《固体物理》课件：ssp701.ppt

1、第七章第七章 晶体中电子在电场和磁场中的运动晶体中电子在电场和磁场中的运动如果晶体中存在电场、磁场或杂质势场，一般这些外场要比如果晶体中存在电场、磁场或杂质势场，一般这些外场要比周期性势场弱得多，这种情况下，如何处理电子的运动问题？周期性势场弱得多，这种情况下，如何处理电子的运动问题？有两种处理方法：有两种处理方法：一、解含有外场的薛定谔方程一、解含有外场的薛定谔方程 rErUrVm)(222二、把电子看成经典粒子，用准经典方法处理二、把电子看成经典粒子，用准经典方法处理经典粒子具有确定的经典粒子具有确定的位置和动量位置和动量，但是微观粒子由于受到测，但是微观粒子由于受到测不准关系的限制，不可

2、能同时具有确定的位置和动量。可以用不准关系的限制，不可能同时具有确定的位置和动量。可以用波包波包表示晶体中电子的状态，此时，表示晶体中电子的状态，此时，电子的位置和动量都具有电子的位置和动量都具有近似的数值近似的数值，其精确度由测不准关系所限制。，其精确度由测不准关系所限制。7.1 准经典运动准经典运动一、波包和电子速度一、波包和电子速度波包是指粒子空间分布在波包是指粒子空间分布在r0 附近的附近的 r范围内，动范围内，动量取值为量取值为k0附近附近 k范围内，范围内， r和和 k满足测不准关满足测不准关系，把波包中心系，把波包中心r0称为该粒子的位置，中心称为该粒子的位置，中心k0称为称为该

3、粒子的动量。该粒子的动量。在晶体内，可以用布洛赫函数组成波包，在晶体内，可以用布洛赫函数组成波包，)(),()(ruetrktkErkik （由于波包包含能量不同的本征态，必须考虑时间因子）（由于波包包含能量不同的本征态，必须考虑时间因子）把与把与k0相邻近的各状态叠加起来就可以相邻近的各状态叠加起来就可以组成与量子态组成与量子态k0相对应的波包，必须很相对应的波包，必须很接近于接近于k0 ，写成，写成0)()()(00kkEkkEkEkkkkk22zyxkkkkk必须很小必须很小组成波包时必须限制在下列范围内组成波包时必须限制在下列范围内k)(1( ,2sin210)(11)(),(),(0

4、0000000000)(12)(12)(122)(1)(122)(1222222)(222222tkExuuueetkxkExxikedkedkdkdkerutrdkdkdktrkxtkExitkExitkExitkExitkExikxtErk ixyztkErkikkkxyzkxkxkxkxkxxkke62222222sin22sin22sin)(),(0wwvvuurutrktkEzwtkEyvtkExukzkykx000)(1)(1)(12,2uu2,2uu说明波函数主要集中在线度为说明波函数主要集中在线度为1/ 范围内，中心在范围内，中心在U=v=w=0,u即即tErkk0)(10若把

5、波包看成一个准粒子，则该粒子的速度为若把波包看成一个准粒子，则该粒子的速度为00)(1kkkEv 如果有外力如果有外力F作用在电子上，在作用在电子上，在dt时间内，外力对时间内，外力对电子所做的功为电子所做的功为 电子的能量决定于状态电子的能量决定于状态k，在外力作用下，状态必须，在外力作用下，状态必须有相应的变化有相应的变化dkdtvFk0dtkdFvFdtkddtvFvkddtvFEkdkkkkkk0)()(00000二、在外力作用下状态的变化和准动量二、在外力作用下状态的变化和准动量三、加速度和有效质量三、加速度和有效质量zyxzyzxzyyxzxyxFFFkkEkkkEkkkEkkkE

6、kkEkkkEkkkEkkkEkkEkEkkFkkEkdtdkkkEdtddtdzyx2222222222222zyx22)()()()()()()()()(1vvv)(1)(1)(1v与牛顿第二定律具有相同的形式，只是用与牛顿第二定律具有相同的形式，只是用一个二阶张量代替了一个二阶张量代替了1/m，称其为倒有效质量张量。，称其为倒有效质量张量。若选择若选择kxkykz沿张量的主轴方向，则沿张量的主轴方向，则, 0, 0)(2kkkEFmdtd1v2222222)(000)(000)(1zyxkkEkkEkkE222222222*)(000)(000)(000000zyxkkEkkEkkEmm

