圆锥曲线知识点总结(经典版).doc

1、圆锥曲线的方程与性质1椭圆（1）椭圆概念平面内与两个定点F、F12的距离的和等于常数 2a（大于| FF12|）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离2c 叫椭圆的焦距。若M为椭圆上任意一点，则有| MF1|MF2|2a。椭圆的标准方程为：x2y2y2x21（ab0）（焦点在 x 轴上）或abab22221（ab0）（焦点在 y 轴上）。注：以上方程中a,b的大小ab0，其中b2a2c2；在x2y2y2x21和abab22221两个方程中都有ab0的条件，要分清焦点的位置，只要看x和y2的分2母的大小。例如椭圆x2y21（m0，n0，mn）当mn时表示焦点在x轴上的椭圆；当

2、mn时mn表示焦点在y轴上的椭圆。（2）椭圆的性质范围：由标准方程x2y2ab221知| x|a，| y|b，说明椭圆位于直线xa，yb所围成的矩形里；对称性：在曲线方程里，若以y代替y方程不变，所以若点(x, y)在曲线上时，点(x,y)也在曲线上，所以曲线关于x轴对称，同理，以x代替x方程不变，则曲线关于y轴对称。若同时以x代替x，y代替y方程也不变，则曲线关于原点对称。所以，椭圆关于x轴、y轴和原点对称。这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心；顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与x轴、y轴的交点坐标。在椭圆的标准方程中，令x0，得yb，则B (

3、0,b)，B (0,b)是椭圆与y轴的两个交点。同理令y0得xa，即A(a,0)，121A2(a,0)是椭圆与x轴的两个交点。所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。同时，线段A A12、B B12分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为a； 在RtOBF22中，|OB2|b，|OF2|c，| BF22|a，且|OF2|2| BF22|2|OB2|2，即cab；222离心率：椭圆的焦距与长轴的比eca叫椭圆的离心率。ac0，0e1，且e越接近1，c就越接近a，从而b就越小，对应的

4、椭圆越扁；反之，e越接近于0，c就越接近于0，从而b越接近于a，这时椭圆越接近于圆。当且仅当ab时，c0，两焦点重合，图形变为圆，方程为x2y2a2。2双曲线（1）双曲线的概念平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线（| PF1| PF2|2a） 。注意：式中是差的绝对值，在02a| FF12|条件下；| PF1|PF2|2a时为双曲线的一支；| PF2|PF1|2a时为双曲线的另一支（含F1的一支）F；当2a| F；当2a| F12|时，| PF1| PF2|2a表示两条射线；当2a| FF12|时，| PF1| PF2|2a不表示任何图形；两定点F ,F12叫做双曲线的焦点

5、，| FF12|叫做焦距。（2）双曲线的性质范围：从标准方程x2y2a2b21，看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两条直线xa的外侧。即x2a2，xa即双曲线在两条直线xa的外侧。对称性：双曲线x2y2a2b21关于每个坐标轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线x2y2a2b21的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。顶点：双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。在双曲线x2y2a2b21的方程里，对称轴是x, y轴，所以令y0得xa，因此双曲线和x轴有两个交点A (a,0)A (a,0)，他们是双曲线2x2y2a2b21的顶点。令x0，没有实根，因此双曲线和y 轴

6、没有交点。1）注意：双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的（椭圆有四个顶点），双曲线的顶点分别是实轴的两个端点。2）实轴：线段A A2叫做双曲线的实轴，它的长等于2a,a叫做双曲线的实半轴长。虚轴：线段B B2叫做双曲线的虚轴，它的长等于2b,b叫做双曲线的虚半轴长。渐近线：注意到开课之初所画的矩形，矩形确定了两条对角线，这两条直线即称为双曲线的渐近线。从图上看，双曲线x2y2ab221的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近。等轴双曲线：1）定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。定义式：ab；2）等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：yx； （ 2）渐近线互相垂直。注意以上几个性质与定义

