2021年新高一暑期数学培优讲义教材.docx

1、关注微信公众号：高斯课堂 获取更多精品资料第1讲 集合 1第2讲 充分条件与必要条件；全称量词与存在量词 10第3讲 不等式性质与基本不等式 16第4讲 二次函数与一元二次方程、不等式 23第5讲 函数的概念及其表示 29第6讲 函数的基本性质 38第7讲 幂函数、函数的应用（一） 48第8讲 指数与指数函数 55第9讲 对数与对数函数 63第10讲 函数的应用（二） 73第11讲 任意角和弧度制 81第12讲 三角函数的概念 87第1讲 集合专题一集合的概念1.集合的含义元素：我们把研究对象统称为元素；集合：把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）；表示：通常用大写拉丁字母A,B,C,表示集

2、合,用小写拉丁字母表示集合中的元素.2.元素与集合的关系（1）如果是集合的元素，就说属于，记作.（2）如果不是集合的元素，就说不属于，记作.3.集合中元素的特性：确定性；互异性；无序性.4.集合的表示方法：列举法；描述法；Venn图法；特殊符号表示法.实数有理数自然数正整数整数复数RQNZC不含任何元素的集合叫做空集.题型1 元素与集合关系的判断与应用例1.（多选题）下列选项中是集合中的元素的是（ ）A. B. C. D.练习1. 已知均为非零实数，集合，则集合A中元素的个数为（ ）A.2 B.3 C.4 D.5例2.若，则实数的取值范围是_.练习2.若，则实数_.题型2已知相等集合求参数例3

3、.设,若集合，则=_.练习3.含有三个实数的集合满足，则=（ ）A. B. C. D.题型3集合的表示方法例4.若集合,集合,则B=( )A. B. C. D.练习4.将集合用列举法表示为_.题型4集合与方程的综合问题例5.若集合中只有一个元素，则=( )A.4 B.2 C.0 D.0或4练习5.若集合中至多有一个元素，则实数的取值范围是_ 易错点1.忽略集合中元素的互异性例6.已知集合，且,则实数的值为（ ）A.3 B.2 C.0或3 D.0或2或3 易错点2.忽略元素的形式例7.集合的元素个数是（ ）A.2 B.4 C.6 D.8专题二集合的基本关系1.子集：一般地，对于两个集合A,B，如

4、果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作(或)读作“A包含于B”（或“B包含A”）.2.集合相等：一般地，如果集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A=B.也就是说，若，且，则A=B.3.真子集：如果集合，存在元素,就称集合A是集合B的真子集，记作(或)，读作“A真包含于B”（或“B真包含A”）.4.空集：一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为，并规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.题型1 集合间的关系判断例1.关于以下集合关系表示不正确的是（ ）A. B. C. D

5、.练习1.已知集合,则下列结论错误的是（ ）题型2 由集合间关系确定参数A. B. C. D.例2.已知集合，若,求实数的取值范围.练习2.已知集合.(1) 若,求实数的取值范围；(2) 若，且,求实数的取值范围.题型3 集合问题方程化的思想例3.已知集合.（1）若A是空集，求实数满足的条件；（2）当A中有且只有一个元素时，求实数的值，并求此元素；（3）当A中至少有一个元素时，求实数满足的条件. 易错点1.混淆属于关系和包含关系例4.如下四个结论中，正确的有（ ）A. B. C. D. 易错点2.忽略对空集的讨论例5.已知集合,，若，则实数的所有可能取值组成的集合为（ ）A. B. C. D.

6、 易错点3.利用数轴求参数时忽略端点值能否取到例6.已知集合，,若,则的取值范围为_.专题三 集合的基本运算1.并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作,读作“A并B”，即.如图12.交集：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的交集，记作,读作“A交B”，即.如图23.全集：一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作.4.补集：对于一个集合A，由全集中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集的补集，简称为集合A的补集，记作,即,如图3.图3图2图1题型1 集合的综

7、合运算例1.已知全集，集合，,求,.题型2 图示法的应用例2.调查50名学生对A、B两事件的态度，由如下结果：赞成A的人数是全体的，赞成B的比赞成A的多3人，对A，B都不赞成的学生数比对A,B都赞成的学生数的多1人，问对A,B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？练习1.某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有_人.题型3 已知集合间的运算关系求参数问题例3.设，.(1)若,求实数的取值范围;(2)若,求实数

