等差数列前n项和的性质课件.ppt

1、第二章第二章 数数 列列2.3 2.3 等差数列前等差数列前n n项和的性质项和的性质1.1.等差数列的递推公式是什么？等差数列的递推公式是什么？ an1an12an（n2） an an1d（n2）【问题提出】【问题提出】2.等差数列通项公式是什么？结构上它有什么特征？等差数列通项公式是什么？结构上它有什么特征？ 在结构上是关于在结构上是关于n的一次函数的一次函数.ana1(n1)dam(nm)dpnk.3.等差数列前等差数列前n项和的两个基本公式是什么？项和的两个基本公式是什么？，1()2nnn aaS+=2) 1(1dnnnaSn4.深入研究等差数列的概念与前深入研究等差数列的概念与前n项

2、和公式及通项公式项和公式及通项公式的内在联系，可发掘出等差数列的一系列性质，我们的内在联系，可发掘出等差数列的一系列性质，我们将对此作些简单探究将对此作些简单探究.思考思考1：若若数列数列an的前的前n和和 那么那么数列数列an是等差数列吗？是等差数列吗？，1()2nnn aaS+=an是等差数列是等差数列 【知识探究】【知识探究】知识探究（一）知识探究（一）等差数列与前等差数列与前n项和的关系项和的关系2)(1nnaanS 思考思考2：将等差数列前将等差数列前n项和公式项和公式看作是一个关于看作是一个关于n的函数，这个函数有什么特点？的函数，这个函数有什么特点？2) 1(1dnnnaSn当当

3、d0时，时，Sn是常数项为零的二次函数是常数项为零的二次函数.ndandSn)2(212思考思考3：一般地，若数列一般地，若数列an的前的前n和和SnAn2Bn，那，那么数列么数列an是等差数列吗？若是等差数列吗？若SnAn2BnC 呢？呢？（1）数列）数列an是等差数列是等差数列 SnAn2Bn（2）数列）数列an 的前的前n项和是项和是SnAn2BnC ，则：，则：若若C0，则数列，则数列an是等差数列；是等差数列；若若C0，则数列，则数列an从第从第2项起是等差数列。项起是等差数列。思考思考4：若若an为等差数列，那么为等差数列，那么 是什么数列？是什么数列？nSn数列数列an是等差数列

4、是等差数列 为等差数列为等差数列nSn 即等差数列即等差数列an的前的前n项的平均值组成的数列仍项的平均值组成的数列仍然是等差数列，且公差是数列然是等差数列，且公差是数列an的公差的一半。的公差的一半。知识探究（二）知识探究（二）等差数列前等差数列前n项和的性质项和的性质思考思考1：在等差数列在等差数列an中，每连续中，每连续k项的和组成的数列，项的和组成的数列，即数列即数列a1a2ak， ak+1ak+2a2k，a2k+1a2k+2a3k， 是等差数列吗？是等差数列吗？性质：性质：若数列若数列an是是等差数列等差数列，那么数列，那么数列Sk，S2kSk，S3kS2k , 仍然成等差数列仍然成

5、等差数列思考思考3：在等差数列在等差数列an中，设中，设S偶偶a2a4a2n，S奇奇a1a3a2n1，则，则S偶偶S奇奇与与 等于什么？等于什么？SS偶奇S偶偶S奇奇nd1=nnSaSa偶奇思考思考2：在等差数列在等差数列an中，中，Sn，S2n，S3n三者之间有什三者之间有什么关系？么关系？S3n3(S2nSn)思考思考4：设设等差数列等差数列an、bn的前的前n项和分别为项和分别为Sn、Tn，则则 等于什么？等于什么？思考思考5：在等差数列在等差数列an中，若中，若a10， d0，则，则Sn是否是否存在最值？如何确定其最值？存在最值？如何确定其最值？ 2121nnnnaSbT 当当ak0，

6、ak10时时，Sk为最大为最大.nnab【题型分类【题型分类 深度剖析】深度剖析】题型题型1 1：等差数列前等差数列前n n项和性质的简单应用项和性质的简单应用例例1：（1）若一个等差数列前）若一个等差数列前3项的和为项的和为34，最后，最后3项项的和为的和为146，且所有项的和为，且所有项的和为390，则该数列有，则该数列有( )项。项。 A.13 B.12 C.11 D.10变式探究变式探究1.已知等差数列已知等差数列an满足满足a1+a2+a3+a101=0，则有，则有( ) A.a1+a1010 B.a2+a1000 C.a3+a99=0 D.a51=512.等差数列等差数列an 前前

