超导电子学－1.2.ppt

1、21 1 导导 论论n超导电基本现象超导电基本现象n低温技术低温技术( (制冷制冷) )n超导体的电动力学超导体的电动力学n超导态微观的模型、理论及实验结果超导态微观的模型、理论及实验结果32 准粒子隧道效应准粒子隧道效应 （单电子）（单电子）nBCS基态和能隙基态和能隙n描述超导体内准粒子激发态的几种方法描述超导体内准粒子激发态的几种方法n准粒子隧道效应及其唯象理论准粒子隧道效应及其唯象理论n准粒子光子辅助的隧道过程准粒子光子辅助的隧道过程3 342-1 BCS基态和能隙基态和能隙 屏蔽的库仑作用；以晶格为媒介电子间的吸引（两个电子屏蔽的库仑作用；以晶格为媒介电子间的吸引（两个电子交换虚声子

2、而吸引）；在费米海的背景下存在吸引时就会交换虚声子而吸引）；在费米海的背景下存在吸引时就会配对，形成配对，形成Cooper对的电子能量满足对的电子能量满足22(1956)2kFDkEm大量电子对的存在及其互作用，使系统的能量进一步降大量电子对的存在及其互作用，使系统的能量进一步降低，形成一种新的基态，即低，形成一种新的基态，即BCSBCS态（态（19571957）。）。三位美国物理学家巴丁三位美国物理学家巴丁(Bardeen)(Bardeen)、库珀、库珀(Cooper)(Cooper)和施瑞弗和施瑞弗(Schrieffer)(Schrieffer)建立电子对的微观理论建立电子对的微观理论(

3、(即即BCSBCS理论理论) )。19571957年年5电子对波电子对波 当一种材料是在非常低的温度，其行为不同于晶格温度较高时。当一种材料是在非常低的温度，其行为不同于晶格温度较高时。 在较高温度下，材料的晶格振动较大。在较高温度下，材料的晶格振动较大。 这些分散的电子振动，使电这些分散的电子振动，使电导变差。导变差。 图图 电子通过晶格振动散射示意图。 6图图 库珀对耦合示意图库珀对耦合示意图 库柏对产生原理库柏对产生原理 超导电子通过有一定温度晶格，一个负电荷在晶格中的超导电子通过有一定温度晶格，一个负电荷在晶格中的正电荷的原子核，通过拉库仑相互作用产生了连锁反应。正电荷的原子核，通过拉

4、库仑相互作用产生了连锁反应。 一个电子吸引晶格，造成位移，形成轻微的波纹。一个电子吸引晶格，造成位移，形成轻微的波纹。该纹波该纹波 对与电子运动方向相反，是吸引。对与电子运动方向相反，是吸引。 对与电子行驶方向相同，是排斥。对与电子行驶方向相同，是排斥。7图图 库珀对波长凝聚的示意图库珀对波长凝聚的示意图 每对可视为一个整体自旋单粒子，而不是半旋转，这让库珀对凝每对可视为一个整体自旋单粒子，而不是半旋转，这让库珀对凝聚成一个波包。聚成一个波包。 每个库珀对，具有质量和电荷是一个单电子的两倍，速度是两个每个库珀对，具有质量和电荷是一个单电子的两倍，速度是两个电子的质心。电子的质心。 这种耦合，只

5、可以在极冷的温度条件下，晶格振动的力变得比电这种耦合，只可以在极冷的温度条件下，晶格振动的力变得比电子与正电荷之间的库伦力更大，因此，就可以发生这样的子与正电荷之间的库伦力更大，因此，就可以发生这样的“散射散射”。 8费米子凝聚态费米子凝聚态n探寻物质第六态探寻物质第六态 人类生存的世界，是一个物质的世界。早年，人类生存的世界，是一个物质的世界。早年，人们只知道物质有三态，即气态、液态和固态。人们只知道物质有三态，即气态、液态和固态。20世纪中期，科学家确认物质第四态，即世纪中期，科学家确认物质第四态，即“等离等离子体态子体态”。1995年，美国标准技术研究院和美国年，美国标准技术研究院和美国

6、科罗拉多大学的科学家组成的联合研究小组，首科罗拉多大学的科学家组成的联合研究小组，首次创造出物质的第五态，即次创造出物质的第五态，即“玻色一爱因斯坦凝玻色一爱因斯坦凝聚态聚态”。2004年，这个联合研究小组又宣布，他年，这个联合研究小组又宣布，他们创造出物质的第六种形态，即们创造出物质的第六种形态，即“费米子凝聚费米子凝聚态态”。 9n“玻色一爱因斯坦凝聚态玻色一爱因斯坦凝聚态”要达到该状态，一方面需要要达到该状态，一方面需要物质达到极低的温度，另一方面还要求原子体系处于气物质达到极低的温度，另一方面还要求原子体系处于气态。处于这种状态的大量原子的行为像单个粒子一样。态。处于这种状态的大量原子

