2022年湖南省高考数学调研试卷（3月份）（学生版+解析版）.docx

1、2022年湖南省高考数学调研试卷（3月份）一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1（5分）设Ax|lgx0，Bx|x2x20，则（RA）B（）Ax|x1Bx|1x1Cx|1x1Dx|1x22（5分）已知i是虚数单位，若z=i+a1+i为纯虚数，则实数a（）A1B2C1D23（5分）若x6a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+a3（x+1）3+a6（x+1）6，则a3（）A20B20C15D154（5分）下列说法中正确的是（）A已知随机变量X服从二项分布B（4，13），则E（X）=89B“A与B是互斥事件”是“A与B互为对立事件

2、”的充分不必要条件C已知随机变量X的方差为D（X），则D（2X3）2D（X）3D已知随机变量X服从正态分布N（4，2）且P（X6）0.85，则P（2X4）0.355（5分）已知函数f（x）x3+2x2f（1）+2，且其图象在点x2处的切线的倾斜角为，则sin（2+）cos（32-）的值为（）A316B-316C417D-4176（5分）蹴鞠，又名蹴球，踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球因而蹴鞠就是指古人以脚蹴，蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球2006年5月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录已知某鞠的表面上有五个点P、A、B

3、、C、D恰好构成一正四棱锥PABCD，若该棱锥的高为8，底面边长为42，则该鞠的表面积为（）A64B100C132D1447（5分）已知幂函数f(x)=(m-1)2xm2-4m+2在（0，+）上单调递增，函数g（x）2xa，x11，5，x21，5，使得f（x1）g（x2）成立，则实数a的取值范围是（）Aa1Ba23Ca31Da78（5分）已知双曲线C：x2a2-y2b2=1（a0，b0）的左、右焦点分别为F1，F2，M，N为双曲线一条渐近线上的两点，A为双曲线的右顶点，若四边形MF1NF2为矩形，且MAN=23，则双曲线C的离心率为（）A3B7C213D13二、多选题（本大题共4小题，每小题5

4、分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。）（多选）9（5分）下列说法正确的是（）A为了更好地开展创文创卫工作，需要对在校中小学生参加社会实践活动的意向进行调查，拟采用分层抽样的方法从该地区A、B、C、D四个学校中抽取一个容量为400的样本进行调查，已知A、B、C、D四校人数之比为7：4：3：6，则应从B校中抽取的样本数量为80B6件产品中有4件正品，2件次品，从中任取2件，则至少取到1件次品的概率为0.6C已知变量x、y线性相关，由样本数据算得线性回归方程是y=0.4x+a，且由样本数据算得x=4，y=3.7，则a=2.1D箱

5、子中有4个红球、2个白球共6个小球，依次不放回地抽取2个小球，记事件M第一次取到红球，N第二次取到白球，则M、N为相互独立事件（多选）10（5分）已知函数f（x）Asin（x+）（A0，0，|1）的部分图像如图所示，下列结论正确的是（）A=-4B将f（x）的图像向右平移1个单位，得到函数y=2sin4x的图像Cf（x）的图像关于直线x1对称D若|x1x2|4，则|f（x1）f（x2）|4（多选）11（5分）已知圆C过点A（1，3），B（2，2），直线m：3x2y0平分圆C的面积，过点D（0，1）且斜率为k的直线l与圆C有两个不同的交点M，N，则（）A圆心的坐标为C（2，3）B圆C的方程为（x2

6、）2+（y3）21Ck的取值范围为（13，73）D当k=12时，弦MN的长为255（多选）12（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x0时，f（x）ex（x+1），则下列命题正确的是（）A当x0时，f（x）ex（x1）B函数f（x）有3个零点Cf（x）0的解集为（，1）（0，1）Dx1，x2R，都有|f（x1）f（x2）|2三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。）13（5分）若直线l的方向向量m=（x，1，2），平面的法向量n=（2，2，4），且直线l平面，则实数x的值是 14（5分）已知抛物线C：x22y上有两动点P，Q，且|PQ|5，则线段PQ的中点到x轴距离的最小值

