玻色统计和费米统计课件.ppt

1、9.1 9.1 1leall1leall把把 , 和和y看作由实验确定的参量看作由实验确定的参量.1 、巨配分函数巨配分函数 llllle1 取对数为取对数为)1ln(lnlellllle)1ln(ln对对 取偏导为取偏导为lleell1le上下同乘1lnlellllaNllle12、系统的平均总粒子数、系统的平均总粒子数lnNllllllleaU13 、系统的、系统的内能内能lnUln1yY4 、广义作用力、广义作用力重要特例重要特例ln1VP（证明略）（证明略） （证明略）（证明略） yeayYlllllll15 、系统的熵统计表达式、系统的熵统计表达式由开系方程由开系方程NdYdyTdS

2、dU)(1NdYdydUTdS1/T 是是dS的积分因子的积分因子配分函数配分函数 （ ， ， y ）的全微分为）的全微分为dyydddlnlnlnln根据前面求出的已知量，可求得根据前面求出的已知量，可求得 )(NdYdydU)ln()ln1()ln(ddyyd)ln(ln)ln()(ddyydNdYdydU(拉氏乘法原理，加上一个为拉氏乘法原理，加上一个为0的项的项)lnln(ln)(dNdYdydU上式指出上式指出 是是NdYdydU的积分因子。的积分因子。 比较与)(1NdYdydUTdS令令kT1kT)(1)(NdYdydUkTNdYdydUdSk1)(NdYdydUkdS)lnln

3、(lnkddS积分得系统的熵统计表达式积分得系统的熵统计表达式)lnln(lnkS代入上式，得把)1ln(lnlelllnkS玻耳兹曼关系玻耳兹曼关系 熵与微观状态数的关系熵与微观状态数的关系6、巨热力学化学势、巨热力学化学势NTSUJ）（ln)lnln(lnlnkT巨热力势巨热力势J与巨配分函数的关系：与巨配分函数的关系：lnkTJ巨配分函数巨配分函数llllle1 其对数为其对数为)1ln(lnllle平均总粒子数平均总粒子数内能内能广义作用力广义作用力重要特例重要特例lnNlnUln1yYln1VP熵熵 )lnln(lnkSkT1kT玻耳兹曼关系玻耳兹曼关系lnkS巨热力势巨热力势lnk

4、TJ 1 1、满足经典极限条件的气体称为非简并性气体、满足经典极限条件的气体称为非简并性气体 2 2、需要用玻色分布或费米分布讨论的气体称为简并性气体、需要用玻色分布或费米分布讨论的气体称为简并性气体 其中又分为完全简并气体和弱简其中又分为完全简并气体和弱简并气体并气体 、分子的能量、分子的能量9.2.2 弱简并气体弱简并气体（不考虑分子内部结构，只有平动自由度）（不考虑分子内部结构，只有平动自由度）)(21222zyxpppm9.2.1 分类分类 在体积在体积V内，在内，在 到到 +d 的能量范围内，分子可能的的能量范围内，分子可能的 微观状态数微观状态数 dmhVgdD2/12/33)2(

5、2)(其中：其中： g由粒子可能具有自旋而引入的简并度由粒子可能具有自旋而引入的简并度 、系统的总分子数、系统的总分子数llaN1lell代入代入1)2(22/102/33edmhVg 、系统的内能、系统的内能lllaU1lelll代入代入1)2(22/302/33edmhVg下面要确定式子中的拉氏乘子下面要确定式子中的拉氏乘子 2、微观状态数、微观状态数1)2(22/102/33edmhVgN 系统的内能系统的内能1)2(22/302/33edmhVgU系统的总分子数系统的总分子数引入引入 ，且，且1)2(22/102/33xedxxmkThVgN1)2(22/302/33xedxxkTmk

6、ThVgU ，两式被积函数的分母表示为两式被积函数的分母表示为)1 (111xxxeee1e)1(,111，且只取前两项是小量，满足xxxex)1 (11xxxeee代入代入保留展开的第一项相当于将费米分布近似为玻耳兹曼分布保留展开的第一项相当于将费米分布近似为玻耳兹曼分布 现在保留两项，相当于弱简并的情形。现在保留两项，相当于弱简并的情形。 系统的内能系统的内能系统的总分子数系统的总分子数1)2(22/102/33xedxxmkThVgN1)2(22/302/33xedxxkTmkThVgU)1 (11xxxeee211 )2(2/32/32eVehmkTgN211 )2(232/52/32