7、式彼此等价。亦即若题目中出现上述其一，即可推知双曲线为等轴双曲线，同时其他几个亦成立。3）注意到等轴双曲线的特征ab，则等轴双曲线可以设为：x2y2(0)，当0时交点在x轴，当0时焦点在y轴上。注意x2y2y2x21与1的区别：三个量a,b,c中a,b不同（互换）c相同，还有焦点所在的坐标169916轴也变了。3抛物线（1）抛物线的概念平面内与一定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点 F 不在定直线 l 上)。定点 F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线。方程y22pxp0叫做抛物线的标准方程。注意：它表示的抛物线的焦点在x 轴的正半轴上，焦点坐标是 F（p

8、p,0），它的准线方程是x；22（2）抛物线的性质一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式：y2px，x2py，x2py.这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如222下表：标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)图形lyyylFoFxFoxlox焦点坐标p(,0)2(p ,0)2p(0,)2p(0,)2准线方程xp2xp2yp2yp2y0y0 x0 x0范围对称性x轴x轴y轴y轴(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)顶点e1e1e1e1离心率说明：（1）通径：过抛物线的焦点且

9、垂直于对称轴的弦称为通径； （ 2）抛物线的几何性质的特点：有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称中心，没有渐近线；（3）注意强调p的几何意义：是焦点到准线的距离。4. 高考数学圆锥曲线部分知识点梳理一、方程的曲线：在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程 f(x,y)=0 的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线。点与曲线的关系：若曲线C 的方程是 f(x,y)=0，则点 P (x,y,y )=0；点 P(x

10、,y)不在曲线)在曲线 C 上f(x00000000C 上f(x,y )0。00两条曲线的交点：若曲线C ，C 的方程分别为 f (x,y)=0,f (x,y)=0,则点 P (x,y)是 C ，C 的交点121200012ff(x , y )0方程组有 n 个不同的实数解，两条曲线就有n 个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没100(x , y )0200有交点。二、圆：1、定义：点集MOM=r，其中定点 O 为圆心，定长 r 为半径.2、方程：(1)标准方程：圆心在c(a,b)，半径为 r 的圆方程是(x-a) +(y-b) =r222圆心在坐标原点，半径为r 的圆方程是 x +y =r

11、222(2)一般方程：当 D +E -4F0 时，一元二次方程x +y +Dx+Ey+F=0 叫做圆的一般方程，圆心为(2222DE,)半径22是D2E24F。配方，将方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0化为(x+2DE) +(y+) =DE-4F2222224当 D +E -4F=0 时，方程表示一个点(-22DE,-);22当 D +E -4F0 时，方程不表示任何图形.22（3）点与圆的位置关系已知圆心 C(a,b),半径为 r,点 M 的坐标为(x ,y)，则MCr点 M 在圆 C 内，00MC=r点 M 在圆 C 上，MCr点 M 在圆 C 内，其中MC=(x0-a)(y-b)。22

12、0（4）直线和圆的位置关系：直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系：直线与圆相交有两个公共点；直线与圆相切有一个公共点；直线与圆相离没有公共点。直线和圆的位置关系的判定：(i)判别式法；(ii)利用圆心 C(a,b)到直线 Ax+By+C=0的距离dAaBbCA2B2与半径 r 的大小关系来判定。三、圆锥曲线的统一定义：平面内的动点 P(x,y)到一个定点 F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线l 的距离之 比是一个常数 e(e0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线。其中定点F(c,0)称为焦点，定直线 l 称为准线，正常数 e 称为离心率。当 0e1 时，轨迹为椭圆；当e=1 时，轨迹为抛

13、物线；当e1 时，轨迹为双曲线。四、椭圆、双曲线、抛物线：椭圆双曲线抛物线定义1到两定点 F ,F 的距离之12和为定值 2a(2a|F F |)的12点的轨迹2与定点和直线的距离之比为定值 e 的点的轨迹.（0e1）1到两定点 F ,F 的距离之差的12绝对值为定值 2a(02a1）与定点和直线的距离相等的点的轨迹.轨迹条件点集：(MMF +MF 12=2a,F F 2a.12点集：MMF -MF .12=2a,F F 2a.22点集M MF=点 M 到直线 l 的距离.图形方标准方程x2y21(ab0)a2b2x2y21(a0,b0)a2b2y22px程参数方程xacosybsin(参数为