7、是 15（5分）设函数f（x）=log2(-x2)，x-1-13x2+43x+23，x-1，若f（x）在区间m，4上的值域为1，2，则实数m的取值范围为 16（5分）用g（n）表示自然数n的所有正因数中最大的那个奇数，例如：9的正因数有1、3、9，g（9）9，10的正因数有1、2、5、10，g（10）5记S（n）g（1）+g（2）+g（3）+g（2n），则：（1）S（4） ；（2）S（n） 四、解答题：（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）17（10分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinAsinB+ccosA（acosA+2b）cosB（

8、）求B；（）若b23，ABCB=6，求ABC的周长18（12分）已知数列an的前n项的和为Sn，且满足Sn2an1（nN*）（1）求数列an的通项公式an及Sn；（2）若数列bn满足bn|Sn31|，求数列bn的前n项的和Tn19（12分）筝形是指有一条对角线所在直线为对称轴的四边形如图，四边形ABCD是一个筝形，ABAD=3，CDCB1，AC2，沿对角线AC将ADC折起到E点，形成四棱锥EABCD（）点M为线段AE中点，求证：BM平面ECD；（）当EB=32时，求直线BC与平面EAD所成角的正弦值20（12分）某市为了解2020年十一双节期间市民旅游出行的方式及满意程度，对去该市市区内甲、乙

9、、丙三个景点旅游的市民进行了调查现从中随机抽取100人作为样本，得到如表（单位：人）：满意度得分甲乙丙报团游自驾游报团游自驾游报团游自驾游10分12112107145分4144490分107217合计17223161230（1）从样本中任取1人，求这人没去丙景点的概率；（2）根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率针对甲、乙、丙三个景点，从全市十一双节期间旅游出行选自驾游的所有人中，随机选取2人，记X为去乙景点的人数，求X的分布列和数学期望；（3）如果王某要去甲、乙、丙三个景点旅游，那么以满意度得分的均值为依据，你建议王某是报团游还是自驾游？说明理由21（12分）在平面直角坐标系x

10、Oy中，设F为椭圆C：x2a2+y2b2=1（ab0）的左焦点，直线x=-a2c与x轴交于点P，M为椭圆C的左顶点，已知椭圆长轴长为8，且PM=2MF（1）求椭圆C的标准方程；（2）若过点P的直线与椭圆交于两点A，B，设直线AF，BF的斜率分别为k1，k2求证：k1+k2为定值；求ABF面积的最大值22（12分）已知函数f（x）exlnx，g（x）xex+1e（1）求函数f（x）在t，t+1（t0）上的最小值；（2）证明：当x0时，xf（x）g（x）2022年湖南省高考数学调研试卷（3月份）参考答案与试题解析一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是

11、符合题目要求的。）1（5分）设Ax|lgx0，Bx|x2x20，则（RA）B（）Ax|x1Bx|1x1Cx|1x1Dx|1x2【解答】解：因为Ax|lgx0x|x1，Bx|x2x20x|（x2）（x+1）0x|1x2，所以RAx|x1，所以（RA）Bx|1x1故选：B2（5分）已知i是虚数单位，若z=i+a1+i为纯虚数，则实数a（）A1B2C1D2【解答】解：z=i+a1+i=(a+i)(1-i)(1+i)(1-i)=a+12+1-a2i为纯虚数，a+12=01-a20，解得a1故选：C3（5分）若x6a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+a3（x+1）3+a6（x+1）6，则a3（）A2

