第九章质点动力学的基本方程课件.ppt

1、引引 言言1、研究对象、研究对象研究物体的研究物体的机械运动机械运动与与作用力作用力之间的关系。之间的关系。具有一定质量而不考虑其形状大小的物体。具有一定质量而不考虑其形状大小的物体。 质点质点 由有限或无限个由有限或无限个有着一定联系有着一定联系的质点组成的质点组成 的系统。的系统。 质点系质点系 刚体刚体是一个特殊的质点系，由无数个相互间距离保是一个特殊的质点系，由无数个相互间距离保持不变的质点组成。又称为持不变的质点组成。又称为不变质点系不变质点系。大体上可分为两类：大体上可分为两类：2、动力学的基本问题、动力学的基本问题第一类：第一类：已知物体的运动，求作用力；已知物体的运动，求作用力

2、；第二类：第二类：已知物体的受力情况，求物体的运动。已知物体的受力情况，求物体的运动。已知部分力，部分运动求另一部分力、部分运动。已知部分力，部分运动求另一部分力、部分运动。已知主动力，求运动，再由运动求约束反力。已知主动力，求运动，再由运动求约束反力。综合性问题：综合性问题： 第九章第九章 质点动力学的基本方程质点动力学的基本方程 第十章第十章 动量定理动量定理 第十一章第十一章 动量矩定理动量矩定理 第十二章第十二章 动能定理动能定理 第十三章第十三章 达朗贝尔原理达朗贝尔原理 第十四章第十四章 虚位移原理虚位移原理( (简介）简介）3 3、动力学的主要内容、动力学的主要内容第九章第九章

3、质点动力学的基本方程质点动力学的基本方程动力学/质点动力学基本方程9-1 9-1 动力学的基本定律动力学的基本定律 任何任何质点质点如如不受力作用不受力作用，则将保持原来，则将保持原来静止静止或匀速直线运动或匀速直线运动状态。状态。 物体保持其运动状况不变的固有属性，称为物体保持其运动状况不变的固有属性，称为惯性。质量为物体惯性的度量。惯性。质量为物体惯性的度量。牛顿三定律牛顿三定律第一定律第一定律惯性定律惯性定律动力学/质点动力学基本方程国际单位：质量的单位为国际单位：质量的单位为kg，加速度加速度的单位为的单位为m/s2，力的单位为力的单位为N（牛顿），（牛顿），且且 1N =1kg1m/

4、s2。第二定律公式第二定律公式第二定律第二定律 质点的质量和加速度的大小的乘积，等于作用质点的质量和加速度的大小的乘积，等于作用于质点的力的大小，加速度的方向与力的方向相同。于质点的力的大小，加速度的方向与力的方向相同。 质点动力学的基本方程质点动力学的基本方程动力学/质点动力学基本方程Fam几点说明：几点说明：（1 1） 适用范围：适用范围：惯性系惯性系，一般将固连于地面的坐标系，一般将固连于地面的坐标系或相对于地面作匀速直线运动的坐标系作为或相对于地面作匀速直线运动的坐标系作为惯性参考系惯性参考系。（3 3）矢量微分方程）矢量微分方程（4 4）以牛顿三定律为基础的力学为古典力学）以牛顿三定

5、律为基础的力学为古典力学 两物体之间的作用力和反作用力总是两物体之间的作用力和反作用力总是大小相等大小相等，方向相反，沿同一条直线方向相反，沿同一条直线，并同时分别，并同时分别作用在两个作用在两个物体物体上。上。第三定律第三定律作用与反作用定律作用与反作用定律动力学/质点动力学基本方程（2 2） 为合外力为合外力FFam9-2 9-2 质点的运动微分方程质点的运动微分方程矢量形式矢量形式 Frm 1.1.直角坐标上的投影直角坐标上的投影 Xxm 为质点为质点矢矢量形式量形式的运动微分方程的运动微分方程 Yym Zzm 动力学/质点动力学基本方程 将动力学基本方程将动力学基本方程 表示为微分形式

