《光学信息处理》课件：2.2 透镜的傅立叶变换性质.ppt

1、薄透镜的定义透镜的相位变换作用透镜的傅立叶变换特性定义1：透镜的作用上看任一光线入射到透镜上，若入射点坐标（x，y）与出射点坐标(x,y)相同，则为薄透镜定义2：设透镜两个球面曲率半径R1、R2透镜中心厚度为0入射点的坐标为（x，y），出射点坐标为(x,y)，当0 R1、R1时，则认为透镜为薄透镜对于薄透镜，要求能够达到用厚度代替实际计算光程，而并不引起明显的位相偏差透镜主要作用有两种：透镜主要作用有两种：成像成像（光瞳）（光瞳） 相位变换相位变换 透镜透镜 相位变换作用相位变换作用 傅里叶变换的条件傅里叶变换的条件 ),( ),(),(21 yxT yxUyxU1112222L211( ,

2、)( , )expi( , )( , )( , )expi( , )( , )expi( , ) ( , )( , )-( , )LLU x yA x yx yUx yA x yx yATx yx yx yx yx yA透镜前透镜前透镜后透镜后透过率函数透过率函数( , )expi( , ) 20 2LDa x yx yrD rD透镜直径透镜直径22yxr2、透镜的相位变换作用、透镜的相位变换作用无吸收、反射能量损耗无吸收、反射能量损耗),(iexp),(1/),(12yxyxTAAyxaLLP 透镜将平面波变成球面透镜将平面波变成球面波波zt0OQQtLLt1t2r2r1( x , y )导

3、出透镜位相变换函数导出透镜位相变换函数22yx 2( , )( , )LiQQix yT x yee102120012()QQtn ttttn ttt0 0012(1)()n tntt)(1(2),(21000ttntnyxL傍轴近似条件下透镜前后两段空气隙厚度傍轴近似条件下透镜前后两段空气隙厚度 1222221112ryx)yx(rrt2222222222ryx)yx(r)r(t透镜相位透镜相位变换函数变换函数第一项第一项 不随坐标不随坐标 而变化常相位项而变化常相位项可略去可略去 0 02/n t( , )x y)(11)(1(),(22210yxrrnyxL012111(1)()nfrr

4、22()2Lk xyf 结论：结论：在傍轴条件下理想薄透镜的相位变换函数具有在傍轴条件下理想薄透镜的相位变换函数具有纯二次型的相位因子。纯二次型的相位因子。入射光波通过薄透镜后，原波面上的各入射光波通过薄透镜后，原波面上的各点都发生相位延迟点都发生相位延迟2)(exp),(22fyxikyxT远离中心的远离中心的Q点相位延迟点相位延迟221,( , )0( , )( , )exp()2P x ykU x yP x yjxyf透镜内考虑透镜的孔径有限，引入，其他则透镜的相位变换因子可表示为1221( , )1( , )( , ) ( , )exp()2U x ykU x yU x y t x y

5、jxyf单位平面波入射在傍轴近似下，经过透镜后的复振幅分布例例 设入射平面波振幅为设入射平面波振幅为A，并将，并将L平面处相位取作零，平面处相位取作零，则经透镜后出射光波的复振幅为：则经透镜后出射光波的复振幅为： 2)(exp),(22fyxikAyxTAEL(1) 会聚会聚透镜透镜0f 表示中心在光轴上距透镜表示中心在光轴上距透镜 处的处的发散球面波发散球面波f 表示中心在光轴上距透镜为表示中心在光轴上距透镜为 处处会聚球面波会聚球面波f 0f (2) 发散发散透镜透镜讨讨 论论透镜前物光波函数透镜前物光波函数物体后的物光物体后的物光假设透镜的孔径为无穷大，通过透镜后的光场为假设透镜的孔径为

6、无穷大，通过透镜后的光场为 菲涅尔衍射积分菲涅尔衍射积分入射平面波振幅入射平面波振幅( , )llET x y E 0000000002exp0dydxyyxxdiky,xEdiex,yEikdl)()()()(22 f)yx(ik)y, x(E)y, x( Ell2exp22)y,x(tA)y,x(E00000yxyxy0 x0d0f物体放在透镜前的傅里叶变物体放在透镜前的傅里叶变换换3、透镜的傅立叶变换性质、透镜的傅立叶变换性质透镜后表面到后焦面即输出面的传播透镜后表面到后焦面即输出面的传播 菲涅尔衍射积分菲涅尔衍射积分0()220000000( )exp(1)( )(,)exp2 ()d

7、 d2ik fdFdx xy yeikEx ,yxyt xyixyifffff 0()22000exp(1)( ) (,)2 ik fddeikxyt xyi fffF接收屏接收屏上振幅上振幅分布分布代入代入 El、E0、交换积分秩序、作相应的积分变换变换、交换积分秩序、作相应的积分变换变换dxdyfyyfxxiyxfikyxEyxfikfiedxdyyyxxfikyxEfie,yxElikflikfF -22)()()( )()(2exp)(2exp),( )(2exp2exp,2222 物平面位于透镜前表面物平面位于透镜前表面00d 2200( ,)exp( ) (,)2ikfFeikEx

8、 yxyt xyi ffF接收接收屏上屏上振幅振幅分布分布 物平面位于透镜和输出平面之间物平面位于透镜和输出平面之间 2200exp( )2( ,) (,)FikxyfdEx yt xyi ddF相干平面波照明物平面相干平面波照明物平面-透镜后焦面上光场透镜后焦面上光场的复振幅分布正比于物函数的傅立叶变换和的复振幅分布正比于物函数的傅立叶变换和一个二次相位因子的乘积一个二次相位因子的乘积 输出面上光场的复振幅分布和物函数的准确输出面上光场的复振幅分布和物函数的准确傅里叶变换相比傅里叶变换相比-产生了相位弯曲产生了相位弯曲 xyyLdfFx物在透镜后的傅里叶变物在透镜后的傅里叶变换换注意：注意：二次相位因子对强度的计算没有影响二次相位因子对强度的计算没有影响 2200( )( ,) (,)FI PEx yt xyF透镜后焦面上光强分布是物函数的傅里叶变换的模的透镜后焦面上光强分布是物函数的傅里叶变换的模的平方。平方。 用单色平行光照射透镜前焦平面的图象（用单色平行光照射透镜前焦平面的图象（物函数物函数） 可在透镜后焦平面上得到该图象的可在透镜后焦平面上得到该图象的傅里叶频谱傅里叶频谱 后焦面上的衍射光强代表了物函数的后焦面上的衍射光强代表了物函数的功率谱功率谱。结结 论论