数列综合讲义17讲.docx

1、勘误可以联系数海之旅公众号最全数列综合讲义17讲第1讲 累加法、累乘法、差商法求通项. 第2讲 已知前n项和求通项.第3讲 构造辅助数列求通项.第4讲 分组求和.第5讲 裂项求和.第6讲 倒序相加.第7讲 等差绝对值求和.第8讲 错位相减求和.第9讲 数列的通项与求和综合 .第10讲 数列单调性问题 .第11讲 数列的奇偶性问题.第12讲 数列周期性问题 .第13讲 数列最值问题 .第14讲 数阵问题（数列群问题）.第15讲 创新型数列问题 .第16讲 存在性问题（整除问题） .第17讲 简单的数列与不等式证明 .第3讲 构造辅助数列求通项一填空题（共4小题）1已知数列满，则数列的通项公式为【

2、解析】解：知数列满，则设，整理得，所以（常数），则数列是以为首项，4为公比的等比数列所以，整理得（首项符合通项）故数列的通项公式：故答案为：2已知数列的首项，则的通项【解析】解：由两边同除以可得，即，所以数列以1为首项，1为公差的等差数列所以，所以故答案为：3数列中，则的通项公式为变式：已知数列中，则的通项公式为 【解析】解：由，得，数列构成以为首项，以为公比的等比数列，则，则，故答案为：；变式：由，可知，两边取对数，得，数列构成以为首项，以3为公比的等比数列，则，则故答案为：4已知数列满足，且，则【解析】解：由，可得：，于是，又，数列是以为首项，为公比的等比数列，故，故答案为：二解答题（共2

3、小题）5已知数列满足，（1）若数列是等差数列，求通项公式；（2）已知，求证数列是等比数列，并求通项公式【解析】解：（1）数列是等差数列，设数列的公差为，则，即对成立，于是，且，解得；证明：（2），数列是以3为首项，公比为2的等比数列6已知数列满足：，且（1）求的值；（2）求证：；（3）设，求证：【解析】解：（1），且，故可得是以位首项，以为公比的等比数列，（2），（3），现用数学归纳法证明，当时，假设当时，当时，要证明 2 ，只需证明，只要证，即证，即证而 显然成立， 时，综上得又当时，所以第4讲 分组求和一填空题（共1小题）1数列1，1，2，3，5，8，13，21，最初是由意大利数学家斐波拉

4、契于1202年研究兔子繁殖问题中提出来的，称之为斐波拉契数列又称黄金分割数列后来发现很多自然现象都符合这个数列的规律某校数学兴趣小组对该数列探究后，类比该数列各项产生的办法，得到数列，2，1，6，9，10，17，设数列的前项和为（1）请计算，并依此规律求数列的第项（2） （请用关于的多项式表示，其中【解析】解：（1）由题意得，计算：，可归纳得数列满足的递推关系式为，由，两式相减得可得（2）由可得，由得：，故答案为：22，二解答题（共12小题）2求数列的前项和：【解析】解：设将其每一项拆开再重新组合得当时，当时，3数列中，为抛物线与直线的交点，过作抛物线的切线交直线于点，记的纵坐标为（）求，的通

5、项公式；（）求数列的前项和（附【解析】解：（），由易得，故，经检验时也符合，故的通项公式为对两边取导数，可得，处切线斜率为，切线方程为，与的交点的纵坐标为，故的通项公式为（）4已知数列满足，（1）求证：数列为等比数列：（2）求数列的前项和【解析】解：（1）由，两边同除以得，数列是以2为首项，2为公比的等比数列（2）由（1）有，令，则前项和5已知正项数列的前三项分别为1，3，5，为数列的前项和，满足：，（1）求，的值；（2）求数列的通项公式；（3）若数列满足，求数列的前项和（参考公式：【解析】解：（1）正项数列的前三项分别为1，3，5，为数列的前项和，满足：，分别令，2，可得：，又，化为：，解得

6、，（2）由（1）可得：化为：，（3）由（2）可得：时，数列满足，即，时，解得当时，可得：，即数列的前项和，时也成立）6设等差数列的前项和为，（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列前项和参考公式：【解析】解：（1）设等差数列的公差为，由，知，即又由，得；（2）由7已知数列的前项和为，数列满足，（1）求数列的通项公式；（2）求数列的通项公式；（3）求数列的前项和参考公式：【解析】解：（1）数列的前项和为，时，时，（2）数列满足，即（3）数列的前项和8已知数列满足（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和【解析】解：（1）数列满足，当时，得：，故，当时，解得，首项符合通项，故（2）由（1）得