6、的方表示为微分形式的方程，称为程，称为质点的运动微分方程质点的运动微分方程。amF 质点质点直角坐标形直角坐标形式式的运动微分方程的运动微分方程 2.2.自然轴上的投影自然轴上的投影 Ftsmma22dd nnFvmma 2 bF0 质点质点弧坐标形式弧坐标形式的运动微分方程的运动微分方程 质点运动微分方程除以上质点运动微分方程除以上三种基本形式三种基本形式外，外，还可有还可有极坐标形式极坐标形式，柱坐标形式柱坐标形式等等。等等。 应用质点运动微分方程，可以求解质点动应用质点运动微分方程，可以求解质点动力学的两类问题。力学的两类问题。动力学/质点动力学基本方程（+）mbFna9-3 9-3 质

7、点动力学的两类基本问题质点动力学的两类基本问题第一类：已知质点的运动，求作用在质点上的力第一类：已知质点的运动，求作用在质点上的力微分问题微分问题 解题步骤和要点：解题步骤和要点： 正确选择研究对象；正确选择研究对象；正确进行受力分析正确进行受力分析, ,注意主动力和约束反力，画出受力图；注意主动力和约束反力，画出受力图； 正确进行运动分析；正确进行运动分析； 选择并列出选择并列出适当形式适当形式的质点运动微分方程；的质点运动微分方程； 求解未知量。求解未知量。（建立坐标系）（建立坐标系）（分析质点运动的特征量）（分析质点运动的特征量）（应在（应在一般位置一般位置上进行分析上进行分析) )（一

8、般选择联系已知量和待求量的质点）（一般选择联系已知量和待求量的质点）动力学/质点动力学基本方程选选重物重物为研究对象为研究对象运动分析，沿以运动分析，沿以O为圆为圆心，心，l 为半径的圆弧摆动。为半径的圆弧摆动。受力分析如图所示受力分析如图所示例例1 桥式起重机跑车吊挂一重为桥式起重机跑车吊挂一重为G的重物，沿水平横梁的重物，沿水平横梁作匀速运动，速度为作匀速运动，速度为 v0 ，重物中心至悬挂点距离为，重物中心至悬挂点距离为l。突然刹车，重物因惯性绕悬挂点突然刹车，重物因惯性绕悬挂点O向前摆动。求钢丝绳的最大拉向前摆动。求钢丝绳的最大拉力。力。解：解：列出列出自然形式自然形式的质点运动微分方

9、程的质点运动微分方程 FmatvgGddGTv n sinG 动力学/质点动力学基本方程 Fma sinGtvgG dd nnFmalvgG2 T 求解未知量求解未知量 0: 由由(2)(2)式得式得 由由(1)(1)式知，重物作减速运动故式知，重物作减速运动故)(maxglvGT201 maxTT 减小绳子拉力途径减小绳子拉力途径：减小跑车速度或增加绳长。：减小跑车速度或增加绳长。 Tmax 称为称为动拉力动拉力，由两部分组成，一部分等于，由两部分组成，一部分等于物体重量，称为物体重量，称为静拉力静拉力，另一部分由加速度引起，另一部分由加速度引起，称为称为附加动拉力附加动拉力。注注)(1)(

10、2 cosGT 2)(cosglvG 动力学/质点动力学基本方程GTvn第二类：已知作用在质点上的力，求质点的运动第二类：已知作用在质点上的力，求质点的运动 已知的作用力可能是常力已知的作用力可能是常力, , 也可能是变力。变力可能是时间、也可能是变力。变力可能是时间、位置、速度或者同时是上述几种变量的函数。位置、速度或者同时是上述几种变量的函数。积分问题积分问题 动力学/质点动力学基本方程 正确进行受力分析，画出受力图；正确进行受力分析，画出受力图；( (除分析质点的运动特征外，还要确定其运动初始条件）除分析质点的运动特征外，还要确定其运动初始条件）解题步骤和要点：解题步骤和要点： 正确选择

11、研究对象；正确选择研究对象； 正确进行运动分析；正确进行运动分析；（判断力是什么性质的力，对变力建立力的表达式）（判断力是什么性质的力，对变力建立力的表达式） 选择并列出选择并列出适当形式适当形式的质点运动微分方程；的质点运动微分方程； 求解未知量。求解未知量。 注意：积分应根据注意：积分应根据力的函数形式力的函数形式决定如何积分，并决定如何积分，并利用运动的初始条件，求出质点的运动。利用运动的初始条件，求出质点的运动。 tvdd先进行变量置换先进行变量置换如力是如力是常量常量或是或是时间及速度时间及速度的函数时的函数时如力是如力是位置位置的函数时的函数时tssvdd dd ddsvv 再分离