14、离心角）xasecybtan(参数为离心角）x2pt2y2pt(t 为参数)范围axa，byb|x|a，yRx0中心原点 O（0，0）原点 O（0，0）(a,0),(a,0),顶点(a,0),(a,0)(0,b) , (0,b)(0,0)x 轴，y 轴；x 轴，y 轴;对称轴x 轴长轴长 2a,短轴长 2b实轴长 2a, 虚轴长 2b.焦点F (c,0), F (c,0)F (c,0), F (c,0)1212pF(,0)2准线a2x=c准线垂直于长轴，且在椭圆外.a2x=c准线垂直于实轴，且在两顶点的内侧.px=-2准线与焦点位于顶点两侧，且到顶点的距离相等.焦距2c（c=a2b2）2c（c

15、=a2b2）2）离心率eca(0e1)eca(e1)e=1【备注 1】双曲线：等轴双曲线：双曲线x2y2a2称为等轴双曲线，其渐近线方程为yx，离心率e2.共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.x2y2ab22与x2y2互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：a2b2x2y2a2b20.共渐近线的双曲线系方程：x2a2y2b2(0)的渐近线方程为x2a2y2b20如果双曲线的渐近线为xy0时，abx2y2它的双曲线方程可设为(0).a2b2【备注 2】抛物线：（1）抛物线y2=2px(p0)的焦点坐标是(pp,0)，准线方程 x=-，开口向右；抛物

16、线y2=-2px(p0)的焦点坐22pppp标是(-,0)，准线方程 x=，开口向左；抛物线x=2py(p0)的焦点坐标是(0,)，准线方程 y=-，开22222口向上；抛物线x2=-2py（p0）的焦点坐标是（0,-pp），准线方程 y=，开口向下.22（2）抛物线y2=2px(p0)上的点M(x0,y0)与焦点 F 的距离MFx0p与焦点 F 的距离MFx20p；抛物线y2=-2px(p0)上的点M(x0,y0)2pp（3）设抛物线的标准方程为y=2px(p0)，则抛物线的焦点到其顶点的距离为，顶点到准线的距离，焦点222到准线的距离为 p.（4） 已知过抛物线y2=2px(p0)焦点的直

17、线交抛物线于A、 B 两点，则线段 AB 称为焦点弦，设 A(x1,y1),B(x2,y2)，则弦长AB=x1x22pp2p+p 或AB(为直线 AB 的倾斜角)，y yp2，x x, AFx(AFsin24212121叫做焦半径).五、坐标的变换：（1）坐标变换：在解析几何中，把坐标系的变换(如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向)叫做坐标变换.实施坐标变换时，点的位置，曲线的形状、大小、位置都不改变，仅仅只改变点的坐标与曲线的方程.（2）坐标轴的平移：坐标轴的方向和长度单位不改变，只改变原点的位置，这种坐标系的变换叫做坐标轴的平移，简称移轴。（3）坐标轴的平移公式：设平面内任意一点 M，它在

18、原坐标系 xOy 中的坐标是（x,y)，在新坐标系 x Oy中的坐标是(x , y ).设新坐标系的原点O在原坐标系 xOy 中的坐标是(h,k)，则xxhyyk或xxhyyk叫做平移(或移轴)公式.（4）中心或顶点在(h,k)的圆锥曲线方程见下表：方程焦点焦线对称轴(x -h)2(y-k)2+=1ab22(c+h,k)a2x=+hcx=hy=k椭圆(x -h)2(y-k)2+=1ba22(h,c+k)a2y=+kcx=hy=k(x -h)2(y-k)2-=1ab22(c+h,k)a2x=+kcx=hy=k双曲线(y-k)2(x-h)2-=1ab22(h,c+h)a2y=+kcx=hy=k(y