7、的行为像单个粒子一样。表示原来不同状态的原子突然表示原来不同状态的原子突然“凝聚凝聚” 到同一状态，到同一状态，n“费米子凝聚态费米子凝聚态”，没有，没有2个费米子能拥有相同的量子个费米子能拥有相同的量子态，将费米子成对转变成玻色子。将具有费米子特征的态，将费米子成对转变成玻色子。将具有费米子特征的钾原子气体冷却到钾原子气体冷却到nK，此时钾原子停止运动，采用磁场，此时钾原子停止运动，采用磁场和激光使钾原子配对，成功地创造出和激光使钾原子配对，成功地创造出“费米子凝聚态费米子凝聚态”。 “玻色一爱因斯坦凝聚态玻色一爱因斯坦凝聚态” 与与“费米子凝聚态费米子凝聚态”都是物质在量子状态下的形态都是

8、物质在量子状态下的形态 10费米体与超导体的不同费米体与超导体的不同首先，费米冷凝体所使用的原子比电子重得多，首先，费米冷凝体所使用的原子比电子重得多，其次是原子对之间吸引力比超导体中电子对的吸其次是原子对之间吸引力比超导体中电子对的吸引力强得多，在同等密度下，如果使超导体电子引力强得多，在同等密度下，如果使超导体电子对的吸引力达到费米体中原子对的程度，制造出对的吸引力达到费米体中原子对的程度，制造出常温下的超导体立即可以实现。超冷气体中形成常温下的超导体立即可以实现。超冷气体中形成费米体为研究超导的机理提供了一个崭新的物质费米体为研究超导的机理提供了一个崭新的物质工具。工具。 11金属中电子

9、和离子之间的相互作用静电库仑作用金属中电子和离子之间的相互作用静电库仑作用电子和离子之间的吸引力，电子和离子之间的吸引力，负电子之间的库仑斥力，负电子之间的库仑斥力，正离子围绕平衡位置的微小振动所引起的对电子的额外互作用，电子一声子互作用。正离子围绕平衡位置的微小振动所引起的对电子的额外互作用，电子一声子互作用。通过晶格振动媒介而导致的电子之间的有通过晶格振动媒介而导致的电子之间的有效互作用，实际上指的是两个电子交换虚效互作用，实际上指的是两个电子交换虚声子而引起的相互作用。声子而引起的相互作用。 在费米海背景下，只要两个电子之间存在费米海背景下，只要两个电子之间存在净吸引作用，不论其吸引作用

10、多么弱，在净吸引作用，不论其吸引作用多么弱，这两个电子将形成束缚态，这种状态就这两个电子将形成束缚态，这种状态就是超导态。是超导态。12n1 1）在费米面附近的壳层内，）在费米面附近的壳层内， ，两个电子态或是同时被占，两个电子态或是同时被占（几率（几率 ），或者同时空着（几率），或者同时空着（几率 ），即超导基态可以用库柏对），即超导基态可以用库柏对来表示。来表示。n2 2）N N态与态与S S态的各种互作用都一样，只是在态的各种互作用都一样，只是在S S态由于屏蔽的库仑作用和态由于屏蔽的库仑作用和交换虚声子所导致的净吸引需专门考虑。交换虚声子所导致的净吸引需专门考虑。n3 3）如果终态和始

11、态的区别是两个电子从（）如果终态和始态的区别是两个电子从（ ）跃迁到）跃迁到（ ），则其间就有互作用，互作用能可用矩阵元表示，且），则其间就有互作用，互作用能可用矩阵元表示，且, kk kvku, kk, kk,0kkDkkVV其 它 情 况221kkuv互作用能互作用能占态，空态的占态，空态的几率几率基态假设基态假设13总动能总动能kkkv22kkvu()kkkkkkvuuvV互作用能互作用能()kkuv等于等于 一个电子能量乘以占态几率一个电子能量乘以占态几率 求和求和 乘乘2 2kk,kk,互作用能互作用能 （）（）kk,kk,）占，（）占，（）空）空 初态初态 （kk,kk,）空，（）

12、空，（）占）占 终态终态 （K K态占态占几率几率KK态空态空几率几率KK态占态占几率几率K K态空态空几率几率两个电子从（两个电子从（ ）跃迁到（）跃迁到（ ），），, kk, kk 14)1 (21)1 (2122KkkKkkEuEv222,kkkkkEVu v 基态对应于上式，相对于基态对应于上式，相对于kv求极小值求极小值和和 什么意义？什么意义？kE 令：令：kkkkkkkVu v u v22kkkkkkkkkWvVu v u v总的互作用能总的互作用能总能量总能量动能动能相互作用能相互作用能152222112122kkkkkkvv222121kkkkEE考虑考虑CooperCoop