7、：，所以，9已知数列满足（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和【解析】解：（1）数列满足，当时，得：，故，当时，解得，首项符合通项，故（2）设，所以10已知数列满足，且（1）求数列的通项公式；（2）设，记，求【解析】解：（1），且，即，数列是等差数列，首项为1，公差为1，当时，当时也成立，（2）时，11在数列中，（1）求证：数列是等比数列，并求的通项公式；（2）求数列的与前项和【解析】（1）证明：，数列是等比数列，首项为4，公比为2（2）解：数列的与前项和12单调递增数列满足（1）求，并求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和【解析】解：（1），当时，解得，当时，并整理，得，解得或

8、又单调递增数列，故是首项是1，公差为1的等差数列，（6分）（2），记由得，（13分）13已知数列和满足，若为等比数列，且，（1）求与；（2）设，求数列的前项和【解析】解：（1）设数列的公比为时，时，（2）（2）第5讲 裂项求和一选择题（共1小题）1已知等差数列的前项和为，且，则数列的前20项的和为ABCD【解析】解：由及等差数列通项公式得，又，数列的前20项的和为，故选：二填空题（共2小题）2已知数列的前项和满足，则数列的前10项的和为【解析】解：数列的前项和满足，可得时，时，上式对也成立，故，则数列的前10项的和为故答案为：3已知数列的各项均为正数，若数列的前项和为5，则120【解析】解：数

9、列的各项均为正数，由此猜想，若数列的前项和为5，解得，故答案为：120三解答题（共12小题）4已知数列 中，且，3，4，（1）求、的值；（2）设，试用表示并求 的通项公式；（3）设，求数列的前项和【解析】解：（1）数列 中，且，3，4，（3分）（2）当时，当时，故，累乘得，（8分）（3），（13分）5已知等差数列的前项和为，且，数列为等比数列，（1）求数列，的通项公式；（2）若，求数列的前项和，并求使得恒成立的实数的取值范围【解析】解：（1）设等差数列的公差为，解得，设等比数列的公比为，解得，（2），数列的前项和，恒成立，化为，即，解得：，或6设等差数列的前项和为，且，（1）求数列的通项公式；

10、（2）若数列满足，且，求证：的前项和【解析】解：（1）设等差数列的公差为，解得，（2）证明：，则：的前项和，根据，7已知数列的前项和为，且（1）求数列的前项和和通项公式；（2）设，数列的前项和为，求使得的最小正整数【解析】解：（1），两式相减得，故，又，从而，易得，（2）由（1）得，故由得，又当时，单调递增，故所求最小正整数为88已知数列的各项均为正数，其前项和为，且满足，（）求数列的通项公式；（）设数列满足，设数列的前项和为，若，不等式恒成立，求实数的取值范围【解析】解：（）由得，故，（2分）数列是首项为，公差为1的等差数列（3分），（4分）当时，（5分）又适合上式，（6分）（）将代入，（7

11、分）（9分），（10分），（12分）9等比数列的各项均为正数，成等差数列，且满足（）求数列的通项公式；（）设，求数列的前项和【解析】解：设等比数列的公比为，成等差数列，化为：，解得又满足，化为：，解得，数列的前项和，10已知数列满足（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和【解析】解：（1）数列满足，当时，有，因为，所以，可得：，变形可得；由于也满足上式，故（2）由（1）得，则，所以，故11已知数列前项和满足（1）设，求数列的通项公式；（2）若，数列的前项和为，求证：【解析】（1）解：时，当时，当时，即，即，是以10为首项，以2为公比的等比数列，（2）证明：，即12已知数列满足，（1）求

12、证数列为等差数列，并求数列的通项公式；（2）设为数列的前项和，证明：【解析】解：（1）证明：由题，两边同时除以，得，又，是首项为，公差为的等差数列，；（2）证明：由（1）得：，即13已知是数列的前项和，并且，对任意正整数，；设，2，3，证明数列是等比数列，并求的通项公式；设的前项和，求【解析】解：，两式相减：，是以2为公比的等比数列，（4分），而，（7分），（9分）而，（12分）14设数列，其前项和，为单调递增的等比数列，（1）求数列，的通项；（2）若，数列的前项和，求证：【解析】（1）解：数列，其前项和，当时，当时，上式也成立，为单调递增的等比数列，解得，或（舍，（4分）（2）证明：（8分）是递增数列，（12分）（14分）15设数列为等差数列，为单调递增的等比数列，且，（1）求的值及数列，的通项；（2）若，求数列的前项和【解析】解：（1）由题意，得，所以，设，得，解得或（舍去），（2）27