1、相平面相平面相平面x-v坐标平面),(vxFdxdvmv相轨迹在相平面上的一条曲线相点质点在某一时刻的状态对应 相平面上的一个点一维简谐振子运动的相轨迹一维简谐振子运动的相轨迹n系统的运动微分方程kxxm 初始条件：00, 0vxxxtn引入新变量 方程可写成xvvxdxdv2mk2解方程解方程vxdxdv2n方程的通解cxv222n初始条件00, 0vvxxt20220222xvxv方程的一个特解相平面图相平面图有阻尼质量弹簧系统的相轨迹有阻尼质量弹簧系统的相轨迹n系统的运动微分方程xckxxm vnvxdxdv22xvmk2mcn2方程的解方程的解n讨论小阻尼情况n积分得到相轨迹方程)2e
2、xp(200222xnxvarctgnCxnvxv2220n相平面图相平面图保守力作用下质点的平衡位置保守力作用下质点的平衡位置及其稳定性及其稳定性n以单摆为例以单摆为例sinmglml n能量积分能量积分Emglmlcos2122相平面图相平面图二维运动二维运动n以有心力问题为例ErVrrmyxVyxmVT)()(21),()(212222202)(LmrxyyxmL相轨迹位于二维曲面上相轨迹位于二维曲面上ErVmrLmpr)(22220202)(22202mrLrVEmpr2202)(222rLrmVmEmpr庞加莱庞加莱Poincar面面n如：取 的oypr平面n与相轨迹交截，记录交截点
3、在平面上的位置。n若相轨迹是闭合的，在环面上绕有一匝 在Poincar面上留下一个相点面上留下一个相点n如如若相轨迹不闭合，在环面上绕有无穷多圈在Poincar面上留下相点有无穷多个，可形成面上留下相点有无穷多个，可形成一闭合曲线一闭合曲线0 x注意：两个完全不同的概念注意：两个完全不同的概念n质点的运动轨道n质点的相轨道埃农黑尔斯势问题埃农黑尔斯势问题n简化的星体势模型322231)(21),(yyxyxyxV质点的运动微分方程质点的运动微分方程nm=12) 1()21 (xyyyVyyxxVx 相轨迹在相轨迹在Poincar面上的图形面上的图形质点的运动轨道质点的运动轨道正则变换正则变换q
4、HppHqQHPPHQ*),.,.,(2121tpppqqqQQss),.,.,(2121tpppqqqPPsss , 3 , 2 , 11.定义定义正则变换的条件2.母函数dUdtHHdQPdqps1*)()(证明证明),(tqpHH),(*tQPHH),(pq),(PQ设分别满足正则方程例题1 用正则变换求平面谐振子的运动用正则变换求平面谐振子的运动)(21222121ctgQyctgQxmU已知：母函数已知：母函数设平面谐振子沿设平面谐振子沿ox和和oy运动，质量为运动，质量为m振动频率分别为振动频率分别为 1、 2，总结若已知某一力学体系),(tpqHqHppHq),(pq),(PQQHPPHQ*好的正则变换好的正则变换),(tqpHH),(*tQPHH),(*tPHH0*PPHQ母函数母函数U作用变量、角变量和不变环面),(21*sJJJHHH),(PQ),(J),(021IIIJHHJ0)0(tIJJs , 3 , 2 , 1s , 3 , 2 , 1作用变量的定义dqpJs , 3 , 2 , 1积分是对力学系统的一个周期进行。几何意义例题n一维简谐振子2222qkmpHn母函数cot21),(2qkmqU变换cotqkmqUp22csc21qkmUJJmkpqHJH),(),(*mkJHHJ*00tIJKAM定理定理力学系运动的映射特性力学系运动的映射特性