13、er对拆开为对拆开为 和和 两个单电子态，动能多出了两个单电子态，动能多出了 和和 。同时（同时（ ）和（）和（ ）均不可能占据，）均不可能占据， 故动能减少故动能减少1k2k1k2k11, kk22, kk2211222, 2kkkkvv讨论一下讨论一下激发态激发态的问题的问题激发态与基态的激发态与基态的动能增加是：动能增加是：比较一下基态与激发态，比较一下基态与激发态， 1 1）首先是）首先是动能的变化动能的变化222,kkkkkEVu v 令：令：16),(),(11kkkk11kkkkv u u v V),(),(22kkkk22kkkkv uu v V),(),(11kkkk11kk

14、kkv u u v V),(),(22kkkk22kkkkv u u v V221122122kkkkkkkkVu vu vu vEE2）互作用能的变化互作用能的变化，下列跃迁不可能，下列跃迁不可能终态终态k k1 1不能是占态不能是占态终态终态k2不能是占态不能是占态始态始态k1不能是占态不能是占态始态始态k2不能是占态不能是占态激发态与基态激发态与基态互作用能增加是：互作用能增加是：222,kkkkkEVu v 令：令：17222212121212kkkkkkkkEEEEEE14442 444314442 4443动能变化互作用变化22kkE 激发态与基态激发态与基态总的能量增加是总的能量

15、增加是EkEk是电子的激发能，且因是电子的激发能，且因221212kkkkEE2212kkEE互作用能互作用能增加为增加为激发态与基态的相比，激发态与基态的相比，动能增加为动能增加为激发能至少是激发能至少是 18n拆散一库柏对使其成为二个电子，至少需要拆散一库柏对使其成为二个电子，至少需要2 能量，能量， 称能隙，由库柏对拆散的电子称准粒子，以示与自由电子称能隙，由库柏对拆散的电子称准粒子，以示与自由电子的区别。的区别。n在相干长度在相干长度 体积内约有体积内约有106个库柏对，因此个库柏对，因此库柏对相互交叠和渗透，通过这种交叠和渗透，将库柏对库柏对相互交叠和渗透，通过这种交叠和渗透，将库柏

16、对从一个对凝聚扩展到另一个对，从而扩展到整个超导体，从一个对凝聚扩展到另一个对，从而扩展到整个超导体，因此库柏对是一种集体行为。同样因此库柏对是一种集体行为。同样一种集体行为。一种集体行为。n是温度的函数，温度愈高，就愈小。是温度的函数，温度愈高，就愈小。BCS理论指出能理论指出能隙隙(T)依赖于温度的关系为依赖于温度的关系为 34310cm=()能隙、准粒子与单电子能隙、准粒子与单电子122212220( )1dtanh(0)2( )DbTNVk TT 19其中其中 T T 是温度，是温度，k kB B 是波尔兹曼常数。是波尔兹曼常数。根据上式可以求出临界温度根据上式可以求出临界温度TcTc

17、，在临界温度，在临界温度TcTc时，超导时，超导态变为正常态，因此态变为正常态，因此(Tc)0, ,于是于是TcTc由下式确定由下式确定23.5kBTc积分上式得积分上式得1(0)2NVDe 比较后得比较后得122212220( )1dtanh(0)2( )DbTNVk TT 01dtanh)(0)2DbNVk Tc20 当温度当温度T T不等于零时，超导体不再处于不等于零时，超导体不再处于BCSBCS基态，发生相互作用基态，发生相互作用的库柏对数目有一定程度的减少，因此被拆散的库柏对与其他库柏的库柏对数目有一定程度的减少，因此被拆散的库柏对与其他库柏对的相互作用能有所减小。这就表明，是温度的

18、函数，温度愈高，对的相互作用能有所减小。这就表明，是温度的函数，温度愈高，就愈小。就愈小。BCSBCS理论指出能隙理论指出能隙(T)(T)依赖于温度依赖于温度的关系为的关系为01dtanh)(0)2DbNVk Tc212231924.8 10Tc10 3 10 (V)e1.6 10K 2212344.8 10210 (Hertz)6.64 10f 常规超导体中常规超导体中 2=3.5kBTc4.810-23Tc高高Tc超导体超导体 TcTc，电声子相互作用电声子相互作用，3.5kbTc， 2加大后的意义？加大后的意义？工作频率提高工作频率提高高高TcTc超导材料的电子声子相互作用机构、能隙的数