8、的值.练习2.设集合，若,则的取值范围是（ ）A. B. C. D.练习3.设集合，则使成立的的取值集合为_.题型4 补集思想的应用正难则反例4.若集合中至多有1个元素，则实数的取值范围为_.练习4.已知集合，若，求实数的取值范围. 易错点1.忽略元素的性质例5.已知,集合,若有三个元素，则=( )A. B. C. D. 易错点2.忽略对空集的讨论例6.已知,，若,则实数的取值范围为_.第二讲充分条件与必要条件，全称量词与存在量词充分条件与必要条件的判断充分条件与必要条件充要条件的判断常用逻辑用语全称量词与存在量词命题全称量词与存在量词全称量词与存在量词命题的否定专题一 充分条件与必要条件（1

9、） 如果，则是的充分条件，同时是的必要条件；（2） 如果，但，则是的充分不必要条件；（3） 如果，且，则是的充要条件；（4） 如果，但，则是的必要不充分条件；（5） 如果，且，则是的既不充分又不必要条件；题型1充分条件、必要条件、充要条件的判断例1.设，则“”是“”的（ ）A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.既不充分也不必要条件 D.充要条件练习1.已知，则“”是“”的_条件.例2.给定三个命题若是的必要不充分条件，是的充分不必要条件，则是的（ ）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件练习2.若A是B的充分条件，D是C的必要条件，C是B的充要条件

10、，则D是A的（ ）A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件题型2充分条件与必要条件的探求例3.（多选）的一个必要条件是（ ）A. B. C. D.练习3.已知集合,则“且”成立的充要条件是（ ） A. B. C. D.题型3充要条件的证明例4.求证：“”是“方程有两个不相等的实数根”的充要条件.题型4利用充分条件、必要条件求参数的取值范围例5.已知，且是的充分不必要条件，则实数的取值范围为_.练习4.设，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 易错点1.混淆充分条件和必要条件的含义例6.使不等式成立的一个充分不必要条件是（ ）A. B. C. D. 易错点2.条件探

11、求中忽视要求例7.一次函数的图像同时经过第一、三、四象限的一个必要不充分条件是（ ）A. B. C. D.练习5.一次函数的图像同时经过第一、二、四象限的一个必要不充分条件是（ ）A. B. C. D.专题二全称量词与存在量词1.全称量词和存在量词：量词名称常见量词表示符号全称量词所有、一切、任意、全部、每一个、任给等存在量词存在一个、至少有一个、有一个、某个、有些、某些等2.全称量词命题和存在量词命题：命题名称命题结构命题简记全称量词命题对中任意一个，成立存在量词命题存在中的元素，成立3.全称量词命题和存在量词命题的否定：命题命题的否定题型1全称量词命题与存在量词命题的真假判断例1.已知命题

12、，命题，则（ ）A.命题都是真命题 B.命题是真命题，是假命题 C.命题是假命题，是真命题 D.命题都是假命题练习1.（多选）下列命题是真命题的是（ ）A. B. 存在一个四边形不是平行四边形 C. 在平面直角坐标系中，任意有序实数对都对应一点D.题型2含有一个量词的命题的否定例2.写出下列命题的否定，并判断其真假.（1）每一个素数都是奇数；（2）与同一条直线垂直的两条直线平行；（3）有些实数的绝对值是正数；（4）某些平行四边形是菱形；练习2.已知命题则为（ ）A. B. C. D.题型3与全称量词、存在量词有关的参数问题例3.已知，若和都是真命题，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D

13、.练习3.已知，若命题，命题至少有一个为真命题，则实数的取值范围为_. 易错点1.对含有一个量词的命题否定不完全例4.命题“”的否定是_. 易错点2.忽略否定的范围例5.若命题则_. 第三讲 不等式性质与基本不等式比较实数的大小不等式性质不等式性质的应用基本不等式的变式与拓展最值定理基本不等式基本不等式的实际应用专题一不等式性质1.不等式的基本性质（1）.（2）.（3）.（4）.（5）（6）（7）.（8）.（9）.2.比较实数大小的常用方法（1）作差法：作差变形判断差的符号得出结论；（2）作商法：作商变形判断商与1的大小得出结论；（3）介值比较法：题型1实数的大小比较例1.已知,试比较与的大小