7、mzzyyxxzzzyyyxxxFmFmFmvvv*222*)(kkEm)coscos(cos2)(10akakakJJkEzyxi例例1. 简单立方晶格中由原子简单立方晶格中由原子s态形成的能带的有效质量。态形成的能带的有效质量。7.2 恒定电场作用下电子的运动恒定电场作用下电子的运动kaJJkEicos2)(10kaaJdkdEksin21)(v11212222)cos2()(*kaaJdkEdkm以一维紧束缚近似的结果为例，讨论晶体中电子在恒定电场以一维紧束缚近似的结果为例，讨论晶体中电子在恒定电场作用下的运动作用下的运动E(k)v(k)m*(k)设电场力设电场力F=-qE沿沿x轴正方向

8、（电场轴正方向（电场E沿沿x轴反方向），由轴反方向），由dtkdF知电子在知电子在k空间做匀速运动（为空间做匀速运动（为k空间的速度），使空间的速度），使得电子的能量、速度和有效质量都周期性的变化电子在得电子的能量、速度和有效质量都周期性的变化电子在K空间做循环运动。表现在电子速度上是空间做循环运动。表现在电子速度上是v随时间做振荡的变随时间做振荡的变化。化。dtkd电子速度电子速度v随时间做振荡的变化意味着电子在实空间的振随时间做振荡的变化意味着电子在实空间的振荡。荡。E-qVE能带的倾斜能带的倾斜xxxA B C电子在实空间的振荡电子在实空间的振荡Eg电子在实空间的振荡实际上很难观察到，其

9、原因是电子电子在实空间的振荡实际上很难观察到，其原因是电子在运动中将要不断受到声子、杂质和缺陷的散射。相邻在运动中将要不断受到声子、杂质和缺陷的散射。相邻两次散射之间的平均时间间隔称为两次散射之间的平均时间间隔称为电子平均自由运动时电子平均自由运动时间间，用，用表示，如果表示，如果很小，电子来不及完成振荡就被散很小，电子来不及完成振荡就被散射破坏掉了。射破坏掉了。观察到上述振荡的条件为观察到上述振荡的条件为qEaqEakT1122)(212）（空间运动速度电子在布里渊区宽度电场越强，振荡的频率越高，电场越强，振荡的频率越高，周期越短，如果远小于周期越短，如果远小于，就，就可观察到电子的振荡可观

10、察到电子的振荡如果如果a=0.3nm, =10-13sE2105V/cm7.3 导体、绝缘体和半导体的能带论解释导体、绝缘体和半导体的能带论解释一、满带电子不导电一、满带电子不导电)()()()(kvkvkEkEnn在一个完全为电子充满的能带中，尽管每一个电子都荷带在一个完全为电子充满的能带中，尽管每一个电子都荷带一定的电流一定的电流-qv，但是，但是k与与-k的电子电流正好相互抵消，有一的电子电流正好相互抵消，有一个个k，必有一个，必有一个-k，因而总电流为。，因而总电流为。 即使用外电场也改变不了这种情况，由于即使用外电场也改变不了这种情况，由于所有电子所处的状态都按上式变化，所有电子所处

11、的状态都按上式变化，k轴上的点都以相同的速轴上的点都以相同的速度移动，并不改变均匀填充各度移动，并不改变均匀填充各k态的情况。态的情况。dtkdF二、导体和非导体模型二、导体和非导体模型部分填充的能带，在外电场作用下可以产生电流。部分填充的能带，在外电场作用下可以产生电流。在在非导体非导体中，电子中，电子恰好填满最低的一系列能带恰好填满最低的一系列能带，再，再高的各个能带全部都是空的，因而并不导电。高的各个能带全部都是空的，因而并不导电。在在导体导体中，除去完全填满的一系列能带外，还有只中，除去完全填满的一系列能带外，还有只是是部分地被电子填充的能带部分地被电子填充的能带，后者可以起导电作用，

