律 .如下面的表示:1)aa(mod d)2)ab(mod d) ba(modd)3)(a b(modd),b c(mod d) ac(mod d)如果 ax(mod d),b m(mod d),则4)a+bx+m （mod d ）其中 ax (modd) ，bm(modd)5)a

7、-bx-m(modd)其中 ax (modd),b m (modd)6)a*b x*m (modd )其中 ax (modd),b m (modd)7）ab（modd ）则a-b 整除 d欧拉函数函数的值通式： (x)=x(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4).(1-1/pn), 其中 p1,p2pn 为x 的所有质因数，x 是不为0 的整数。 (1)=1 （唯一和 1互质的数 (小于等于1)就是 1 本身）。(注意：每种质因数只一个。比如12=2*2*3 那么 （12）=12*（1-1/2）*(1-1/3)=4若 n 是质数 p 的 k 次幂， (n)=pk-p(k

8、-1)=(p-1)p(k-1)，因为除了p 的倍数外，其他数都跟 n 互质。设n 为正整数，以(n)表示不超过n 且与 n 互素的正整数的个数，称为n 的欧拉函数值，这里函数：NN ，n (n)称为欧拉函数。欧拉函数是积性函数 若 m,n 互质， (mn)=(m)(n。)特殊性质：当n 为奇数时， (2n)= (n),证明与上述类似。若 n 为质数则(n)=n-1。格点定义数学上把在平面直角坐标系中横纵坐标均为整数的点称为格点(latticepoint) 或整点。性质1、格点多边形的面积必为整数或半整数（奇数的一半）。2、格点关于格点的对称点为格点。3、格点多边形面积公式（坐标平面内顶点为格点

9、的三角形称为格点三角形，类似地也有格点多边形的概念。）设某格点多边形内部有格点a 个，格点多边形的边上有格点b 个，该 格 点 多 边形面积为 S，则根据皮克公式有S=a+b/2-1 。4，格点正多边形只能是正方形。5，格点三角形边界上无其他格点，内部有一个格点，则该点为此三角形的重心。三面角定义三面角：由三个面构成的多面角称为三面角，如图中三面角可记作O-ABC 。特别地，三个面角都是直角的三面角称为直三面角。三面角的补三面角： 由三条自已知三面角定点发出的垂直于已知三面角的三个平面的射线组成的三面角叫做已知三面角的补三面角。性质1、三面角的任意两个面角的和大于第三个面角。2、三面角的三个二

10、面角的和大于180，小于 540 。三面角相关定理设 三 面 角 O-ABC 的三个面角 AOB 、BOC、 AOC 所对的二面角依次为OC，OA， OB。1、三面角正弦定理：sinOA/sin BOC=sin OB/sin AOC=sin OC/sin AOB。2、三面角第一余弦定理：cosBOC=cos OA sin AOBsinAOC+cos AOBcosAOC 。3、三面角第二余弦定理：cos OA=cos BOCsin OB sin OC-cos OB cosOC。直线方程一般有以下八种描述方式：点斜式，斜截式，两点式，截距式，一般式，法线式，法向式，点向式。点斜式已知直线一点(x1

11、,y1,) 并且存在直线的斜率k，则直线可表示为：y-y1=k(x-x1) 。适用范围：斜率 K 存在的直线。斜截式已知与 Y 轴的交点（ 0，b），斜率为K，则直线可表示为：y=kx+b 。适用范围：斜率存在的直线。两点式两点式是解析几何直线理论的重要概念。当已知两点（X1， Y1），（X2，Y2）时，将直线的斜率公式k=(y2-y1)/(x2-x1)代入点斜式时，得到两点式(y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)。适用范围：不平行于（或者说不垂直于）坐标轴的的直线。截距式已知与坐标轴的交点（a，0），（ 0，b）时，截距式的一般形式：x/a+y/b=1 （a0 且b0）。