14、.练习1.已知,则下列关系正确的是（ ）A. B. C. D.练习2.已知,则与的大小关系是（ ）A. B. C. D.不确定题型2不等式性质的应用1.利用不等式的性质比较大小例2.若，则一定有（ ）A. B. C. D.练习3.（多选）若,则下列不等式一定成立的有（ ）A. B. C. D.2.利用不等式的性质求范围例3.（1）已知,求,的取值范围；（2）已知,求的取值范围.例4.已知,则的取值范围是_.练习4.已知,求的取值范围. 易错点1.忽略不等式性质成立的条件例5.给出下列命题：若则；若则；若且则；若则.其中真命题的序号是_. 易错点2.误用同向不等式的性质例6.已知,求的取值范围.

15、专题二基本不等式1.重要不等式有当且仅当时，等号成立.2.基本不等式当且仅当时，等号成立.3.基本不等式的重要变形当且仅当时，等号成立.题型1利用基本不等式判断命题真假例1.下列命题中正确的是（ ）A.若,则 B.若,则 C.若,则 D.若,则题型2利用基本不等式求最值1.裂项拆项例2.求的最小值为_.练习1.设,则的最小值为_.2.分组并项例3.若为正数，则的最小值为_.3.配凑法例4.的最小值是（ ）A. B. C. D.例5.已知,则的最大值为_.例6.已知实数满足,且，则的最小值为（ ）A.2 B.4 C.6 D.8练习2.已知,则的最大值为（ ）A. B. C. D.练习3.已知,则

16、的最小值为（ ）A. B. C. D.4.多次应用基本不等式法例7.已知，则的最小值为_.题型3基本不等式在实际问题中的应用题型3.基本不等式在实际问题中的应用例8.化工厂要建造一个容积8立方米，深度2米的无盖长方体水池，已知池壁的造价为每平方米100元，池底的造价为每平方米300元，设水池底面一边长为米，水池总造价为元，求关于的函数关系式，并求出水池的最低造价.题型4利用基本不等式求解恒成立问题例9.设实数为任意的正数，且，则使恒成立的的取值范围是（ ）A. B. C. D. 易错点1.忽略应用基本不等式的前提条件例10.设函数,则（ ）A.有最大值 B.有最小值 C.有最大值 D.有最小值

17、 易错点2.忽略等号成立的条件例11.已知，则的最小值为_.第4讲二次函数与一元二次方程、不等式一元二次不等式的解法三个“二次”的关系二次函数与一元二次方程、不等式一元二次不等式恒成立问题高次（或分式）不等式的解法1.一元二次不等式的解法求一元二次不等式解集的步骤：一化：化二次项的系数为正数；二判：判断对应方程的根；三求：求对应方程的根；四画：画出对应函数的图像；五解集：根据图像写出不等式的解集.规律：当二次项系数为正时，大于取（根）两边，小于取（根）中间.2.二次函数与一元二次方程、不等式的关系判别式b24ac000二次函数yax2bxc(a0)的图象来一元二次方程ax2bxc0(a0)的根

18、有两个相异实根x1，x2(x1x2)有两个相等实根x1x2没有实数根ax2bxc0(a0)的解集Rax2bxc0(a0)的解集题型1一元二次不等式的解法1.不含参数的一元二次不等式的解法例1.不等式的解集为（ ）A. B. C. D.2.已知一元二次不等式的解集求参数问题例2.若不等式的解集为，则不等式的解集为_.3.含参数的一元二次不等式的解法例3.解关于的不等式.练习1.解关于的不等式.练习2.解关于的不等式.题型2一元二次不等式恒成立问题1.在R上恒成立问题例4.若不等式对一切实数恒成立，则的取值范围_.练习3.若对任意实数，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为_.2.在某范围内恒成立

19、问题例5.已知,若时,恒成立,求实数的取值范围.练习4.若时，不等式恒成立，求实数的取值范围.练习5.若当时，恒成立，则实数的取值范围为_.题型3高次（或分式）不等式的解法求例6.解下列关于的不等式（1） （2）（3） （4）练习6.解下列关于的不等式（1） （2）（3） （4）例7.若，解关于的不等式 易错点1.忽略二次项系数的讨论例8.若集合,则实数的取值范围是_. 易错点2.解分式方程忽略分母不为0的情况例9.解不等式 易错点3.分式方程右边不为0时不能等价代换例10.解不等式第5讲 函数的概念及其表示定义域值域函数三要素函数的概念对应关系函数相等函数区间抽象函数与复合函数专题一函数的概

