福建省泉州市2022届高三数学三检及答案.pdf

1、高三数学试题 第 1页(共 12 页)泉州市泉州市 2022 届高中毕业班质量监测（三）届高中毕业班质量监测（三）2022.03高三数学高三数学参考答案（选择题）参考答案（选择题）本试卷共本试卷共 22 题，满分题，满分 150 分，共分，共 6 页页。考试用时考试用时 120 分钟分钟。一一、选择题选择题：本题共本题共 8 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 40 分分。在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一项是只有一项是符合题目要求的。符合题目要求的。1 若集合1Ax x，2Bx x ，则AB R ABRC2,1D2,1【命题意图】本小题主要考查集合的交集、补集运算等

2、基础知识；考查运算求解能力；体现基础性，导向对发展数学运算核心素养的关注【试题解析】解法一：因为2Bx x ，所以 2,+ )B R，所以 2,1)AB R，故选 D.解法二：由2A 且2B ，得2AB R ，排除 A,C；又由1A，得1ABR ，排除B，故选 D.【试题评析】解题关键在于读懂集合相关符号语言的含义.2.已知向量3,1a =，1,3b =，且abab，则的值为A2B1C1D2【命题意图】本小题主要考查向量的坐标表示、向量的运算及其几何意义等基础知识；考查运算求解等能力；考查数形结合思想；体现基础性与综合性，导向对发展数学运算、直观想象、逻辑推理等核心素养的关注【试题解析】解法一

3、（坐标法） ：(4, 4)ab，(3, 13 )ab，由 0abab得16160，即1，故选 C解法二：利用22|aa，由 0abab得：22(1)0aba b，所以16160，即1，故选 C保密使用前高三数学试题 第 2页(共 12 页)解法三（验证法） ：对 A： 22223480abababab =，错误；对 B： 222320abababab =，错误；对 C： 22 0ababab，正确，故选C.解法四（数形结合法） ：如右图知OACB为菱形，所以OCAB，即abab，所以1，故选 C.【试题评析】平面向量问题的处理，从代数运算入手和从几何图形入手两个途径并重，各有利弊，可视具体问题

4、灵活选择.3 已知双曲线2222:10,0 xyCabab的焦距为2 5，点2,1P在C的一条渐近线上，则C的方程为A2214yx B2214xyC22331205xyD221164xy【命题意图】本小题主要考查双曲线的方程、渐近线等基础知识；考查逻辑推理、运算求解等能力；渗透函数与方程、化归与转化等数学思想；体现基础性，导向对发展逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养的关注【试题解析】解法一：由已知22 5c ，则5c ，又12ba，且222bac，所以2,1ab.则C的方程为2214xy，故选 B.解法二：由已知22 5c ，则5c ，对于 C，222553ab，对于 D，22205ba，

5、所以排除 C，D；又由点2,1P在C的一条渐近线上，坐标代入方程检验可排除 A.故选 B.【试题评析】圆锥曲线的方程与基本性质，属于必考的基础知识，应作为必得分试题处理.46211xxx的展开式中7x的系数为A5B6C7D15高三数学试题 第 3页(共 12 页)【命题意图】本小题主要考查二项式定理、计数原理等基础知识；考查逻辑推理能力和运算求解能力；考查化归与转化等数学思想；体现基础性、综合性，导向对发展数学运算、逻辑推理等核心素养的关注【试题解析】解法一：展开式中含7x的项为:215067766(61)5xC xx C xxx，所以7x的系数为 5，故选 A.解法二：因为65231111x

6、xxxx，所以展开式中含7x的项为314755xC xx,所以7x的系数为 5，故选 A.5 已知圆锥SO的底面半径为1，若其底面上存在两点,A B，使得90ASB，则该圆锥侧面积的最大值为A2B2C2 2D4【命题意图】本题考查圆锥的轴截面、侧面积等有关基础知识；考查运算求解等能力；考查数形结合思想；体现基础性与综合性，导向对发展数学运算、直观想象、逻辑推理等核心素养的关注【试题解析】解法一：设圆锥的母线长为 (1)l l .如图，作圆锥SO的轴截面SAC，由题意得90ASCASB，所以222242ACSASCl，即12l ，所以2Srll圆锥侧，故选 A解法二：设圆锥的母线长为 (1)l