12、0B20C15D15【解答】解：x61+（1+x）6a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+a3（x+1）3+a6（x+1）6，则a3=C63（1）320，故选：B4（5分）下列说法中正确的是（）A已知随机变量X服从二项分布B（4，13），则E（X）=89B“A与B是互斥事件”是“A与B互为对立事件”的充分不必要条件C已知随机变量X的方差为D（X），则D（2X3）2D（X）3D已知随机变量X服从正态分布N（4，2）且P（X6）0.85，则P（2X4）0.35【解答】解：对于A：随机变量X服从二项分布B（4，13），则E（X）413=43，故A错误；对于B：“A与B是互斥事件”不能推出“A与B互

13、为对立事件“，但是“A与B是互斥事件”“A与B互为对立事件“，故A与B是互斥事件”是“A与B互为对立事件”的必要不充分条件，故B错误；对于C：随机变量X的方差为D（X），则D（2X3）4D（X），故C错误；对于D：因为随机变量X服从正态分布N（4，2）且P（X6）0.85，所以P（X2）0.15，所以P（2X4）0.35，故D正确故选：D5（5分）已知函数f（x）x3+2x2f（1）+2，且其图象在点x2处的切线的倾斜角为，则sin（2+）cos（32-）的值为（）A316B-316C417D-417【解答】解：f（x）x3+2x2f（1）+2，f（x）3x2+4xf（1），f（1）3+4f（

14、1），即f（1）1，f（x）3x24x，图象在点x2处的切线的斜率kf（2）4tan，则sin（2+）cos（32-）cossin=-sincossin2+cos2 =-tan1+tan2 =-417，故选：D6（5分）蹴鞠，又名蹴球，踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球因而蹴鞠就是指古人以脚蹴，蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球2006年5月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录已知某鞠的表面上有五个点P、A、B、C、D恰好构成一正四棱锥PABCD，若该棱锥的高为8，底面边长为42，则该鞠的表面积为（）A64B100C132D1

15、44【解答】解：正四棱锥PABCD的底面是正方形，底面边长为42，高为8，如图所示：所以正四棱锥PABCD的底面对角线的长为422=8，设正四棱锥外接球的半径为R，则R2（8R）2+42，解得R5，所以球的表面积为S4R2425100，即该鞠的表面积为100故选：B7（5分）已知幂函数f(x)=(m-1)2xm2-4m+2在（0，+）上单调递增，函数g（x）2xa，x11，5，x21，5，使得f（x1）g（x2）成立，则实数a的取值范围是（）Aa1Ba23Ca31Da7【解答】解：幂函数f(x)=(m-1)2xm2-4m+2在（0，+）上单调递增，(m-1)2=1m2-4m+20，解得m0，f

16、（x）x2，当x11，5时，f（x1）1，25，则f（x1）min1，又当x21，5时，g（x2）2a，32a，g（x2）min2a，由题意得：12a，解得：a1，故选：A8（5分）已知双曲线C：x2a2-y2b2=1（a0，b0）的左、右焦点分别为F1，F2，M，N为双曲线一条渐近线上的两点，A为双曲线的右顶点，若四边形MF1NF2为矩形，且MAN=23，则双曲线C的离心率为（）A3B7C213D13【解答】解：如图，因为四边形MF1NF2为矩形，所以|MN|F1F2|2c（矩形的对角线相等），所以以MN为直径的圆的方程为x2+y2c2，直线MN为双曲线的一条渐近线，不妨设其方程为y=bax

17、，由y=baxx2+y2=c2，解得x=ay=b，或x=-ay=-b，所以N（a，b），M（a，b）或N（a，b），M（a，b），不妨设N（a，b），M（a，b），又A（a，0）所以|AM|=(a+a)2+b2=4a2+b2，|AN|=(a-a)2+b2=b，在AMN中，MAN=23，由余弦定理得|MN|2|AM|2+|AN|22|AM|AN|cos23，即4c24a2+b2+b2+4a2+b2b，则2b=4a2+b2，所以4b24a2+b2，则b2=43a2，所以e=1-b2a2=213故选：C二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选