12、适用范围：不平行于（或者说不垂直于）坐标轴的直线，不过原点的直线。一般式ax+by+c=0(A 、B 不同时为0)。斜率： -A/B 截距： -C/B。两直线平行时：A1/A2=B1/B2C1/C2 ，则无解。两直线相交时： A1/A2B1/B2；两直线垂直时： A1A2+B1B2=0A1/B1 A2/B2=-1 ，都只有一个交点。两直线重合时：A1/A2=B1/B2=C1/C2，则有无数解。适用范围：所有直线均可适用。法线式过原点向直线做一条的垂线段，该垂线段所在直线的倾斜角为，p 是该线段的长度。x cos +y sin-p=0。法向式知道直线上一点（x0，y0）和与之垂直的向量（a， b

13、），则 a（x-x0）+b（ y-y0）=0，法向量 n=（a，b）方向向量d=（b，-a）k=a/b 。点向式知道直线上一点(x0,y0)和方向向量（u,v ），(x-x0)/u=(y- y0)/v(u0,v 。 0)极坐标系极坐标系（ polar coordinates）是指在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系。在平面上取定一点O，称为极点。从O 出发引一条射线Ox，称为极轴。再取定一个长度单位，通常规定角度取逆时针方向为正。这样，平面上任一点P 的位置就可以用线段OP 的长度 以及从 Ox 到 OP 的角度 来确定，有序数对（，）就称为 P 点的极坐标，记为P（，）；称为 P 点的极径

14、， 称为 P 点的极角。极坐标方程于极点（ 90/270）对称，如果r( -)= r( ， 则 )曲线相当于从极点顺时针方向旋转。圆方程为 r( )= 1的圆。在极坐标系中，圆心在(r0,半) 径为a 的圆的方程为r2-2rr0cos( -)+r02=a2该方程可简化为不同的方法，以符合不同的特定情况，比如方程r( )=a 表示一个以极点为中心半径为a 的圆。直线经过极点的射线由如下方程表示=,其中 为射线的倾斜角度，若k 为直角坐标系的射线的斜率，则有 = arctan k。 任何不经过极点的直线都会与某条射线垂直。这些在点 （r0,）处的直线与射线 = 垂直，其方程为r( )=r0sec(

15、- )圆幂点到圆的幂：设P 为O 所在平面上任意一点，PO=d ，O 的半径为r，则 d2r2就是点 P 对于 O 的幂过P 任作一直线与O 交于点 A、B，则 PA PB= |d2 r2|“到两圆等幂的点的轨迹是与此二圆的连心线垂直的一条直线，如果此二圆相交， 则该轨迹是此二圆的公共弦所在直线”这个结论这条直线称为两圆的“根轴”三个圆两两的根轴如果不互相平行，则它们交于一点，这一点称为三圆的“根心”三个圆的根心对于三个圆等幂当三个圆两两相交时，三条公共弦(就是两两的根轴)所在直线交于一点1定义从一点A 作一圆周的任一割线，从A 起到和圆相交为止的两段之积，称为点A 于这圆周的幂2圆幂定理已知

16、(O,r) ，通过一定点P，作 O 的任一割线交圆于A,B，则 PA，PB 为 P 对于 O 的幂，记为k，则当 P 在圆外时， k=PO2-r2 ；当 P 在圆内时， k= r2-PO2 ；当 P 在圆上时， k=0.图： 相交弦定理。 如图，AB、CD 为圆 O 的两条任意弦。 相交于点P，连接 AD、BC，由于 B 与D 同为弧 AC 所对的圆周角， 因此由圆周角定理知：B= D，同理 A=C，所以。所以有：，即：。图：割线定理。如图，连接AD、BC。可知 B=D，又因为 P 为公共角，所以有，同上证得。图：切割线定理。如图，连接AC、 AD。PAC 为切线 PA 与弦 AC 组成的弦切

17、角，因此有 PBC= D，又因为 P 为公共角， 所以有，易图：PA、PC 均为切线， 则PAO= PCO=9 0，在直角三角形中：OC=OA=R ，PO为公共边，因此。所以 PA=PC ，所以。综上可知，是普遍成立的。根轴定义在 平面上任给两不同心的圆，则对两圆圆幂相等的点的集合是一条直线，这条线称为这两个圆的根轴。另一角度也可以称两不同心圆的等幂点的轨迹为根轴，或者称作等幂轴。根轴方程设两圆 O1,O2 的方程分别为：(x-a1)2+(y-b1)2-(r1)2=0(1)(x-a2)2+(y-b2)2-(r2)2=0(2)由于根轴上任意点对两圆的圆幂相等，所以根轴上任一点(x,y),有(x-