7、l 如图，作出圆锥的轴截面SAC，由题意得90ASC，所以4590ASO，则2sin12rASOl，即12l ，所以2Srll圆锥侧，故选 A解法三：设圆锥的母线长为 (1)l l . 因为90ASB，所以2ABl，且OAOBAB，即22rl，所以12l ，所以2Srll圆锥侧，故选 A高三数学试题 第 4页(共 12 页)解法四：设圆锥的母线长为 (1)l l 所以Srll圆锥侧取最大值时，母线取最大值，轴截面顶角取最小值. 由圆锥底面上存在两点,A B，使得90ASB，知轴截面顶角最小值为90，此时母线长为2，圆锥侧面积为2.6.已知函数 sin04f xx在0,2有且仅有一个零点，则的值

8、可以是A1B3C5D7【命题意图】本小题主要考查三角函数的图象和性质、三角函数的周期等基础知识；考查逻辑推理；考查函数与方程、转化与化归、数形结合等数学思想；体现基础性与综合性，导向对发展逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养的关注【试题解析】解法一：函数 sin04f xx，当02x时，4424x，因为 f x在0,2上有且仅有一个零点，所以224，解得3722，故选 B解法二： sin04f xx是由sin0yx向左平移8T所得由已知 f x在0,2有且仅有一个零点，则11112828TT，即3 27 2828，所以3722，故选 B解法三：当1时，由sin04x，可得4xkk Z，所以在

9、区间0,2没有零点，当3时，由sin 304x，可得123kxk Z，所以在区间0,2有且仅有一个零点，故选 B.另外当5时， f x的周期22T，故 f x在0,2的零点至少有两个，舍去.【试题评析】本题是检测核心素养的典型试题. 体现对弦型曲线特征的整体把握，整体上把握图象特征，结合理性思维，才能找到问题解决的突破口.高三数学试题 第 5页(共 12 页)7 已知函数2( )axxf xbc，若3log31bac，则A( )( )( )f af bf cB( )( )( )f cf bf aC( )( )( )f bf af cD( )( )( )f bf cf a【命题意图】本小题主要考

10、查基本初等函数的图象、运用函数单调性比较数的大小等基础知识；考查逻辑推理、运算求解；考查数形结合、转化与化归等数学思想；体现基础性、综合性和应用性，导向对发展直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养的关注【试题解析】解法一(特值法)：令3c 得27a ，1b ,2( )axxf xbc的对称轴为1254bax ，所以2bbcaa,因为( )f x在,2ba单调递增，所以( )( )( )f bf cf a，故选 D.解法二：作函数3logyx，3xy ，yx的图像，易得直线1yc与函数的交点的横坐标分别为, ,a b c，如图所示，由图知01bca ，因为3log1a ，所以3a ，所以2bbc

11、aa，下同解法一8 1883 年，德国数学家康托提出了三分康托集，亦称康托尔集. 右图是其构造过程的图示，其详细构造过程可用文字描述为：第一步，把闭区间0 1 ，平均分成三段，去掉中间的一段，剩下两个闭区间103，和213，；第二步，将剩下的两个闭区间分别平均分为三段， 各自去掉中间的一段，剩下四段闭区间：109，2 19 3，2 73 9，819，；如此不断的构造下去，最后剩下的各个区间段就构成了三分康托集.若经历n步构造后，20212022不属于剩下的闭区间，则n的最小值是A7B8C9D10【命题意图】本小题主要考查集合、数列递推等基础知识；考查抽象概括与运算求解能力；考查数据处理能力、应

12、用意识等；体现基础性、综合性与应用性，导向对发展数学高三数学试题 第 6页(共 12 页)运算、数学建模、数据分析等核心素养的关注【试题解析】解：由题意可知，构造过程中每一步剩下的最右边的闭区间依次为213，819，所以第n步构造后，剩下的最右边的区间段为1113n，若1202111120223n，且202111120223n，即112021111320223nn ，即33log 2022log 20221n，因为*nN，所以7n 经历第 7 次构造后，最右侧的两个闭区间为67121133，和71113，且77112320223，7722021111320223 ，即20212022不属于剩下