20、念1.函数的概念一般地,设是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个元素,按照某种确定的对应关系,使在集合B中都有唯一确定的元素和它相对应,那么就称为从集合A到集合B的一个函数,记作,.2.函数的三要素函数中叫做自变量，的取值范围A叫做函数的定义域；叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域;是对应关系.3.函数相等如果两个函数的定义域相同，对应关系完全一致，那么这两个函数是同一函数，即函数相等.4.区间设而且，我们规定：（1）满足不等式的实数的集合叫做闭区间，表示为；（2）满足不等式的实数的集合叫做开区间，表示为；（3）满足不等式或的实数的集合叫做半开半闭区间，分别表示为，.（4）大于某个数到正

21、无穷用“”来表示，小于某个数到负无穷用“”来表示如实数集可以用区间来表示.定义符号5.抽象函数与复合函数1.抽象函数：没有给出具体解析式的函数称为抽象函数.2.复合函数：形如的函数叫做复合函数.题型1函数概念的理解例1.（多选）下列对应关系是从集合A到集合B的函数的有（ ）A. B. C. D.题型2求函数的定义域1.求常见函数的定义域例2.求下列函数的定义域：（1） （2）（3） （4）2.求抽象函数或复合函数的定义域例3.（1）已知函数的定义域为，则函数的定义域为_.（2）已知函数的定义域为，则函数的定义域为_.（3）已知函数的定义域为，则函数的定义域为_.（4）设函数,则的定义域为_.练

22、习1.已知函数的定义域为，则函数的定义域为_.练习2.若函数的定义域是,则函数的定义域是（ ）A. B. C. D.题型3求函数值例4.已知,.（1）求和； （2）求,； （3）若,求.题型4求函数的值域例5.求下列函数的值域.（1）；（2）；（3）练习3.求下列函数的值域.（1） ；（2） ；（3）题型5判断相等函数例6.判断下列各组函数是不是同一函数（1）（2）（3）练习4.下列各组函数表示同一函数的是（ ）A. B. C. D. 易错点1.用换元法求值域忽略中间变量的取值范围例7.求函数的值域. 易错点2.误认为f(g(x)与f(h(x)中“x”含义相同例8.若函数的定义域为，则的定义域

23、为_.专题二函数的表示法1.函数的三种表示方法：解析法：用解析式来表示自变量与函数值之间的对应关系.列表法：用表格来表示自变量与函数值之间的对应关系.图像法：用图像来表示自变量与函数值之间的对应关系.2.分段函数：在函数的定义域中，对于自变量的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数称为分段函数.题型1求函数解析式1.待定系数法求解析式例1.已知一次函数满足则的解析式为_.练习1.已知二次函数满足,则二次函数的解析式为_.2.换元法、配凑法求解析式例2.已知，求的解析式.练习2.已知,则当,且时,=_.3.消元法（解方程组法）求解析式例3.若满足关系式，求函数的解析式.练习3.已知,其中,

24、则函数的解析式为_.题型2分段函数例4.已知函数（1）求的值；（2）若,求.练习4.已知,则等于（ ）A. B. C. D. 易错点1.求解析式时忽略函数的定义域例5.已知，则函数的解析式为_. 易错点2.对分段函数理解有误例6.已知函数,若则实数的值为（ ）A. B. C. D.第六讲函数的基本性质单调性的定义判断函数单调性函数的单调性与最值求函数单调区间和最值复合函数的单调性判断函数的基本性质奇偶性的定义奇偶性的图像与性质函数的奇偶性函数奇偶性的判断专题一函数的单调性与最值1.函数的单调性（1）一般地，设函数的定义域为:如果对于定义域内的某个区间内的任意两个自变量，当时，都有，那么就说在区

25、间上是增函数；如果对于定义域内的某个区间内的任意两个自变量，当时，都有,那么就说在区间上是减函数.（2）如果函数在某个区间上是增函数或减函数，就说在这一区间上具有单调性，区间叫的单调区间.2.函数的最大（小）值一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：（1） ，都有;（2） ,使得.那么，我们称是函数的最大值（最小值）.题型1函数单调性的判断及单调区间的求解1.定义法判断函数单调性例1.判断函数在区间上的单调性,并用单调性的定义证明.练习1.用定义法证明函数在上的单调性.2.图像法判断函数的单调性例2.求下列函数的单调区间（1） （2）3.判断复合函数的单调性例3.求的单调递增区间.练习1.

