2022年辽宁省铁岭市六校、省实验中学高考数学模拟试卷（3月份）（学生版+解析版）.docx

1、2022年辽宁省铁岭市六校、省实验中学高考数学模拟试卷（3月份）一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）集合xZ|log2x22的子集个数为（）A4B8C16D322（5分）已知复数z2+ai（aR，i为虚数单位），满足zz=6，则|z1|（）A3B3C5D53（5分）函数f（x）|sinx|+|cosx|的最小正周期和最小值分别为（）A4，1B2，22C2，1D，14（5分）某种产品的价格x（单位：元/kg）与需求量y（单位：kg）之间的对应数据如表所示：x1015202530y1110865根据表中的数据可得回归直线

2、方程为y=bx+14.4，则以下结论错误的是（）A变量y与x呈负相关B回归直线经过点（20，8）Cb=-0.32D该产品价格为35元/kg时，日需求量大约为3.4kg5（5分）已知双曲线：y2a2-x2b2=1(a0，b0)，其中a2，b2，c2成等差数列，则该双曲线的渐近线方程为（）AyxBy=22xCy=2xDy=33x6（5分）平面直角坐标系中，角的终边经过点P（1，2），则cos(2-3)=（）A3-4310B3+4310C-3+4310D-3-43107（5分）已知函数yf（2x+1）的图象关于直线x1对称，函数yf（x+1）关于点（1，0）对称，则下列说法正确的是（）Af（1）0B

3、f（1x）f（1+x）Cf（x）的周期为2Df(x)=f(32-x)8（5分）若asin1+tan1，b2，c=ln4+12，则a，b，c的大小关系为（）AcbaBcabCabcDbca二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的。全选对得5分，选对但不全得2分，有错误答案得0分）（多选）9（5分）下列命题中，正确的命题是（）A数据1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的70%分位数是7B若随机变量XB(6，13)，则D(X)=49C若事件A，B满足P（AB）P（A）1P（B），则A与B独立D若随机变量XN（2，2），P（X1）0.68

4、，则P（2x3）0.18（多选）10（5分）已知x，y均为正实数，则下列各式可成为“xy”的充要条件是（）A1x1yBxysinxsinyCxycosxcosyDexeyx2y2（多选）11（5分）如图，几何体ABCDEFG的底面是边长为3的正方形，AE平面ABCD，AECFDG，AECF1，DG3，则下列说法正确的是（）ABF与EG为异面直线B几何体ABCDEFG的体积为12C三棱锥GBCD的外接球表面积为27D点A与点D到平面BFG的距离之比为3：2（多选）12（5分）“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段

5、长的积相等如图，已知圆O的半径为2，点P是圆O内的顶点，且OP=2，弦AC、BD均过点P，则下列说法正确的是（）APAPC为定值BOAOC的取值范围是2，0C当ACBD时，ABCD为定值D当ACBD时，|AC|BD|的最大值为12三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡上）13（5分）偶函数f(x)=exa+e2x(aR)的值域为 14（5分）已知二项式(ax2-1x)6（a为实常数）展开式的常数项为45，等比数列an的前n项和Sn满足Sn=a2n+b（b为实常数），则数列Snan的前5项和为 15（5分）已知ABC为直角三角形，斜边长为2，将ABC绕其一条直角边所在直

6、线旋转一周得一几何体该几何体的体积最大值为 ；若该几何体的表面积为3，则ABC的面积为 16（5分）已知抛物线C：y22x，点P在C上且在第一象限，过点P作抛物线C的切线交其准线于点N，抛物线的焦点为F，若PNF60，则点P的坐标为 四、解答题（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。把答案填在答题卡上）17（10分）如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，各棱长均为2，D是BB1的中点（）求证：平面BDA1平面AA1B1B；（）求平面BDA1与平面ABC所成角的大小18（12分）如图，四边形ABCD中，AB=2，AC=3，cosABC=-223（）求sinBAC的值；（