13、的任何闭区间，故选 A二二、选择题选择题：本题共本题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分。在每小题给出的选项中在每小题给出的选项中，有多项符合题目有多项符合题目要求。全部选对的得要求。全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分。分。9.已知点M在直线:43l yk x上，点N在圆22:9O xy上，则下列说法正确的是A点N到l的最大距离为8B若l被圆O所截得的弦长最大，则43k C若l为圆O的切线，则k的取值范围为70,24D若点M也在圆O上，则O到l的距离的最大值为3【命题意图】本小题主要考查直线与圆的方程、直线与圆的位

14、置关系等基础知识；考查逻辑推理、运算求解；考查函数与方程、数形结合、转化与化归等数学思想；体现基础性、综合性和应用性，导向对发展直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养的关注【试题解析】解：易知直线l过定点(3,4)P，如图所示：对 A： 点O到直线l的距离的最大值为22|345OP ， 所以点N到l的最大距离为|538OPr ，故选项 A 正确；对 B：若l被圆O所截得的弦长最大，则直线l过圆心O，即高三数学试题 第 7页(共 12 页)0403k，所以43k ，故选项 B 正确；对 C：若l为圆O的切线，则圆心O到直线l的距离2| 34|31kdk，解得724k ，故选项C 错误； 【或由0

15、k ，直线为4y ，显然不与圆O相切，故选项 C 错误.】对 D：若点M也在圆O上，则l与圆O相交或相切，当l与圆O相切时，O到l的距离的最大值为半径3，故选项 D 正确；故选 ABD.10设1z，2z为复数，则下列命题正确的是A若12| 0zz，则12zzB若12| |zz，则2212zzC若120zz，则21zzD若120z z ，则10z 或20z 【命题意图】本小题主要考查复数的概念、复数的表示方法、复数的模和复数的复数的运算等基础知识；考查逻辑推理、运算求解；考查数形结合、转化与化归等数学思想；体现基础性和综合性，导向对发展直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养的关注【试题解析】解：

16、 对 A：设1izab，2izcd，则12i(i)()izzabcdacbd，若2212|()()0zzacbd，则ac且bd，所以12zz，故 A 正确；【另解：若12| 0zz，由运算的几何意义知12zz，对应的点重合，故12zz.】对 B：取11z ，2iz ，则12| | 1zz，此时211z，221z ，2212zz，故 B 错误；对 C：取11iz ，2iz ，则1210zz ，此时21zz，故选项 C 错误；对 D：设1izab，2izcd，则12(i)(i)()iz zabcdacbdadbc，若120z z ，则0,0,acbdadbc得,acbdadbc 所以22a cdb

17、 cd ，若00cd且，则显然成立，此时20z ；若00cd且，则易得0ab，此时10z ；高三数学试题 第 8页(共 12 页)若00cd且，即得10z ；若00cd且，得22ab ，则0ab，此时10z ，故选项 D 正确.【另解：因为1212|z zzz，所以，若120z z ，则1| 0z 或2| 0z ，故10z 或20z ，故 D 正确.】故选 AD11某校高三 1 班 48 名物理方向的学生在一次质量检测中，语文成绩、数学成绩与六科总成绩在全年级中的排名情况如下图所示， “”表示的是该班甲、乙、丙三位同学对应的点.从这次考试的成绩看，下列结论正确的是A该班六科总成绩排名前 6 的

18、同学语文成绩比数学成绩排名更好B在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是语文C数学成绩与六科总成绩的相关性比语文成绩与六科总成绩的相关性更强D在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其六科总成绩名次靠前的学生是甲【命题意图】本小题主要考查统计图表、相关关系等基础知识；考查读图、识图、用图的能力以及逻辑推理能力；体现基础性、综合性和创新性，导向对发展数据分析、逻辑推理等核心素养的关注【试题解析】解：对 A：该班总成绩排名前 6 的同学即为年级前 100 名的同学，数学成绩都在前 200 名，而语文成绩比较离散，有 2 个是前 200 名，剩下 4 位同学都在 200 名之后，且有 1 位同

