2022年广东省揭阳市、丰顺县高考数学联考试卷（3月份）（学生版+解析版）.docx

1、2022年广东省揭阳市、丰顺县高考数学联考试卷（3月份）一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）设集合A=x|x+1x-40，Bx|1x3，则A（RB）（）Ax|3x4或x1Bx|3x4Cx|3x4或x1Dx|3x42（5分）已知复数z满足（3+i）z=1+7i，则|z3i|（）A2B22C17D263（5分）设0ab，则下列不等式中正确的是（）Aababa+b2Baaba+b2bCaabba+b2Dabaa+b2b4（5分）古希腊数学家阿基米德在论球和圆柱中，运用穷竭法证明了与球的面积和体积相关的公式其中包括他最得意的

2、发现“圆柱容球”设圆柱的高为2，且圆柱以球的大圆（球大圆为过球心的平面和球面的交线）为底，以球的直径为高则球的表面积与圆柱的体积之比为（）A4：3B3：2C2：1D8：35（5分）椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点为F，过F作x轴的垂线交椭圆C于A，B两点，若OAB是直角三角形（O为坐标原点），则C的离心率为（）A5-2B3-1C5-12D3-126（5分）已知（1+x）+2（1+x）2+3（1+x）3+10（1+x）10a0+a1x+a2x2+a10x10，则a7（）A9C113B283C113C293C113D10C1137（5分）在新的高考改革方案中规定：每位考生的高考成绩

3、是按照3（语文、数学、英语）+2（物理、历史）选1+4（化学、生物、地理、政治）选2的模式设置的，则在选考的科目中甲、乙两位同学恰有两科相同的概率为（）A14B13C512D128（5分）设函数f（x）xsinx+cosx，则下列四个结论中正确的是（）函数f（x）是偶函数；曲线yf（x）在x0处的切线方程为y1；当x2，2时，f（x）单调递减；关于x的方程xsinx+cosxa在x0，2只有两个实根，则实数a的取值范围为-32，2ABCD二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.（多选）9（5分

4、）下列说法中正确的是（）AAB+BA=0B若|a|b|且ab，则a=bC若a、b非零向量且|a+b|a-b|，则abD若ab，则有且只有一个实数，使得b=a（多选）10（5分）下列说法正确的有（）AXB（n，13），且D（X）2，则n6B设有一个回归方程y=35x，变量x增加1个单位时，y平均减少5个单位C线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱D在某项测量中，测盘结果服从正态分布N（1，2）（0），则P（1）0.5（多选）11（5分）已知抛物线x2=12y的焦点为F，M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线上两点，则下列结论正确的是（）A点F的坐标为（18，0）B

5、若直线MN过点F，则x1x2=-116C若MF=NF，则|MN|的最小值为12D若|MF|+|NF|=32，则线段MN的中点P到x轴的距离为58（多选）12（5分）如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，O为正方体的中心，M为DD1的中点，F为侧面正方形AA1D1D内一动点，且满足B1F平面BC1M，则（）A若P为正方体表面上一点，则满足OPA的面积为22的点有12个B动点F的轨迹是一条线段C三棱锥FBC1M的体积是随点F的运动而变化的D若过A，M，C1三点作正方体的截面，Q为截面上一点，则线段A1Q长度的取值范围为263，22三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13

6、（5分）已知数列an为等差数列，数列an的前5项和S520，a56，则a10 14（5分）函数f(x)=x+2x+1的图象在x1处的切线方程为 15（5分）已知a，b，c是三个不同的非零向量，若|a|=|c|且cosa，b=cosc，b，则称c是a关于b的对称向量已知向量a=(2，3)，b=(1，2)，则a关于b的对称向量为 .（填坐标形式）16（5分）已知点P是曲线x24y上任意一点，过点P向x轴引垂线，垂足为H，点Q是曲线ylnx上任意一点，则|PH|+|PQ|的最小值为 四、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（10分）已知an为正项等比数列，且a1，2a3+2a