19、值高超导材料的电子声子相互作用机构、能隙的数值高例如：例如：22与常规超导体不同，氧化物超导体（尤其是欠掺杂样品）在与常规超导体不同，氧化物超导体（尤其是欠掺杂样品）在远高于超导转变温度时，能隙已经出现被称为赝能隙，但远高于超导转变温度时，能隙已经出现被称为赝能隙，但是宏观超导特性在一个较低温度出现（见附图是宏观超导特性在一个较低温度出现（见附图1 1）。）。 氧化物高温超导体的配对机理至今仍然是个未解之谜氧化物高温超导体的配对机理至今仍然是个未解之谜氧化物超导体正常态有电子库柏对存在 23图图2(a) 2(a) 和和2(b) 2(b) 显示的是两个欠掺杂显示的是两个欠掺杂Bi-2201Bi-

20、2201单晶样品，图单晶样品，图2(c)2(c)是是过掺杂样品与超导相关的比热数据，图过掺杂样品与超导相关的比热数据，图2(d)2(d)显示的是纯显示的是纯NbNb的数据。的数据。图图2 2 24可以看出，非常过掺杂的样品在超导转变附近具有非常陡峭的转可以看出，非常过掺杂的样品在超导转变附近具有非常陡峭的转变行为，与常规超导体变行为，与常规超导体NbNb的数据非常类似，所计算的熵也在超导的数据非常类似，所计算的熵也在超导转变温度处守恒（图转变温度处守恒（图3(c)3(c)）。但是，对于欠掺杂的样品，其超导）。但是，对于欠掺杂的样品，其超导转变温度处的比热跳变高度很矮，远远低于转变温度处的比热跳

21、变高度很矮，远远低于BCSBCS理论预言的值。理论预言的值。图图3 3 氧化物超导体正常态有电子库柏对存在氧化物超导体正常态有电子库柏对存在 25 这个工作从熵的角度说明，氧化物超导体的超导凝聚过程是非这个工作从熵的角度说明，氧化物超导体的超导凝聚过程是非BCSBCS型的。即便正常态是费米弧或者费米口袋金属态，即所谓小费型的。即便正常态是费米弧或者费米口袋金属态，即所谓小费米面金属态，在超导转变温度以下，可能在这些小费米面上有超导米面金属态，在超导转变温度以下，可能在这些小费米面上有超导能隙重新打开，也不能简单把它看成是一个能隙重新打开，也不能简单把它看成是一个BCSBCS型超导相变。型超导相

22、变。 一大类把赝能隙与超导隔离开来，认为赝能隙只是由于某些有序一大类把赝能隙与超导隔离开来，认为赝能隙只是由于某些有序相，如电荷密度波序，与超导相竞争费米面上的态密度，因此超导相，如电荷密度波序，与超导相竞争费米面上的态密度，因此超导转变仍然满足转变仍然满足BCSBCS理论所提出的基本图像。理论所提出的基本图像。 另一类与之相对立的图像则认为赝能隙对应着与电子配对强度相另一类与之相对立的图像则认为赝能隙对应着与电子配对强度相关的能量尺度，超导转变温度之上有预配好的库柏对。由于超流电关的能量尺度，超导转变温度之上有预配好的库柏对。由于超流电子浓度太稀薄，因此超导温度不是由于配对强度所决定，而是由

23、于子浓度太稀薄，因此超导温度不是由于配对强度所决定，而是由于相位刚度相位刚度(phase stiffness)(phase stiffness)决定，超导转变是非决定，超导转变是非BCSBCS型的。型的。 262-2 描述准粒子激发态的几种方法描述准粒子激发态的几种方法2222, 22kkFkkEmmE 图图正常金属（自由电子模型）正常金属（自由电子模型） k27超导体超导体2222222)2(FEmkE28 正常金属内自由电子模型时，波矢正常金属内自由电子模型时，波矢k222xxyyzzknknknLLL，k3338)2(LVVLk338/8VVk38Vk是量子化的，座标是量子化的，座标每个

24、允许的状态是二重简并的，在每个允许的状态是二重简并的，在空间所占体积是空间所占体积是空间空间体积内允许的状态数体积内允许的状态数空间单位体积内允许的状态数空间单位体积内允许的状态数称为称为空间的态密度。空间的态密度。态密度与半导体模型态密度与半导体模型29kkFVkFkk)(8)(3kkFkFVkk)(81)(1332230002201( )( )d8( )sind d d8( )d2limVkF kF kkVF kkkF kkk rrrrrrk设要将某一函数设要将某一函数 F（ ）对其所有的允许状态求和）对其所有的允许状态求和Vk38k是每个状态在是每个状态在空间所占体积空间所占体积V0k令