19、学的语文成绩大约是 400 名，故选项 A 错误；对B： 由右图丙同学六科总成绩是400500的三位同学中靠前的一位， 其语文成绩在250300名，对应左图找通过六科总成绩找到丙同学，其数学成绩排名大约是 400 名，所以丙同学语文成绩靠前，故选项 B 正确；对 C：由散点图可知，数学成绩与总成绩的分布呈左下到右上的趋势，且在一条直线附丙甲乙高三数学试题 第 9页(共 12 页)近，语文成绩与总体成绩比较分散，故选项 C 正确；对 D：由左图知甲同学总成绩排名是在 100110 名，由总成绩排名可在右图找到甲同学对应的点，其语文成绩大约是 50 名，所以甲同学语文成绩靠前.同理，由左图知乙同学

20、的总成绩排名是在 240250 名，可在右图找到乙同学对应的点，其语文成绩大约是 250 名，故选项 D 正确；故选 BCD.12. 已知函数( )f x的定义域为0 ，且满足2210,1 ,( )log31,2 ,xxf xxx， ，当2x时， 2f xf x，为非零常数，则下列说法正确的是A当1 时，21log 804fB当0时，( )f x在10,11单调递增C当1 时，( )f x在*0 4nnN，的值域为2122,nnD当0，且1时，若将函数12( )xg x与( )f x的图象在*0 2nnN，的m个交点记为,iix y(12 3)im， ， ， ，则211mniiixyn【命题意

21、图】本小题主要考查分段函数、函数的值域、函数的单调性、函数的周期性、函数图象的变换、等比数列的前n项和等基础知识；考查逻辑推理、运算求解；考查数形结合、转化与化归等数学思想；体现基础性、综合性和创新性，导向对发展直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养的关注【试题解析】解：对 A：当1 时， 2f xf x ，则 42f xf xf x ，所以，当2x时，( )f x满足 4f xf x.因为222log 64log 80log 128，即26log 807，所以222log 80log 804log 5fff2log 52f 25log4f ，因为25log0,14，所以2log 80f25l

22、og4f 25log421 14 ，故选项 A 错误；高三数学试题 第 10页(共 12 页)对 B：当0时，( )f x在0,1的单调性与( )f x在2 ,21nn *nN的单调性相同，因为( )f x在0,1单调递增，所以( )f x在10,11单调递增，故选项 B 正确.对 C：由 2f xf x得，242( )f xf xf x，则24( )nf xnf x.因为1 ， 如图可知，( )f x在01 ，和*41,41nnnN单调递增，在*43,41nnnN单调递减.当*0 4xnn，N时，min( )f x2(1)(41)(414(1)nfnfnn 22(3)nf21(1)nf21n

23、；max( )f x2(1)(43)(434(1)nfnfnn22(1)nf22n.所以( )f x在*0 4nnN，的值域为2122,nn，故选项 C 正确.对 D：由图像可知，12( )xg x与( )f x的图象在*0 2nnN，有n个交点，且21ixi，1iiy，1,2,3in，因为0，且1，所以数列 ix是等差数列，数列 iy是等比数列.所以111mnniiiiiiixyxy(121)121nnn211nn，故选项 D 错误.故选 BC.高三数学试题 第 1页(共 12 页)泉州市泉州市 2022 届高中毕业班质量监测（三）届高中毕业班质量监测（三）2022.03高三数学高三数学参考

24、答案（填空题）参考答案（填空题）本试卷共本试卷共 22 题，满分题，满分 150 分，共分，共 6 页页。考试用时考试用时 120 分钟分钟。三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。13若sin21cos213，则tan【命题意图】本小题主要考查二倍角公式、三角恒等变换等基础知识；体现基础性，导向对发展数学运算、直观想象等核心素养的关注【试题解析】解：因为22sin22sincos2sincostancos212cos2cos11，所以1tan314写出一个满足1f x 为偶函数，且在0,单调递增的函数 f x .【命题意图】本小题主

25、要考查函数奇偶性、函数单调性等基础知识；考查抽象概括；体现基础性、应用性和开放性，导向对发展逻辑推理、数学抽象等核心素养的关注【试题解析】解： 21f xx或 1f xx或 12xf x或 ln1f xx或 11xxf xee（答案不唯一）15已知抛物线2:4E yx的焦点为F，准线为l，过F的直线m与E交于,A B两点，AF的垂直平分线分别交l和x轴于,P Q两点若AFPAFQ ，则|AB 【命题意图】本小题主要考查抛物线的方程、定义、焦点弦长公式、平面几何的性质等基础知识；考查数形结合、转化与化归等数学思想；体现基础性、综合性和创新性，导向对发展直观想象、数学运算等核心素养的关注【试题解析

