《固体物理》课件：ssp501.ppt

1、第五章第五章 金属电子论基础金属电子论基础经典电子论假设金属中存在着自由电子，自由电子和理想经典电子论假设金属中存在着自由电子，自由电子和理想气体一样服从玻耳兹曼分布，因此，金属中的电子应对热容气体一样服从玻耳兹曼分布，因此，金属中的电子应对热容有贡献，并且其大小应和晶格振动热容相比拟，但是实验并有贡献，并且其大小应和晶格振动热容相比拟，但是实验并没有察觉金属有这样一部分额外的热容；没有察觉金属有这样一部分额外的热容；另外，按照经典理论，金属中的自由电子由于不断的碰撞，另外，按照经典理论，金属中的自由电子由于不断的碰撞，其自由程应该很短，但是，实际上金属中的电子又具有很长其自由程应该很短，但是

2、，实际上金属中的电子又具有很长的自由程，经典理论也不能给予解释。的自由程，经典理论也不能给予解释。按量子统计理论，电子是费米子，服从费米狄拉克分布。按量子统计理论，电子是费米子，服从费米狄拉克分布。按能带论，对电子有，如果不存在外场，金属按能带论，对电子有，如果不存在外场，金属中的电子将保持在一个本征态中，因而自由程是无限的，当然，中的电子将保持在一个本征态中，因而自由程是无限的，当然，晶体中的周期性势场并不是严格的周期场，因而电子的自由程晶体中的周期性势场并不是严格的周期场，因而电子的自由程实际是有限的。实际是有限的。本章内容：本章内容：费米分布和电子热容问题，电子输运问题。费米分布和电子热

3、容问题，电子输运问题。dtkdF5.1 费米分布和电子热容量费米分布和电子热容量一、费米分布函数一、费米分布函数能带论方法是一种单电子近似，每个电子的运动被近似能带论方法是一种单电子近似，每个电子的运动被近似看作是独立的，电子具有一系列确定的本征态，用看作是独立的，电子具有一系列确定的本征态，用k来表示来表示不同的本征态，晶体中电子系统的宏观态可以由电子在各本不同的本征态，晶体中电子系统的宏观态可以由电子在各本征态的统计分布来描述。对于系统的平衡态，用费米分征态的统计分布来描述。对于系统的平衡态，用费米分布描述布描述11)()(TkEEBFeEff(E)为能量为为能量为E的状态被电子占据的几率

4、，其中的状态被电子占据的几率，其中EF称为费米称为费米能级，由系统的总电子数确定能级，由系统的总电子数确定NEfii)(对对f(E)当当E=EF时，时，f(E)=1/2当当E比比EF高几个高几个kBT时，时，f(E)当当E比比EF低几个低几个kBT时，时，f(E)在在T 0K时，转变的区域变窄，所有时，转变的区域变窄，所有E0，VB0A中电子能量变化为中电子能量变化为qVA0，能级上升了，能级上升了-qVB使使A,B的费米能级接近或拉平。的费米能级接近或拉平。)(1)(ABBAABBAWWqVVWWqVqV接触电势差接触电势差EFEFWAWBAB05.3 分布函数和玻耳兹曼方程分布函数和玻耳兹

5、曼方程k)()(kEkEEj如果在晶体中加上外电场，很快就会形成一稳定的电流，如果在晶体中加上外电场，很快就会形成一稳定的电流，zyxdkdkdkV3)2(2kk费米分布函数是平衡态的统计分布，费米分布函数是平衡态的统计分布， 其对其对是对称的，是对称的，因为因为，而，而f(E)只是只是E的函数。的函数。 对于对于和和电流电流)(kvq)( kvq和和是相反的，恰好相互抵消。是相反的，恰好相互抵消。这个稳定的电流实际上反映，在恒定外场作用下，电子达这个稳定的电流实际上反映，在恒定外场作用下，电子达到一个新的定态统计分布，这个定态分布也可以用一个与平衡时到一个新的定态统计分布，这个定态分布也可以

6、用一个与平衡时相似的分布函数来描述，在相似的分布函数来描述，在dkxdkydkz内的状态数目为内的状态数目为)(kf单位体积的晶体内在单位体积的晶体内在dkxdkydkz内的电子数为内的电子数为zyxdkdkdkkf3)2(2)()(kvzyxdkdkdkkfkvq3)2(2)()(这些电子的速度为，对电流的贡献为这些电子的速度为，对电流的贡献为积分得到总的电流密度为积分得到总的电流密度为3)2()()(2zyxdkdkdkkvkfqj因此，一旦确定了分布函数，就可以直接计算电流密度。因此，一旦确定了分布函数，就可以直接计算电流密度。Eqdtkd)(kf引起分布函数变化的原因：引起分布函数变化