7、）若BAD90，BDCD，求CD的长19（12分）条件概率与条件期望是现代概率体系中的重要概念近年来，随着人们对随机现象的不断观察和研究，条件概率和条件期望已经被广泛的利用到日常生产生活中定义：设X，Y是离散型随机变量，则X在给定事件Yy条件下的期望为E(X|Y=y)=i=1n xiP(X=xi|Y=y)=i=1n xiP(X=xi，Y=y)P(Y=y)，其中x1，x2，xn为X的所有可能取值集合，P（Xx，Yy）表示事件“Xx”与事件“Yy”都发生的概率某射击手进行射击训练，每次射击击中目标的概率均为p（0p1），射击进行到击中目标两次时停止设表示第一次击中目标时的射击次数，表示第二次击中目

8、标时的射击次数（）求P（2，5），P（5）；（）求E（|5），E（|n）（n2）20（12分）已知数列an的前n项和为Sn，满足：2Snn=an+1(nN*)（）求证：数列an为等差数列；（）若a25，令bn=1an，数列bn的前n项和为Tn，若不等式45(T2n+1-Tn)m2-5m对任意nN*恒成立，求实数m的取值范围21（12分）点N（x0，y0）是曲线：ax2+by21上任一点，已知曲线在点N（x0，y0）处的切线方程为ax0x+by0y1如图，点P是椭圆C：x22+y2=1上的动点，过点P作椭圆C的切线l交圆O：x2+y24于点A、B，过A、B作圆O的切线交于点M（）求点M的轨迹方程

9、；（）求OPM面积的最大值22（12分）（）求证：过点（0，e）与曲线f（x）xex相切的直线有且仅有一条，并求切线方程；（）设函数g（x）（x1）ex-12ax2，若对任意的x1，x2R（x1x2），不等式g(x1)-g(x2)x1-x2-e恒成立，其中e2.71828为自然对数的底数，求实数a的取值范围2022年辽宁省铁岭市六校、省实验中学高考数学模拟试卷（3月份）参考答案与试题解析一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）集合xZ|log2x22的子集个数为（）A4B8C16D32【解答】解：xZ|log2x22=x

10、Z|-2x2，且x0=2，1，1，2，xZ|log2x22的子集个数为2416故选：C2（5分）已知复数z2+ai（aR，i为虚数单位），满足zz=6，则|z1|（）A3B3C5D5【解答】解：复数z2+ai（aR，i为虚数单位），满足zz=6，22+a26，解得a22，则|z1|1+ai|=11+a2=3，故选：A3（5分）函数f（x）|sinx|+|cosx|的最小正周期和最小值分别为（）A4，1B2，22C2，1D，1【解答】解：由于f（x+2）|sin（x+2）|+|cos（x+2）|cosx|+|sinx|f（x），故函数f（x）|sinx|+|cosx|的最小正周期是2；当x0，2

11、时，f（x）sinx+cosx=2sin（x+4）x+44，34，f（x）1，2故选：C4（5分）某种产品的价格x（单位：元/kg）与需求量y（单位：kg）之间的对应数据如表所示：x1015202530y1110865根据表中的数据可得回归直线方程为y=bx+14.4，则以下结论错误的是（）A变量y与x呈负相关B回归直线经过点（20，8）Cb=-0.32D该产品价格为35元/kg时，日需求量大约为3.4kg【解答】解：x=10+15+20+25+305=20，y=11+10+8+6+55=8，故8=b20+14.4，即b=-0.32，故ABC都正确此时y=-0.32x+14.4，令x35，则y

12、=-0.3235+14.4=-11.2+14.4=3.2，故D错误故选：D5（5分）已知双曲线：y2a2-x2b2=1(a0，b0)，其中a2，b2，c2成等差数列，则该双曲线的渐近线方程为（）AyxBy=22xCy=2xDy=33x【解答】解：双曲线：y2a2-x2b2=1(a0，b0)，其中a2，b2，c2成等差数列，所以2b2a2+c2，即有2b2a2+a2+b2，化简可得2ab，双曲线的渐近线方程为：yabx即为y22x故选：B6（5分）平面直角坐标系中，角的终边经过点P（1，2），则cos(2-3)=（）A3-4310B3+4310C-3+4310D-3-4310【解答】解：角的终边