26、】解：因为AF的垂直平分线交l于点P，所以| |PFPA，且AFPPAF ；又AFPAFQ ，所以PAFAFQ ，所以PAx轴，即APl，保密使用前高三数学试题 第 2页(共 12 页)由抛物线的定义得| |PAAF，所以PAF为等边三角形所以60PAFAFQ 解法一：所以直线m的方程为31yx.设11,A x y，22,B xy.由231 ,4 ,yxyx消去y整理得231030 xx，由韦达定理，得12103xx，所以1216|23ABxx.解法二：设l和x轴交于点G，过B作BCl于点C，作BDAP于点D.在PGFRt中，| 2GF ，60PFG，所以| | | 4PFPAAF.因为| |

27、 |BFBCPD，所以| | | 4 |ADPAPDPABFBF .在ABDRt中，| 2|ABAD，即4 | 2 4 |BFBF，所以4|3BF .故16| |3ABAFBF.解法三：由二级结论112|AFBFp得，1114|BF，所以4|3BF .故16| |3ABAFBF.解法四：由二级结论，得222416|sinsin 603pAB.【注：答案写成153者，也是对的，但写成小数5.333者，不能得分.】16已知三棱锥ABCD的所有顶点都在球O的球面上，ABACDBDC，24ADBC，则球O的表面积的最小值为【命题意图】本小题考查球的有关基础知识；考查空间想象、推理论证、运算求解等能力；

28、考查数形结合、化归与转化等思想；体现基础性与综合性，导向对发展直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养的关注【试题解析】解：设, E F分别为BCAD，的中点，连结, , , AE DE BF CF.由已知，ABDB，ACDC，BCBC得ABCDBC.因为E是BC中点，所以AEDE，又因为AFDF，所以EFAD，高三数学试题 第 3页(共 12 页)即直线EF是线段AD的垂直平分线.同理，ABAC，BDDC，ADAD得ABDACD.因为F是AD中点，所以BFCF，又因为BEDE，所以EFBC，即直线EF是线段BC的垂直平分线. 由知，球心O在直线EF上，设球O的半径为R，则2,4,OBOCBCO

29、AODAD即22,24,RR即2R，当且仅当O是AD中点时，2R ，所以球O的表面积的最小值为2416SR.高三数学试题 第 1页(共 26 页)17 （10 分）在平面四边形ABCD中，1AB ，3BC ，60B，30ACD（1）若213AD ，求ADC；（2）若BDCD，求ACD的面积.【命题意图】本小题主要考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式和三角恒等变换等基础知识；考查抽象概括、逻辑推理、运算求解等能力；考查数形结合思想、函数与方程思想；体现基础性，导向对发展逻辑推理、数学运算等核心素养的关注【试题解析】（1）法一：在ABC中，由余弦定理，得2222cosACABBCAB BCABC

30、，2 分即21192 1 372AC ，所以7AC .3 分在ACD中，由正弦定理，得sinsinADACACDADC，4 分即2173sin30sinADC，所以3sin2ADC，所以60ADC或120. 5 分法二：在ABC中，由余弦定理，得2222cosACABBCAB BCABC， 2 分即21192 1 372AC ，所以7AC .3 分在ACD中，由余弦定理，得2222cosADACCDAC CDACD，即233 21140CDCD，所以213CD 或2 213CD .当213CD 时，CDAD，此时30ACDDAC ，所以1803030120ADC.4 分当2 213CD 时，2

31、22CDADAC，此时90DAC，所以180309060ADC.5 分综上60ADC或120. 5 分高三数学试题 第 2页(共 26 页)法三：在ABC中，由余弦定理，得2222cosACABBCAB BCABC， 2 分即21192 1 372AC ，所以7AC .3 分在ACD中，由余弦定理，得2222cosADACCDAC CDACD，即233 21140CDCD，所以213CD 或2 213CD .在ACD中，由余弦定理，得,222cos2ADCDACADCAD CD所以777133cos1423ADC 或7287133cos2823ADC4 分所以60ADC或120.5 分【补充说