12、变量积分再分离变量积分可直接分离变量积分可直接分离变量积分动力学/质点动力学基本方程例例2 一质量为一质量为m的质点的质点M，以，以 从地面往上抛，空气阻从地面往上抛，空气阻力力 。试建立质点的运动微分方程，并写出初始。试建立质点的运动微分方程，并写出初始条件。条件。0vvcR （1）上升阶段）上升阶段解：解：建立如图坐标系，建立如图坐标系，PRyxO受力分析：受力分析：M则沿则沿y轴的质点运动微分方程轴的质点运动微分方程ym Pym mgyc0y ycmgym v 重力重力 P 、阻力、阻力 R 即即动力学/质点动力学基本方程R（2）下降阶段）下降阶段PRyxO受力分析：重力受力分析：重力

13、P 、阻力、阻力 R M 则沿则沿y轴的质点运动微分方程轴的质点运动微分方程ym PRym mgyc0y ycmgym v因此，对于整个上升，下降过程质点的运动微分方程为因此，对于整个上升，下降过程质点的运动微分方程为ycmgym 初始条件为：初始条件为： :0t , 0y0vy 动力学/质点动力学基本方程例例3：在简谐力作用下质点沿直线的运动。在简谐力作用下质点沿直线的运动。质量为质量为m的质点在已知力的质点在已知力 作用下沿轴运动，作用下沿轴运动，设设 时，时， ， ，求质点的运动规律。，求质点的运动规律。tPFsin0t0 xx 0vv 本题为已知力是时间函数求质点运动规律的问题。本题为

14、已知力是时间函数求质点运动规律的问题。解：解：质点沿质点沿 x 轴的运动微分方程为：轴的运动微分方程为：质点在任意位置的受力分析如图质点在任意位置的受力分析如图xm tPsintPtvmsindd或或上式可分离变量积分，由运动的初始条件确定积分的上式可分离变量积分，由运动的初始条件确定积分的下限，即有：下限，即有：动力学/质点动力学基本方程FxOxvvvm0dtttP0dsin) 1(cos0tPmvmv得：得：)cos(tmPvv 10 txdd再次分离变量积分，再次分离变量积分， 有有 ttxxttmPtvx000d1dd0)cos( tmPtmPvxx sin)(200 得：得：动力学/

15、质点动力学基本方程tmPtmPvxxsin)(200动力学/质点动力学基本方程例例4： 发射火箭，求脱离地球引力的最小速度。发射火箭，求脱离地球引力的最小速度。 建立坐标系如图示，火箭在任意位置建立坐标系如图示，火箭在任意位置x 处受地球引力处受地球引力F 的作用。的作用。 解：解： 这是已知力是位置函数的第二类问题。这是已知力是位置函数的第二类问题。 取火箭（质点）为研究对象。取火箭（质点）为研究对象。 2xmMfF 2RmMfmg 22 xmgRF 2222ddxmgRtxm质点沿质点沿x轴的运动微分方程为：轴的运动微分方程为： 动力学/质点动力学基本方程 即：即： dd22xmgRtvm

16、xtvxdd dd22xmgRxvmvxxtxxvxddddxvvxxdd dd220 xxmgRRxvmvvvxx用分离变量积分，初始条件：用分离变量积分，初始条件：),:0( 0vvRxtx则在任意位置时的速度则在任意位置时的速度xgRgRvv2202)2(动力学/质点动力学基本方程可见，可见，v 随着随着 x 的增加而减小。若，则在某一的增加而减小。若，则在某一位置位置x=R+H 时速度将减小到零，火箭回落。若时速度将减小到零，火箭回落。若时，无论时，无论x多大（甚至为多大（甚至为）, 火箭也不会回落。因此脱火箭也不会回落。因此脱离地球引力而一去不返离地球引力而一去不返 时（）的最小初速度时（）的最小初速度gRv220gRv220 xgRv20第二宇宙速度第二宇宙速度xgRgRvv2022)2(6370108 . 923km/s)( 2 .11动力学/质点动力学基本方程动力学/质点动力学基本方程