13、经过点P（1，2），OP=5，sin=255，cos=-55，sin22sincos=-45，cos22cos21=-35，cos(2-3)=cos2cos3+sin2sin3=-3512-4532=-3-4310故选：D7（5分）已知函数yf（2x+1）的图象关于直线x1对称，函数yf（x+1）关于点（1，0）对称，则下列说法正确的是（）Af（1）0Bf（1x）f（1+x）Cf（x）的周期为2Df(x)=f(32-x)【解答】解：由函数yf（2x+1）的图象关于直线x1对称，可得f（2x+2+1）f（22x+1），即f（2x+3）f（32x），将2x换为x可得f（x+3）f（3x），即有f（

14、x+6）f（x），故D错误；由函数yf（x+1）关于点（1，0）对称，可得f（2+x）+f（2x）0，且f（2）f（0）0，故A错误；f（x+4）f（x），由可得f（x+6）f（x+4），即f（x+2）f（x），可得f（x+4）f（x+2）f（x），则f（x）的最小正周期为4，故C错误故选：B8（5分）若asin1+tan1，b2，c=ln4+12，则a，b，c的大小关系为（）AcbaBcabCabcDbca【解答】解：令f（x）2lnx+1x-x，则f（x）21x-1x2-1=-(x-1)2x20恒成立，故f（x）在（0，+）上是减函数，故f（2）f（1），即2ln2+12-20，即ln4+

15、122，即cb；令g（x）sinx+tanx2x，x（0，2），则g（x）cosx+1cos2x-2=cos3x-2cos2x+1cos2x，x（0，2），cosx（0，1），令h（x）x32x2+1，x（0，1），h（x）3x24xx（3x4）0，故h（x）在（0，1）上单调递减，故h（x）h（1）0，故g（x）=cos3x-2cos2x+1cos2x0，故g（x）在（0，2）上单调递增，故g（1）g（0）0，即sin1+tan120，即sin1+tan12，即ba，故cba，故选：A二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的。全选对

16、得5分，选对但不全得2分，有错误答案得0分）（多选）9（5分）下列命题中，正确的命题是（）A数据1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的70%分位数是7B若随机变量XB(6，13)，则D(X)=49C若事件A，B满足P（AB）P（A）1P（B），则A与B独立D若随机变量XN（2，2），P（X1）0.68，则P（2x3）0.18【解答】解：A：由1070%7，所以70%分位数是7+82=7.5，错误；B：由题设，D(X)=613(1-13)=43，错误；C：因为P（AB）+P（AB）P（A），即P（AB）P（A）P（AB），又P（AB）P（A）1P（B），即P（A）P（B）P（A）P（AB），

17、所以P（AB）P（A）P（B），故 A与B独立，正确；D：由题设，P（X）关于X2对称，所以P(2x3)=2P(X1)-12=0.18，正确；故选：CD（多选）10（5分）已知x，y均为正实数，则下列各式可成为“xy”的充要条件是（）A1x1yBxysinxsinyCxycosxcosyDexeyx2y2【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，当1x01y，有xy，则1x1y不是xy的充要条件，不符合题意；对于B，设f（x）xsinx，其导数f（x）1cosx，有f（x）0，则函数f（x）在R上为增函数，若xysinxsiny，即xsinxysiny，有f（x）f（y），必有xy，故xys

18、inxsiny不是xy的充要条件，不符合题意；对于C，设f（x）xcosx，其导数f（x）1+sinx，有f（x）0，则函数f（x）在R上为增函数，若xycosxcosy，即xcosxycosy，有f（x）f（y），必有xy，反之，若xy，必有f（x）f（y），则有xcosxycosy，变形可得xycosxcosy，故xycosxcosy是xy的充要条件，符合题意；对于D，设f（x）exx2，有f（x）ex2x，f（x）ex2，若f（x）ex20，解可得xln2，在区间（，ln2）上，f（x）0，f（x）为减函数，在区间（ln2，+）上，f（x）0，f（x）为增函数，故f（x）f（ln2）22

