1、一、带电粒子在有界匀强磁场中的运动一、带电粒子在有界匀强磁场中的运动1.直线边界直线边界 从某一直线边界射入的粒子，再从这一边界射出时，速度与边界的夹角相等，如图1所示.图图12.平行边界平行边界(如图2)图图23. 圆形边界圆形边界 (1)在圆形磁场区域内，沿半径方向射入的粒子，必沿半径方向射出，如图3甲所示. (2)在圆形磁场区域内，不沿半径方向射入的粒子，射入速度与半径方向的夹角为，射出速度与半径的夹角也为，如图乙所示.图图3考向考向1直线边界的磁场直线边界的磁场图图4例例1如图4所示，直线MN上方存在着垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场，质量为m、电荷量为q(q0)的粒子1在纸
2、面内以速度v1v0从O点射入磁场，其方向与MN的夹角30；质量为m、电荷量为q的粒子2在纸面内以速度v2 v0也从O点射入磁场，其方向与MN的夹角60.已知粒子1、2同时到达磁场边界的A、B两点(图中未画出)，不计粒子的重力及粒子间的相互作用.求：(1)两粒子在磁场边界上的穿出点A、B间的距离d；考向考向1直线边界的磁场直线边界的磁场图图4例例1如图4所示，直线MN上方存在着垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场，质量为m、电荷量为q(q0)的粒子1在纸面内以速度v1v0从O点射入磁场，其方向与MN的夹角30；质量为m、电荷量为q的粒子2在纸面内以速度v2 v0也从O点射入磁场，其方向与M
3、N的夹角60.已知粒子1、2同时到达磁场边界的A、B两点(图中未画出)，不计粒子的重力及粒子间的相互作用.求：(1)两粒子在磁场边界上的穿出点A、B间的距离d；解析解析两粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的轨迹如图所示，两粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的轨迹如图所示，(2)两粒子进入磁场的时间间隔两粒子进入磁场的时间间隔t.(2)两粒子进入磁场的时间间隔两粒子进入磁场的时间间隔t.考向考向2圆形边界的磁场圆形边界的磁场例例2在以坐标原点在以坐标原点O为圆心、半径为为圆心、半径为r的圆形的圆形区域内，存在磁感应强度大小为区域内，存在磁感应强度大小为B、方向垂直、方向垂直于纸面向里的匀强磁场，如图于纸
4、面向里的匀强磁场，如图5所示所示.一个不计一个不计重力的带电粒子从磁场边界与重力的带电粒子从磁场边界与x轴的交点轴的交点A处处以速度以速度v沿沿x方向射入磁场，它恰好从磁场边方向射入磁场，它恰好从磁场边界与界与y轴的交点轴的交点C处沿处沿y方向飞出方向飞出.图图5考向考向2圆形边界的磁场圆形边界的磁场例例2在以坐标原点在以坐标原点O为圆心、半径为为圆心、半径为r的圆形的圆形区域内，存在磁感应强度大小为区域内，存在磁感应强度大小为B、方向垂直、方向垂直于纸面向里的匀强磁场，如图于纸面向里的匀强磁场，如图5所示所示.一个不计一个不计重力的带电粒子从磁场边界与重力的带电粒子从磁场边界与x轴的交点轴的
5、交点A处处以速度以速度v沿沿x方向射入磁场，它恰好从磁场边方向射入磁场，它恰好从磁场边界与界与y轴的交点轴的交点C处沿处沿y方向飞出方向飞出.图图5(2)若磁场的方向和所在空间范围不变，而磁若磁场的方向和所在空间范围不变，而磁感应强度的大小变为感应强度的大小变为B，该粒子仍从，该粒子仍从A处以相处以相同的速度射入磁场，但飞出磁场时的速度方向同的速度射入磁场，但飞出磁场时的速度方向相对于入射方向改变了相对于入射方向改变了60角，求磁感应强度角，求磁感应强度B的大小；此次粒子在磁场中运动所用时间的大小；此次粒子在磁场中运动所用时间t是多少？是多少？(2)若磁场的方向和所在空间范围不变，而磁若磁场的