25、令，则，则其中其中态密度态密度30221exp(/) 12kFkBkEk Tm，kkFkn)d(1202)(kF如果如果是费米分布函数是费米分布函数)(kF即即代表某一能量状态上的粒子数，代表某一能量状态上的粒子数，2( )kF kVrr就是单位体积内的粒子就是单位体积内的粒子 n，而而kkF)(是各个可能状态上的粒子数（的一半），是各个可能状态上的粒子数（的一半），则则故有：故有：32230002201( )( )d8( )sin d d d8( )d2limVkF kF kkVF kkkF kkk rrrrrr2( )kF knVrr从前面从前面 31FEmkE222d)()(d)()(2

26、222gffEmmnFEF2222()( )0FFnFmmEEgE 利用利用)(ng是单位体积，在是单位体积，在单位能量间隔内的状态数，称态密度。单位能量间隔内的状态数，称态密度。附近，附近，单位体积内的粒子数单位体积内的粒子数 n n等于电子（对）数与允许状态的叠加等于电子（对）数与允许状态的叠加32 电子数密度与态密度图电子数密度与态密度图( )f某一能量状态上的粒子数某一能量状态上的粒子数 )(ng能量间隔内的状态数，称态密度能量间隔内的状态数，称态密度3322E2222ddEEEE22( )( )0nsEgEEg EE 超导体超导体激发的准粒子当成电子激发的准粒子当成电子，讨论态密度，

27、讨论态密度 E与与有对应关系有对应关系)(Egs在在 E 附近附近 dE 内的状态数内的状态数 dE)(ngd)(EgsdE= )(Egs)(ngEdd= 内的状态数内的状态数 在在d)(ng附近附近d34超导准粒子超导准粒子3521eV 21eV 考虑隧道过程考虑隧道过程 2-3 2-3 准粒子隧道效应及其唯象理论准粒子隧道效应及其唯象理论 E-K 图图4 436超导体超导体1 1 超导体超导体2 2 37AdkinsAdkins模型模型 38隧道结构隧道结构解析式解析式IV曲线曲线 解析式解析式 IV曲线曲线NINNNNNIVNNNNIV T=0 T0 简单讨论几种不同材料的隧道结构的简单

28、讨论几种不同材料的隧道结构的I IV V曲线（准粒子）曲线（准粒子） 39220/()/SNNNVeIVVee 1102( 1)()sin ()mNSNNmBBmmeVIKek Tk TK1一阶第二类修正一阶第二类修正B B函数函数 SIN T=0 T0 402024/() ( )( )2/SSNNVeIVeGVEKee Ve tttEd11)(222102221011d)(tttKeV224NNN NGIeSIS 时，电流跳变时，电流跳变eV2tan42SSNNBIIk T要用数值计算要用数值计算 时，时， 12 /,2 /NNNNVeGVe T=0 T0 NNV4121ISSeV211 2

29、122S SNNIGe 有解析式，略有解析式，略 时电流跳变：时电流跳变： eV12eVI12lgeV12TkTkTkeIBBBSS2cos2cos2sin421212121要用数值计算要用数值计算 时有对数奇点：时有对数奇点：时，电流跳变：时，电流跳变： T=0 T0 422-4 准粒子光子辅助的隧道过程准粒子光子辅助的隧道过程 21eVN 21eVN 21eVN 21eV 43SISSIS结构的介绍结构的介绍 44a MgOa MgO基片上溅射基片上溅射NbNNbN薄膜薄膜b b 光刻桥区光刻桥区c c 桥区后的图形桥区后的图形d d 光刻结区光刻结区e e 生长绝缘层后的图形生长绝缘层后

30、的图形f f 光刻电极后的图形光刻电极后的图形g g 生长三层结构后的图形生长三层结构后的图形先做三层结构，先做三层结构，后做周围绝缘层后做周围绝缘层先做周围绝缘层，先做周围绝缘层，后做三层结构后做三层结构 SISSIS结的制备流程结的制备流程 用双层光刻胶来制备悬空掩模结构用双层光刻胶来制备悬空掩模结构成像层成像层支撑层支撑层evaporation 1evaporation 245J. Vac. Sci. Technol. B, Vol. 25, No. 2, Mar/Apr 2007463约瑟夫森超导器件原理与应用约瑟夫森超导器件原理与应用 （准粒子）n量子理论简述量子理论简述nSISSI