7、5，a3成等差数列（1）求数列an的公比；（2）若对任意nN*，a1+a2+ana12恒成立，求a1的最小值18（12分）2021年5月12日，2022北京冬奥会和冬残奥会吉祥物冰墩墩、雪容融亮相上海展览中心为了庆祝吉祥物在上海的亮相，某商场举办了一场赢取吉祥物挂件的“双人对战”游戏，游戏规则如下：参与对战的双方每次从装有3个白球和2个黑球（这5个球的大小、质量均相同，仅颜色不同）的盒子中轮流不放回地摸出1球，摸到最后1个黑球或能判断出哪一方获得最后1个黑球时游戏结束，得到最后1个黑球的一方获胜设游戏结束时对战双方摸球的总次数为X（1）求随机变量X的概率分布；（2）求先摸球的一方获胜的概率，并

8、判断这场游戏是否公平19（12分）如图，已知OA10，点B是以O为圆心，5为半径的半圆上一动点（1）当AOB120时，求线段AB的值；（2）若ABC为正三角形，求四边形OACB面积的最大值20（12分）如图，在圆锥OO中，AB为底面圆的直径，C，D为底面圆上两点，且四边形ACOD为平行四边形，过点O作EFCD，点P为线段OB上一点，且满足OP2PB（1）证明：CD平面AOB；（2）若圆锥OO的侧面积为底面积的2倍，求二面角BPFE的余弦值21（12分）已知椭圆C：x24+y2=1（1）若P（x0，y0）在椭圆C上，证明：直线x0x4+y0y1与椭圆C相切；（2）如图，A，B分别为椭圆C上位于第

9、一、二象限内的动点，且以A，B为切点的椭圆C的切线与x轴围成DEF求SDEF的最小值22（12分）已知函数f（x）ex，g（x）x，直线ya（a0）分别与函数yf（x），yg（x）的图象交于A，B两点，O为坐标原点（）求AB长度的最小值；（）求最大整数k，使得kOAOB对a（0，+）恒成立2022年广东省揭阳市、丰顺县高考数学联考试卷（3月份）参考答案与试题解析一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）设集合A=x|x+1x-40，Bx|1x3，则A（RB）（）Ax|3x4或x1Bx|3x4Cx|3x4或x1Dx|3x4【

10、解答】解：因为A=x|x+1x-40=x|1x4，Bx|1x3，所以RBx|x1或x3，则A（RB）x|3x4或x1故选：C2（5分）已知复数z满足（3+i）z=1+7i，则|z3i|（）A2B22C17D26【解答】解：（3+i）z=1+7i，z=1+7i3+i=(1+7i)(3-i)(3+i)(3-i)=10+20i10=1+2i，z12i，|z3i|12i3i|15i|=26，故选：D3（5分）设0ab，则下列不等式中正确的是（）Aababa+b2Baaba+b2bCaabba+b2Dabaa+b2b【解答】解：取a1且b4，计算可得ab=2，a+b2=52，选项A、C、D均矛盾，B符合

11、题意，故选：B4（5分）古希腊数学家阿基米德在论球和圆柱中，运用穷竭法证明了与球的面积和体积相关的公式其中包括他最得意的发现“圆柱容球”设圆柱的高为2，且圆柱以球的大圆（球大圆为过球心的平面和球面的交线）为底，以球的直径为高则球的表面积与圆柱的体积之比为（）A4：3B3：2C2：1D8：3【解答】解：作轴截面如图，可知圆柱的底面半径为1，高为2，球的半径为1则球的表面积为S4124，圆柱的体积为V1222球的表面积与圆柱的体积之比为42=2球的表面积与圆柱的体积之比为2：1故选：C5（5分）椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点为F，过F作x轴的垂线交椭圆C于A，B两点，若OAB是直

