量子力学第7章-周世勋课件.ppt

1、原子中的电流和磁矩原子中的电流和磁矩（1 1）原子中的电流密度）原子中的电流密度*2enlmnlmnlmnlmiJeJe11sinreeerrr 球坐标系中球坐标系中 由于由于 的径向波函数的径向波函数和和 与有关的函数部分与有关的函数部分 都是实函数，所以都是实函数，所以代入上式后必然有：代入上式后必然有：( )( , )nlmnlnllmN Rr Y lmRrcosmlP0rjj21|siner rnlmemJjej ej ej eer 212 |2sinnlmieimr21|sinnlmemrimimeime1*2sinnlmnlmnlmnlmiejr（2 2）轨道磁矩）轨道磁矩 是绕是

2、绕 z z 轴的环电流密度，所以通过截面轴的环电流密度，所以通过截面 d d 的电流元为：的电流元为：JedIJ dsj dsJ rd drz d rdrd r sin d j xzyor2232sinsinzedMrdIr Jd dr drdremnlm22sin rnlmzdrdremM0022sin则总磁矩（沿则总磁矩（沿z z轴方向）是：轴方向）是： rnlmddrdrem002022sin22em波函数已归一由此求得一园周电流的磁矩由此求得一园周电流的磁矩关于磁矩关于磁矩几点讨论几点讨论：2zBemMmCTJmeeB/10274. 9224玻尔磁子玻尔磁子 由上式可以看出，磁由上式可

3、以看出，磁矩与矩与 有关，这就是把有关，这就是把 称为磁量子数的原由。称为磁量子数的原由。mm 对对s s态，态， ，磁矩，磁矩 ，这是由于电流为，这是由于电流为零的缘故。零的缘故。0l 0zM 由上面的由上面的磁矩磁矩表达式表达式2zzzMMemCL 是轨道角动量的是轨道角动量的 分量。上式比值称为分量。上式比值称为回转回转磁比值磁比值（轨道回转磁比），或称为（轨道回转磁比），或称为 g g 因子。取因子。取(e/2C) (e/2C) 为单位，则为单位，则 g = -1g = -1。记。记mz称为称为轨道角动量磁矩轨道角动量磁矩LCeML 2 记记前言前言1.未考虑粒子的自旋特征，微观粒子都

4、有自旋特征。未考虑粒子的自旋特征，微观粒子都有自旋特征。2.仅考虑了单粒子体系，实际粒子体系一般是多粒仅考虑了单粒子体系，实际粒子体系一般是多粒子体系。子体系。前面的理论尚有两方面的局限前面的理论尚有两方面的局限: 电子的自旋特征电子的自旋特征具有自旋特征粒子的波函数具有自旋特征粒子的波函数多粒子体系多粒子体系实际应用实际应用主主要要研研究究内内容容 7.1 电子自旋电子自旋 Electron spin 7.2 电子自旋算符与自旋波函数电子自旋算符与自旋波函数 Electron spin operator and spin wave function 7.3 简单塞曼效应简单塞曼效应 Simp

5、le Zeeman effect 7.4 两个角动量的耦合两个角动量的耦合 Coupling of two angular momentum 7.5 光谱的精细结构光谱的精细结构 Fine structure of the spectrum 7.6 全同粒子的性质全同粒子的性质 The characterization of similar particles 7.7 全同粒子系统的波函数全同粒子系统的波函数 泡利原理泡利原理 The wave function of similar particle system Pauli principle 7.8 两个电子的波函数两个电子的波函数 Th

6、e spin wave function of two electrons讲授内容讲授内容Stern-Gerlach实验实验7.1 7.1 电子自旋电子自旋基态氢原子在非均匀磁场中基态氢原子在非均匀磁场中Conclusion:磁矩平行或反平行于外加磁场磁矩平行或反平行于外加磁场M (Magnetic moment) parallel or anti-parallel to B (Magnetic field) Problem：Where does the M come from?乌仑贝克乌仑贝克. . 哥德斯米脱假设哥德斯米脱假设 （1 1）每个电子具有自旋角动量每个电子具有自旋角动量 ，它在

