第四章弹塑性波的相互作用1110课件.ppt

1、1迎面加载（同号加载）追赶加载（递增硬化材料）形成冲击波24.1 弹塑性加载波的相互作用弹塑性加载波的相互作用4.1.1 强间断塑性波的强间断塑性波的 问题问题: 长为长为L的均匀等截面杆的均匀等截面杆,原先处于静止的自然状态原先处于静止的自然状态.两两端突然受到突加恒速冲击载荷端突然受到突加恒速冲击载荷,右端右端X=L处处v3 0,在左端在左端v40.讨论杆中的弹塑性波的传播讨论杆中的弹塑性波的传播. 3分析分析: :杆中波的传播杆中波的传播 ：撞击面开始：撞击面开始, ,从杆的左端向右传播从杆的左端向右传播弹塑性强弹塑性强间断拉伸波间断拉伸波, ,同时从杆的右端向左传播同时从杆的右端向左传

2、播弹塑性强间断拉伸波弹塑性强间断拉伸波, ,但由于初始冲击速度不同但由于初始冲击速度不同, ,引起应力扰动幅度不同。两波相引起应力扰动幅度不同。两波相遇之前遇之前, ,和前面讨论的半无限长杆中的弹塑性简单波完全相和前面讨论的半无限长杆中的弹塑性简单波完全相同同. .线弹性材料中线弹性材料中,弹性波波速弹性波波速 和塑性波波速均为常数和塑性波波速均为常数;00CE101CE40 0区：区： 恒值区恒值区; ;1 1，2 2区：两弹性波迎面传播区：两弹性波迎面传播 简单波区简单波区 0v1000 1C v1120000YYvvvCC 12Y51301 301CYC vC310131()C vv42

3、0142()C vv 1401 201CYC vC3，4区：塑性波区：塑性波 :右行波右行波:6515101vvC 5501YYvvC 525201vvC5501YYvvC 右侧右侧:左侧左侧:7第四章第四章 弹塑性波的相互作用弹塑性波的相互作用555555vvv 在界面上满足质点速度相等和应力相等条件在界面上满足质点速度相等和应力相等条件,即有即有: 由上述方程联立求解得由上述方程联立求解得: 此后此后,右行内反射塑性波右行内反射塑性波ab与左行入射塑性波与左行入射塑性波lb相遇于相遇于b点点,左行内反射塑性波与右行入射塑性波左行内反射塑性波与右行入射塑性波oc相遇于相遇于c点点.由此由此产

4、生的二次内反射塑性波产生的二次内反射塑性波bd和和cd相遇于相遇于d点点.1550100,(1)YCvYC vYC863016363650165601 36363636565()()()()YYC vvvvvC vvYC vvvvvvv 63513635101 36351323YYvvvvvvYC vvv97452414745201 47452414YYvvvvvvvvYC vvv8675462731341867501340867546273134341()vvvvvvvvvvvvCYC vvCvv10, vv作出作出 ,由于引入了由于引入了 ,非线性的特征相容关非线性的特征相容关系线性化系线

5、性化.11v12220dd1( )dCddXdt13递减硬化材料递减硬化材料X0dCdv 0 C v 14杆中迎面传播两弱间断弹塑性拉伸波的相互作用杆中迎面传播两弱间断弹塑性拉伸波的相互作用1500()bacabacababacacadvvCdvvCvvvv 000dCdC杆中迎面传播两束弱间断弹塑性拉伸波杆中迎面传播两束弱间断弹塑性拉伸波,在相遇前是已知在相遇前是已知的简单波的简单波,且有且有式中式中:在波阵面上在波阵面上:dvd (4-1-1)1600()dbdbdbdcdbdbdcdcdvvCdvvCvvvv 1700()bacabacababacacadvvCdvvCvvvv 22bc

6、bcabcabcvvvvv(1)(2)00()dbdbdbdcdbdbdcdcdvvCdvvCvvvv 22bcdbcbcdcbvvvvv(3)(4)18dbcadbcavvvv()()()()dabacadabacavvvvvv19 弹塑性波传播问题中，经过（弹塑性波传播问题中，经过（X，t）平面上任一点的特征线的切线斜率（特平面上任一点的特征线的切线斜率（特征方向）是该点状态的函数征方向）是该点状态的函数( )dXCdt 特征线特征线bd和和cd上各点的状态尚未确上各点的状态尚未确定，则特征线本身的位置就无法确定。定，则特征线本身的位置就无法确定。20()sQsQsRsRvvvv sQRa