19、ln20，则f（x）在R上为增函数；若exeyx2y2，即exx2eyy2，有f（x）f（y），必有xy，反之，若xy，必有f（x）f（y），则有exx2eyy2，变形可得exeyx2y2，故exeyx2y2是xy的充要条件，符合题意；故选：CD（多选）11（5分）如图，几何体ABCDEFG的底面是边长为3的正方形，AE平面ABCD，AECFDG，AECF1，DG3，则下列说法正确的是（）ABF与EG为异面直线B几何体ABCDEFG的体积为12C三棱锥GBCD的外接球表面积为27D点A与点D到平面BFG的距离之比为3：2【解答】解：在DG上取两个点H，I，使得|DH|HI|IG|1，连接AH，

20、HF，EI，由DHCF且DHCF，则四边形DHFC为平行四边形，则HFDC且HFDC，又DCAB且DCAB，所以HFAB且HFAB，所以四边形AHFB为平行四边形，则AHBF，同理可得AEIH为平行四边形，则EIAH，所以EIBF，而GEEIE，则GE与BF不平行BF平面ADGE，AH平面ADGE，所以BF平面ADGE，所以BF与EG为异面直线，故选项A正确由底面ABCD为正方形，则ABAD，AE平面ABCD，AB平面ABCD，所以AEAB，又AEADA，所以AB平面ADGE，由AECF，则CF平面ABCD，同理可证CB平面CFGD，所以几何体ABCDEFG的体积为VB-AEGD+VB-CFG

21、D=13SADGEAB+13SCDQFBC=131+3233+131+3233=12，故选项B正确取BG的中点K，连接DK，CK，由上可知BDG，CBG均是以BG为斜边的直角三角形，所以|DK|=|KC|=|BK|=|KG|=12|BG|，所以D，B，C，G四点在以K为球心，12|BG|为半径的球面上，又|BG|=BD2+DG2=AB2+BC2+DG2=33，所以三棱锥GBCD的外接球表面积为4(332)2=27，故选项C正确设点A与点D到平面BFG的距离分别为h1，h2，连接AC交BD于O，则OCBD，由条件可得DG平面ABCD，所以DGOC，且DBDGG，所以OC平面DBG，|OC|=12

22、|AC|=322，所以VD-BFG=13SBFGh2=VF-BDG=13SBDG|CO|=1312323322=92，由题意GH2DH，所以G点到平面ABFH的距离是D点到平面ABFH的距离的2倍，VA-BFG=13SBFGh1=VG-ABF=2VD-ABF=2VF-ABD=21312331=3，所以VA-BFGVD-BFG=h1h2=392=23，故选项D不正确故选：ABC（多选）12（5分）“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等如图，已知圆O的半径为2，点P是圆O内的顶点，且OP=2，弦AC、BD

23、均过点P，则下列说法正确的是（）APAPC为定值BOAOC的取值范围是2，0C当ACBD时，ABCD为定值D当ACBD时，|AC|BD|的最大值为12【解答】解：如图，设直线PO与圆O于E，F则PAPC=-|PA|PC|EP|PF|（|OE|PO|）（|OE|+|PO|）|PO|2|EO|22，故A正确；取AC的中点为M，连接OM，则OAOC=（OM+MA）（OM+MC）=OM2-MC2=OM2（4-OM2）2OM24，而0OM2|OP|22，故OAOC的取值范围是4，0，故B错误；当ACBD时，ABCD=（AP+PB）（CP+PD）=APCP+PBPD=-|AP|CP|PB|PD|2|EP|