6、方向和所在空间范围不变，而磁感应强度的大小变为感应强度的大小变为B，该粒子仍从，该粒子仍从A处以相处以相同的速度射入磁场，但飞出磁场时的速度方向同的速度射入磁场，但飞出磁场时的速度方向相对于入射方向改变了相对于入射方向改变了60角，求磁感应强度角，求磁感应强度B的大小；此次粒子在磁场中运动所用时间的大小；此次粒子在磁场中运动所用时间t是多少？是多少？二、带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界问题二、带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界问题解决带电粒子在磁场中运动的临界问题的关键，通常以题目中的解决带电粒子在磁场中运动的临界问题的关键，通常以题目中的“恰恰好好”“最大最大”“至少至少”等为突破口，寻找
7、临界点，确定临界状态，根据磁场边等为突破口，寻找临界点，确定临界状态，根据磁场边界和题设条件画好轨迹，建立几何关系求解界和题设条件画好轨迹，建立几何关系求解.(1)刚好穿出或刚好不能穿出磁场的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹刚好穿出或刚好不能穿出磁场的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切与边界相切.(2)当以一定的速率垂直射入磁场时，运动的弧长越长、圆心角越大，则当以一定的速率垂直射入磁场时，运动的弧长越长、圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中的运动时间越长带电粒子在有界磁场中的运动时间越长.(3)当比荷相同，速率当比荷相同，速率v变化时，圆心角越大的，运动时间越长变化时，圆心角越大的，运
8、动时间越长.例例3如图如图6所示，真空中狭长区域内的匀强磁场的磁感应强度为所示，真空中狭长区域内的匀强磁场的磁感应强度为B，方向，方向垂直纸面向里，区域宽度为垂直纸面向里，区域宽度为d，边界为，边界为CD和和EF，速度为，速度为v的电子从边的电子从边图图6界界CD外侧沿垂直于磁场方向射入磁场，入射方向外侧沿垂直于磁场方向射入磁场，入射方向与与CD的夹角为的夹角为，已知电子的质量为，已知电子的质量为m、带电荷、带电荷量为量为e，为使电子能从另一边界，为使电子能从另一边界EF射出，电子的射出，电子的速率应满足的条件是速率应满足的条件是例例3如图如图6所示，真空中狭长区域内的匀强磁场的磁感应强度为所
9、示，真空中狭长区域内的匀强磁场的磁感应强度为B，方向，方向垂直纸面向里，区域宽度为垂直纸面向里，区域宽度为d，边界为，边界为CD和和EF，速度为，速度为v的电子从边的电子从边图图6界界CD外侧沿垂直于磁场方向射入磁场，入射方向外侧沿垂直于磁场方向射入磁场，入射方向与与CD的夹角为的夹角为，已知电子的质量为，已知电子的质量为m、带电荷、带电荷量为量为e，为使电子能从另一边界，为使电子能从另一边界EF射出，电子的射出，电子的速率应满足的条件是速率应满足的条件是解析解析由题意可知，电子从边界由题意可知，电子从边界EF射出的临射出的临界条件为到达边界界条件为到达边界EF时，速度方向与时，速度方向与EF
10、平平行，即运动轨迹与行，即运动轨迹与EF相切，如图所示相切，如图所示.由几由几何知识得：何知识得：例例4(2020全国卷全国卷)真空中有一匀强磁场，磁场边界为两个半径分别为真空中有一匀强磁场，磁场边界为两个半径分别为a和和3a的同轴圆柱面，磁场的方向与圆柱轴线平行，其横截面如图的同轴圆柱面，磁场的方向与圆柱轴线平行，其横截面如图7所示所示.一速率为一速率为v的电子从圆心沿半径方向进入磁场的电子从圆心沿半径方向进入磁场.已知电子质量为已知电子质量为m，电荷量，电荷量为为e，忽略重力，忽略重力.为使该电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内，磁为使该电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内，磁场的
11、磁感应强度最小为场的磁感应强度最小为图图7例例4(2020全国卷全国卷)真空中有一匀强磁场，磁场边界为两个半径分别为真空中有一匀强磁场，磁场边界为两个半径分别为a和和3a的同轴圆柱面，磁场的方向与圆柱轴线平行，其横截面如图的同轴圆柱面，磁场的方向与圆柱轴线平行，其横截面如图7所示所示.一速率为一速率为v的电子从圆心沿半径方向进入磁场的电子从圆心沿半径方向进入磁场.已知电子质量为已知电子质量为m，电荷量，电荷量为为e，忽略重力，忽略重力.为使该电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内，磁为使该电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内，磁场的磁感应强度最小为场的磁感应强度最小为图图7三、带电粒子在