7、sQRavvvv 依此类推，可确定全部网格点的位置和状态。依此类推，可确定全部网格点的位置和状态。00sQsRsQsRdvvCdvvC ()()()()sQQsQsRRsRXXCttXXCtt S点的位置：点的位置：S点的状态：点的状态：2122 弹性卸载假定弹性卸载假定：从卸载塑性变形所达到的应力：从卸载塑性变形所达到的应力 和和应变应变 卸载时，不论卸载后重新加载，而应力不再超过卸载时，不论卸载后重新加载，而应力不再超过 ，则应力应变间有线性关系，且斜率等于加载曲线弹性部分的则应力应变间有线性关系，且斜率等于加载曲线弹性部分的初始斜率，即遵循于弹性加载时相同的初始斜率，即遵循于弹性加载时相

8、同的 定律。定律。 mmmHooke23mmE20 0220 00 0mmmmEctttdddEEccXXdXXdXdX240mmvtxvtxE220001mmvtxddvCCtXdXdXv2222002201mmdduuCCtXdXdX25000001()mmdXC dtdvC ddC dC 2000vCtXvXt v0001dXC dtdvdC 特征线方法求解特征线方法求解卸载波以弹性波速卸载波以弹性波速C0传播传播.26( )Xf t( )( )Xf tdXCf tdt27 弹塑性加载和弹性卸载的情况下弹塑性加载和弹性卸载的情况下, 问题归结为问题归结为:若初始条若初始条件和边条件给定件

9、和边条件给定,联立解联立解弹塑性加载区的偏微分方程弹塑性加载区的偏微分方程和和弹性卸弹性卸载区的偏微分方程载区的偏微分方程,而在两区的边界而在两区的边界 上满足连续条件上满足连续条件和动量守恒条件和动量守恒条件.( )Xf t2222002201mmdduuCCtXdXdX222022uuCXt28111002211*2000101,11,()11YYYYYvvECYEEEvYvCCC 332223200000EvvvvCC291tt0111 10 1110110()1/C ttC tC tttCCCC1 111 1101/C tlC tCC301t1Xl1Xl2Yvv2Yvv2Yvv4300

10、430043410041004()()()C vvC vvC vvC v 1l4444,vv121()2vvv43400 3/2/2vvC v v314443434/EE1l1l2YY322Yvv0 10 1101/C tC tCC332Yvv342Yvv35第二个驻定间断面形成时间：第二个驻定间断面形成时间：0221 20 2201()C ttC tC ttCC001210101CCCttCC CC121111012()CtttttCC其中：其中：代入得：代入得：10 10121 20101C C t CClC tCC CC10102110101/11CCCCllCCCC第二个驻定间断面位置

11、：第二个驻定间断面位置：36第二个间断面左侧达到的最大应力：第二个间断面左侧达到的最大应力：430043410141()()C vvC vv 代入上述各区状态值，可得代入上述各区状态值，可得10104101011CCCCCCCC3710101010111CCCCCCCC1nlnl引入引入 则第（则第（n+1)个驻定间断面位置个驻定间断面位置 的长度是第的长度是第n个驻定间个驻定间断面位置断面位置 的的 倍。倍。1nl3812(1)2;/nnnnll1每一卸载循环形成一驻定应变间断面时，最大应力降为原来每一卸载循环形成一驻定应变间断面时，最大应力降为原来的的。相应的最大应力分布长度增至。相应的最

12、大应力分布长度增至 倍。倍。2(1)122 1.nnn nlllconst有有 残余变形沿杆的分布曲线；残余变形集中在撞击端残余变形沿杆的分布曲线；残余变形集中在撞击端附近，阶梯状分布（局域化的非均匀应变分布。附近，阶梯状分布（局域化的非均匀应变分布。39404.3.2线性硬化杆中连续波的突然卸载线性硬化杆中连续波的突然卸载例例: 线性硬化半无限长杆中受渐加载荷线性硬化半无限长杆中受渐加载荷,t=T0突然卸载突然卸载.讨论杆讨论杆中的卸载波中的卸载波. 41t=T0时强间断卸载扰动在时强间断卸载扰动在5区中传播区中传播,卸载波经过后卸载波经过后,应力从应力从 卸卸载到零载到零,而质点速度从而质

