第二章双自由度线性系统振动课件.ppt

1、设方程（）的解为：代入设方程（）的解为：代入(1)、(2)得：得： )sin()sin(2211ptAxptAx0)sin(0)(0)sin()(2212212ptApdcAptAbApa)(0)(0221212BApdcAbAApa要有非零解必须要有非零解必须 0即即:022pdcbpa展开后得展开后得:0)()(24bcadpdap- 频率方程频率方程解之得解之得:)()(222221bcadbcaddadap、分析知分析知: 均为正数均为正数, 其中其中 21、p称为二阶固有频率称基频称为一阶固有频率，也小值21,)(pp通常通常 均取正号。取负号时，均取正号。取负号时，21pp 、)s

2、in()sin(1111tptp将将 分别代入（分别代入（B）式得：）式得： 21pp 、第一阶主振型2121)1(1)1(21pdcbpaAA第二阶主振型2222)2(1)2(22pdcbpaAA上式说明上式说明 为常数，表明为常数，表明 的振幅比为常数，具体大小要用初始的振幅比为常数，具体大小要用初始条件决定。条件决定。21、21mm 、21mm 、的振动形态为：的振动形态为：2)2(1)2(2)2(1)2(21)1(1)1(2)1(1)1(2AAxxAAxx把把 代入代入 得：得：21、21pp 、0)2(2121bcdadab说明说明 同向同向21xx与0)2(2122bcdadab说

3、明说明 反向反向21xx与m 以固有频率振动时称为主振动以固有频率振动时称为主振动主振动的物理意义；主振动的物理意义；第一阶主振动第一阶主振动)sin()sin()sin(111)1(111)1(2)1(211)1(1)1(1tpAtpAxtpAx将将 同同方向给一位移，大小符合方向给一位移，大小符合 然后无初速度地同时然后无初速度地同时释放，此时系统的振动为第一阶主振动，频率为释放，此时系统的振动为第一阶主振动，频率为21mm 、112/AA1p第二阶主振动第二阶主振动)sin()sin()sin(222)2(122)2(2)2(222)2(1)2(1tpAtpAxtpAx将将 反方向给一位

4、移，大小符合反方向给一位移，大小符合 然后无初速度地同时然后无初速度地同时释放，此时系统激发的振动为第二阶主振动，频率为释放，此时系统激发的振动为第二阶主振动，频率为 ，振幅，振幅 由由初始条件决定。初始条件决定。21mm 、212/AA2p21A、A3. 系统对初始条件的响应系统对初始条件的响应 实际中实际中,二自由度系统受到任意初干扰时二自由度系统受到任意初干扰时,并不满足并不满足 , 因此系统的因此系统的各阶主振动都要被同时激发各阶主振动都要被同时激发,所出现的自由振动应是这些简谐振动的迭加。所出现的自由振动应是这些简谐振动的迭加。由于由于 的比值不一定是有理数，所以合成振动也不一定具有

5、周期性，的比值不一定是有理数，所以合成振动也不一定具有周期性，是一种非周期的复杂运动是一种非周期的复杂运动(振动）振动）21、21pp 、 由微分方程理论知，两阶主振动只是方程组（由微分方程理论知，两阶主振动只是方程组（A）的两组特解，而通解）的两组特解，而通解应由这两组特解迭加组成。即方程的应由这两组特解迭加组成。即方程的 通解为：通解为：)sin()sin()sin()sin(22)2(211)2(1)2(2)1(2222)2(111)1(1)2(1)1(11tpxtpAxxxtpAtpAxxx)sin()sin(222)2(1111)1(1tpAtpA需四个初始条件确定。为四个独立未知数

6、，、其中：2)2(11)1(1AA0202100120021001,xxxxxxxxtttt，设后可解出：代入2121,xxxx20101201011122010220102111222010122010121)2(1212010222010212)1(1)()(11xxxxptgxxxxptgpxxxxApxxxxA扭转振动设I1顺时针转动为正，则圆盘受力情况如图所示002122211122211121kkIkkIIkIk 即：系统的振动方程为：AccaadIkcbIka00,21221121 则：设：0sinsin242211pcapAptAptA式得频率方程为：代入设其解为：扭转振动ca

7、pp2221,0解之得：21212IIIIkcap即：212222111IIacbcbpaaabpa振幅比：移只转不扭，表示刚体位，）讨论：2111101p为基频）212122IIIIkp 初始条件确定。有四个未知数，需四个系统全解为：22212122211211sinsintpAtcctpAtcc刚体在平面内的振动 用质心坐标和围绕质心的转动坐标描述杆的运动。以静平衡位置为原点，向下、逆时针方向为正，则杆的振动方程为： ccccccIllxkllxkxmlxklxk2221112211002222111122112221lklkxlklkIlklkxkkxmcccc 整理得：ccIlklkd

8、Ilklkcmlklkbmkka2222111122112221,设：00dcxbaxxccc 有： bcdadabAAbcdadabAA221222211121221221主振型为：, 0)0, 0(111122cblklk时）讨论：同向与c, 02反向与cx 11122122AAAA同时振型以转动振动为主。心振动为主，第二阶主说明第一阶主振型以质0)22211cblklk时，00dacxc 即：ccIkllkdpmkkapx222112211称为主坐标。与可单独求解，此时二方程无耦合项，梁的横向振动力学模型1. jiijijkkjikij的刚度影响系数。点之间、称点处必须施加的外力在余点无