32、明】本小题答案具有开放性。因调控难度需要，没有在开放性答案的选择上另行设置给分点. 若考生没讲理由，直接舍去60答案者，扣 1 分，直接舍去120答案者，扣 1 分；有指出理由（如认为平面四边形一般指的是凸四边形）才舍去60答案者，不论在解题过程中的哪个地方指出，均不扣分.【说理样例】 （默认平面四边形一般指的是凸四边形）当60ADC时，90DAC，又由179cos02 17BAC ，知90BAC，从而180BADBACDAC ，不符合题意，舍去.故120ADC.（2）法一：设ACB.在ABC中，由正弦定理，得71sin60sin，所以21sin14.6 分又ABBC，所以为锐角，因此25 7

33、cos1sin14，7 分所以3121coscos30cossin227BCD . 8 分设E为线段BC中点，连接DE.因为BDCD，故DEBC，32CE ，所以3212cos2217CECDBCD.9 分因此17 3sin3028ACDSAC CD .10 分法二：设ACB.在ABC中，由正弦定理，得2222cosABBCACBC AC，6 分数字代入求解得5 7cos14， 7 分下同法一.高三数学试题 第 1页(共 26 页)18 （12 分）体育课程的实施可以有效地促进学生身体的正常发育，提高身体的健康水平.某校对高一年男生进行1000 米测试，经对随机抽取的 100 名学生的成绩数据

34、处理后，得到如下频率分布直方图：（1）从这 100 名学生中，任意选取 2 人，求两人测试成绩都低于 60 分的概率；（2）从该校所有高一年男生中任意选取 3 人，记 70 分以上的人数为，求的分布列和期望；（3）从样本频率分布直方图中发现该校男生的 1000 米成绩近似服从2,N ，已知样本方差2116 44s.，高一年男生共有 1000 人，试预估该校高一年男生 1000 米成绩在 89.2 分以上的人数附：116 4410 8.若2,N ，则0 6826 .PX，220 9544 .PX【命题意图】本小题主要考查样本数字特征、古典概型、二项分布、正态分布等基础知识；考查逻辑推理、运算求解

35、；考查样本估计总体的统计思想；体现基础性、综合性和应用性，导向对发展数据分析、数学建模、逻辑推理、数学运算等核心素养的关注【试题解析】解： （1）由频率分布直方图知，测试成绩低于 60 分的频率为(0.0010.002) 100.03， 1 分共有0.03 100=3人，设事件A表示 “从这 100 名学生中，任意选取 2 人，两人测试成绩都低于 60 分” ，则 232100311009916502CP AC.3 分【说明：列式 232100CP AC1 分，计算得116501 分，未交代事件A，回扣 1 分.】（2）由频率分布直方图知，测试成绩在 70 分以上的频率为4(0.0400.02

36、20.018) 105，高三数学试题 第 2页(共 26 页)用样本的频率估计总体的概率，4 分【说明：未写“用样本的频率估计总体的概率” ，不得此分.】则可判定，,B n p（其中3n ，45p ） ，5 分所以随机变量的分布列为：0033411(0)( ) ( )55125PC，11234112(1)( ) ( )55125PC，22134148(2)( ) ( )55125PC，33034164(3)( ) ( )55125PC， 7 分7 分【说明：2 个或 3 个正确得 1 分，4 个正确得 2 分.】随机变量的分布列也可列表表示为：0123P11251212548125641257

37、 分所以随机变量的数学期望为 412355Enp.8 分（3） 由样本的频率分布直方图得样本平均数为450.01550.02650.17750.40850.22950.18x 9 分45100.02200.17300.40400.22500.18450.23.4128.8978.4，以样本估计总体，得78.4.且由2116 44s.且116 4410 8.，可得10.8.因为78.410.889.2，10 分所以10.682689.20.15872P ， 11 分所以10000.1587158.7159， 12 分即预估跑步成绩在 89.2 分以上的人数为 159 人. 12 分高三数学试题