13、点速度从 卸载到残余质点速度卸载到残余质点速度,0000()C vvvvC v42111111000100001()()()()11()()()vvCCCCC 1()1()v t=T1 时刻时刻,卸载扰动在卸载扰动在X=L1处追赶上前方的第一个微小处追赶上前方的第一个微小强间断塑性波而相互作用强间断塑性波而相互作用.由于微小强间断波阵面两侧存在质由于微小强间断波阵面两侧存在质点速度差点速度差 和应力差和应力差 ,若应力卸载到零若应力卸载到零,就有残余就有残余质点速度差质点速度差, 由于速度差由于速度差,发生内撞击发生内撞击.由此产生的应力突跃由此产生的应力突跃01110011001()()()

14、(1)221()()2CvCCCv 43在一次内撞击后在一次内撞击后,塑性波的幅值从塑性波的幅值从 降到了降到了 另一方面另一方面,卸载波的强度也削弱卸载波的强度也削弱,强度从强度从 降到了降到了即即 强间断卸载扰动的强度减小了强间断卸载扰动的强度减小了当当t=T2时时,卸载扰动追赶上了第二个微小强间断塑性波而发生卸载扰动追赶上了第二个微小强间断塑性波而发生第二次内撞击第二次内撞击,56471111()()()() 11()() 22001()11()()vCC02220020021()()1()(1)()()222CvCCvC 54511()() 44第二次内撞击后第二次内撞击后,应力强度从

15、应力强度从 提高到提高到而塑性波强度从而塑性波强度从 降到降到 ,因而强间断卸载扰动因而强间断卸载扰动的强度被削弱到的强度被削弱到比初始强度比初始强度 减小了减小了787212()()() 4342381212()()()() 1212()()()() 45依次类推依次类推,当强间断卸载扰动追赶上第当强间断卸载扰动追赶上第i个微小塑性波而发生第个微小塑性波而发生第i次内撞击时次内撞击时,残余质点速度差为残余质点速度差为而造成相应的应力突跃为而造成相应的应力突跃为使得卸载区重新加载到使得卸载区重新加载到001()11()()iivCC0001()1()(1)()() 22iiiiCCvC 011

16、1000001()()(1)2111(1)()()()222iikkkkCCCC vC vC46而强间断卸载扰动的强度减小了而强间断卸载扰动的强度减小了01110000()()()(1)211()()22iikkkkkCCC vC v 4702Yvv 平面上平面上,二次应力波强度随着相继的内撞击的发生而提二次应力波强度随着相继的内撞击的发生而提高高,6,7,8点点.若满足若满足 卸载强间断消失卸载强间断消失.图中点图中点6对应于对应于初始残余质点速度初始残余质点速度 情况情况,即卸载扰动与全部塑性加载即卸载扰动与全部塑性加载相互作用后相互作用后,仍能保持强间断仍能保持强间断.(点点9).卸载边

17、界传播轨迹与卸载扰卸载边界传播轨迹与卸载扰动本身重合动本身重合.20Yv482Yvv 强间断卸载扰动在与某一部分塑性加载扰动相互作强间断卸载扰动在与某一部分塑性加载扰动相互作用后用后,强度减小到零强度减小到零,即它在塑性区的某处被即它在塑性区的某处被”吸收吸收”而消失而消失,不能全部通过塑性区不能全部通过塑性区.第一阶段结束第一阶段结束.当卸载第一阶段中内撞当卸载第一阶段中内撞击引起的左行内反射波从杆端击引起的左行内反射波从杆端(X=0)处再次被反射为右行处再次被反射为右行”二次卸载扰动二次卸载扰动”,并追赶上来相互作用时并追赶上来相互作用时,才会被进一步卸载才会被进一步卸载.494.3.3

18、塑性中心波的突然卸载塑性中心波的突然卸载递减硬化材料半无限长杆中递减硬化材料半无限长杆中,强间断卸载扰动对弱间断塑性加强间断卸载扰动对弱间断塑性加载扰动的追赶卸载问题载扰动的追赶卸载问题.例例:初始静止自然状态的杆初始静止自然状态的杆,端点端点(X=0)处处t=0时受一突加时受一突加恒值冲击载荷恒值冲击载荷 ,在在t=T时刻时刻突然卸载到零突然卸载到零.,XtX见右图见右图.50强调几点强调几点:1) 卸载开始卸载开始,强间断卸载波以波速强间断卸载波以波速 传播传播,追赶塑性波追赶塑性波,塑性波波塑性波波速为速为 . 若卸载波在与塑性波相互作用后保持强间断若卸载波在与塑性波相互作用后保持强间断