7、n项和项和Snan2(a1)na2， 则则an .3. 等差数列等差数列an中，已知中，已知S42，S87，则，则S12=_；4. 等差数列等差数列an的前的前m项的和为项的和为30，前，前2m项的和为项的和为100，则它的前则它的前3m项的和为项的和为 () A. 130 B. 170 C. 210 D. 2605.等差数列等差数列an中，中，Sn是其前是其前n项和，项和，a12011， ，则，则S2011的值为的值为() A.0 B.2011 C.2011 D.2011201120092007220092007SS题型题型2 2：等差数列最值问题等差数列最值问题例例2：等差数列等差数列an

8、中，中，a1小结：小结：求等差数列求等差数列an前前n项和项和Sn的最值常用方法：的最值常用方法：方法方法1：二次函数性质法，即求出二次函数性质法，即求出Sn=an2+bn， 讨论二次函数的性质讨论二次函数的性质方法方法2：讨论数列讨论数列an 的通项，找出正负临界项。的通项，找出正负临界项。（1）若）若a10，d0，则，则Sn有大值，且有大值，且Sn最大时的最大时的n满足满足an0且且an+10;（2）若）若a10，则，则Sn有小值，且有小值，且Sn最小时的最小时的n满足满足an0且且an+10;变式探究变式探究1.首项为正数的等差数列首项为正数的等差数列an，它的前，它的前3项和与前项和与

9、前11项项和相等，则此数列前和相等，则此数列前_项和最大？项和最大？2.等差数列等差数列an 前前n项和项和Sn中，以中，以S7最大，且最大，且|a7|0的的n的最大值为的最大值为_3.等差数列等差数列an中，已知中，已知|a7|=| a16|=9，且，且a14=5，则使，则使an0时，求时，求n的最大值；的最大值；题型题型3 3：等差数列中的等差数列中的a an n与与SnSn的关系的关系例例3：Sn，Tn分别是等差数列分别是等差数列an、bn的前的前n项的和，项的和，且且 ，则，则55ba . 327nnTSnn1.已知两个等差数列已知两个等差数列an和和bn的前的前n项和分别为项和分别为

10、An和和Bn，且，且 ，则使得，则使得 为整数的正整数为整数的正整数n的的个数是个数是() A2 B3 C4 D53457nnBAnn变式探究变式探究nnba例例4：已知数列已知数列an的前的前n项和项和Sn12nn2，求数列，求数列|an|的前的前n项和项和Tn. 当当n1时，时，a1S1121211；当；当n2时，时，anSnSn112nn212(n1)(n1)2132n.n1时适合上式，时适合上式，an的通项公式为的通项公式为an132n.由由an132n0，得，得n ，即当即当1n6(nN*)时，时，an0；当；当n7时，时，an0.解析：解析：题型题型4 4：求等差数列的前求等差数列

11、的前n n项的绝对值之和项的绝对值之和 (1)当当1n6(nN*)时，时，Tn|a1|a2|an|a1a2an12nn2.(2)当当n7(nN*)时，时，Tn|a1|a2|an|(a1a2a6)(a7a8an)(a1a2an)2(a1a6)Sn2S6n212n72.变式探究变式探究1数列数列an中，中，a18，a42，且满足，且满足an22an1an0，nN*.(1)求数列求数列an的通项；的通项；(2)设设Sn|a1|a2|an|，求，求Sn. (1)由由an22an1an0得，得，2an1anan2，所以数列所以数列an是等差数列，是等差数列，d 2，an2n10，nN*.解析：解析：当当n6，nN*时，时，题型题型5 5：等差数列的综合应用等差数列的综合应用22得得4anan2an122an2an1，即即(anan1)(anan12)0.an0，anan10， anan12，数列数列an是首项为是首项为1，公差为，公差为2的等差数列，的等差数列，an1(n1)22n1.变式探究变式探究