7、的原因：(1). 外场所引起的外场所引起的f(k)的漂移的漂移处在外电场中，处在每一状态的电子都有处在外电场中，处在每一状态的电子都有因此电场的存在使电子的因此电场的存在使电子的k发生变化，描述电子所处状态的发生变化，描述电子所处状态的也要发生变化，这是由于外场存在所引起的统计分也要发生变化，这是由于外场存在所引起的统计分布在布在k空间的漂移。空间的漂移。(2). 电子由于不断遭到散射而改变运动状态，进而引起分电子由于不断遭到散射而改变运动状态，进而引起分布函数的变化。布函数的变化。碰撞漂移tftftf1. 漂移项漂移项空间中，空间中，t时刻在（时刻在（r,k）附近单位体积中的电子是由）附近单

8、位体积中的电子是由t-dt时刻在（时刻在（r-vdt,k-(dk/dt)dt)处单位体积中的电子漂移而来处单位体积中的电子漂移而来),(),(dttdtkkdtvrftkrffkfvtttkrftttkktvrftttkrftkrftfktt),(),(),(),(limlim00漂移1. 碰撞项碰撞项由于晶格振动或者杂质的存在等原因，电子不断地发生从由于晶格振动或者杂质的存在等原因，电子不断地发生从一个状态到另一个状态的跃迁，这种跃迁将引起分一个状态到另一个状态的跃迁，这种跃迁将引起分布函数的改变。用表示单位时间由跃迁到布函数的改变。用表示单位时间由跃迁到的几率，具体考虑内的粒子数的几率，具

9、体考虑内的粒子数kttkfkdkkkdtkf),(1 )2(),()2(),(233zyxdkdkdkkd),(kkt3)2(),(2kdtkfkkk一方面这些粒子将由于向所有其它状态跃迁而减少，在一方面这些粒子将由于向所有其它状态跃迁而减少，在时间内跃迁到所包含的状态中的粒子数为时间内跃迁到所包含的状态中的粒子数为kkd tkdkdk把上式对所有状态积分就得到由于跃迁而减少的粒子把上式对所有状态积分就得到由于跃迁而减少的粒子总数为总数为ttkfkdkkkdtkf),(1 )2(),()2(),(233另一方面还由于从所有其它状态跃迁到中的粒子使另一方面还由于从所有其它状态跃迁到中的粒子使内的

10、粒子数增加内的粒子数增加kd)2(2()2(),(),(1),(33tkdkdkktkftkf以上两式之差就是时间内内粒子数的变化以上两式之差就是时间内内粒子数的变化tkdabkdtkf33)2(2)()2(),(233)2(),(),(1),()2(),(),(1),(kdkktkftkfakdkktkftkfbabtf碰撞abfkfvtfk一般形式的玻耳兹曼方程为一般形式的玻耳兹曼方程为对于定态问题，如恒定的电磁场的情况下，对于定态问题，如恒定的电磁场的情况下，玻耳兹曼方程为玻耳兹曼方程为abfkfvk0tf0f如果如果f与位置无关（不存在空间不均匀的情况）与位置无关（不存在空间不均匀的情

11、况）abkfEqEqdtkdabfkkk)(又5.4 驰豫时间近似和电导率公式驰豫时间近似和电导率公式abkfEqk)(碰撞项碰撞项b-a包含未知的分布函数，因此，玻耳兹曼方程是包含未知的分布函数，因此，玻耳兹曼方程是一个积分微分方程。在实际中都采用近似方法求解，一个一个积分微分方程。在实际中都采用近似方法求解，一个被被广泛引用的近似方法是假定碰撞项可以写成下列简单的形广泛引用的近似方法是假定碰撞项可以写成下列简单的形式式)(0kffab其中其中f0为平衡时的费米分布函数，为平衡时的费米分布函数，是引入的一个参量，称是引入的一个参量，称为为驰豫时间驰豫时间，它是，它是k的函数。这个假定的一般依

12、据是考虑到的函数。这个假定的一般依据是考虑到碰撞碰撞促使系统趋向平衡态促使系统趋向平衡态这一基本特点。这一基本特点。如果，状态原来是不平衡的如果，状态原来是不平衡的00)( fffttefffAffftAeffctfffftf0000000)()(,)(, 0,)ln(0)( f表示对平衡的偏离，当只有碰撞作用时，应很表示对平衡的偏离，当只有碰撞作用时，应很快地消失。快地消失。0)( f0)(ffkfEqk210ffff玻耳兹曼方程变为玻耳兹曼方程变为方程的解就是存在电场时定态分布函数方程的解就是存在电场时定态分布函数f，f将是电场将是电场E的的函数，把函数，把f按按E的幂级数展开的幂级数展开