7、空间任意方，它在空间任意方向的取值只能有两个向的取值只能有两个 。S2zSSeMS（SI） SceMS （CGS）在任意方面在任意方面上的投影上的投影BszMeM2（SI） BszMceM2（CGS） （2 2）每个电子具有自旋磁矩）每个电子具有自旋磁矩 ，它与自旋角动量的它与自旋角动量的关系是关系是SM回旋磁比率：回旋磁比率：eSMzsz（SI）ceSMzsz（CGS） 轨道磁矩与轨道角动量的关系：轨道磁矩与轨道角动量的关系：LeMl2（SI）LceMl2（CGS） 自磁矩是轨道磁矩的两倍自磁矩是轨道磁矩的两倍 （ 玻尔磁子玻尔磁子） BM2l zzMeL （SI）2lzzMeLc （CGS

8、）7.2 7.2 电子的自旋算符和自旋函数电子的自旋算符和自旋函数1 自 旋 算 符 为了描述电子的自旋特性，引入一个厄米算为了描述电子的自旋特性，引入一个厄米算符符 来表征电子的自旋角动量来表征电子的自旋角动量 。SS注意注意：自旋角动量自旋角动量是电子内部是电子内部的一种的一种固有特性，固有特性，在经典理论中没有对应量，也不同于一般的力学量，在经典理论中没有对应量，也不同于一般的力学量，它不能表示为坐标和动量的函数。它不能表示为坐标和动量的函数。 是是自旋自旋角动量，应满足角动量算符的普遍对角动量，应满足角动量算符的普遍对易关系易关系SSSi SyyxxzxyzzyzxyyxSiSSSSS

9、iSSSSSiSSSS自旋角动量平方算符自旋角动量平方算符 2222xyzSSSS平方分量间的对易关系平方分量间的对易关系2,0SS(,)xy z000222222SSSSSSSSSSSSzzyyxx 由于在空间任意方向上的投影只有两个取值由于在空间任意方向上的投影只有两个取值，所以所以 、 、 的本征值是的本征值是 2xSySzS的本征值的本征值都是都是 42222xyzSSS、22224xyzSSS即即222xyzSSS2222243zyxSSSS2S的本征值的本征值 若将若将自旋角动量自旋角动量本征值表示为角动量本征值表示为角动量本征值本征值的的一般形式一般形式:2.自旋算符的本征值自旋

10、算符的本征值3 3 泡 利 算 符 泡 利 算 符22(1)Ss ss s为自旋量子数为自旋量子数1()2s szmS 为为“磁磁”量子量子数数sm1()2sm 为了讨论问题方便，引入泡利算符为了讨论问题方便，引入泡利算符2S 222xxyyzzSSS对 易 关 系对 易 关 系2iyzxxzxyzzyzxyyxiii222泡利算符泡利算符平方算符平方算符22222xyz2,02,2,2,000 xyz32222zyx2的本征值的本征值1222zyx2xxS本 征 值本 征 值xyz的本征值都是的本征值都是 11x2xS Prove)(21)(21yzzyyyyzzyxyyxiiyzyzyyz

11、yzyi21220000yxxzyzzyxyyx反反对易关系对易关系, 04 4自旋算符的矩阵表示自旋算符的矩阵表示自旋算符在自旋算符在 、 表象中的矩阵形式，可根据表象中的矩阵形式，可根据算符的一般理论，算符在其自身表象中为对角矩算符的一般理论，算符在其自身表象中为对角矩阵，矩阵元就是其本征得到：阵，矩阵元就是其本征得到：2SzS10012zS1001z现在来研究现在来研究 、 的矩阵形式的矩阵形式xydcbadbca*故有故有 aa *dd *cb *（a a, , d d 必为实数）必为实数）dbbax*xx由由 设设 的矩阵形式为的矩阵形式为xdcbax*10100101ababbdb