12、角三角形（O为坐标原点），则C的离心率为（）A5-2B3-1C5-12D3-12【解答】解：椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点为F，过F作x轴的垂线交椭圆C于A，B两点，若OAB是直角三角形（O为坐标原点），可得b2a=c，即a2c2ac，e（0，1）可得e2+e10，解得e=5-12故选：C6（5分）已知（1+x）+2（1+x）2+3（1+x）3+10（1+x）10a0+a1x+a2x2+a10x10，则a7（）A9C113B283C113C293C113D10C113【解答】解：因为x7的系数a7=7C77+8C87+9C97+10C107=7+64+324+12001595

13、，而293C113=29311109321=1595故选：C7（5分）在新的高考改革方案中规定：每位考生的高考成绩是按照3（语文、数学、英语）+2（物理、历史）选1+4（化学、生物、地理、政治）选2的模式设置的，则在选考的科目中甲、乙两位同学恰有两科相同的概率为（）A14B13C512D12【解答】解：在选考的科目中甲、乙两位同学选考的基本事件总数n=C21C42C21C42=144，其中甲、乙两位同学恰有两科相同包含的基本事件个数：m=C21C42C11C21C21+C21C42C11C22=60，在选考的科目中甲、乙两位同学恰有两科相同的概率为：P=mn=60144=512故选：C8（5分

14、）设函数f（x）xsinx+cosx，则下列四个结论中正确的是（）函数f（x）是偶函数；曲线yf（x）在x0处的切线方程为y1；当x2，2时，f（x）单调递减；关于x的方程xsinx+cosxa在x0，2只有两个实根，则实数a的取值范围为-32，2ABCD【解答】解：对，因为xR，f（x）f（x），所以f（x）为偶函数，所以正确；对，f（x）sinx+xcosxsinxxcosx，f（0）0，f（0）1，故曲线f（x）在x0处的切线方程为y1，所以正确；对，x2，32时，f（x）0，f（x）单调递减，所以错误；对，x0(0，2) 2 (2，32) 32 (32，2) 2f（x）0+00+2f（

15、x）12 -32 1由上表当x0，2时，f（x）只有两个实根，则a(-32，1)(1，2)，所以错误故选：A二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.（多选）9（5分）下列说法中正确的是（）AAB+BA=0B若|a|b|且ab，则a=bC若a、b非零向量且|a+b|a-b|，则abD若ab，则有且只有一个实数，使得b=a【解答】解：由AB，BA互为相反向量，则AB+BA=0，故A正确；由|a|b|且ab，可得a=b或a=-b，故B错误；由a、b非零向量且|a+b|a-b|，两边平方可得a2+2a

16、b+b2=a22ab+b2，即ab=0，所以ab，故C正确；若ab且a0，则有且只有一个实数，使得b=a，故D错误故选：AC（多选）10（5分）下列说法正确的有（）AXB（n，13），且D（X）2，则n6B设有一个回归方程y=35x，变量x增加1个单位时，y平均减少5个单位C线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱D在某项测量中，测盘结果服从正态分布N（1，2）（0），则P（1）0.5【解答】解：对于选项A：XB（n，13），D（X）=1323n2，则n9故错误对于选项B：若有一个回归方程y35x，变量x增加1个单位时，故y35（x+1）35x5故y平均减少5个单位，

17、正确对于选项C：线性相关系数|r|越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关系数|r|越接近于0，两个变量的线性相关性越弱，错误对于选项D：在某项测量中，测量结果服从正态分布N（1，2）（0），由于正态曲线关于x1对称，则P（1）0.5，正确故选：BD（多选）11（5分）已知抛物线x2=12y的焦点为F，M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线上两点，则下列结论正确的是（）A点F的坐标为（18，0）B若直线MN过点F，则x1x2=-116C若MF=NF，则|MN|的最小值为12D若|MF|+|NF|=32，则线段MN的中点P到x轴的距离为58【解答】解：抛物线x2=12y的焦点为F（0，