24、PF|4，故C正确；分别求AC，BD的中点M，N，由ACBD，可得OMON，且OM2+ON2OP22，由弦长公式可得AC24-OM2，BD24-ON2，|AC|BD|224-OM24-ON22（4OM2+4ON2）12，所以|AC|BD|的最大值为12，故D正确故选：ACD三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡上）13（5分）偶函数f(x)=exa+e2x(aR)的值域为 （0，12【解答】解：由题意知，f（x）f（x），所以e-xa+e-2x=exa+e2x，即exae2x+1=exa+e2x，解得a1，所以f（x）=ex1+e2x=11ex+ex因为ex0，所以y

25、=1ex+ex21exex=2，当且仅当1ex=ex，即x0时，等号成立，所以0f（x）12，即函数f（x）的值域为（0，12故答案为：（0，1214（5分）已知二项式(ax2-1x)6（a为实常数）展开式的常数项为45，等比数列an的前n项和Sn满足Sn=a2n+b（b为实常数），则数列Snan的前5项和为 12916【解答】解：二项式(ax2-1x)6（a为实常数）展开式的通项公式为Tr+1=C6r(a)6-r（1）rx123r，令123r0，求得r4，可得常数项为C64a45，a3等比数列an的前n项和Sn满足Sn=a2n+b（b为实常数），a1S12a+b，当n2时，anSnSn1a2

26、n+b（a2n1+b）32n1，a22a6，a34a12，由a2a1=a3a2，求得ba3，a13，公比q2，Sn=a(1-2n)1-2=（2n1）3，Snan=2n-12n-1，数列Snan的前5项和为：1+32+74+158+3116=12916，故答案为：1291615（5分）已知ABC为直角三角形，斜边长为2，将ABC绕其一条直角边所在直线旋转一周得一几何体该几何体的体积最大值为 16327；若该几何体的表面积为3，则ABC的面积为 32【解答】解：（1）由于旋转一周构成一个母线长为2的圆锥体；所以设圆锥的高为h，所以圆锥的底面半径为r=4-h2，故V=13r2h=-3h3+43h，故

27、V(h)=-h2+43；令V（h）0，解得h=233或h=-233（舍），故函数V（h）在（0，233）上单调递增，在（233，+）上单调递减；故在h=233时，Vmax=16327；（2）由题意知：S表=rl+r2=3，所以2r+r23，解得r1，所以h=3，故SABC=1213=32故答案为：16327；3216（5分）已知抛物线C：y22x，点P在C上且在第一象限，过点P作抛物线C的切线交其准线于点N，抛物线的焦点为F，若PNF60，则点P的坐标为 （32，3）【解答】解：由题意可得，抛物线的准线方程为x=-12且F（12，0），设P（m，2m）且m0，在第一象限有y=2x，求导可得，y

28、=12x，故过P的切线为y-2m=12m(x-m)，令x=-12，则y=2m-122m，故N（-12，2m-122m），NP=(m+12，2m+122m)，NF=(1，1-2m22m)，PNF60，cosPNF=NPNF|NP|NF|=m+12+1-4m28m(m+12)2+(2m+1)28m1+(1-2m)28m=12，解得m=32，故点P的坐标为（32，3）故答案为：（32，3）四、解答题（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。把答案填在答题卡上）17（10分）如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，各棱长均为2，D是BB1的中点（）求证：平面BDA1平面AA1B1

29、B；（）求平面BDA1与平面ABC所成角的大小【解答】（）证明：取BA1的中点为M，AB的中点为N，连接CN，MN，DM，由正三棱柱ABCA1B1C1可得AA1平面ABC，而CN平面ABC，故AA1CN，而ABC为等边三角形，ANBN，所以ABCN，在AA1B中，M、N分别为所在棱的中点，故MNA1A，MN=12A1A，而CDA1A，CD=12A1A，所以四边形CDMN为平行四边形，所以MDCN，所以MDAA1，MDAB，由ABAA1A可得MD平面AA1B，而MD平面BDA1，故平面BDA1平面AA1B1B（）解：延长A1D交AC的延长线于S，连接BS因为CDA1A，CD=12A1A，故CSA