38、第 1页(共 26 页)19 （12 分）已知数列 na满足12121111nnnaaaaaaa.（1）求 na的通项公式；（2）在ka和*1kakN中插入k个相同的数11kk，构成一个新数列 nb：1234,1, 2, 2,3,3,3,aaaa，求 nb的前100项和100S【命题意图】本小题主要考查等差数列的定义、等差数列前n项和公式及递推数列等基础知识；考查抽象概括与运算求解能力；考查化归与转化思想思想体现基础性与综合性，导向对发展数学运算等核心素养的关注【试题解析】解： （1）因为12121111nnnaaaaaaa.，当2n 时，11212111111nnnaaaaaaa.，1 分，

39、得11nnnnaaaa，所以11nnaa， 3 分又1n 时，11111aaa，即12a ，4 分所以数列 na是以2为首项，1为公差的等差数列，所以2111nann . 5 分（2） 法一：设插入的所有数构成数列 nc.因为1231278，78 1391 100，123121391，91 14105100，所以，12100,b bb中包含 na的前13项及 nc的前87项， 8 分所以10012131287()()Taaaccc9 分2222223141234111213 9132141231213 92 11 分【各 1 分】13 8 13 613 9143 .12 分高三数学试题 第 2

40、页(共 26 页)（2） 法二：根据数列 nb的构造规律，可知 nb中等于ka的项之前，有插入的123(1)k项和原数列 na中的前1k 项，故 nb中的ka，即 nb的第(1)2k k 项，即(1)2k kkba.7 分因为13 1414 1510022，所以，12100,b bb中包含 na的前13项及 nc的前87项， 8 分所以10012131287()()Taaaccc9 分2222223141234111213 9132141231213 9211 分13 8 13 613 9143 .12 分（2） 法三：设ka和插入的k个数11kk构成一组数，则前k组数共有1322k kk k

41、k个， 6 分令31002k k ，解得12k ，当12k 时有312 159010022k k ， 7 分所以 nb的前100项中包含前12组数和第13组数的前10个， 8 分所以22210012111213(1)(2 )(11 )(12 )(13 9)Saaaaa2222223141234111213 910 分132141231213 9211 分13 8 13 613 9143 .12 分高三数学试题 第 1页(共 26 页)20 （12 分）如图，多面体ABCEF中，ABAC，BFCE，D为BC的中点，四边形ADEF为矩形（1）证明：BE CE；（2）若2AB ，120BAC，当三棱

42、锥EBCF的体积最大时，求二面角ABFE的余弦值【命题意图】 本小题主要考查线面垂直的判定与性质、 二面角的求解及空间向量的运算与应用等基础知识；考查空间想象能力、推理论证及运算求解能力；考查数形结合思想、化归与转化思想等；体现基础性、综合性与应用性，导向对发展逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养的关注【试题解析】解法一：（1）因为四边形ADEF为矩形，所以ADDE因为ABAC，D为BC的中点，所以ADBC因为DEBCD，, DE BC 平面BCE，所以AD 平面BCE1 分又四边形ADEF为矩形，所以ADFE，所以FE 平面BCE， 2 分又EC 平面BCE，所以FECE 3 分又BFCE

43、，BFFEF，所以CE 平面BEF 4 分又BE 平面BEF，所以BECE5 分（2）因为2AB ，120BAC，在ADBRt中，112ADAB，3BD ，所以2 3BC 由（1）知FE 平面BCE，所以E BCFFBCEVV13BCESEF，.6 分【体积公式】E BCFF BCEVV16BE CE22112CEBE21112BC，高三数学试题 第 2页(共 26 页)当且仅当6BECE时，等号成立，即三棱锥EBCF的体积最大.7 分【基本不等式】又DBDC，所以DEBC又ADBC，ADDE，所以，以D为坐标原点，分别以, , DA DB DE 为, , x y z轴的正方向建立空间直角坐标

44、系，8 分则所以(1, 0, 0)A，(0, 3, 0)B，C(0, 3, 0)， (0, 0, 3)E， (1, 0, 3)F，所以( 1, 3, 0)AB ，(0, 0, 3)AF ，(1, 0, 0)EF ，(0, 3, 3)EB ， 9 分设平面ABF的法向量为111( , , )xyzu，平面BEF的法向量为222(, , )xyzv，由0,0,ABAF uu得11130,30,xyz令11y ，得( 3, 1, 0)u， 10 分由0,0,EBEF vv得222330,0,yzx令21y ，得(0, 1, 1)v， 11 分设二面角ABFE的大小为)2 （，则|2cos| |4 u