12、后者可以起导电作用，称为导带。称为导带。半导体半导体的能带属于非导体，但禁带宽度要比绝缘体的能带属于非导体，但禁带宽度要比绝缘体小，在温度不是很低的情况下，价带中的电子可以通小，在温度不是很低的情况下，价带中的电子可以通过热激发而进入导带，使导带中有少数电子同时价带过热激发而进入导带，使导带中有少数电子同时价带中又缺少了少数电子，从而导致了一定的导电性。另中又缺少了少数电子，从而导致了一定的导电性。另外，半导体可以通过掺杂改变能带中电子的填充状况外，半导体可以通过掺杂改变能带中电子的填充状况而使半导体具有导电性。而使半导体具有导电性。半金属：半金属：在金属和半导体之间存在一种中间情况，在金属和

13、半导体之间存在一种中间情况，导带底和价导带底和价带顶或发生交叠或具有相同的能量（具有负带隙宽度带顶或发生交叠或具有相同的能量（具有负带隙宽度或零带隙宽度），或零带隙宽度），在这种情况下，在导带中存在一定在这种情况下，在导带中存在一定数量的电子，在价带中存在一定数量的空状态，其导数量的电子，在价带中存在一定数量的空状态，其导带电子的密度比普通金属少几个数量带电子的密度比普通金属少几个数量级，称为半金属。级，称为半金属。三、近满带和空穴三、近满带和空穴为了方便，假设满带上只有在一个状态为了方便，假设满带上只有在一个状态k没有电子，没有电子，设设I(k)表示此时整个近满带的总电流，假设在空的表示此时

14、整个近满带的总电流，假设在空的k态态中放入一个电子，该电子所形成的电流为中放入一个电子，该电子所形成的电流为-qv(k)，但是放入该电子后，能带被完全填满，因此，总的电流但是放入该电子后，能带被完全填满，因此，总的电流为零。为零。)()(0)()(kvqkIkvqkI近满带的总电流就如同一个带正电荷的粒子，它的速度为空状态近满带的总电流就如同一个带正电荷的粒子，它的速度为空状态k的电子速度。的电子速度。dtkvdqdtkdI)()(*)(*)()(2mBvEqmFqdtkdIBvEqF*)()(2mBvEqdtkdI空状态都在满带顶附近，空状态都在满带顶附近，m*0近满带的电流变化就如同一个近

15、满带的电流变化就如同一个带正电荷带正电荷q和具有和具有正有效质量正有效质量的粒子。的粒子。*m结论：当满带顶附近有空状态结论：当满带顶附近有空状态k时，整个能带中时，整个能带中的电流以及电流在外电磁场中的变化完全如同存的电流以及电流在外电磁场中的变化完全如同存在一个在一个带正电荷带正电荷q和和正有效质量，速度为正有效质量，速度为v(k)的粒子一样，这样一个假想的粒子称为空穴。的粒子一样，这样一个假想的粒子称为空穴。*m7.4 在恒定磁场中电子的运动在恒定磁场中电子的运动在恒定磁场中电子的运动理论是分析回旋共振，德在恒定磁场中电子的运动理论是分析回旋共振，德哈斯范阿尔芬效应的理论基础。哈斯范阿尔

16、芬效应的理论基础。两种方法讨论两种方法讨论准经典运动近似；准经典运动近似；量子理论，解含有磁场时系统的波动方程。量子理论，解含有磁场时系统的波动方程。一、恒定磁场中的准经典运动一、恒定磁场中的准经典运动)(1)(kEkvkBkvqdtkd)()()( ,2)(22222zyxkkkkmkkE以自由电子为例以自由电子为例BkmqdtkdBmkqdtkdmkkkjkikmkEkvzyxk)()()(1)(1)(2mqBdtdkBkmqdtdkBkmqdtdkkjBkmqiBkmqBkkkkjimqdtkdBBzxyyxxyzyx0000)(), 0 , 0(Kz保持不变，在保持不变，在kx，ky平

17、面内做匀速平面内做匀速圆周运动。圆周运动。xryryyrxrxcos,sinsin,cos0dtdvBvmqdtdvBvmqdtdvzxyyx电子在实空间做螺旋运动，电子在实空间做螺旋运动，vz不变，在垂直与磁场的不变，在垂直与磁场的平面内做匀速圆周运动。平面内做匀速圆周运动。xyyxyxvvvvvvvvvvsincos,cossinmAqPHmmPH2)(222222)(21222zyxPPqByPmH二、自由电子情况的量子理论二、自由电子情况的量子理论没有磁场时，没有磁场时，若磁场沿若磁场沿z轴方向，则矢势取为（轴方向，则矢势取为（-By,0,0）哈密顿量不显含哈密顿量不显含x,z，对易，