18、对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。）（多选）9（5分）下列说法正确的是（）A为了更好地开展创文创卫工作，需要对在校中小学生参加社会实践活动的意向进行调查，拟采用分层抽样的方法从该地区A、B、C、D四个学校中抽取一个容量为400的样本进行调查，已知A、B、C、D四校人数之比为7：4：3：6，则应从B校中抽取的样本数量为80B6件产品中有4件正品，2件次品，从中任取2件，则至少取到1件次品的概率为0.6C已知变量x、y线性相关，由样本数据算得线性回归方程是y=0.4x+a，且由样本数据算得x=4，y=3.7，则a=2.1D箱子中有4个红球、2个白球共6个小球，依次不放回地抽取2个小球，

19、记事件M第一次取到红球，N第二次取到白球，则M、N为相互独立事件【解答】解：对于选项A，采用分层抽样的方法从该地区A、B、C、D四个学校中抽取一个容量为400的样本进行调查，A、B、C、D四校人数之比为7：4：3：6，故应从B校中抽取的样本数量为40047+4+3+6=80，故正确；对于选项B，至少取到1件次品的概率为22+412162=35=0.6，故正确；对于选项C，线性回归方程是y=0.4x+a，且x=4，y=3.7，a=3.70.442.1，故正确；对于选项D，M、N不是相互独立事件，故错误；故选：ABC（多选）10（5分）已知函数f（x）Asin（x+）（A0，0，|1）的部分图像如

20、图所示，下列结论正确的是（）A=-4B将f（x）的图像向右平移1个单位，得到函数y=2sin4x的图像Cf（x）的图像关于直线x1对称D若|x1x2|4，则|f（x1）f（x2）|4【解答】解：由图可知A2，函数f（x）的最小正周期为T4（53）8，则=2T=4，由f（5）2sin（54+）2，得sin（54+）1，所以，54+=32+2k，（kZ），得=4+2k，（kZ），因为|1，得=4，所以f（x）2sin（4x+4），A项错误；将f（x）的图象向右平移1个单位，得到函数f（x1）2sin4（x1）+42sin4x的图象，B项正确；可得f（1）2sin（-4+4）0，故C项错误；由于f（

21、x）的最小正周期为T=24=8，所以若|x1x2|4=T2，则|f（x1）f（x2）|4，故D项正确故选：BD（多选）11（5分）已知圆C过点A（1，3），B（2，2），直线m：3x2y0平分圆C的面积，过点D（0，1）且斜率为k的直线l与圆C有两个不同的交点M，N，则（）A圆心的坐标为C（2，3）B圆C的方程为（x2）2+（y3）21Ck的取值范围为（13，73）D当k=12时，弦MN的长为255【解答】解：设圆方程为（xa）+（yb）r，因为圆C被直线m：3x2y0平分，所以圆心（a，b）在直线m上，则由3a2b0，由条件圆C过A，B两点，则(1-a)2+(3-b)2=r2(2-a)2+(

22、2-b)2=r2，解得a2，b3，r1，所以圆心C（2，3），故A正确；圆C的方程为（x2）2+（y3）21，故B正确；由题可知过点D（0，1）且斜率为k的直线l方程为ykx+1，即kxy+10，由直线l与圆C 由两个不同交点M，N，所以点C到直线l的距离小于半径r，即|2k-3+1|k2+11，解得4-73k4+73，故C错误；当k=12时，可求得点C（2，3）到直线l的距离d=|2k-3+1|k2+1=255，则弦长|MN|2r2-d2=21-(255)2=255，故D正确；故选：ABD（多选）12（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x0时，f（x）ex（x+1），则下列命题正