31、S结的量子理论结的量子理论n直流视频检测直流视频检测n混频器理论混频器理论47哈密顿算符哈密顿算符 频域频域 时域时域 H HL HR HT 量子理论简述 n约瑟夫森在他最初的工作中发展了超导隧道结的微观理论，把穿过约瑟夫森在他最初的工作中发展了超导隧道结的微观理论，把穿过势垒的电子对的传递也考虑在内利用了传递哈密顿表述约瑟夫势垒的电子对的传递也考虑在内利用了传递哈密顿表述约瑟夫森效应也能够出现在其它类型的超导弱连接中森效应也能够出现在其它类型的超导弱连接中n讨论约瑟夫瑟隧道结构微观理论的主要方面利用与时间有关的微讨论约瑟夫瑟隧道结构微观理论的主要方面利用与时间有关的微扰理论来拥述这隧道过程，

32、在这理论中包含一个恰当地定义的两超扰理论来拥述这隧道过程，在这理论中包含一个恰当地定义的两超导体间的耦合哈密顿导体间的耦合哈密顿n ti关于量子力学关于量子力学 系统波函数系统波函数系统随时间的演变的薛定谔方程系统随时间的演变的薛定谔方程( , )r t48TRLHHHH*TkqkqkqgkkqHT c dT dcHR和和HL是两侧金属的哈密顿量，而是两侧金属的哈密顿量，而 是隧道哈密顿，表示两侧的互作用（电子通过势垒的转移）。是隧道哈密顿，表示两侧的互作用（电子通过势垒的转移）。kq是一矩阵元，与一个电子从右侧是一矩阵元，与一个电子从右侧q态到左侧态到左侧k态的跃迁几率有关。态的跃迁几率有关

33、。kckcqdqd左侧产生动量为左侧产生动量为k，自旋为，自旋为 的电子的电子左侧消灭动量为左侧消灭动量为k，自旋为自旋为 的电子的电子右侧产生动量为右侧产生动量为q，自旋为，自旋为 的电子的电子右侧消灭动量为右侧消灭动量为q，自旋为，自旋为 的电子的电子LkkkqRgqkqNc cNddN N 、N NR R-粒子算符粒子算符 TH49Tkq从左侧从左侧k到右侧到右侧q态的跃迁概率相联系的矩阵元。态的跃迁概率相联系的矩阵元。势垒上有电压势垒上有电压VLLLeVNHVH)0()()(tck)(tck 左侧金属内左侧金属内 V =0 时电子消灭算符时电子消灭算符 左侧金属内左侧金属内 V0 时电

34、子消灭算符时电子消灭算符 ( , )RI V TeN &0,0TKV 时，隧道电流为时，隧道电流为即可由右侧电子数算符的时变率，求期望值得到，定义：即可由右侧电子数算符的时变率，求期望值得到，定义：( )2d2( )( )dtjkkeVCteCtt/BBH k TrRRH k TrTeNNTe&50隧道电流为隧道电流为/BBH k TrRRH k TrTeNNTe&jj,RRTRNH NHN&hh*jRkqkqkqgkkqNT c dT dc&h( , )RI V TeN &式中式中H H是系统的总哈密顿，是系统的总哈密顿，kB是玻耳兹曼常数，是玻耳兹曼常数，Tr Tr 表示括号内算表示括号内

35、算符的迹符的迹 由由NR的运动方面我们得到的运动方面我们得到这是因为这是因为NR与与HL及及HR对易将对易将HT的表达式代入得出的表达式代入得出 *2e( , )ImkqkqkqI V TTcd51( )( )( )()22Imd()()jjttIeeS teR t HT作为微扰，算至线性项，总电流作为微扰，算至线性项，总电流期望值是在未扰动的系综中求（期望值是在未扰动的系综中求（HL+HR），），即两电极分别考虑，如把两电极作为无限大，均匀的超导金属，即两电极分别考虑，如把两电极作为无限大，均匀的超导金属，)(tS,kkqq )(tR中只有时间项不为零（中只有时间项不为零（），在），在,kk

36、 qq 中只保留中只保留的项（的项（BCS配对）。配对）。 2.2.1 2.2.152()()()()222( )Im( )( )LRtt tt tjjjjt tI tedt eeS teeR t *()0()( )Imdd()()()()()()jtjjtI tWWeS jeWWeRjd)(212)(tjtjeWe( )( )d ,( )( )dj tj tLRSs t etRR t et其中引入频谱分解：其中引入频谱分解：()( )( )LRjR teR t 其中定义：其中定义： 2.2.1-1 2.2.1-1 2.2.1-2 2.2.1-2 傅里叶变换：傅里叶变换：谱函数谱函数53KK变

37、换变换)(Red1)(Im)(Imd1)(ReSpSSpS下面先考虑准粒子隧道电流下面先考虑准粒子隧道电流54SIS结的量子理论结的量子理论*()( )Im()()()dd()exp()d ditojtoeVI tjWWeeWjVVt et 1( )cosoV tVVt参见参见J. R. Tucker, IEEE J. of Quantum Electronics, vol, QE-15, ro. 11, p.1234;1979.( ),()()oV tVW )(ImoeVj若若 ，上式给出，上式给出响应函数的虚部，响应函数的虚部， 即代表直流即代表直流 I-V 特性。特性。设电压是设电压是结