18、18），所以A不正确；根据抛物线的性质可得：MN过F时，则x1x2=-116，所以B正确；若MF=NF，则|MN|的最小值为抛物线的通径长，为2p=12，所以C正确；抛物线x2=12y的焦点为F（0，18），准线方程为y=-18，过点M、N、P分别作准线的垂线MM，NN，PP，则|MM|MF|，|NN|NF|，|MM|+|NN|MF|+|NF|=32，所以|PP|=|MM|+|NN|2=34，所以线段MN的中的P到x轴的距离为|PP|-18=34-18=58，所以D正确；故选：BCD（多选）12（5分）如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，O为正方体的中心，M为DD1的中点，F为

19、侧面正方形AA1D1D内一动点，且满足B1F平面BC1M，则（）A若P为正方体表面上一点，则满足OPA的面积为22的点有12个B动点F的轨迹是一条线段C三棱锥FBC1M的体积是随点F的运动而变化的D若过A，M，C1三点作正方体的截面，Q为截面上一点，则线段A1Q长度的取值范围为263，22【解答】解：设O为底面正方形的中心，连接AO，AO，OO，则AO=12AC=2，OO=12AA11，OOA的面积为12AOOO=22，所以在底面ABCD上点P与点O必重合同理正方形BAA1B1的中心，正方形DCC1D1的中心都满足，又当点P为各正方体各条棱的中点时也满足OPA的面积为22，故A不正确；如图，分

20、别取AA1，A1D1的中点H，G连接B1G，GH，HB1，AD1，因为B1HC1M，GHBC1，B1H平面BGH，C1M平面BC1M，GH平面BGH，BC1平面BC1M，BC1C1MC1，所以平面B1GH平面BC1M，而B1F平面BC1M，所以平面B1GH，所以点F轨迹为线段GH，故B正确；由选项B可知，点F的轨迹为线段GH，因为GH平面BC1M，则点F到平面BC1M的距离为定值，又BC1M的面积为定值，从而可得三棱锥FBC1M的体积是定值，故C不正确；如图，设截面与平面BAA1B1交于AN，N在BB1上，因为截面平面DAA1D1AM，平面DAA1D1平面CBB1C1，所以AMNC1，同理可证

21、ANMC1，所以截面AMC1N为平行四边形，所以点N为BB1中点，在四棱锥A1AMC1N中，侧棱A1C1最长，且A1C122，设四棱锥A1AMC1N的高为h，因为AMMC1=5，所以四边形AMC1N为菱形，所以AMC1的边AC1上的高为面对角线的一半，即为2，又AC123，则SAMC1=12232=6，VC1-AA1M=13SAA1MD1C1=1312222=43，所以VA1-AMC1=13SAMC1h=63hVC1-AA1M=43，解得h=263，综上，可知线段A1Q长度的取值范围为263，22，故D正确故选：BD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13（5分）已知数列an为等

22、差数列，数列an的前5项和S520，a56，则a1011【解答】解：an为等差数列，S55a320，a34，a56，a34，2da5a3642，即d1，a10a5+5d6+511故答案为：1114（5分）函数f(x)=x+2x+1的图象在x1处的切线方程为 x2y+30【解答】解：函数f(x)=x+2x+1，可得f（x）1-2(x+1)2，f（1）1-24=12，f（1）1+12，所以函数f(x)=x+2x+1的图象在x1处的切线方程为：y2=12（x1），即x2y+30故答案为：x2y+3015（5分）已知a，b，c是三个不同的非零向量，若|a|=|c|且cosa，b=cosc，b，则称c是

23、a关于b的对称向量已知向量a=(2，3)，b=(1，2)，则a关于b的对称向量为 (65，175).（填坐标形式）【解答】解：设c=（x，y），因为|a|=|c|，所以x2+y213，因为cosa，b=cosc，b，所以ab|a|b|=cb|c|b|，因为|a|=|c|，所以ab=cb，即2+6x+2y，由解得，x=65y=175或x=2y=3，所以a关于b的对称向量为（65，175）故答案为：（65，175）16（5分）已知点P是曲线x24y上任意一点，过点P向x轴引垂线，垂足为H，点Q是曲线ylnx上任意一点，则|PH|+|PQ|的最小值为 2-1【解答】解：由抛物线的方程可得准线方程为：