30、C，由ANBN可得BSCN，所以BSAB，因为ABC为等边三角形，故ACBC，所以ACBCCS，所以ABS为直角三角形且ABBC，故A1BA为平面BDA1与平面ABC所成的锐二面角，在RtA1BA中，A1ABA，故A1BA45，所以平面BDA1与平面ABC所成的锐二面角为4518（12分）如图，四边形ABCD中，AB=2，AC=3，cosABC=-223（）求sinBAC的值；（）若BAD90，BDCD，求CD的长【解答】解：（I）由余弦定理得，AC2AB2+BC22ABBCcosABC，所以32+BC222BC(-223)，整理得，3BC2+8BC30，解得BC=13，又cosABC=-22

31、3，所以sinABC=13，由正弦定理得，BCsinBAC=ACsinABC=33，所以sinBAC=327；（II）过C作CEAD，垂足为E，设BAC，所以AEACsin=3327=19，CE2AC2AE23-181=24281，设BDCDx，则AD=x2-2，故DEADAE=x2-2-19，RtDEC中，由勾股定理得，CD2CE2+DE2，即x2=24281+(x2-2-19)2，解得x=892，故CD=89219（12分）条件概率与条件期望是现代概率体系中的重要概念近年来，随着人们对随机现象的不断观察和研究，条件概率和条件期望已经被广泛的利用到日常生产生活中定义：设X，Y是离散型随机变量

32、，则X在给定事件Yy条件下的期望为E(X|Y=y)=i=1n xiP(X=xi|Y=y)=i=1n xiP(X=xi，Y=y)P(Y=y)，其中x1，x2，xn为X的所有可能取值集合，P（Xx，Yy）表示事件“Xx”与事件“Yy”都发生的概率某射击手进行射击训练，每次射击击中目标的概率均为p（0p1），射击进行到击中目标两次时停止设表示第一次击中目标时的射击次数，表示第二次击中目标时的射击次数（）求P（2，5），P（5）；（）求E（|5），E（|n）（n2）【解答】解：（）由题设，P（2，5）（1p）p（1p）（1p）p（1p）3p2，P(=5)=C41(1-p)3p2=4(1-p)3p2（）

33、由题设，E(|=5)=i=1 xiP(=xi，=5)P(=5)=1P(=1，=5)P(=5)+2P(=2，=5)P(=5)+3P(=3，=5)P(=5)+4P(=4，=5)P(=5)=14+24+34+1=52；同（），P(=n)=Cn-11(1-p)n-2p2=(n-1)(1-p)n-2p2，P(|=n)=(1-p)n-2p2，所以E(|=n)=i=1 xiP(，=n)P(=n)=1n-1+2n-1+n-2n-1+1=(n-1)(1n-1+1)2=n220（12分）已知数列an的前n项和为Sn，满足：2Snn=an+1(nN*)（）求证：数列an为等差数列；（）若a25，令bn=1an，数列

34、bn的前n项和为Tn，若不等式45(T2n+1-Tn)m2-5m对任意nN*恒成立，求实数m的取值范围【解答】解：（）证明：依题意，由2Snn=an+1，可得Sn=n(an+1)2，当n1时，a1S1=a1+12，解得a11，当n2时，anSnSn1=n(an+1)2-(n-1)(an-1+1)2=nan-(n-1)an-1+12，即2annan（n1）an1+1，整理，可得an1（n1）（anan1），构造数列bn，令bnanan1，设数列bn的前n项和为Tn，因为a11，即an1ana1，而ana1（a2a1）+（a3a2）+（anan1）b1+b2+bn，所以an1Tn，即Tn（n1）b