19、,则扰动本身的则扰动本身的轨迹也为卸载边界的传播速度轨迹也为卸载边界的传播速度(弹塑性边界弹塑性边界)的传播轨迹的传播轨迹 A0A2可确定可确定.0C01 dCd0CC512) 右侧加载为塑性中心波右侧加载为塑性中心波,该侧的状态量可确定该侧的状态量可确定,整个塑性区的简整个塑性区的简单波关系式单波关系式:00dvC 0000vvCC000000()()Av AvCC弹塑性左侧边界的卸载区未知弹塑性左侧边界的卸载区未知?卸载侧满足强间断波动量守恒条件卸载侧满足强间断波动量守恒条件: 此边界的卸载侧与卸载区经过此边界的卸载侧与卸载区经过A0点的右行特征线重合点的右行特征线重合,满足相容条满足相容

20、条件件: 52000000()()Av AvCC0()0A000()v AvvC A0点卸载前后状态满足点卸载前后状态满足(强间断波阵面上的守恒条件强间断波阵面上的守恒条件):卸载后应力为零卸载后应力为零,即即因此因此,速度为速度为可得可得:0000vvCC和和 联立求解得联立求解得00000111()()(1)222CC vC vdC53沿卸载边界的应力间断值为沿卸载边界的应力间断值为:000000001111()()(1)(1)2222CCC vC vddCCY0(3)弹塑性边界的塑性加载侧最低应力幅值为弹塑性边界的塑性加载侧最低应力幅值为Y.若应力幅值若应力幅值 ,仍仍 有有 ,则强间断

21、卸载扰动可通过整个塑性则强间断卸载扰动可通过整个塑性区而不消失区而不消失.002YvvvC卸载波若在卸载波若在A2点处消失点处消失,则应有则应有,22()()0AA2()000011(1)(1)22ACCddCC或有或有由此由此,确定确定A2点的位置点的位置.第一阶段卸载边界可完全确定第一阶段卸载边界可完全确定.544) 卸载区沿特征线卸载区沿特征线A0A2上的上的 已知已知,左侧杆端边条件左侧杆端边条件 ,对于对于 ,整个卸载区边界可归结为解一整个卸载区边界可归结为解一个定解的混合问题个定解的混合问题(Picard问题问题).,v00X2Yvv2Yvv 若若 , 三角形区内归结为解一个定解的

22、三角形区内归结为解一个定解的混合问题混合问题,沿左行特征线传播的是卸载扰动与塑性加载沿左行特征线传播的是卸载扰动与塑性加载扰动相互作用后的内反射扰动的影响扰动相互作用后的内反射扰动的影响,沿右行特征线传沿右行特征线传播的杆端边界的影响播的杆端边界的影响.t轴上任一点轴上任一点E的速度的速度, 可由沿左行可由沿左行特征线上的相容条件得特征线上的相容条件得:020A A B0000( )( )( )( )AEv Av ECC( )0E并有并有555)若卸载强间断在若卸载强间断在A2点消失点消失,则此后的弹塑性边界为弱间断则此后的弹塑性边界为弱间断的连续卸载边界的连续卸载边界,在此边界上塑性加载侧的

23、应力和质点速在此边界上塑性加载侧的应力和质点速度与卸载侧的保持连续度与卸载侧的保持连续.有有,vv000BBdvC000000BEABEAvvvCCC困难困难:此边界的传播轨迹并不知道此边界的传播轨迹并不知道.塑性加载区沿左行特征线塑性加载区沿左行特征线BG上的相容条件有上的相容条件有:卸载区卸载区,右行特征线右行特征线BE上述四个方程可解出上述四个方程可解出,BBBBvv56共轭关系共轭关系:第二段卸载边界上任一点可由第一卸载边界上相应的点确定第二段卸载边界上任一点可由第一卸载边界上相应的点确定,A,B共轭点共轭点.000000BEABEAvvvCCC020202A AB BC C 由共轭关