9、位移，点产生单位位移，而其定义：仅在刚度影响系数：,2 .11,jiijijjiij其中。点之间的柔度影响系数、称的位移点上产生第点上作用单位载荷，在定义：在第柔度影响系数：）影响系数并且与加载次序无关。作用时产生变形的和，等于每一外力单独对于线性系统，总变形方程用迭加法建立系统振动)2111Y位移方程2则：、处的总位移分别为点、共同作用下，、如图所示，在,212121YYFF1212FY222F1F力方程3方程为：点处的力（平衡）则、处的总位移分别为点、共同作用下，、如图所示，在1,212121YYFF11k1Y 12k2Y1F所需的总力点处产生在11Y2Y22221212FYkYk点处的力

10、方程为：同理，在2点变形 时，为使1点不动而在1点处附加的外力在1点变形 时，为使2点不动而在2点处附加的外力，两项之和等于2点处的总外力1Y212F111Y）柔度影响系数法迭加法应用1411Ym 2212Ym 112122222YmYmY 惯性耦合）(用刚度影响系数法）22212122211212111YmYkYkYmYkYk )sin)sin(mm221121ptAYptAY（。设方程的解为：以解位移方程为例说明获得。的运动规律通过解方程、01122222121221221112pmpmpmpmp零解条件，得：代入位移方程，考虑非频率方程 2222222121222122211122222

11、21222211212121221111121211111pmpmpmpmAApmpmpmpmAA相应的主振型为：条件定解。代入原方程后，用初始量系统的强迫振动二自由度无阻尼弹簧质的运动方程为：、则右为正建立坐标系以静平衡位置为原点向211.mm2223112211122111sinsinxmxkxxktFxmxxkxktF tFxkkxkxmtFxkxkkxmsin)(sin2232122212212111 整理得：2221112322212121,mFfmFfmkkdmkcmkbmkka设：）（则：1sinsin22121211tfdxcxxtfbxaxx ）式得：代入（设：强迫振动的稳态

12、解1sinsin. 22211tBxtBx22211212)()(fBdcBfbBBa 2222212222122222121)(a(ppdBcffaBAbffdB）（）其中）解得： 动；为与激励同频的简谐振、讨论211xx ;,221pp系统有两次共振 一定。无关，为定值，振幅比与tbffdfacfBB212221123 212111)1(21pdcbpaBB系统的振型为：12112221fpdcfbffpa作变换：12121221fpdbfcffpa121121211221fpdfpdbfcfcffpa1211211121211221pdcfpdfcbffpdcffpa21212212bf

13、fdcffaBB：而强迫振动的振幅比为均为主振型。任一共振频率下的振型 幅频特性4 幅频响应曲线。共振时的振幅比，系统的响应，求而上作用激振力以上图为例，在321. 0,sin:211FtFmEX.25,23,2,22221mkpmkpmkdmkcmkbmka已知： 221221222122212125252252325231mkmkkFmkmkmFmkBmkmkFmkmkmkmFmkB达式得：把已知条件代入振幅表解：tBxtBxsinsin2211系统的响应为： 212332mkkBB振幅比1112212BBmkp时，当2125212222BBmkp时，当出现，与自由振动不同可见，两种振型不

14、同时 幅频响应曲线31m2m大；共振时振幅同时达到最系统有两次共振，每次结论：1反共振；上作用有而时，当, 0sin; 0232111tFmBmk的运动规律不同、213mm量系统的强迫振动有阻尼二自由度弹簧质的运动方程为：、则右为正建立坐标系以静平衡位置为原点向211.mm22121121112122111sinxmxxcxxkxmxxcxxkxktF 0sin212212221212212111xxcxkxkxmtFxxcxkxkkxm 整理得：tjtjtjeAxeAxeF22111解为：表示又边的激振力，则为求解方便，以）（代入上式有1022221212212121AjcmkAjckeFe

15、AjckeAjcmkktjtjtj22211222222211222111222222mmkjcmkmkmkjcmkFeAAjcmkjckAAj代入第一式得：得：解出22221122222222221122222211)(mmkcmkmkmkcmkFA按复数运算规则可得：弹簧质量系统。上再挂一不动，可在为使上作用有外干扰系统，如图，考虑22111111,sinmmkmmtFmk0sin22122212212111xkxkxmtFxkxkkxm 系统的运动方程为：动力减振器0,21112212121fmFfdmkcmkbmkka设：）的振幅为：则：212221211(fdbffdBm0,1222

16、22Bmkmkd时，即显然，也就是附加弹簧质量系统的固有频率等于也就是附加弹簧质量系统的固有频率等于m1上的激振频率时可使上的激振频率时可使m1不动。不动。21121112122/(kFmkmFbfcfBm）的振幅为：而tkFtBxmsinsin21222的响应为：不动。上的激振力相平衡，使恰好与说明在任意时刻下面受到的作用力为：1112221,sinmmttFxkFm主动隔振主动隔振 (二次隔振）二次隔振）采用一次隔振不能满足要求时，应考虑二次隔振。即在原系统上再构造一采用一次隔振不能满足要求时，应考虑二次隔振。即在原系统上再构造一个个k-m系统，形成二自由度系统，如图所示。系统，形成二自由度系统，如图所示。0sin22111221221111xkkxkxmtFxkxkxm 系统的运动方程为：2222212222122222121)(a(ppdcffaBbffdB）（）其中）振幅为：精品课件精品课件！精品课件精品课件！21222max22fckBkPk 传给地基的载荷为由212111max1fdkBkPk传给地基的载荷为而一次隔振时由2221222211112212max1max2mkkkmkkkmkkdkckPP，隔振效果显著。合理选择参数可使1max1max2PP