12、有界匀强磁场中运动的多解问题三、带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，由于带电粒子电性不确带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，由于带电粒子电性不确定、磁场方向不确定、临界状态不确定、运动的往复性造成带电粒子定、磁场方向不确定、临界状态不确定、运动的往复性造成带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题在有界匀强磁场中运动的多解问题.(1)找出多解的原因找出多解的原因.(2)画出粒子的可能轨迹，找出圆心、半径的可能情况画出粒子的可能轨迹，找出圆心、半径的可能情况.考向考向1磁场方向不确定形成多解磁场方向不确定形成多解例例5(多选多选)如图如图8所示，所示，A
13、点的离子源沿纸面垂直点的离子源沿纸面垂直OQ方向向上射出一束负方向向上射出一束负离子，离子的重力忽略不计离子，离子的重力忽略不计.为把这束负离子约束在为把这束负离子约束在OP之下的区域，可加之下的区域，可加垂直纸面的匀强磁场垂直纸面的匀强磁场.已知已知O、A两点间的距离为两点间的距离为s，负离子的比荷为，负离子的比荷为 ，速，速率为率为v，OP与与OQ间的夹角为间的夹角为30，则所加匀强磁场的磁感应强度，则所加匀强磁场的磁感应强度B的大小的大小和方向可能是和方向可能是图图8考向考向1磁场方向不确定形成多解磁场方向不确定形成多解例例5(多选多选)如图如图8所示，所示，A点的离子源沿纸面垂直点的离
14、子源沿纸面垂直OQ方向向上射出一束负方向向上射出一束负离子，离子的重力忽略不计离子，离子的重力忽略不计.为把这束负离子约束在为把这束负离子约束在OP之下的区域，可加之下的区域，可加垂直纸面的匀强磁场垂直纸面的匀强磁场.已知已知O、A两点间的距离为两点间的距离为s，负离子的比荷为，负离子的比荷为 ，速，速率为率为v，OP与与OQ间的夹角为间的夹角为30，则所加匀强磁场的磁感应强度，则所加匀强磁场的磁感应强度B的大小的大小和方向可能是和方向可能是图图8考向考向2临界状态不唯一形成多解临界状态不唯一形成多解例例6(多选多选)如图如图9所示，长为所示，长为l的水平极板间有垂直纸面向里的匀强磁场，的水平
15、极板间有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为磁感应强度为B，板间距离也为，板间距离也为l，极板不带电，极板不带电.现有质量为现有质量为m、电荷量为、电荷量为q的带正电粒子的带正电粒子(不计重力不计重力)，从两极板间边界中点处垂直磁感线以速度，从两极板间边界中点处垂直磁感线以速度v水水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是图图9考向考向2临界状态不唯一形成多解临界状态不唯一形成多解例例6(多选多选)如图如图9所示，长为所示，长为l的水平极板间有垂直纸面向里的匀强磁场，的水平极板间有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为磁感应强度为B，板间距
16、离也为，板间距离也为l，极板不带电，极板不带电.现有质量为现有质量为m、电荷量为、电荷量为q的带正电粒子的带正电粒子(不计重力不计重力)，从两极板间边界中点处垂直磁感线以速度，从两极板间边界中点处垂直磁感线以速度v水水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是图图9返回1.(直线边界的磁场直线边界的磁场)(多选多选)(2020甘肃武威第六中学高三月考甘肃武威第六中学高三月考)如图如图10所示，所示，两相邻且范围足够大的匀强磁场区域两相邻且范围足够大的匀强磁场区域和和的磁感应强度方向平行、大小的磁感应强度方向平行、大小分别为分别为B和和2B.