12、d 则则 0a0d00*bbx而而 22*2001 0| |0000 10| |xbbbbbb *20002abababdbdd 再由再由 得到得到0zxxz1|2b0110 x1 2yzxxyi 1 00 10 11 0011011 01 001022iiii 取取 1b泡 利泡 利 矩 阵矩 阵0110 x1001z0 11 02xS002iiSy10012zS自 旋 算 符 矩 阵自 旋 算 符 矩 阵00yii5 . 自 旋 函 数自 旋 函 数 电子既然有自旋，则其波函数就应考虑自旋量子电子既然有自旋，则其波函数就应考虑自旋量子数数 （构成力学量完全集合的力学量数目为（构成力学量完全

13、集合的力学量数目为4 4个），个），波函数表示为波函数表示为zS( , , , , )zx y z s t写成矩阵形式，为二行一列矩阵写成矩阵形式，为二行一列矩阵12( , , , , )2( , , , )2x y ztx y zt 2101211220这两种情况的物理意义：这两种情况的物理意义：221*11112(,0)0 22*2122220(0,) 时刻，时刻， 处找到自旋处找到自旋 的电子的几率密度。的电子的几率密度。tzyx,2zS 时刻，时刻， 处找到自旋处找到自旋 的电子的几率密度的电子的几率密度 tzyx,2zS222121*2*121)(1)(222121*2*1dddd归

14、一化条件：21d2ZS 在整个空间发现电子自旋的几率22d 是是 时刻，时刻， 处找到电子的几率密度处找到电子的几率密度tzyx,2在整个空间发现电子自旋的几率ZS 在一般情况下，自旋和轨道运动之间有相互作在一般情况下，自旋和轨道运动之间有相互作用，因而电子的自旋状态对轨道运动有影响，这通用，因而电子的自旋状态对轨道运动有影响，这通过过 中的中的 和和 是是 的不同函数来体现。的不同函数来体现。12zyx,( , , )( , , )()zzx y z Stx y z tS()zS121211( )0201()12 当电子的自旋和轨道运动相互作用小到可以忽当电子的自旋和轨道运动相互作用小到可以

15、忽略时，略时， 和和 对空间位置的依赖关系是一样的，对空间位置的依赖关系是一样的，这时可引入自旋函数这时可引入自旋函数1()zS2自旋算符的本征值方程自旋算符的本征值方程2223()(1)()()4SSSmzmzmzSSS SSS1122112211220(1 0)011(1 0)100(0 1)11 1( ,)2 自旋函数的正交归一性自旋函数的正交归一性对自旋求平均：对自旋求平均： 2122211211*2*1GGGGGG对坐标和自旋同时求平均对坐标和自旋同时求平均 dGG将将 表示为二行二列矩阵表示为二行二列矩阵 G22211211GGGGG任意一个算符 的平均值G)1()()(2SSSz

16、mzsmzmzSSmSS 7.3 7.3 简单塞曼效应简单塞曼效应考虑氢原子和类氢原子在磁场中的情况考虑氢原子和类氢原子在磁场中的情况在无外磁场的情况下，体系的定态在无外磁场的情况下，体系的定态Schrdinger方程方程 rzeHs222)0(2)()(22222rErres本征函数本征函数： ),()()(lmnlnlmYrRr nlmnlnlmErH)()0(本征能量：氢原子本征能量：氢原子 （仅与（仅与 有关）有关）nEE n由由2P2P态跃迁到态跃迁到1S1S态的跃迁频率态的跃迁频率/ )(10210EE在有强磁场的情况下（忽略自旋与轨道运动的相在有强磁场的情况下（忽略自旋与轨道运动