24、系可求得整个卸载边界由共轭关系可求得整个卸载边界. 边界上的状态求出边界上的状态求出,杆端边条件杆端边条件给定给定,因此因此,整个卸载区的解可化为整个卸载区的解可化为各类定解的边值问题各类定解的边值问题,如混合问题如混合问题,特征边值问题等特征边值问题等,整个问题可求整个问题可求.是是一个混合问题一个混合问题.57 581010vv1313vvX2159130002vvC L2200LvvCv602200RvvC2002C61问题问题:线性硬化材料的有限长杆线性硬化材料的有限长杆,分析分析:左端向右传播的弹塑性压缩波左端向右传播的弹塑性压缩波,在在X-t图上的图上的1,2区区. 右端向左传播的

25、弹塑性拉伸波右端向左传播的弹塑性拉伸波,在在X-t图上的图上的3,4区区. 6252Yvv5Rvv2200RvvC63 右行内反射波右行内反射波bd和左行内反射波和左行内反射波cd在在d点相遇于点点相遇于点10,在在 平面内落在弹性应力范围内平面内落在弹性应力范围内,因此从因此从d点出发的两点出发的两个波都是弹性波个波都是弹性波,至此至此,两异号的弹塑性应力波的相互作用两异号的弹塑性应力波的相互作用结束结束.v52RYvvv6452RYvvv65v2YYvvvv 平头弹射击靶板上平头弹射击靶板上,相当于有限长杆在刚性座上的高速撞相当于有限长杆在刚性座上的高速撞击问题击问题,利用该实验可以测量材

26、料的动态力学性能利用该实验可以测量材料的动态力学性能.(Talyor,G I;Whiffen A C; 等等) 子弹以子弹以 向左飞行向左飞行,撞击到静止的刚性靶板时撞击到静止的刚性靶板时,撞击端速撞击端速度突降为零度突降为零,将向另一端右行传播弹塑性波将向另一端右行传播弹塑性波.在在 坐标系中坐标系中,问问题可化为原来处于静止和自然状态的有限长杆题可化为原来处于静止和自然状态的有限长杆,一端受突加恒一端受突加恒速载荷速载荷 ,另一端为自由端的情况另一端为自由端的情况.vvv4.5 有限长杆在刚砧上的高速撞击有限长杆在刚砧上的高速撞击660000000000111()fsddvdvCCCCC

27、应力幅值为应力幅值为 的右行弹塑性波在自由端反射时的右行弹塑性波在自由端反射时,自由面质自由面质点速度为点速度为:011CC2fsvv1) 弹性波弹性波, 则有则有 ;2)塑性波塑性波,有有 ,因此因此 ;即弹塑性波在自由端反射后即弹塑性波在自由端反射后达不到入射波质点速度的两倍达不到入射波质点速度的两倍;3) 入射波中的塑性部分达不到自由端入射波中的塑性部分达不到自由端;达到自由端之前达到自由端之前,被从自由被从自由端反射回来的弹性卸载波削弱端反射回来的弹性卸载波削弱,直至消失直至消失.塑性波有残余变形塑性波有残余变形,而而自由端应力一直保持为零自由端应力一直保持为零,不可能产生塑性变形不可

28、能产生塑性变形.2fsvv0CC67线性硬化杆的撞击线性硬化杆的撞击680000v11100,YYYYvvYCE 022012001,(),YYCvYvvCvYCC分析分析:1)在弹性波到达自由端之前在弹性波到达自由端之前,和半无限和半无限长杆中一样长杆中一样,0,1,2,区状态区状态:0区区:1区区:2区区:69时时, 卸载区卸载区3中有中有,3330022,0YYvvC00/tlC2)7053140101()222(3)()22YYyYvvCvvvvvvCCvvCv 2520000vvvCC5v3v0000145301000()()222(1)()2YYyYCCCvvvvvvvCCCvvC

29、 7110440(1)()2YCvvCEC20120124241(2)()2YCCvvCCEC4区两侧应变不同区两侧应变不同,右侧为右侧为:左侧为左侧为:在在X=XB处有一应变驻定间断面处有一应变驻定间断面,110012/(2)/BBBC lXClXCXCC72400 YYC v01013YYCCvvvCC10004(1)()2YCCvvCv73 假设撞击还在继续假设撞击还在继续,杆没有从靶上跳开杆没有从靶上跳开,则则6区的状态区的状态速度应满足边条件速度应满足边条件,即即 ,应力通过动量守恒可得应力通过动量守恒可得6vv64006400()(2)YC vvCvv74620Yvv6002 /t