23、确的是（）A当x0时，f（x）ex（x1）B函数f（x）有3个零点Cf（x）0的解集为（，1）（0，1）Dx1，x2R，都有|f（x1）f（x2）|2【解答】解：函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x0时，f（x）ex（x+1），设x0时，x0，f（x）ex（x+1），f（x）f（x）ex（x1），x0时，f（0）0因此函数f（x）有三个零点：0，1当x0时，f（x）ex（x+1），f（x）ex（x+2），可得x2时，函数f（x）取得极小值，f（2）=-1e2可得其图象：f（x）0时的解集为：（，1）（0，1）x1，x2R，都有|f（x1）f（x2）|f（0+）f（0）|2因此BCD都正确故选

24、：BCD三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。）13（5分）若直线l的方向向量m=（x，1，2），平面的法向量n=（2，2，4），且直线l平面，则实数x的值是 1【解答】解：直线l的方向向量m=（x，1，2），平面的法向量n=（2，2，4），且直线l平面，mn，x-2=-1-2=24，解得实数x1故答案为：114（5分）已知抛物线C：x22y上有两动点P，Q，且|PQ|5，则线段PQ的中点到x轴距离的最小值是 2【解答】解：设抛物线C的焦点为F，点P在抛物线的准线y=-12上的投影为P1，点Q在直线y=-12上的投影为Q1，线段PQ的中点为E，点E到x轴的距离为d，则|PP1|+|

25、QQ1|PF|+|QF|PQ|5，所以d=12（|PP1|+|QQ1|）0.52，当且仅当|PF|+|QF|PQ|，即P、F、Q三点共线时等号成立，所以线段PQ的中点到x轴距离的最小值为2，故答案为：215（5分）设函数f（x）=log2(-x2)，x-1-13x2+43x+23，x-1，若f（x）在区间m，4上的值域为1，2，则实数m的取值范围为8，1【解答】解：函数f（x）的图象如图所示，结合图象易得当m8，1时，f（x）1，2故答案为：8，116（5分）用g（n）表示自然数n的所有正因数中最大的那个奇数，例如：9的正因数有1、3、9，g（9）9，10的正因数有1、2、5、10，g（10）

26、5记S（n）g（1）+g（2）+g（3）+g（2n），则：（1）S（4）86；（2）S（n）4n+23【解答】解：由题意得g（n）=n，n=2k-1，kN*g(n2)，n=2k，kN*，由g（n）的定义易知g（n）g（2n），且若n为奇数则g（n）n，S（4）g（1）+g（2）+g（3）+g（4）+g（16）g（1）+g（3）+g（5）+g（15）+g（2）+g（4）+g（16）1+3+5+15+g（1）+g（2）+g（3）+g（8）64+g（1）+g（3）+g（5）+g（7）+g（2）+g（4）+g（6）+g（8）64+1+3+5+7+g（1）+g（2）+g（3）+g（4）64+1+3+5+

27、7+1+3+g（1）+g（2）64+1+3+5+7+1+3+1+g（1）64+1+3+5+7+1+3+1+186，S（n）g（1）+g（2）+g（3）+g（2n）g（1）+g（3）+g（5）+g（2n1）+g（2）+g（4）+g（6）+g（2n）1+3+5+7+2n1+g（1）+g（2）+g（3）+g（2n1）4n1+S（n1）4n1+4n2+S（n2）4n1+4n2+4n3+4+S（1）=4n-43+g（1）+g（2）=4n-43+2g（1）=4n-43+2=4n+23故答案为：86；4n+23四、解答题：（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）17（10分）A

28、BC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinAsinB+ccosA（acosA+2b）cosB（）求B；（）若b23，ABCB=6，求ABC的周长【解答】解：（）因为asinAsinB+ccosA（acosA+2b）cosB，可得a（sinAsinBcosAcosB）+ccosA2bcosB，所以acos（A+B）+ccosA2bcosB，可得acosC+ccosA2bcosB，由正弦定理可得sinAcosC+sinCcosA2sinBcosB，整理可得sin（A+C）2sinBcosBsinB，因为sinB0，可得cosB=12，由B（0，），可得B=3（）由余弦定理可得b2a2