19、-k)2=2p(x-h)(p2+h,k)x=-p2+hy=kp(y-k)2=-2p(x-h)(-+h,k)x=2p2+hy=k抛物线(x-h)2=2p(y-k)pp(h,+k)y=-+kx=h22p(x-h)2=-2p(y-k)(h,-+k)y=2p2+kx=h六、椭圆的常用结论：1.点 P 处的切线 PT 平分PF1F2 在点 P 处的外角.2.PT 平分PF1F2 在点 P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3.以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4.以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.x2y2x xy y

20、15.若P (x , y )在椭圆上，则过P的椭圆的切线方程是00000a2b2a2b021.6.若P0(x , y00)在椭圆x2y2ab221外，则过P作椭圆的两条切线切点为 P 、P ，则切点弦 P P01212的直线方程是x xy y00a2b21.7.椭圆x2y2ab221(ab0)的左右焦点分别为 F，点 P 为椭圆上任意一点F，FPF1212，则椭圆的焦点角形的面积为SFPF12b2tan2.8.椭圆x2y2ab221（ab0）的焦半径公式| MF1|aex0,| MF2|aex0(c,0),F(F(c,0) M(x , y ).12009.设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆相交 P

21、、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和 AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于 M、N 两点，则 MFNF.10. 过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点P、Q, A、A 为椭圆长轴上的顶点，A P 和 A Q 交于点 M，A P 和 A Q121221交于点 N，则 MFNF.11. AB 是椭圆x2y2b21的不平行于对称轴的弦，M(xk, y )为 AB 的中点，则kaba22200OMAB，即KABb2x00a y2。12. 若P0(x , y00)在椭圆x2y2x xy yx2y21内，则被 Po 所平分的中点弦的方程是0000ababab222222；【推论】：1、若

22、P0(x ,y )在椭圆00 x2y2x2y2x xy yx2y21内，则过 Po 的弦中点的轨迹方程是。椭圆00abababab222222221(a,0),A（abo）的两个顶点为A12(a,0)，与 y 轴平行的直线交椭圆于P P1、2时 A P 与 A P 交点的轨迹方程1122是x2y2ab221.2、过椭圆x2y2ab221(a0, b0)上任一点A(x0, y )任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C 两点，则直0线 BC 有定向且kBCb2x0a y20（常数）.3、若 P 为椭圆x2y2ab221（ab0）上异于长轴端点的任一点,F, F12是焦点,PFF12,PFF21，

23、则actancot.ac224、设椭圆x2y2ab221（ab0）的两个焦点为 F、F ,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在PF F1212中，记FPF12,PFF12,FP，则有F12since.sinsina5、若椭圆x2y2ab221（ab0）的左、右焦点分别为 F，左准线为L，则当0e21时，可在椭圆上、F12求一点 P，使得 PF 是 P 到对应准线距离 d 与 PF12的比例中项.6、P 为椭圆x2y2ab221（ab0）上任一点,F,F12为二焦点，A 为椭圆内一定点，则2a| AF2| PA|PF1|2a|AF1|,当且仅当A,F ,P三点共线时，等号成立.27、椭圆(xx

24、 )2(yy)21与直线AxByC0有公共点的充要条件是00ab22A2a2B2b2(Ax0By0C)2.8、已知椭圆x2y2ab221（ab0） ， O 为坐标原点，P、Q 为椭圆上两动点，且OPOQ.（1）1111;（2）|OP| +|OQ| 的最大值为22|OP|2|OQ|2a2b24a2b2a2b2;（3）S的最小值是ababOPQ2222.9、过椭圆x2y2ab221（ab0）的右焦点 F 作直线交该椭圆右支于M,N 两点，弦 MN 的垂直平分线交 x 轴于P，则| PF |e.| MN |210、已知椭圆x2y2ab221（ ab0） ,A、 B、是椭圆上的两点，线段 AB 的垂直