17、的相互作用能）磁场引起的附加能量互作用能）磁场引起的附加能量SSSLBSLceBMMU22)( （与 有关）ln,nlEE 类氢原子类氢原子 B取的取的 方向为方向为 轴方向，则轴方向，则zSzzBSLceU)2(2定态定态SchrSchrdingerdinger方程方程ESLceBrezzss)2(22222本征函数：本征函数： ( ,)SSnlmmnlmmr SSSznlmmnlmmnlmmLmmSSsznlmmSnlmmSnlmmSmmSBcSIBBCGS（ ）（）代入以上方程，写成代入以上方程，写成SSSnlmmnlmmnlmmsSsEmmcBere)2(222222本征能量本征能量：

18、 )2(2SSnlnlmmmmcBeEES) 1(221mcBeEEsnlnlm当当 时时 2zS21Sm,讨论讨论) 1(221mcBeEEsnlnlm当 时 2zS21Sm,1当原子处在 态时， ，ns0l0mcBeEEsnn202100cBeEEsnn2021000nE2100nE2100nE 由于电子存在自旋，原子处在磁场中，原来的能级 分裂为两条，正如斯特恩革拉赫实验中所观察到的。0nE22P态1S态的跃迁情况1S态的能级 cBeEEs21021100cBeEEs210211002P态的能级 1, 0, 1, 1, 2mln21211212121212102121212112) 10

19、(2) 11 (2EEcBeEcBeEEcBeEcBeEEsssscBeEcBeEEcBeEceBEEEEssss2121211212121212102121211)11(22)10(2ab c1m0m1m0m2zSabc1m0m1m0m2zSS1P2无磁场有 磁 场2P1S2P1S跃迁频率跃迁频率21212121 mlnnlmmlnnlmEEEE由此和选择定则由此和选择定则知知 0cBes20即即2P1S2P1S跃迁频率可取三个值跃迁频率可取三个值1l1, 0 m0zS,cBeccbbcBeaass2,2,000谱线频率谱线频率谱线频率abc1m0m1m0m2zSabc1m0m1m0m2zS

20、7.6 7.6 全同粒子的特征全同粒子的特征固有性质相同的粒子称为全同粒子 例：电子、质子、中子、超子、重子、轻子、微子同类核原子、分子 固有性质指的是：质量、电荷、自旋同位旋、宇称、奇异数1.全同粒子 例如：在电子双缝衍射实验中，考察两个电子，无法判别哪个电子通过哪条缝，也无法判别屏上观察到的电子，哪个是通过哪条缝来的，也无法判别哪个是第一个电子，哪个是第二个电子2不可区分性 经典力学中，两物体性质相同时，仍然可以区分，因各自有确定轨道。 微观体系（粒子），因为运动具有波粒二象波粒二象性，无确定轨道，在位置几率重迭处就不能区分是哪个粒子。3全同性原理由于全同粒子的不可区分性，在全同粒子所组成

21、的系统中，任意两个全同粒子相互交换（位置等），不会引起系统状态的改变。 全同性原理是量子力学中的基本原理之一，也称基本假设之一。几率分布不变： 2121)()(tqqqqtqqqNijji费米子和费米子和玻玻色子：色子：费米子：费米子：自旋为自旋为 奇数倍的粒子称为费米子。如电子、奇数倍的粒子称为费米子。如电子、质子、中子等粒子，自旋均为质子、中子等粒子，自旋均为 ，它们均为费米子。，它们均为费米子。 22玻色子：玻色子：自旋为自旋为 的整数倍的粒子称为玻色子。如介子、的整数倍的粒子称为玻色子。如介子、 光子的自旋分别为光子的自旋分别为O O或或 ，它们均为玻色子。，它们均为玻色子。 玻色子服从玻色玻色子服从玻色爱因斯坦统计，其波函数是对爱因斯坦统计，其波函数是对称的。称的。 费米子系统服从费米费米子系统服从费米狄拉克统计，其波函数是狄拉克统计，其波函数是反对称的反对称的。 泡利不相容原理：泡利不相容原理：费米系统中，两个费米子不能处费米系统中，两个费米子不能处 于同一个状态于同一个状态