38、两端加有电压结两端加有电压V V（t t），随时间变化的），随时间变化的, ,电流的表达：电流的表达：谱函数谱函数55oodcCLmmCLmCLoodCLtttVVIatmaatVVcItI)(dcos)cos(2cos2)cos()(111tinnntooeeVJteVitVtei)()sinexp(d )(exp111)()()(eVnJWnn)(VIdc经典理论经典理论 若隧道结的特性是若隧道结的特性是，则上述电压作用下的电流是，则上述电压作用下的电流是量子理论量子理论 上述电压使电流算符的相位受到调制上述电压使电流算符的相位受到调制富里叶变化展开富里叶变化展开贝塞尔函数展开贝塞尔函数展

39、开谱函数谱函数56量子理论与经典理论的区别量子理论与经典理论的区别 1）电阻性电流，）电阻性电流， 电抗性电流电抗性电流 2）富氏变换）富氏变换贝塞尔函数的级贝塞尔函数的级数数()( )Imdd( ) ()( ) ()()nnitommI tJneVJmej 2( )()2( )( )( )()2( )( )( )()ondconmnn mn mdconmnn mn meonnaJIVenaJJJIVenbJJJR j Ve12cos2sinommmaam tbm t57直流视频检测直流视频检测nodcndcenVIJI)()(2eeVIVIeVIeVIeVVIIIodcodcodcodcod

40、cdcdc/)()(/)()(/141)(21输入功率较小时，所引起的直流电流的变化正比于输入功率输入功率较小时，所引起的直流电流的变化正比于输入功率较小时，保留较小时，保留n=0,1的项，再利用的项，再利用Bessel函数的小宗量近似，函数的小宗量近似，58)/(2)()(1eeVIeVIVIodcodc量子极限经典极限eVIVIIIIIIeIVIRodcodcdcdcdcdcdcdcid/dd/d21) 1() 1 () 1()0(2) 1 (22121信号频率下流过结的电流（令信号频率下流过结的电流（令m=1, 保留保留n=01）响应率响应率59B系统带宽系统带宽 22()()1/242

41、2()2oodcooodeooeVIeB CothIVkTkTBeVkTReIV BeVkT122detoiIPR 参考书：参考书：Watson, A Treatise on B. Functions罗节特，园柱函数理论纲要及其在元线电工程中的应用。罗节特，园柱函数理论纲要及其在元线电工程中的应用。热噪声热噪声散粒噪声散粒噪声最小可以测到的功率最小可以测到的功率信号频率下输入功率与结的耦合情况信号频率下输入功率与结的耦合情况60n量子理论与经典理论的区别量子理论与经典理论的区别 1）电阻性电流）电阻性电流 2）富氏变换）富氏变换61混频器理论混频器理论2121,nm62mom1omommmmm

42、miYV各端口上的电压可以用导纳矩阵各端口上的电压可以用导纳矩阵 联系起来，联系起来，mmYmomom其中其中表示表示端口（端口（）上的电压对于）上的电压对于m端口（端口（）电流的影响。）电流的影响。 各端口上各端口上信信号号内阻内阻电流电流电压电压内阻内阻电流源电流源中频中频mmY63,mmmmmmmm mmmIiv YYYVmmYmmY如果每个端口上加有导纳为如果每个端口上加有导纳为Ym的电流源的电流源 Im，则则应该如何计算应该如何计算。 分别用经典理论和量子理论加以讨论分别用经典理论和量子理论加以讨论 由经典理论求由经典理论求mtjmLOLOdcLOemItVVItI)()()()(t

43、VLOoV)(tVVLOo目前，结两端的电压不再是目前，结两端的电压不再是，而是，而是。要准确的知道波形。要准确的知道波形)(tILO是极困难的非线性问题，在这里我们只假定它是已知的或可以估计是极困难的非线性问题，在这里我们只假定它是已知的或可以估计求出的。因此，按照经典理论，通过结的电流求出的。因此，按照经典理论，通过结的电流可以从它的直流可以从它的直流IV曲线上求得曲线上求得可展开为级数可展开为级数64mtjmoLOemGVtItG)(d)(d)( )( )()oLOjm tmC tC VVtC me() () mmmYG mmjC mmm结的电导则为结的电导则为若电容也是非线性的，可表示