24、y1，焦点F（0，1），由题意及抛物线的性质可得|PH|PF|1，|PH|+|PQ|PF|+|PQ|1|QF|1，即求|QF|的最小值，设Q（x，lnx），则|QF|2x2+（lnx1）2ln2x2lnx+x2+1，设函数f（x）ln2x2lnx+x2+1，则f（x）=2lnxx-2x+2x=1x(2x2+2lnx-2)，令g（x）2x2+2lnx2，则g（x）=4x+2x0，g（x）在（0，+）上单调递增，又g（1）0，f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+）单调递增，f（x）minf（1）2，|QF|的最小值为2，则|PH|+|PQ|的最小值为2-1故答案为：2-1四、解答题：共70分

25、.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（10分）已知an为正项等比数列，且a1，2a3+2a5，a3成等差数列（1）求数列an的公比；（2）若对任意nN*，a1+a2+ana12恒成立，求a1的最小值【解答】解：（1）设正项等比数列an的公比为q，q0，由a1，2a3+2a5，a3成等差数列，可得4（a3+a5）a1+a3，即为4q2（a1+a3）a1+a3，解得q=12（负的舍去）；（2）对任意nN*，a1+a2+ana12恒成立，即为a1(1-12n)1-12a12，即a12（1-12n），由12n0，可得2（1-12n）2，可得a12，所以a1的最小值为218（12分）2021年5

26、月12日，2022北京冬奥会和冬残奥会吉祥物冰墩墩、雪容融亮相上海展览中心为了庆祝吉祥物在上海的亮相，某商场举办了一场赢取吉祥物挂件的“双人对战”游戏，游戏规则如下：参与对战的双方每次从装有3个白球和2个黑球（这5个球的大小、质量均相同，仅颜色不同）的盒子中轮流不放回地摸出1球，摸到最后1个黑球或能判断出哪一方获得最后1个黑球时游戏结束，得到最后1个黑球的一方获胜设游戏结束时对战双方摸球的总次数为X（1）求随机变量X的概率分布；（2）求先摸球的一方获胜的概率，并判断这场游戏是否公平【解答】解：（1）由题可得X的所有可能取值为2，3，4，P（X2）=2514=110，P（X3）=253413+3

27、52413+352413=310，P（X4）1P（X2）P（X3）=35，X的分布列为： X 2 3 4 P 110 310 35（2）先摸球的一方获胜，包含以下几种情况：双方共摸3次球，出现白黑黑，黑白黑，白白白这三种情况，即P（X3）=310，双方共摸球4次球，出现的恰好是三白一黑且前三次必定出现一次黑球的情形，概率为P=25342312+35242312+35242312=310，先摸球一的方获胜的概率为310+310=35，3512，这场游戏不公平19（12分）如图，已知OA10，点B是以O为圆心，5为半径的半圆上一动点（1）当AOB120时，求线段AB的值；（2）若ABC为正三角形，

28、求四边形OACB面积的最大值【解答】解：（1）在AOB 中，由余弦定理得：AB2OA2+OB22OAOBcosAOB=102+52-2105cos120=100+25-100(-12)=175，所以AB57；（2）设AOB，所以AB2OA2+OB22OAOBcos125100cos，则S四边形OACBSOAB+SABC=12OAOBsin+34AB2=12105sin+34（125100cos）25sin253cos+12534=50（12sin-32cos）+12534=50sin（-3）+12534，所以当=56时，四边形OACB的面积取得最大值为50+1253420（12分）如图，在圆锥

29、OO中，AB为底面圆的直径，C，D为底面圆上两点，且四边形ACOD为平行四边形，过点O作EFCD，点P为线段OB上一点，且满足OP2PB（1）证明：CD平面AOB；（2）若圆锥OO的侧面积为底面积的2倍，求二面角BPFE的余弦值【解答】解：（1）证明：在圆锥OO中，OO底面圆O，CD底面圆O，OOCD，四边形ACOD为平行四边形，OA，OD都是底面圆O的半径，四边形ACOD是菱形，OACD，OAOOO，CD平面AOB（2）在圆锥OO中，OO平面ABC，又AB，EF平面ABC，OOAB，OOEF，以点O为坐标原点，OF为x轴，OB为y轴，OO为z轴，建立空间直角坐标系，设圆锥OO的底面半径为r，