7、eVkTehmkTgU两式相除两式相除2411 23eNkTU级近似取（经典极限条件），由于01eegmkThVNe1)2(2/32)2(2411 232/32mkThgVNNkTU玻耳兹曼分玻耳兹曼分布的内能布的内能微观粒子全同性原理引起的粒子微观粒子全同性原理引起的粒子统计关联所导致的统计关联所导致的附加内能附加内能在弱简并情形下附加内能的数值是小的。在弱简并情形下附加内能的数值是小的。 费米气体的附加内能为正而玻色气体的附加内能为负。费米气体的附加内能为正而玻色气体的附加内能为负。指粒子的统计关联使费米粒子间出现等效的排斥作用，玻色指粒子的统计关联使费米粒子间出现等效的排斥作用，玻色粒子

8、间则出现等效的吸引作用。粒子间则出现等效的吸引作用。 在第四章我们根据热力学理论论证过平衡辐射的内能在第四章我们根据热力学理论论证过平衡辐射的内能密度和内能密度的频率分布只与温度有关，并证明了内能密度密度和内能密度的频率分布只与温度有关，并证明了内能密度与绝对温度的四次方成正比。与绝对温度的四次方成正比。 在第八章中又根据经典统计的能量均分定理讨论过这一问在第八章中又根据经典统计的能量均分定理讨论过这一问题，所得内能的频率分布在低频范围与实验符合，在高频范围题，所得内能的频率分布在低频范围与实验符合，在高频范围与实验不符合。更为严重的是，根据能量均分定理有限温度下与实验不符合。更为严重的是，根

9、据能量均分定理有限温度下平衡辐射的内能和定容热容量是发散的，与实际不符。平衡辐射的内能和定容热容量是发散的，与实际不符。 本节根据量子统计理论，从粒子观点研究平衡辐射问题。本节根据量子统计理论，从粒子观点研究平衡辐射问题。根据粒子观点，可以把空窖的辐射场看作光子气体。根据粒子观点，可以把空窖的辐射场看作光子气体。 模型：模型： 光子的能量、动量关系：光子的能量、动量关系：具有一定的波矢具有一定的波矢k和圆频率和圆频率 的单色平面波与具有一系的光的单色平面波与具有一系的光子相应，动量子相应，动量p与波矢与波矢k，能量，能量 与圆频率与圆频率 之间遵从德布罗意关之间遵从德布罗意关系系kpCk单色平

10、面波有cp9.3.1 统计分布统计分布光子是玻色子，达到平衡后遵从玻色分布。光子是玻色子，达到平衡后遵从玻色分布。光子气体的统计分布光子气体的统计分布由于窖壁不断发射和吸收光子，光子气体中光子数是不守由于窖壁不断发射和吸收光子，光子气体中光子数是不守恒的。在导出玻色分布时只存在恒的。在导出玻色分布时只存在E是常数的条件而不存在是常数的条件而不存在N是常是常数的条件，因而只应引进一个拉氏乘子数的条件，因而只应引进一个拉氏乘子 , 令令 。1leall平衡状态下光子气体的化学势为零。平衡状态下光子气体的化学势为零。 意味着：,kTdpphV234 体积为体积为V的空窖内的空窖内,在在p到到p+dp

11、的动量范围内，自由粒子可能的动量范围内，自由粒子可能的量子态数为的量子态数为光子自旋有两个投影光子自旋有两个投影. 体积为体积为V的空窖内的空窖内, p到到p+dp的动量范围内，光子的量子态数的动量范围内，光子的量子态数(光子自旋有两个投影光子自旋有两个投影)dpphV2342cpcdpd 体积为体积为V的空窖内，在的空窖内，在 到到 +d 的圆频率范围内，光子的量子的圆频率范围内，光子的量子态数态数dcV232CdChV23)(8dChV33282hdCV332)2()(8每个量子态上的平均光子数每个量子态上的平均光子数llaN1/232TkedcVNdTU),(decVdTUTk1),(/

12、3329.3.2 辐射场的内能辐射场的内能普朗克公式普朗克公式上式所给出的辐射场内能按频率的分布与实验结果完全符合。上式所给出的辐射场内能按频率的分布与实验结果完全符合。1、低频、低频2、高频、高频1kT1kTkTekT 1/kTdcVdTU232),(decVdTUTk/332),(维恩公式维恩公式1/kTe瑞利金斯公式瑞利金斯公式10-14Hz6543210MT=2000K实验曲线和普朗克公式实验曲线和普朗克公式维恩公式维恩公式瑞利瑞利金斯公式金斯公式 普朗克公式普朗克公式所给出的辐射场内能按频率的分布与实验结果所给出的辐射场内能按频率的分布与实验结果完全符合。完全符合。 1896年得到的