18、相应，对易，相应的波函数可选为的波函数可选为Px,Pz的本征态。的本征态。HzizPxiPx,与)(,)(yekPkPzkxkizzxxzx)()()(22)()2()()()(22)()2()()(212)()()(21)()()(2120202222222222222222)()(222222)()(222yyyymymymkEyyqBkmqBmymymkEyqBykmymyEeyekyqBykmyEeyePPqByPmzxzxzkxkizkxkizxzkxkizkxkizyxzxzxzxzxmkEqBkymqBzx2;2200)(y表明表明 为中心在为中心在y0，振动频率，振动频率0 0

19、为的谐振子波函数为的谐振子波函数022220)(000)(2)21(22)()21()()0(200nmkmkEyyenyyHeyyznznzkxkinnyyzx表明：在表明：在xy平面的运动对应一种简谐运动，能量是量子化的，平面的运动对应一种简谐运动，能量是量子化的，这些量子化的能级称为这些量子化的能级称为朗道能级朗道能级。三、晶体中电子的有效质量近似三、晶体中电子的有效质量近似晶体中电子在磁场中的运动，只要把哈密顿量中的晶体中电子在磁场中的运动，只要把哈密顿量中的P换为换为P+qA有有)(2)(2rVmAqPH解薛定谔方程就可得到能量本征值等，但求解更困难。解薛定谔方程就可得到能量本征值等

20、，但求解更困难。但在有些情况下，哈密顿量可近似写为但在有些情况下，哈密顿量可近似写为*2)(2mAqPH把周期性势场的影响概括成有效质量的变化，称为有效质把周期性势场的影响概括成有效质量的变化，称为有效质量近似，一般半导体导带底和价带顶附近常可以采用有效量近似，一般半导体导带底和价带顶附近常可以采用有效质量近似，此时，只要用质量近似，此时，只要用m*代替原来的代替原来的m，就可以求出，就可以求出如回旋频率等。如回旋频率等。7.5 回旋共振回旋共振回旋共振回旋共振:在恒定的外磁场作用下，晶体中的电子在恒定的外磁场作用下，晶体中的电子（或空穴）将做螺旋运动，回转频率为，若（或空穴）将做螺旋运动，回

21、转频率为，若在样品上通以电磁波在样品上通以电磁波() )，当，当= 0，将出现共振，将出现共振吸收，这个现象称为回旋共振。吸收，这个现象称为回旋共振。从量子力学的观点来看，回旋共振相当于实现了从量子力学的观点来看，回旋共振相当于实现了电子在朗道能级之间的跃迁。电子在朗道能级之间的跃迁。利用回旋共振可以研究利用回旋共振可以研究Si，Ge等半导体材料导带等半导体材料导带底和价带顶附近的有效质量。底和价带顶附近的有效质量。*0mqB对对n型型Si的回旋共振实验结果是：的回旋共振实验结果是：（）当（）当B沿沿111晶轴方向时，只能观察到晶轴方向时，只能观察到个个吸收峰；吸收峰；（）当（）当B沿沿110

22、晶轴方向时，可以观察到晶轴方向时，可以观察到个个吸收峰；吸收峰；（）当（）当B沿沿100晶轴方向时，可以观察到晶轴方向时，可以观察到2个个吸收峰；吸收峰；（）当（）当B沿任意方向时，可以观察到沿任意方向时，可以观察到3个个吸收峰。吸收峰。只有假设硅的导带底在只有假设硅的导带底在100方向，等能面是旋转椭球面，方向，等能面是旋转椭球面，才能解释上面的实验结果。才能解释上面的实验结果。7.5 德德. 哈斯范哈斯范. 阿尔芬效应阿尔芬效应 1930年德年德. 哈斯和范哈斯和范. 阿尔芬在低温下强磁场中研究铋单阿尔芬在低温下强磁场中研究铋单晶的的磁化率，发现了晶的的磁化率，发现了磁化率随磁场变化而呈现