30、母线长为R，由S底r2，S侧=122R=Rr，由题意S侧2S底，即Rr2r2，R2r，不妨令r3，则R6，B（0，3，0），E（3，0，0），F（3，0，0），P（0，2，3），BP=（0，1，3），PF=（3，2，-3），EF=（6，0，0），设平面BPF的法向量m=（x，y，z），则BPm=-y+3z=0PFm=3x-2y-3z=0，取z1，得m=（3，3，1），设平面EPF的法向量为n=（a，b，c），则EFn=6a=0PFn=3a-2b-3c=0，取b=3，得n=（0，3，2），设二面角BPFE的大小为，则|cos|cosm，n|=|mn|m|n|=177=17，二面角BPFE的余弦值

31、为1721（12分）已知椭圆C：x24+y2=1（1）若P（x0，y0）在椭圆C上，证明：直线x0x4+y0y1与椭圆C相切；（2）如图，A，B分别为椭圆C上位于第一、二象限内的动点，且以A，B为切点的椭圆C的切线与x轴围成DEF求SDEF的最小值【解答】证明：（1）联立方程x0x4+y0y=1x2+4y2=4，消去y可得x2y02+4(1-xx04)2=4y02，结合x024+y02=1整理得：x2-2xx0+4-4y02=0，=4x02+16y02-16=0，直线x0x4+y0y1与椭圆C相切解：（2）设直线AB：ykx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），由（1）可知，直线DA：x1

32、x4+y1y=1，直线DB：x2x4+y2y=1，E(4x2，0)，F(4x1，0)，由x1x4+y1y=1x2x4+y2y=1可得：y0=x2-x1x2y1-x1y2，SDEF=12x2-x1x2y1-x1y2(4x1-4x2)=2(x1-x2)2x1x2(x2y1-x1y2)=2(x2-x1)mx1x2，联立方程y=kx+mx2+4y2=4，消去y得（1+4k2）x2+8kmx+4m240，x1+x2=-8km1+4k2x1x2=4(m2-1)1+4k2，且16（4k2+1m2）0，即4k2+1m2，S2DEF=4(x1-x2)2m2(x1x2)2=4(4k2+1-m2)m2(1-m2)4

33、(1-m2)m2(1-m2)2=4m2(1-m2)16，SDEF4，当k0，m=22时，等号成立，即SDEF的最小值为422（12分）已知函数f（x）ex，g（x）x，直线ya（a0）分别与函数yf（x），yg（x）的图象交于A，B两点，O为坐标原点（）求AB长度的最小值；（）求最大整数k，使得kOAOB对a（0，+）恒成立【解答】解：（）直线ya（a0）分别与函数yf（x），yg（x）交于两点A，B，则A（lna，a），B（a，a），|AB|alna（a0），设h（a）alna（a0），则h（a）1-1a=a-1a，当a（0，1），h（a）0，h（a）单调递减，当a（1，+），h（a）0，h

34、（a）单调递增，h（a）minh（1）1，即|AB|长度的最小值为1（）由OAOB=alna+a2（a0），设m（x）xlnx+x2（x0），m（x）lnx+1+2x为递增函数，m（12）=12+20，m（x）ln1e2+1+2e20，x0（0，12），m（x）0，lnx012x0，当x（0，x0），m（x）0，m（x）单调递减，当x（x0，+），m（x）0，m（x）单调递增，当xx0时，m（x）的最小值为x0lnx0+x02，又lnx012x0，m（x0）x0lnx0+x02=x0（12x0）+x02=-x02-x0，x0（0，12），m（x0）=-x02-x0（-34，0），要使整数kOAOB对a（0，+）恒成立，k0，即k的最大整数为1