13、公式，表明年得到的公式，表明U随随 的增加而迅速趋近于的增加而迅速趋近于0温度温度为为T时的平衡辐射中，高频光子几乎不存在此时窖壁发射高频时的平衡辐射中，高频光子几乎不存在此时窖壁发射高频光子的概率是极小的。光子的概率是极小的。将普朗克公式积分，得到将普朗克公式积分，得到空窖辐射内能空窖辐射内能decVUTk1/3032引入变量引入变量x= kT (kT/ )dx=d )(1)(3032dxkTexkTcVUxdxexcTVkx13033244)(1)(3032dxkTexkTcVUxdxexcTVkx13033244dxexnIxn1)(10101nkxkxedx dyeykynkn1011

14、082. 169061)4(430dxexIx4334215VTckU表明：平衡辐射的内能密度与绝对温度的四次方成正比表明：平衡辐射的内能密度与绝对温度的四次方成正比斯特藩玻耳兹曼公式斯特藩玻耳兹曼公式空窖辐射内能空窖辐射内能4aTU Vcka334215令根据普朗克公式根据普朗克公式decVUTk1/3032的变式的变式dxexcTVkUx13033244空窖辐射内能密度随空窖辐射内能密度随 的分布有一个极大值的分布有一个极大值 m m可以由可以由0)1(3xexdxd决定出来决定出来.其解为其解为822.2kTxm上式可化为上式可化为 m 与温度与温度T成正比这个结论称为成正比这个结论称为

15、822.2kTmT1 1 、巨配分函数、巨配分函数 llllle1 取对数为取对数为)1ln(lnlell令令 )1ln(lnell(光子自旋有两个投影光子自旋有两个投影) 体积为体积为V的空窖内，在的空窖内，在 到到 +d 的圆频率范围内，光子的的圆频率范围内，光子的量子态数量子态数dcVl232decV)1ln(ln2032且引入引入 )ddxexcVx)1ln()(1ln20332应用分部积分：其中dxexx)1ln(203020)1ln(31)1ln(dxedxexxx)1ln()1ln(310303xxedxexdxeexexxxx03031)1()(31)1ln(3dxexexxx

16、0303131)1ln(3dxexcVx033321)(13lndxexnIxn1)(10利用积分：dxexnIkxnk101)(dyeykynkn1011082.169061)4(430dxexIx906)(13ln4332cV332)(145lncV2、 内能内能lnU3、广义作用力、广义作用力(光子气体的光子气体的压强压强)1lnpV 4334215TcVkU2443345kpTc 比较得比较得13UpV )lnln(lnkS4、熵、熵 令令 )ln(lnkS)(lnUk33342454TcVkS光子气体的熵随光子气体的熵随T0而趋于而趋于0符合热力学第三定律的要求符合热力学第三定律的要

17、求5、辐射通量密度、辐射通量密度VUcJu44324260TckJu本节讨论简并理想玻色气体在动量空间的凝聚问题。本节讨论简并理想玻色气体在动量空间的凝聚问题。 考虑由个全同，近独立的玻色子组成的系统，温度为考虑由个全同，近独立的玻色子组成的系统，温度为T，体，体积为积为V 设粒子自旋为零，根据玻色分布，处在能级设粒子自旋为零，根据玻色分布，处在能级 l的粒子数的粒子数为为1kTlllea从上式可看出，这要求对所有能级从上式可看出，这要求对所有能级 l 均有均有1kTle0 以以 0 表粒子的最低能级，这个要求也可以表达为表粒子的最低能级，这个要求也可以表达为 显然，处在任一个能级的粒子都不能

18、取负值。显然，处在任一个能级的粒子都不能取负值。 说明：理想玻色气体的化学势必须低于粒子最低能级的能量。说明：理想玻色气体的化学势必须低于粒子最低能级的能量。如果取最低能级为能量的零点即如果取最低能级为能量的零点即 0 ， 则上式可以表为则上式可以表为0化学势化学势 由公式由公式 nVNeVkTlll11确定为温度确定为温度T及粒子数密度及粒子数密度n=N/V的函数。的函数。在粒子数密度在粒子数密度n给定的情形下，温度越低由上式确定的给定的情形下，温度越低由上式确定的 值值必然越高。必然越高。 如果将上式的求和用积分代替，可将之表达为如果将上式的求和用积分代替，可将之表达为nedmhkTl1)