30、l C60 则有则有 ,而撞击界面不能承受拉应力而撞击界面不能承受拉应力,因此反射波因此反射波BC过后过后,应力只能卸载到零应力只能卸载到零( ),撞击端变成自由端撞击端变成自由端 , 因此因此,杆从靶面跳开杆从靶面跳开.撞击持续时间撞击持续时间 此后此后, 一弹性应力脉冲在两端均为自由面的杆中来回传播和一弹性应力脉冲在两端均为自由面的杆中来回传播和反射反射.在在B截面处始终保持应变间断截面处始终保持应变间断,右侧右侧4-7;左侧左侧4”-7”间变化间变化.2YYvvv分析讨论分析讨论:1) 600(2)YCvv75760076750075()()C vvC vv 660,2Yvv215500

31、00,()YYCvvvvvvCC7区状态区状态:其中其中,6,5区的状态从前面的分析中可得区的状态从前面的分析中可得代入可得代入可得7001()()0YCCvv根据上述分析根据上述分析,计算计算7区的应力状态区的应力状态.拉伸拉伸?压缩压缩?76 6区将承受压应力区将承受压应力( ),因而撞击还将继续因而撞击还将继续,但但 ,和上述类似和上述类似,撞击将在撞击将在F点处结束点处结束,撞击持续时撞击持续时间为间为 .杆中仍然只有一个塑性变形区杆中仍然只有一个塑性变形区.010132YYCCvvvCC4Y014 /()2FBtlCCt2)60600(2)YCvv7701013YCCvvCC4Y当当

32、 时时,若若 再大再大,则在则在B点产生的应力幅值点产生的应力幅值超过屈服极限超过屈服极限,从从B点传播一个强点传播一个强度被削弱的塑性波度被削弱的塑性波BB1和一前驱和一前驱弹性波弹性波BD.此后有两种可能此后有两种可能:(1)右行弹性前驱波右行弹性前驱波BD从杆的右端从杆的右端反射成左行卸载波反射成左行卸载波DB1.与塑性波与塑性波BB1迎面相遇而发生迎面卸载迎面相遇而发生迎面卸载;v78 (2):左行卸载波左行卸载波BC从杆的左端反射从杆的左端反射成右行卸载波成右行卸载波CB2后，赶上塑性波后，赶上塑性波BB2发生追赶卸载发生追赶卸载. 上述两种情况与弹性波与塑性波上述两种情况与弹性波与

33、塑性波速之比有关速之比有关.若若B1和和B2两点重合两点重合 则则是临界状态是临界状态. 第第(1)种种; 第第(2)种种;01/25CC 01/25CC 790101010135YYCCCCvvvCCCC 塑性波在塑性波在B1点处消失点处消失,从从B1点向两端传播的内反射波都是点向两端传播的内反射波都是弹性波弹性波.则撞击速度满足的条件为则撞击速度满足的条件为 8区的状态区的状态 若满足上述条件若满足上述条件,则应有则应有:00001811701000()()222(1)()2YYyYCCCvvvvvvvCCCvvC 800 YYC v01015YCCvvCC(1)80第二个驻定应变间断面的

34、位置第二个驻定应变间断面的位置 撞击在撞击在F点结束点结束,结束时间结束时间1102014()BC C lXCC014FltCC81010133YYCCvvvCC014GltCC 时时,塑性波在塑性波在 B2点消失点消失,并且不会在并且不会在F点处反射塑性波点处反射塑性波(9区为弹性波区为弹性波).撞击在撞击在G点结束点结束,持续时间持续时间 第二个驻定应变间断面的位置第二个驻定应变间断面的位置: 上述讨论中可以看到上述讨论中可以看到,对于受压缩冲击载荷的杆对于受压缩冲击载荷的杆,当两卸当两卸载波迎面相遇时将产生拉应力载波迎面相遇时将产生拉应力.在一定条件下在一定条件下,还可能导致还可能导致拉