26、求函数的单调递增区间.题型2.求函数的最值例4.求函数的最小值.例5.求函数在区间的最大值与最小值.例6.已知函数,求函数的最小值.例7.已知函数,的最小值为,求的函数表达式.题型3函数单调性的应用1.利用函数的单调性求参数的取值范围例8.函数在区间上单调递减，则的取值范围为（ ）A. B. C. D.练习2.函数在区间上有最大值,最小值,则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D.2.利用函数的单调性比较大小、解不等式例9.已知是定义在区间上的增函数,且,则的取值范围为_. 易错点1.忽略定义域求错单调区间例10.函数的单调区间为_. 易错点2.忽略参数的分类讨论例11.已知一次函数在上的

27、最大值为9.则实数的值为_.专题二函数的奇偶性1.函数的奇偶性（1） 一般地，设函数定义域为（关于原点对称），如果，都有，且，那么函数叫偶函数.（2） 一般地，设函数定义域为（关于原点对称），如果，都有，且，那么函数叫奇函数.2.奇偶函数的图像与性质（1）奇函数的性质定义域关于原点对称；奇函数的图像关于原点对称；在定义域内，；若0属于定义域，一定有.奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性（2）偶函数的性质定义域关于原点对称；偶函数的图像关于y轴对称；在定义域内，.偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性3.函数奇偶性的判断（1） 一看定义域：定义域具有对称性，即.定义域不关于原点对称时，

28、是非奇非偶函数，如是偶函数，但是是非奇非偶函数.（2） 二看等式：当的定义域关于原点对称时，要看与的关系. 若，则是偶函数. 若或，则是奇函数. 若，则是既是奇函数又是偶函数.若，则是非奇非偶函数.题型1函数奇偶性的判断例1.判断下列函数的奇偶性（1） （2）（3） （4）练习1.判断下列函数奇偶性（1） （2）（3） （4）题型2奇偶函数图像的应用例2.已知是定义在上的奇函数，当时,的图像如图1所示，那么的值域是_.图2图1练习2.(多选)已知定义在区间上的一个偶函数,它在上的图像如图2，则下列说法正确的有（ ）A. 这个函数有两个单调递增区间 B. 这个函数有三个单调递减区间 C. 这个函

29、数在其定义域内有最大值7 D. 这个函数在其定义域内有最小值-7题型3函数奇偶性的应用1.利用奇偶性求参数的值例3.已知函数为奇函数，则实数（ ）A. B. C. D.练习3.若函数为偶函数，则（ ）A. B. C. D.2.利用奇偶性求函数的值例4.已知,且,则（ ）A. B. C. D.练习4.已知是奇函数,则（ ）A. B. C. D.3.利用奇偶性求函数解析式例5.已知是定义在上的奇函数，且当时,则在上的解析式为_.练习5.已知是在上的偶函数，且当时,则当时,=_.题型4函数奇偶性的综合应用1.函数奇偶性与单调性的综合例6.已知函数在定义域上既是奇函数,又是减函数,若，则实数的取值范围

30、为_.练习6.定义在上的偶函数在区间上单调递减，若,则实数的取值范围为_.2.函数奇偶性与对称性的综合例7.定义在上的函数在上单调递增，且为偶函数，则（ ）A. B. C. D.练习7.定义在上的偶函数满足,且在上单调递增,设,则的大小关系是（ ）A. B. C. D. 易错点1.含参数函数的奇偶性判断时忽略对参数的讨论例8.判断函数的奇偶性. 易错点2.未综合考虑奇偶函数的对称性而致错例9.设为奇函数,且在内是减函数,则的解集为（ ）A. B. C. D.第七讲幂函数，函数的应用（一）幂函数的概念幂函数幂函数的图像与性质幂函数的性质运用分段函数模型函数的应用“对勾”函数模型专题一幂函数1.幂函数的概念1.幂函数的定义：一般地,函数叫做幂函数,其中是自变量,是常数.2.幂函数的特征：的系数为1；的底数是自变量；的指数为常数.只有同时满足这三个条件的函数才是幂函数，对于形如,，等函数都不是幂函数.2. 幂函数的图像1. 常见五种幂函数图像：2. 幂函数图像分布特点：对于,当时,的图像是