19、2(22/102/33其中用了态密度的公式其中用了态密度的公式适用于热力学极限或能级适用于热力学极限或能级间距远小于间距远小于kT的情况的情况临界温度临界温度TC由下式定出由下式定出1 23 230221/()ckTdmnhe ckTx/令nedxxmkThxC1)2(22/102/33利用积分利用积分612. 22121)23(12/32/10kxkedxxI因此对给定的粒子数密度因此对给定的粒子数密度n，临界温度，临界温度TC为为3/223/2)()612. 2(2nmkTC化学势既随温度的降低而升高，当温度降到某一临界温度化学势既随温度的降低而升高，当温度降到某一临界温度TC时，时， 将

20、趋于将趋于-0。这时趋于。这时趋于。ckTe温度低于时会出现什么现象呢？温度低于时会出现什么现象呢？温度越低时，化学式温度越低时，化学式 越高，但在任何温度下越高，但在任何温度下 必是负的必是负的化学势既随温度的降低而升高，化学势既随温度的降低而升高，T TC时，时， 仍趋于仍趋于-0。改写为改写为nedmhTnclkT1)2(2)(2/102/330nedmhclkT1)2(22/102/33第一项：第一项： n0(T)是温度为是温度为T时处在能级时处在能级 的粒子数密度，的粒子数密度，第二项：第二项： 处在激发能级处在激发能级 的粒子数密度的粒子数密度n ，将积分代替求和时所产生的误差不可

21、以忽略时，将积分代替求和时所产生的误差不可以忽略时，,/kTx令得代入上式将,1)2(22/102/33nedxxmkThxC计算第二项：计算第二项：1)2(22/102/330kTedmhn1)2(22/102/33xedxxmkTh3 20/CTnnT kTx/令利用积分利用积分612. 22121)23(12/32/10kxkedxxI处在激发能级处在激发能级 的粒子数密度的粒子数密度带回到将2/30CTTnnnedmhTnclkT1)2(2)(2/102/330nTTnTnC2/30)(2/301)(CTTnTn 温度为温度为T时处在能级时处在能级 0的粒子数密度的粒子数密度 在在TC

22、以下，以下，n0与与n具有相同的量级，具有相同的量级， n0随温度的变化如图随温度的变化如图所示所示 表明：在表明：在T TC时宏观量级的粒子在时宏观量级的粒子在能级能级 0凝聚凝聚1.01.00.80.80.60.60.40.40.20.2n0/nT/TC0在绝对零度下，粒子尽可能占据能量最低的状态。在绝对零度下，粒子尽可能占据能量最低的状态。 对于玻色粒子，一个个体量子态所能容纳的粒子数目不受对于玻色粒子，一个个体量子态所能容纳的粒子数目不受限制。绝对零度下，玻色粒子将全部处在限制。绝对零度下，玻色粒子将全部处在 0的最低能级。的最低能级。 在在T TC时宏观量级的粒子在能级时宏观量级的粒

23、子在能级 0凝聚。这一现象称为凝聚。这一现象称为，简称，简称 TC称为凝聚温度。凝聚称为凝聚温度。凝聚在在 0的粒子集合称为玻色凝聚体。的粒子集合称为玻色凝聚体。 凝聚体不但能量为零；动量也为零，对压强没有贡献。由凝聚体不但能量为零；动量也为零，对压强没有贡献。由于凝聚体的的微观状态完全确定，熵也为零。于凝聚体的的微观状态完全确定，熵也为零。Ketterle在钠原子气中实在钠原子气中实现的现的BEC玻色玻色-爱因斯坦凝聚爱因斯坦凝聚仿真仿真在在T TC时，理想玻色气体的内能是处在能级时，理想玻色气体的内能是处在能级 0的粒子的粒子能量的统计平均值能量的统计平均值 1)2(22/302/33kT

24、edmhVU1)()2(22/302/52/33xedxxkTmhVkTx/令利用积分利用积分341. 1431431)25(12/52/30kxkedxxI2/3770. 0CTTNkTU定容热容量为定容热容量为VVTUC)(2/3925. 125CTTNkTU 表明：在表明：在TkT1kTee1e非简并性条件金属中自由电子气体是高度简并的金属中自由电子气体是高度简并的9.5.4 温度为温度为T时时, 处在能量为处在能量为 的一个量子态上的平均粒子数的一个量子态上的平均粒子数:11kTlleaf 时时 时时 时时21f21f21f每一量子态上平均电子每一量子态上平均电子数大于数大于1/2每一