29、+c22accosB，即（a+c）23ac12，因为ABCB=BABC=accosB=12ac6，解得ac12，所以（a+c）23612，解得a+c43，所以ABC的周长为6318（12分）已知数列an的前n项的和为Sn，且满足Sn2an1（nN*）（1）求数列an的通项公式an及Sn；（2）若数列bn满足bn|Sn31|，求数列bn的前n项的和Tn【解答】解：（1）在Sn2an1中，令n1，则a12a11，即a11，由Sn2an1知，Sn+12an+11，两式相减得，an+12an+12an，即an+12an，所以数列an是首项为1，公比为2的等比数列，所以数列an的通项公式an12n12n

30、1，前n项和公式Sn=1(1-2n)1-2=2n1（2）bn|Sn31|2n131|2n32|=32-2n，1n52n-32，n5，当1n5时，Tn（3221）+（3222）+（322n）32n（21+22+2n）32n-2(1-2n)1-2=32n2n+1+2；当n5时，Tn（3221）+（3222）+（3225）+（2632）+（2n32）2T5+（21+22+2n）32n298+2(1-2n)1-2-32n2n+132n+194，综上，Tn=32n-2n+1+2，1n52n+1-32n+194，n519（12分）筝形是指有一条对角线所在直线为对称轴的四边形如图，四边形ABCD是一个筝形，

31、ABAD=3，CDCB1，AC2，沿对角线AC将ADC折起到E点，形成四棱锥EABCD（）点M为线段AE中点，求证：BM平面ECD；（）当EB=32时，求直线BC与平面EAD所成角的正弦值【解答】解：（）证明：延长AB，DC交于点F，ABCFBC，点B是线段AF的中点，点M是线段AE中点，MBEF，MB平面ECD，EF平面ECD，BM平面ECD（）作EOAC于O，连接BO，AOEEOB，BOAC，AC平面EOB，如图，建立空间直角坐标系，ABAD=3，CDCB1，AC2，EB=32，OE=312=32，OB=32，cosEOB=OE2+OB2-EB22OEOB=-12，EOB120，B（32，

32、0，0），C（0，-12，0），A（0，32，0），D（-32，0，0），E（-34，0，34），BC=（-32，-12，0），AD=（-32，-32，0），DE=（34，0，34），设平面AED的法向量是n=（x，y，z），则nAD=-32x-32y=0nDE=34x+34z=0，取z1，得n=（-3，1，1），设直线BC与平面EAD所成角为，则直线BC与平面EAD所成角的正弦值sin|cosn，BC|nBC|n|BC|=55直线BC与平面EAD所成角的正弦值为5520（12分）某市为了解2020年十一双节期间市民旅游出行的方式及满意程度，对去该市市区内甲、乙、丙三个景点旅游的市民进行了调查

33、现从中随机抽取100人作为样本，得到如表（单位：人）：满意度得分甲乙丙报团游自驾游报团游自驾游报团游自驾游10分12112107145分4144490分107217合计17223161230（1）从样本中任取1人，求这人没去丙景点的概率；（2）根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率针对甲、乙、丙三个景点，从全市十一双节期间旅游出行选自驾游的所有人中，随机选取2人，记X为去乙景点的人数，求X的分布列和数学期望；（3）如果王某要去甲、乙、丙三个景点旅游，那么以满意度得分的均值为依据，你建议王某是报团游还是自驾游？说明理由【解答】解：（1）设事件“从样本中任取1人，这人没去丙景点”为事

34、件A，由表格中所给数据可得，去甲，乙，丙旅游的人数分别为19，39，42，故P（A）=19+39100=2950（2）由题意可得，X的所有可能取值为0，1，2，从全市十一双节期间旅游出行选自驾游的所有人中，随机取1人，此人取乙景点的概率为1648=13，P（X0）=C20(1-13)2=49，P（X1）=C2113(1-13)=49，P（X2）=C22(13)2=19，故X的分布列为：X012P 49 4919 E（X）=049+149+219=23（3）由题干所给表格中数据可知，报团游，自驾游的总人数分别为52，48，得分为10分报团游，自驾游的总人数分别为31，25，得分为5分报团游，自驾