44、为若电容也是非线性的，可表示为om)(mm omm与结内与结内的成分相作用而产生的成分相作用而产生的成分。可见的成分。可见)(mm 对对m 的作用是通过结在的作用是通过结在这一频率上的特性完成的。因此这一频率上的特性完成的。因此omm注意注意m 端口的频率是端口的频率是，考虑它的阻抗（导纳）实、虚部时，考虑它的阻抗（导纳）实、虚部时，当然该用当然该用电流除以电压求微商电流除以电压求微商 电导电导可展开为级数可展开为级数导纳导纳电容综量电容综量导纳综量导纳综量65)()()(tvtVVtVsigLOO( )Re1()2mmmjtsigmmjtjtmmmvtv ev ev emmY按照量子理论，应

45、该按照量子理论，应该从结两端的电压求出从结两端的电压求出 相位调制因子，相位调制因子，从它的谱求出从它的谱求出 总电流，总电流，从中从中 讨论各端口上的电流与电压之间的关系。讨论各端口上的电流与电压之间的关系。)(tvsig其中其中是边带所贡献的各个频率成份，可以写作是边带所贡献的各个频率成份，可以写作然后然后在混频的情况，在混频的情况，直流直流本征本征各端口信号各端口信号5 566这样，相位调制因子是这样，相位调制因子是: :exp( )( )dexp( )dexp( )d()1( )d()12mmtLOsigttLOsigtjn tLOsigntjtjtjn tmmLOnmejVtvtte

46、ejVttjvtteWnjvttv ev eeWnj()122mmjtjtjn tmmLOnmmevevWneeemm 1xex 67()dexp( )( )dtjtLOsigeWt ejVtvtt nmmmmmmLOnvnvennWW)()(2)()()()()()()ddjtomeVWWejI 将这一因子作谱分解，得将这一因子作谱分解，得代入之后完成积分并稍作化简，得代入之后完成积分并稍作化简，得时需要用到时需要用到)(W把把的级数式代入，保留到的级数式代入，保留到 vm 等的线性项，有等的线性项，有d)(212)(tjtjeWe*()( )Im()()()dditoeVI tWWej 计

47、算电流计算电流68(),),()()()()()()2()() ()()()()ioLOLOLOn nmmmmmmiLjnttoOnoW WnevnveVWnWnnneeVWWejnVeejj ,()()() ()()()2()LOLOn nmmmmmmitoWnWnnevnvneVej 有：有：69)()()(titItIsigLO1( )Re()2mmmitititsigmmmmmiti ei ei e)()()()()()(2)(,oomomonnmmLOLOnnmmmeVnjeVnjeVnjeVnjnWnWeiY)(tI代入积分，利用代入积分，利用函数的性质，即可得到总电流函数的性质，

48、即可得到总电流不过不过，)(tisig其中其中是边带所贡献的各频率成分，并有是边带所贡献的各频率成分，并有)(tILO在前面的表达式代入积分时，的贡献正是在前面的表达式代入积分时，的贡献正是)(tisig故故+的贡献即为的贡献即为mimv而而+的贡献恰好可以把的贡献恰好可以把与与联系起来，从而给出联系起来，从而给出70的分母是上述行列式，而分子则是该行列式中划去的分母是上述行列式，而分子则是该行列式中划去 行，行，mmZm,mm mY注意：注意：m 列之后的代数余因式。由于列之后的代数余因式。由于的关系，分子中不含的关系，分子中不含Ym。mmmmmvYimmmmmmmmmmvmYYYviI,m

49、mmmmIZv1,mmmmmm mZYYmmY已知已知（经典，量子均可）后，（经典，量子均可）后， 混频器计算混频器计算每个端口上加有内导纳为每个端口上加有内导纳为Ym的电流源的电流源 Im各端口上的电压也可以用电流源来表示为各端口上的电压也可以用电流源来表示为其中其中小信号导纳矩阵小信号导纳矩阵710000000000000mommmmmmmmmmZvZIZIZIZZZ1,000000202101000ZZIIIZvo221oLoutvGP对于输出端口，我们可以写作对于输出端口，我们可以写作m00YmmI0其中其中与与无关，这样，无关，这样，就表示就表示 1ResGY如果在端口如果在端口1的

50、电流源是的电流源是 Is，相应的导纳实部是，相应的导纳实部是其它端口上的电流源在输出引入了一等效源其它端口上的电流源在输出引入了一等效源mmI0ReLoGY是其它端口的折合至输出口的电流源。是其它端口的折合至输出口的电流源。，则输出功率是，则输出功率是设输出端导纳的实部是设输出端导纳的实部是72sIsoIZv01220122121sLoLoutIZGvGP20114incoutSLPLPG G Z由由而在输出端引起的电压是而在输出端引起的电压是所以输出端功率所以输出端功率 则输入端的资用功率是则输入端的资用功率是28sinsIPG而变频损失是：而变频损失是：输入端的资用功率输入端的资用功率输出