25、平分线与 x 轴相交于点P(x,0),0a2b2a2b2则x.aa011、设 P 点是椭圆x2y2ab221（ ab0）上异于长轴端点的任一点,F、F12为其焦点记FPF12，则(1)| PF1| PF22b2|.(2)S1cosPFF1 2btan.2212、设 A、B 是椭圆x2y2ab221（ ab0）的长轴两端点，P 是椭圆上的一点，PAB,PBA,BPA，c、e 分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1)|PA|2ab2|cos|ac cos222.(2)tantan1e.(3)S2PAB2a2b2ba22cot.13、已知椭圆x2y2ab221（ ab0）的右准线l与 x 轴相交于点E，

26、过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于 A、B 两点,点C在右准线l上，且BCx轴，则直线 AC 经过线段 EF 的中点.14、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.16、椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e(离心率).（注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.）17、椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.18、椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.

27、七、双曲线的常用结论：1、点 P 处的切线 PT 平分PF F 在点 P 处的内角.122、PT 平分PF F 在点 P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两12个端点.3、以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相交.4、以焦点半径 PF 为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）1x2y2x xy y15、若P (x , y )在双曲线（a0,b0）上，则过P的双曲线的切线方程是00000a2b2a2b026、若P (x , y000)在双曲线x2y2ab221（a0,b0）外 ，则过 Po 作双曲线的两条切线切点

28、为P、P ，则切点弦12P P12的直线方程是x xy y00a2b21.7、双曲线x2y2ab221（a0,bo）的左右焦点分别为F，F1，点 P 为双曲线上任意一点FPF212线的焦点角形的面积为SFPF12b cot22.8、双曲线x2y2ab221（a0,bo）的焦半径公式：(F (c,0),F12| MF1|ex0a,|MF2|ex0a；当M(x0, y0)在左支上时，| MF1|ex0a,|MF2|ex0a。9、设过双曲线焦点 F 作直线与双曲线相交 P、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的双曲线准线于 M、N 两点，则 MFNF.1

29、0、过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P、Q,A、A12和 A Q 交于点 N，则 MFNF.1为双曲线实轴上的顶点，A P 和 A Q 交于点 M，A P12211、 AB 是双曲线x2y2b2x1（a0,b0）的不平行于对称轴的弦，M(xK, y )为 AB 的中点，则K0aba y22200OMAB0，即KABb2x00a y2。12、 若P x ( , y000)在双曲线x2y2x xy yx2y21（a0,b0）内 ，则被 Po 所平分的中点弦的方程是0000ababab222222.13、若P0(x ,y )在双曲线00 x2y2x2y2x xy y1（a0,b0）内，则过

30、 Po 的弦中点的轨迹方程是00ababab222222.【推论】：1、双曲线x2y2ab221（a0,b0）的两个顶点为A (a,0),A(a,0)，与 y 轴平行的直线交双曲线于P P1、212时A P11与 A P22交点的轨迹方程是x2y2ab221.2、过双曲线x2y2ab221（a0,bo）上任一点A(x0, y0)任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于 B,C 两点，则直线 BC 有定向且kBCb2x0a y20（常数）.3、若 P 为双曲线x2y2ab221（a0,b0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F, F12是焦点,PFF12,PFF21，则cacatancot（或tanc

31、ot）.ca22ca224、设双曲线x2y2ab221（a0,b0）的两个焦点为F、F ,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在PF F1212中，记FPF12,PFF12,FFP，则有12since.(sinsin)a5、若双曲线x2y2ab221（a0,b0）的左、右焦点分别为 F，左准线为L，则当1e21时，可在双、F12曲线上求一点 P，使得 PF 是 P 到对应准线距离 d 与 PF12的比例中项.6、P 为双曲线x2y2ab221（a0,b0）上任一点,F,F12为二焦点，A 为双曲线内一定点，则| AF2|2a| PA|PF1|,当且仅当A,F ,P三点共线且P和A,F22在