17、一带正电粒子一带正电粒子(不计重力不计重力)以速度以速度v从磁场分界线从磁场分界线MN上某处射上某处射入磁场区域入磁场区域，其速度方向与磁场方向垂直且与分界线，其速度方向与磁场方向垂直且与分界线MN成成60角，角，图图10经过经过t1时间后粒子进入磁场区域时间后粒子进入磁场区域，又经，又经过过t2时间后回到磁场区域时间后回到磁场区域.设粒子在区域设粒子在区域、中的角速度分别为中的角速度分别为1、2，则，则A.t1 t21 1 B.t1 t22 1C.1 21 1 D.1 21 21.(直线边界的磁场直线边界的磁场)(多选多选)(2020甘肃武威第六中学高三月考甘肃武威第六中学高三月考)如图如图
18、10所示，所示，两相邻且范围足够大的匀强磁场区域两相邻且范围足够大的匀强磁场区域和和的磁感应强度方向平行、大小的磁感应强度方向平行、大小分别为分别为B和和2B.一带正电粒子一带正电粒子(不计重力不计重力)以速度以速度v从磁场分界线从磁场分界线MN上某处射上某处射入磁场区域入磁场区域，其速度方向与磁场方向垂直且与分界线，其速度方向与磁场方向垂直且与分界线MN成成60角，角，图图10经过经过t1时间后粒子进入磁场区域时间后粒子进入磁场区域，又经，又经过过t2时间后回到磁场区域时间后回到磁场区域.设粒子在区域设粒子在区域、中的角速度分别为中的角速度分别为1、2，则，则A.t1 t21 1 B.t1
19、t22 1C.1 21 1 D.1 21 22.(圆形边界的磁场圆形边界的磁场)(2020湖北荆州中学月考湖北荆州中学月考)如图如图11所示，半径为所示，半径为r的圆形的圆形空间内，存在着垂直于纸面向外的匀强磁场，一个带电粒子空间内，存在着垂直于纸面向外的匀强磁场，一个带电粒子(不计重力不计重力)，从从A点沿半径方向以速度点沿半径方向以速度v0垂直于磁场方向射入磁场中，并由垂直于磁场方向射入磁场中，并由B点射出，点射出，且且AOB120，则该粒子在磁场，则该粒子在磁场中运动的时间为中运动的时间为图图112.(圆形边界的磁场圆形边界的磁场)(2020湖北荆州中学月考湖北荆州中学月考)如图如图11
20、所示，半径为所示，半径为r的圆形的圆形空间内，存在着垂直于纸面向外的匀强磁场，一个带电粒子空间内，存在着垂直于纸面向外的匀强磁场，一个带电粒子(不计重力不计重力)，从从A点沿半径方向以速度点沿半径方向以速度v0垂直于磁场方向射入磁场中，并由垂直于磁场方向射入磁场中，并由B点射出，点射出，且且AOB120，则该粒子在磁场，则该粒子在磁场中运动的时间为中运动的时间为图图1112343.(圆形边界的磁场圆形边界的磁场)(2020辽宁省实验中学期中辽宁省实验中学期中)如图如图12所示，在圆形区域所示，在圆形区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场，内存在垂直纸面向外的匀强磁场，ab是圆的直径是圆的直径.一带电