13、f1,f2分别代表包含电场分别代表包含电场E的一次幂、二次幂的一次幂、二次幂，代入方程得代入方程得2110fffEqfEqkk)()(00012110EfkvEqEfkEEqfEqfffEqffEqkkkk在一般电导问题中，电流与电场强度成正比，相当于弱在一般电导问题中，电流与电场强度成正比，相当于弱场情况，此时分布函数只需考虑到场情况，此时分布函数只需考虑到E的一次幂的一次幂10fff3023131303)2()()(2)2()(20)2()(2)2()(2)2()(2zyxzyxzyxzyxzyxdkdkdkEfkvEkvqdkdkdkkvfqdkdkdkkvfqdkdkdkkvfqdkd

14、kdkkv fqj302)2()()(2zyxzzyyxxzyxzyxdkdkdkEfvEvEvEkvjvivqkjjjij302302)2()()()(2)2()(2zyxzxzyxyxxxzyxzzyyxxxxdkdkdkEfkvkvkqEjEEEdkdkdkEfvEvEvEvqj对于对于各向同性各向同性的情形，假定导带电子基本上可以用单一有效的情形，假定导带电子基本上可以用单一有效质量描述质量描述*2)(22mkkE*)(1mkkEkv的方向无关与kk)(3022)2()()*(2zyxdkdkdkEfkkkmqkk ,积分式中除外，都是球对称的，如果积分式中除外，都是球对称的，如果积分

15、内函数为奇函数，积分内函数为奇函数，dEEfkkmqdkEfkkmqdkdkdkEfkkkkmqzyxzyx)(*3)2()(*38)2()()()*(32)(31)( , 00322304222302222233221100332211)(3*023200kkmq0kFEE 其中表示时的其中表示时的k值值*2202mkEFnVNkNkVkV23023033033)2(342*)(2mEnqF5.5 费米面的构造费米面的构造N个电子的基态，是从能量最低的个电子的基态，是从能量最低的k态开始，态开始，由低到高依次填充而得到。电子占据区域形成一由低到高依次填充而得到。电子占据区域形成一个球，一般称

16、为费米球。在个球，一般称为费米球。在k空间中将占据态与空间中将占据态与未占据态分开的界面，称为未占据态分开的界面，称为费米面费米面。费米面附近。费米面附近电子的行为决定了如电子热容量，电阻率等的大电子的行为决定了如电子热容量，电阻率等的大小。小。以以正方格子正方格子为例说明费米面的构造方法。为例说明费米面的构造方法。222233333333一、自由电子的费米面一、自由电子的费米面. 扩展布里源区扩展布里源区 =1;2,3;4,5,mkkE2)(22a9585 . 1a2)24(k4,a823 . 1a2)23(k3,a1282. 1a2)22(k2,a7979. 0a2)21(k1,a2)2(

17、k)(N,)2(Na)(22102102102102102220为每个原胞的电子数k2简约布里源区（简约布里源区（ =2,3）第一能带第一能带第二能带第二能带二、近自由电子的费米面二、近自由电子的费米面( =2,3)第二能带第二能带第一能带第一能带1. 电子与晶格周期势场的相互作用在布里源区边界处产生能隙；电子与晶格周期势场的相互作用在布里源区边界处产生能隙；2. 费米面几乎总是与布里源区边界垂直地交截；费米面几乎总是与布里源区边界垂直地交截；3. 晶格周期势场使费米面的尖锐角隅圆滑化；晶格周期势场使费米面的尖锐角隅圆滑化；4. 费米面所包围的体积仅依赖于电子浓度。费米面所包围的体积仅依赖于电子浓度。zyxa4aakanVNkNkV240. 1)6(23)2(3423103330330aa414. 12221布里源区中心到每个面的距离为布里源区中心到每个面的距离为费米面完全在第一布里源区内费米面完全在第一布里源区内碱金属碱金属Li,Na,K三、三维情况近自由电子的费米面三、三维情况近自由电子的费米面a4aaL732. 1223点到中心距离为aakanVNkNkV56. 1)12(43)2(3423103330330贵金属的费米面贵金属的费米面Cu,Ag,Au费米面完全在第一布里源区内，但在费米面完全在第一布里源区内，但在L处附近发生变形处附近发生变形