32、y 轴同侧时，等号成立.7、双曲线x2y2ab221（a0,b0）与直线AxByC0有公共点的充要条件是A aB bC.222228、已知双曲线x2y2ab221（ba 0） ， O 为坐标原点，P、Q 为双曲线上两动点，且OPOQ.11114a2b2a2b2;（2）|OP| +|OQ| 的最小值为22（1）;（3）S的最小值是|OP|2|OQ|2a2b2OPQba2ba222.9、过双曲线x2y2ab221（a0,b0）的右焦点F 作直线交该双曲线的右支于M,N 两点，弦 MN 的垂直平分线交x 轴于 P，则| PF |e.| MN |210、已知双曲线x2y2ab221（a0,b0） ,A

33、、 B是双曲线上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x,0),0则x0a2b2a2b2或x.aa011、设 P 点是双曲线x2y2ab221（a0,b0）上异于实轴端点的任一点,F为其焦点记F、FPF1212，则(1)| PF1| PF22b2|.(2)S1cosPFF1 2bcot.2212、设 A、B 是双曲线x2y2ab221（a0,b0）的长轴两端点，P 是双曲线上的一点，PAB,PBA,BPA，c、e 分别是双曲线的半焦距离心率，则有(1)|PA|2ab2|cos|2|ac cos22.(2)tantan1e.(3)S2PAB2a2b2ba22cot.13、已知双曲线x2y

34、2ab221（a0,b0）的右准线l与 x 轴相交于点E，过双曲线右焦点F的直线与双曲线相交于 A、B 两点,点C在右准线l上，且BCx轴，则直线 AC 经过线段 EF 的中点.14、过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15、过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.16、双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e(离心率).(注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点).17、双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与

35、非焦顶点连线段分成定比 e.18 双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.八、抛物线的常用结论：4acb2baybycx顶点().4a2a2y22px(p0)则焦点半径PFxP;x22py(p0)则焦点半径为P.PFy22通径为 2p，这是过焦点的所有弦中最短的.x2pt2x2pty2px（或x2py）的参数方程为（或） （t为参数）.22y2pty2pt2y22pxy22pxx22pyx22pyyyyy图形xxxxOOOO焦点pppF(F(F(0,F(0,0),0)222p2)准线xp2xp2yp2yp2范围x0, yRx0, yRxR, y0 xR, y0 x轴y轴对称

36、轴顶点（0,0）离心率e1焦点PFp2x1PFp2x1PFp2y1PFp2y1圆锥曲线的性质对比圆锥曲线椭圆双曲线抛物线标准方程(x2/a2)+(y2/b2)=1 ab0(x2/a2)-(y2/b2)=1 a0,b0y2=2px p0范围x-a,ay-b,bx(-,-aa,+)yRx0,+) yR对称性关于 x 轴,y 轴,原点对称关于 x 轴,y 轴,原点对称关于 x 轴对称顶点(a,0),(-a,0),(0,b),(0,-b)(a,0),(-a,0)(0,0)焦点(c,0),(-c,0)(c,0),(-c,0)(p/2,0)【其中 c2=a2-b2】【其中 c2=a2+b2】准线x=(a2

37、)/cx=(a2)/cx=-p/2渐近线y=(b/a)x离心率e=c/a,e(0,1)e=c/a,e(1,+)e=1焦半径PF1=a+ex PF2=a-exPF1=ex+aPF2=ex-aPF=x+p/2焦准距p=(b2)/cp=(b2)/cp通径(2b2)/a(2b2)/a2p参数方程x=acosy=bsin ， 为参x=asecx=2pt2 y=2pt,t数为参数y=btan , 为参数过圆锥曲(x0 x/a2)+(y0y/b2)=1(x0 x/a2)-(y0y/b2)=1y0y=p(x+x0)线上一点(x0,y0)的切线方程斜率为 ky=kx(a2)(k2)+b2y=kx(a2)(k2)-b2y=kx+p/2k的切线方程