35、游的总人数分别为12，14，得分为0分报团游，自驾游的总人数分别为9，9，所以从满意度来看，报团游满意度的均值为3110+125+9052=18526，自驾游满意度的均值为2510+145+9048=203，18526203，建议王某选择报团游21（12分）在平面直角坐标系xOy中，设F为椭圆C：x2a2+y2b2=1（ab0）的左焦点，直线x=-a2c与x轴交于点P，M为椭圆C的左顶点，已知椭圆长轴长为8，且PM=2MF（1）求椭圆C的标准方程；（2）若过点P的直线与椭圆交于两点A，B，设直线AF，BF的斜率分别为k1，k2求证：k1+k2为定值；求ABF面积的最大值【解答】解：（ 1）因为

36、2a8，所以a4，又PM=2MF，所以a2c-a=2(a-c)，所以c2，b212，所以椭圆C的标准方程为x216+y212=1（2）当AB的斜率为0时，显然k1k20，k1+k20当AB的斜率不为0时，设AB：xmy8，由x=my-8，x216+y212=1， 得（3m2+4）y248my+1440，设A（x1，y1），B（x2，y2），故有y1+y2=48m3m2+4，y1y2=1443m2+4，所以 k1+k2=y1x1+2+y2x2+2=y1my1-6+y2my2-6=y1(my2-6)+y2(my1-6)(x1+2)(x2+2)因为y1（my26）+y2（my16）2my1y26（y

37、1+y2）0，所以k1+k20综上所述，恒有k1+k20为定值SABF=SPBF-SPAF=12|PF|y1-y2|=72m2-43m2+4，即SABC=72m2-43m2+4=72m2-43(m2-1)+16=723m2-4+16m2-472248=33，当且仅当3m2-4=16m2-4，即m=2213时取等号 （此时适合0 ），所以ABF面积的最大值为3322（12分）已知函数f（x）exlnx，g（x）xex+1e（1）求函数f（x）在t，t+1（t0）上的最小值；（2）证明：当x0时，xf（x）g（x）【解答】解：（1）当x0时，令f(x)=e-1x=0得x=1e，当x(0，1e)时，

38、f（x）0，当x(1e，+)时，f（x）0，故f（x）在（0，1e）上单调递减，在（1e，+）上单调递增，故：当0t1e时，显然t+11e，故f（x）在（t，1e）上单调递减，在（1e，t+1上单调递增，故此时f(x)min=f(1e)=2；当t1e时，f（x）在t，t+1上单调递增，故f（x）minf（t）etlnt；综上可知：当0t1e时，f(x)min=f(1e)=2；当t1e时，f（x）minf（t）etlnt（2）证明：先证x0时，exex，令h（x）exex（x0），h（x）exe，h（x）0得x1；h（x）0得0x1，故h（x）在（0，1）上单调递减，在1，+）上单调递增，故h（x）minh（1）0，所以x0时，h（x）0，即exex恒成立，当x0时，要证xf（x）g（x），即ex2xlnxxex+1e，结合式，即证即ex2xlnxex2+1e成立，即证xlnx-1e在（0，+）上恒成立，令m（x）xlnx，x0，由m（x）1+lnx0得x=1e，当x(0，1e)时，m（x）0，(1e，+)时，m（x）0，故m（x）在（0，1e）单调递减，在（1e，+）单调递增，故m（x）min=m(1e)=-1e，即xlnx-1e恒成立，因为两式取等号的条件不一致，故ex2xlnxxex+1e当x0时恒成立，即当x0时，xf（x）g（x）