35、n，同理，Tn1（n2）bn1，两式相减，可得bnTnTn1（n1）bn（n2）bn1，整理，得bnbn1，所以数列bn是一个常数列，当n2时，anan1的值为一个固定的常数，所以数列an为等差数列（）若a25，则da2a1514，所以an1+4（n1）4n3，bn=1an=14n-3，数列bn的前n项和Tnb1+b2+.+bn，T2n+1b1+b2+.+bn+bn+1+.+b2n+b2n+1，可设MnT2n+1Tnbn+1+.+b2n+b2n+1=14n+1+14n+5+.+18n+1，Mn+1=14n+5+14n+9+.+18n+1+18n+9，Mn+1Mn=18n+9-14n+1=-4n

36、-8(8n+9)(4n+1)0，可得Mn为递减数列，所以MnM1=15+19=1445，若不等式45(T2n+1-Tn)m2-5m对任意nN*恒成立，可得m25m451445，解得m7或m2，则m的取值范围是（，27，+）21（12分）点N（x0，y0）是曲线：ax2+by21上任一点，已知曲线在点N（x0，y0）处的切线方程为ax0x+by0y1如图，点P是椭圆C：x22+y2=1上的动点，过点P作椭圆C的切线l交圆O：x2+y24于点A、B，过A、B作圆O的切线交于点M（）求点M的轨迹方程；（）求OPM面积的最大值【解答】解：（1）设P（m，n），则AB：mx2+ny=1，设A（x1，y1

37、），B（x2，y2），则MB：x1x+y1y4，MA：x2x+y2y4，设M（s，t），则x1s+y1t4，x2s+y2t4，故AB：sx+ty4，即AB：s4x+t4y=1，所以s4=m2t4=n，即s2=mt4=n，所以s28+t216=1，即M的轨迹方程为：x28+y216=1（2）由（1）可得M（2m，4n），故直线OM：2nxmy0P到OM的距离为|2nm-mn|4n2+m2=|nm|4n2+m2，故OPM面积S=12|nm|4n2+m224n2+m2=|nm|，因为m22+n2=1，故12m2n22即|mn|22，当且仅当m=1，n=22时等号成立，故OPM面积的最大值为2222（

38、12分）（）求证：过点（0，e）与曲线f（x）xex相切的直线有且仅有一条，并求切线方程；（）设函数g（x）（x1）ex-12ax2，若对任意的x1，x2R（x1x2），不等式g(x1)-g(x2)x1-x2-e恒成立，其中e2.71828为自然对数的底数，求实数a的取值范围【解答】解：（）证明：设切点坐标为（x0，x0ex0），f（x0）（x0+1）ex0，切线方程为y-x0ex0=（x0+1）ex0（xx0），当该切线过点（0，e）时，e-x0ex0=（x0+1）ex0（0x0），即x02ex0-e0，设（x）x2exe，则（x）（x2+2x）ex，则题意知（x）在（，2）上递增，在（2，

39、0）上递减，在（0，+）上递增，（x）极大（2）=4e2-e0，（1）0，（x）恰有一个零点x1，方程x02ex0-e0有唯一的根x01，过点（0，e）与曲线f（x）xex相切的直线有且仅有一条，且切线方程为y2exe（）不妨设x1x2，则不等式为g（x1）g（x2）e（x1x2），g（x1）+ex1g（x2）+ex2，对任意的x1，x2R（x1x2），不等式g(x1)-g(x2)x1-x2-e恒成立，h（x）g（x）+ex在R上单调递增，h（x）xexax+e0对xR恒成立，首选须有h（1）ea+e0，a2e，当0a2e时，x0时，设（x）xex2ex+e，则（x）（x+1）ex2e，由题意（x）在（0，+）上递增，而（1）0，由题意知（x）在（0，1上递减，在1，+）上递增，（x）（1）0，x0时，2exax，h（x）xexax+exex2ex+e0，x0时，由题意知f（x）xexf（1）=-1e-eaxe，即恒有h（x）0，由上述知当0a2e时，xR，恒有h（x）0，符合题意；当a0时，h(ea)=eaeea-aea+e=eaeea0，不合题意综上，实数a的取值范围是0，2e