45、 vuv，12 分即当三棱锥EBCF的体积最大时，二面角ABFE的余弦值为24.12 分解法二：（1） 同解法一. 5 分（2）因为2AB ，120BAC，在ADBRt中，112ADAB，3BD ，所以2 3BC 由（1）知FE 平面BCE，所以E BCFFBCEVV13BCESEF，.6 分【体积公式】E BCFF BCEVV16BE CE22112CEBE21112BC，当且仅当6BECE时，等号成立，即三棱锥EBCF的体积最大.7 分【基本不等式】以E为坐标原点，以, , EFEC EB 分别为, , x y z轴的正方向建立空间直角坐标系，.8 分所以66(1, , )22A，(0,

46、0 6)B， (0, 0, 0)E， (1, 0, 0)F，所以66( 1, , )22AB ，66(0, , )22FA ，9 分高三数学试题 第 3页(共 26 页)易知平面BEF的法向量为(0, 1, 0)v， 10 分设平面ABF的法向量为( , , )x y zu，由00ABAF uu得2660,0,xyzyz，令1y 得(6, 1, 1) u，11 分设二面角ABFE的大小为)2 （，则|2cos| |4 u vuv， 12 分即当三棱锥EBCF的体积最大时，二面角ABFE的余弦值为24. 12 分解法三：（1）同解法一. 5 分（2）因为2AB ，120BAC，在ADBRt中，1

47、12ADAB，3BD ，所以2 3BC 由（1）知FE 平面BCE，所以E BCFF BCEVV13BCESEF，.6 分【体积公式】E BCFFBCEVV16BE CE22112CEBE21112BC，当且仅当6BECE时，等号成立，即三棱锥EBCF的体积最大.7 分【基本不等式】设二面角ABFE的大小为)2 （.由E ABFB AEFVV得点E到平面ABF的距离为13322AEFABFSBDEF BDdSAB， 8 分又点E到直线BF的距离/6 14277BE EFdBF，9 分所以/3142sin4427dd，10 分高三数学试题 第 4页(共 26 页)所以22cos|cos|1sin

48、4，即2cos4 ，故当三棱锥EBCF的体积最大时，二面角ABFE的余弦值为24.12 分【又点E到直线BF的距离/6 14277BE EFdBF，9 分所以/3142sin4427dd，10 分所以22cos|cos|1sin4，即2cos4 ，故当三棱锥EBCF的体积最大时，二面角ABFE的余弦值为24.12 分】高三数学试题 第 1页(共 26 页)21 （12 分）已知点110F ，210F，M为圆O：224xy上的动点，延长1FM至N，使得1| |MNMF，1FN的垂直平分线与2F N交于点P，记P的轨迹为（1）求的方程；（2）过2F的直线l与交于A B,两点，纵坐标不为0的点E在直

49、线4x 上，线段OE分别与线段AB，交于C，D两点，且2| |ODOCOE，证明：| |ACBC【命题意图】本小题主要考查椭圆的定义、标准方程，直线与椭圆的位置关系等基础知识；考查运算求解能力，逻辑推理能力，直观想象能力和创新能力等；考查数形结合思想，函数与方程思想，化归与转化思想等；考查直观想象，逻辑推理，数学运算等核心素养；体现基础性，综合性与创新性【试题解析】解法一：（1）连结MO，1PF因为1FN的垂直平分线交2F N于点P，所以1| |PFPN所以1222| | |PFPFPNPFNF 1 分在12NFF中，1| |MNMF，12| |FOOF，所以2| 2| 4NFOM，即1212

50、| 4 |PFPFFF. 2 分所以点P的轨迹是以1F，2F为焦点，长轴长为4的椭圆.3 分由已知11,0F ，21,0F，故的方程为22341xy. 4 分（2） 因为2| |ODOCOE，即|ODOEOCOD，即|DECDxxxx，5 分由已知，显然0Cx ，且4Ex ，所以24DCxx.6 分（i） 当直线l的斜率不存在时，即直线l：1x .这时1Cx ，2Dx ，24DCxx显然不成立.高三数学试题 第 2页(共 26 页)（ii） 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为1yk x，11,A x y，22,B xy.由221 ,1,43yk xxy消去y，整理得22224384120k