35、伸屈服拉伸屈服,即相对原先发生的压缩屈服而言的反向屈服即相对原先发生的压缩屈服而言的反向屈服.21012()BC lXCC(2)8283沿特征线沿特征线MM1的相容条件的相容条件:沿特征线沿特征线MM2的相容条件的相容条件: 上两式中消去上两式中消去 ,同时在半无限长杆中有简单波关系同时在半无限长杆中有简单波关系式式,则得则得000011()()()()mmC v MMC vMM000022()()()()mmC v MMC vMM()v M00mmdvC 12()00()001(, )(1)21(1)2mmXXCX tdCCdC(5-5-1)84特征线特征线MM1和和MM2的表达式分别为的表

36、达式分别为:11012202:():()MMXXCtg XMMXXCtg X0110002200(1)1(1)1CXXCgCttCCXXCgCttC对时间对时间t求偏导数求偏导数:(4-5-2)(4-5-3)由由(4-5-1)可得可得0012120000001211(1)(1)2211(1)(1)2211mmmmCdCdXXtCdXtCdXtCCdCCdCCCdXCdXCC(4-5-4)85当当 时时,可得卸载边界可得卸载边界 上任一点上任一点M1处处211,MM MM()tg X000011111112mCCdCCtdXCCCC在塑性简单波区在塑性简单波区,沿右行特征线沿右行特征线NM2有有

37、:(4-5-5)222()()mNMdXtdXt(4-5-6)86特征线方程特征线方程:22()XXC g Xt2222222(1)( ()1 ( ()mmdXXXdCC gg XtttddXtCdCdCg XtCddX 代入代入(4-5-6),令令 可得可得 上任一点上任一点M1上有上有()tg X11mddXtCC21MM(4-5-7)(4-5-8)87(4-5-5)和和(4-5-7)联立得到联立得到 上任一点上任一点M1处卸载边界处卸载边界的传播速度的传播速度 与该点处与该点处 的关系的关系()tg X,ttC222200222201()()1CCCCCtCCCCtC22022011CC

38、ttttCCtCttt或解出或解出 得得:C88()tg Xtt和00tttt或0CCC 890(1)0,0:CCtt0(2),:CCtt (1)卸载扰动在塑性恒值区中传播时卸载扰动在塑性恒值区中传播时 情况相同情况相同;(2)强间断卸载扰动追赶弱间断塑性波强间断卸载扰动追赶弱间断塑性波 情况相同情况相同;0CC0CC90(3)0,0:CCtt(4),:CCtt (4)弱间断卸载扰动追赶强间断塑性波弱间断卸载扰动追赶强间断塑性波 情况相同情况相同;CC91tt和v和 前面的讨论中假设前面的讨论中假设 不同时为零不同时为零,即假设卸载边即假设卸载边界是对于界是对于 的一阶弱间断的一阶弱间断.如果

39、两者同时为零如果两者同时为零,则式成则式成为不定式为不定式,必须进一步考察二阶偏导数必须进一步考察二阶偏导数 . 或者更需进一步考察更高阶的偏导数或者更需进一步考察更高阶的偏导数.2222tt和924.6 弹塑性边界的一般传播特性弹塑性边界的一般传播特性 弹塑性边界弹塑性边界:应力波的相互作用下应力波的相互作用下,不同质点在不同时刻不同质点在不同时刻t从塑从塑性状态卸载进入到性状态卸载进入到 弹性状态的临界点的轨迹弹性状态的临界点的轨迹(卸载边界卸载边界),或从弹或从弹性状态性状态(包括弹性卸载状态包括弹性卸载状态)进入到塑性状态的临界点的联线轨迹进入到塑性状态的临界点的联线轨迹(加载边界加载

40、边界). 一般情况下一般情况下,与应力波扰动传播轨与应力波扰动传播轨迹的特征线不同迹的特征线不同.随着应力波的传播和随着应力波的传播和相互作用在变化相互作用在变化.其传播速度为其传播速度为( )dXCf tdt二次塑性加载区二次塑性加载区塑性加载区塑性加载区弹性卸载区弹性卸载区Xt卸载边界卸载边界加载边界加载边界93UC加载边界加载边界:对于随时间对于随时间t的增加而由弹性区进入到塑性区的边的增加而由弹性区进入到塑性区的边界界(包括进入到二次塑性加载区包括进入到二次塑性加载区);卸载边界卸载边界:对于随时间对于随时间t的增加而由塑性加载区进入到弹性卸的增加而由塑性加载区进入到弹性卸载区的边界载区的边界;LC塑性加载边界塑性加载边界:0eptt22220eptt或或卸载边界卸载边界:222200epeptttt或