23、出振荡磁化率随磁场变化而呈现出振荡，而，而且发现如果不是对磁场而是且发现如果不是对磁场而是对磁场的倒数作图对磁场的倒数作图，则可以清晰，则可以清晰的看到的看到磁化率的变化呈周期性结构磁化率的变化呈周期性结构，有时还可能有两个以至，有时还可能有两个以至更多的周期。更多的周期。 磁化率随磁场的倒数周期性振荡的现象称为德磁化率随磁场的倒数周期性振荡的现象称为德. 哈斯范哈斯范. 阿尔芬效应。阿尔芬效应。 后来发现，电导率、比热容等物理量也有类似的振荡现象，后来发现，电导率、比热容等物理量也有类似的振荡现象，这些这些现象同金属费米面附近电子在强磁场中的行为有关现象同金属费米面附近电子在强磁场中的行为有

24、关。一、二维自由电子气模型一、二维自由电子气模型没有外磁场时，对自由电子气有没有外磁场时，对自由电子气有mkkE2)(220)21( nEn k取值在一个平面内（设为取值在一个平面内（设为kx-ky面），面），当加有恒定外磁场时，能量本征值为一系列朗道能级当加有恒定外磁场时，能量本征值为一系列朗道能级 朗道能级是高度简并的，每一朗道能级包含量子态的数朗道能级是高度简并的，每一朗道能级包含量子态的数目等于原来连续谱中能量间隔目等于原来连续谱中能量间隔 内的态的数目。内的态的数目。00210230250211027029朗道能级的简并度朗道能级的简并度加磁场前加磁场后加磁场前加磁场后二维电子气的能

25、态密度二维电子气的能态密度能量小于等于能量小于等于E的电子所占的相体积的电子所占的相体积mELmELdpdxdydpyx2)2(22212mL 222h单位能量间隔的相体积为单位能量间隔的相体积为每相格体积为每相格体积为能态密度为能态密度为22222222422)(mLmLhmLEN0间隔内的量子态数为间隔内的量子态数为22222022qBLmqBmLmL计入自旋，则量子态数为计入自旋，则量子态数为即一个朗道能级所包含的量子态数目即一个朗道能级所包含的量子态数目DqBL2朗道能级的简并度与朗道能级的简并度与B有关，由于总的量子态的数目是一定的，有关，由于总的量子态的数目是一定的，因此，随着因此

26、，随着B的变化，电子填充的能级将发生变化，系统的能的变化，电子填充的能级将发生变化，系统的能量将随量将随B发生变化。这就是德发生变化。这就是德. 哈斯范哈斯范. 阿尔芬效应产生的物阿尔芬效应产生的物理机制。理机制。+1+1+1+1甲乙丙丁甲乙丙丁 B逐渐减小逐渐减小2变化的周期变化的周期设磁感应强度为设磁感应强度为B1时，第时，第能级恰好完全填满能级恰好完全填满NqLBNqBL21121,NqLBNqBL2222) 1(1,) 1(磁感应强度为磁感应强度为B2时，第时，第+1能级恰好完全填满能级恰好完全填满)2( ,2)1(222LNSSqNqLBFF上述两种情况都对应系统能量的极小值，周期为

27、上述两种情况都对应系统能量的极小值，周期为二、三维自由电子气模型二、三维自由电子气模型mkkE2)(22022)21(2nmkEz没有外磁场时，没有外磁场时，当加有恒定外磁场时，能量本征值为当加有恒定外磁场时，能量本征值为在磁场方向在磁场方向kz取值是准连续的，在与磁场垂直的平面内能取值是准连续的，在与磁场垂直的平面内能量是量子化的，在量是量子化的，在k空间形成一系列圆柱面。空间形成一系列圆柱面。对于确定的对于确定的n，相当于一维情况，相当于一维情况，若若z方向的长度为方向的长度为L，能量小于，能量小于E的相体积为的相体积为21)2(2zkxmELdxdp2121)2(zkEmLE附近单位能量间隔的相体积为附近单位能量间隔的相体积为21212)2()(zzzkkkEmLEN但是对于各个不同的但是对于各个不同的n，还要考虑其自身的简并度，还要考虑其自身的简并度D，系统总的态密度为系统总的态密度为21021)21(2)2()(nnEmLDEN00)21(n能量的增量与能量的增量与EF0和的相对位置有关，当改变和的相对位置有关，当改变B时，时，将发生变化，态密度峰值能量位置发生变化，将发生变化，态密度峰值能量位置发生变化，每当和每当和EF0重合时，能量增量最大。重合时，能量增量最大。0)21(n0)21(n