25、量子态上平均电子每一量子态上平均电子数等于数等于1/2每一量子态上平均电子每一量子态上平均电子数小于数小于1/2函数按指数规律随函数按指数规律随 变变化，实际上只在化，实际上只在 附近数量级为附近数量级为kT的范围内，电子的分布与的范围内，电子的分布与T=0K时时的分布有差异的分布有差异kTe 01f 1/2 在在0K时，电子占据了从时，电子占据了从0到到 (0)的每的每一个量子态一个量子态 温度升高时，电子有可能温度升高时，电子有可能跃迁到能量较高的未被占据的状态去跃迁到能量较高的未被占据的状态去但处在低能态的电子要跃迁到能量较但处在低能态的电子要跃迁到能量较高的未被占据的状态去，必须吸取很

26、大的高的未被占据的状态去，必须吸取很大的能量，而这种可能性是很小的能量，而这种可能性是很小的 2. 根据这一考虑可以粗略估计电子气体的热容量根据这一考虑可以粗略估计电子气体的热容量 在在 附近，数量级为附近，数量级为kT的能量范围内的对热容量有贡献的的能量范围内的对热容量有贡献的 有效电子数有效电子数NkTN有效 01f 1/2 只在只在 附近数量级为附近数量级为kT的能量范围内电子能够跃迁因此，的能量范围内电子能够跃迁因此，只在只在 附近，数量级为附近，数量级为kT的能量范围内的电子对热容量有贡献的能量范围内的电子对热容量有贡献 将能量均分定理应用于有效电子，每一有效电子对能量的贡将能量均分

27、定理应用于有效电子，每一有效电子对能量的贡献为献为3kT/2，则金属中自由电子对热容量的贡献为，则金属中自由电子对热容量的贡献为FVTTNkkTNkNkC23)(2323有效2601FTT在室温范围在室温范围金属中自由电子对热容量的贡献远小于经典理论的数值，与金属中自由电子对热容量的贡献远小于经典理论的数值，与离子振动的热容量相比，电子的热容量可以忽略不计离子振动的热容量相比，电子的热容量可以忽略不计电子数电子数N满足满足1)2(42/102/33kTedmhVN上式确定自由电子气体的化学势。上式确定自由电子气体的化学势。9.5.5 1)2(42/302/33kTedmhVU以上两式的积分都可

28、写成下述形式以上两式的积分都可写成下述形式1)(0kTedI其中其中 分别为分别为 和和 ，常数，常数 )(21C23C233)2(4mhVC电子气体的内能电子气体的内能U为为kTx1)(1)(1)(00 xxkTxkTedxkTxkTedxkTxkTekTdxkTxI在右方第一项令在右方第一项令11111xxee可得可得dxekTxkTxkTdIx1)()()(00 在上式右方第二项中，已把积分上限都取作在上式右方第二项中，已把积分上限都取作 。 这是因为这是因为 /kT ，而且因为被积函数分母中的，而且因为被积函数分母中的ex 因子使因子使对积分的贡献主要来自对积分的贡献主要来自x小的范围

29、。小的范围。 可以将被积函数的分子展开可以将被积函数的分子展开为为x的幂级数，只取到的幂级数，只取到x的一次项而得的一次项而得002.1)()2()(dxexkTdIx022.)()(6)(kTd因此粒子数和内能可表为因此粒子数和内能可表为)(81 32222/3kTCN)(851 52222/5kTCU由上式得由上式得 3/2223/2)(81 )23(kTCN当当T0时，时，3/2)23(CN233)2(4mhVC且得得 3/222)3(2)0(VNm在第二项中用在第二项中用 kT/ (0)代替代替kT/ 而得而得 3/22)0(81)0(kT)0(121)0(22kT将上式代入内能表达式

30、，将上式代入内能表达式，)(851 52222/5kTCU)0(851 )0(121 )0(52222/5222/5kTkTCU)0(1251)0(5322kTN并作相应的近似，可得并作相应的近似，可得 自由电子气体的内能自由电子气体的内能电子气体的定容热容量为电子气体的定容热容量为)0(2)(2kTNkTUCVV这结果与前面粗略分析的结果只有系数的差异。这结果与前面粗略分析的结果只有系数的差异。 在常温范围电子的热容量远小于离子振动的热容量。但在在常温范围电子的热容量远小于离子振动的热容量。但在低温范围，离子振动的热容量按低温范围，离子振动的热容量按T3 随温度而减少；电子容量与随温度而减少；电子容量与T成正比，减少比较缓慢。成正比，减少比较缓慢。 所以，在足够低的温度下电子的热所以，在足够低的温度下电子的热容量就不能忽略。容量就不能忽略。结 束 ！