21、粒子从一带电粒子从a点射入磁点射入磁场，速度大小为场，速度大小为v1、方向与、方向与ab成成30角时，恰好从角时，恰好从b点飞出磁场，且粒子点飞出磁场，且粒子在磁场中运动的时间为在磁场中运动的时间为t；若同一带电粒子从；若同一带电粒子从a点沿点沿ab方向射入磁场，也经时间方向射入磁场，也经时间t飞出磁场，飞出磁场，则其速度大小为则其速度大小为图图123.(圆形边界的磁场圆形边界的磁场)(2020辽宁省实验中学期中辽宁省实验中学期中)如图如图12所示，在圆形区域所示，在圆形区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场，内存在垂直纸面向外的匀强磁场，ab是圆的直径是圆的直径.一带电粒子从一带电粒子从a点射入磁
22、点射入磁场，速度大小为场，速度大小为v1、方向与、方向与ab成成30角时，恰好从角时，恰好从b点飞出磁场，且粒子点飞出磁场，且粒子在磁场中运动的时间为在磁场中运动的时间为t；若同一带电粒子从；若同一带电粒子从a点沿点沿ab方向射入磁场，也经时间方向射入磁场，也经时间t飞出磁场，飞出磁场，则其速度大小为则其速度大小为图图12解析画出两种情况下带电粒子的运动轨迹如图所示，由题意，同一粒子在磁场中偏转时间同为t，则两种情况下带电粒子的偏转角均为60；设圆的半径为R，由几何关系可以确定带电粒子在两种情况下做匀速圆周运动的半径分别为r12R，4.(带电粒子在匀强磁场中运动的临界问题带电粒子在匀强磁场中运
23、动的临界问题)如图如图13所示，直角坐标系中所示，直角坐标系中y轴轴右侧存在一垂直纸面向里、宽为右侧存在一垂直纸面向里、宽为a的有界匀强磁场，磁感应强度为的有界匀强磁场，磁感应强度为B，图图13右边界右边界PQ平行于平行于y轴，一粒子轴，一粒子(重力不计重力不计)从原点从原点O以与以与x轴正方向成轴正方向成角的速率角的速率v垂直射入磁场，当斜向上射垂直射入磁场，当斜向上射入时，粒子恰好垂直入时，粒子恰好垂直PQ射出磁场，当斜向下射入时，射出磁场，当斜向下射入时，粒子恰好不从右边界射出粒子恰好不从右边界射出.求：求：(1)粒子的比荷；粒子的比荷；4.(带电粒子在匀强磁场中运动的临界问题带电粒子在
24、匀强磁场中运动的临界问题)如图如图13所示，直角坐标系中所示，直角坐标系中y轴轴右侧存在一垂直纸面向里、宽为右侧存在一垂直纸面向里、宽为a的有界匀强磁场，磁感应强度为的有界匀强磁场，磁感应强度为B，图图13右边界右边界PQ平行于平行于y轴，一粒子轴，一粒子(重力不计重力不计)从原点从原点O以与以与x轴正方向成轴正方向成角的速率角的速率v垂直射入磁场，当斜向上射垂直射入磁场，当斜向上射入时，粒子恰好垂直入时，粒子恰好垂直PQ射出磁场，当斜向下射入时，射出磁场，当斜向下射入时，粒子恰好不从右边界射出粒子恰好不从右边界射出.求：求：(1)粒子的比荷；粒子的比荷；解析粒子在磁场中的运动轨迹如图所示，则由图知斜向上射入时有 rsin a，斜向下射入时有rsin ar，联立解得30，且r2a，由洛伦兹力提供向心力得(2)粒子恰好不从右边界射出时在磁场中运动的时间粒子恰好不从右边界射出时在磁场中运动的时间.(2)粒子恰好不从右边界射出时在磁场中运动的时间粒子恰好不从右边界射出时在磁场中运动的时间.(2)粒子恰好不从右边界射出时在磁场中运动的时间粒子恰好不从右边界射出时在磁场中运动的时间.解析解析粒子恰好不从右边界射出时在磁场中运动的圆心角为粒子恰好不从右边界射出时在磁场中运动的圆心角为2(9030)120，
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