18、a1)2+(y-b1)2-(r1)2=圆幂 =(x-a2)2+(y-b2)2-(r2)2两式相减，得根轴的方程(即 x,y 的方程 )为2(a2-a1)x+2(b2-b1)y+f1-f2=0其中 f1=(a1)2+(b1)2-(r1)2,f2类似。解的不同可能(1)(2) 连立的解，是两圆的公共点M(x1,y1),N(x2,y2)如果是两组不等实数解，MN 不重合且两圆相交，根轴是两圆的公共弦。如果是相等实数解，MN 重合，两圆相切，方程表示两圆的内公切线。如果是共轭虚数解，两圆相离，只有代数规律发挥作用，在坐标系内没有实质。称M,N 是共轭虚点。尺规作图相交,相切时根轴为两圆交点的连线.内含

19、时,作一适当的圆与两园相交,这圆 与 两 圆的根轴的交点在根轴上.同理再作一点 ,两点所在的直线即为根轴(等幂轴)相关定理1，平面上任意两圆的根轴垂直于它们的连心线；2，若两圆相交，则两圆的根轴为公共弦所在的直线；3，若两圆相切，则两圆的根轴为它们的内公切线；4，若两圆外离，则两圆的根轴上的点分别引两圆的切线，则切线长 相 等 。5，蒙日定理（根心定理）：平面上任意三个圆，若这三个圆圆 心 不 共 线，则三条根轴相交于一点，这个点叫它们的根心；若三圆圆 心 共 线，则三条根轴互相平行；6， 反演后的圆和反演圆和被反演的圆3 个圆共根轴。容斥原理也可表示为：设S 为有限集 ,则两个集合的容斥关系

20、公式：AB =|AB| = |A|+|B| -|AB |( ：重合的部分）三个集合的容斥关系公式：|ABC| = |A|+|B|+|C|-|AB|- |BC|- |CA| + |A BC|抽屉原理第一抽屉原理原理 1： 把多于 n+k 个的物体放到n 个抽屉里，则至少有一个抽屉里的东西不少于两件。证 明 （ 反 证法）：如果每个抽屉至多只能放进一个物体，那么物体的总数至多是n 1，而不是题设的n+k(k 1)，故不可能。原理 2 ：把多于 mn(m 乘以 n)（n 不为 0）个的物体放到n 个抽屉里，则至少有一个抽屉里有不少于（m+1）的物体。证明（反证法）：若每个抽屉至多放进m 个物体 ,那

21、么 n 个抽屉至多放进mn 个物体 ,与题设不符，故不可能。原理 3 ： 把无穷多件物体放入n 个抽屉，则至少有一个抽屉里有无穷个物体。原理 1 、 2 、3 都是第一抽屉原理的表述。第二抽屉原理把（mn 1）个物体放入n 个抽屉中，其中必有一个抽屉中至多有（m1）个物体 (例如，将 3 5-1=14 个物体放入5 个抽屉中，则必定有一个抽屉中的物体数少于等于3-1=2) 。极端原理解题，就是在解决相关数学问题时，重点放在所研究问题的极端情况。极端原理最小数原理、最大数原理命题一有限个实数中，必有一个最小数（也必有一个最大数）。命题二在有限个或无限个正整数中，必有一最小数。命题二可用集合的语言表述为，最小数原理 ：若是自然数集的任一非空子集(注：有限或无限均可)，则中必有最小的数，即对属于的任何数，均有。最短长度原理最短长度原理1：任意给定平面上的两点，在所有连接这两点的曲线中，以直线段的长度为最短；（需注意此原理虽然是直观的，但对曲线和其长度的严格定义却颇费周折。）最短长度原理2：在连接一已知点和已知直线或已知平面的点的所有曲线中，以垂线段的长度为最短。