2022年四川省高考数学诊断性试卷（文科）（2月份）（学生版+解析版）.docx

1、2022年四川省高考数学诊断性试卷（文科）（2月份）一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知集合Ax|3x4，Bx|x2+5x0则AB（）A（5，4）B（0，4）C（3，0）D（5，0）2（5分）复数z满足（1+i）z2i，则z在复平面上对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3（5分）青少年视力是社会普遍关心的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用小数记录法和五分记录法记录视力数据小数记录法的数据E和五分记录法的数据F满足E10F5，已知某同学视力的小数记录法记录的数据为0.9，则其视力的五分记录法的数

2、据约为（）（lg30.4771）A4.6B4.7C4.8D4.94（5分）函数y=lg(x2+1-x)2x+2-x的大致图象是（）ABCD5（5分）有下列三个命题：分层抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关；散点图是判断两个变量是否相关的一种重要方法和手段；在频率分布直方图中，各小长方形的面积之和为1其中为真命题的是（）ABCD6（5分）已知等比数列an满足a1=12，且a2a44（a31），则a5（）A8B16C32D647（5分）设x，y满足x-y+20x+y0y-1，则zx2y的最小值是（）A12B1C2D38（5分）已知非零向量a，b满足3|a|=2|b|，且b(a-b)，则a

3、与b的夹角为（）A6B4C3D569（5分）已知双曲线C：x24-y2m=1的离心率为2，则双曲线C与双曲线E：y212-x24=1有（）A相等的离心率B相同的焦点C相等的焦距D不同的渐近线10（5分）设Sn为等差数列an的前n项和，若3a57a11，且a10则使Sn0的n的最小值为（）A30B31C32D3311（5分）已知函数f(x)=2sin(12x+8)-1，下列结论错误的是（）Af（x）的值域为3，1Bf（x）的图象关于直线x=-54对称Cf（x）的图象关于点(74，0)对称Df（x）的图象可由函数y=2sin(x+8)-1图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍得到12（5分

4、）设函数f（x）的定义域为R，且f（x1）f（x）1，当x1，0）时，f（x）x（x+1）+1，若存在xk，+）时，使f(x)=299，则k的最大值为（）A1B2C43D53二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）命题p：x0R，x03x02+10，则p是 14（5分）函数y=-lg(3-4x)的定义域为 15（5分）某几何体三视图如图所示，则在该几何体内的球的最大体积为 16（5分）已知抛物线C：x22py（p0）的焦点为F（0，1），点F关于直线2x4y10的对称点为M，过点F的直线l与抛物线C交于P，Q两点，当PMQ90时，直线PQ的斜率为 三、解答题：共70分解答应写

5、出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17（12分）已知a，b，c分别是ABC的内角A，B，C的对边，b-22c=acosC，ABAC=4（1）求A；（2）求ABC的面积18（12分）某汽车品牌4S店为了解车主对其售后服务的满意度做了一次随机调查，按40岁以下和40岁以上（含40岁）两个年龄段各抽取了m个车主，调查显示40岁以下车主满意的占其车主数的35，40岁以上车主满意的占其车主数的45，且经以下22列联表计算可得K2的观测值k4.76240岁以下车主数40岁以上车主数合计满意不满意合计（1）

6、根据已知条件，求m的值，完成上述表格并判断是否有95%的把握认为车主对该4S店的售后服务评价与车主年龄有关？（2）为了进一步征集车主对4S店售后服务的意见，4S店又采用分层抽样的方法从上述表示不满意的车主中抽取了6名，再从这6名中抽取3人进行面对面交流，求事件“至多抽到两名40岁以下车主”的概率附表P（K2k0）0.100.050.0250.0100.001k02.7063.8415.0246.63510.828附：K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)19（12分）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，ACABAA1，A1AC60，BAC90，平面AA1C1C平面AB

7、C（1）求证：BC1CA1；（2）若M是线段A1C1的中点，N是线段BC1上一点，且MN平面ABB1A1，求四棱锥NABB1A1与三棱柱ABCA1B1C1的体积之比20（12分）已知函数f(x)=lnx2+cosxg（x）f（x）+sinx（1）求g（x）在点（1，g（1）处的切线方程；（2）求证：当x（，+）时，f（x）有且仅有1个零点21（12分）已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率e=12，且过点C(1，32)（1）求椭圆E的方程；（2）设C点关于y轴的对称点为D，点M在直线OD上，过点M的直线l与E交于A、B两点，线段AB的中点为N，若|AB|2|CN|，求点M的坐标（

8、二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分选修4-4：坐标系与参数方程（10分）22（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x=1+22ty=22t（t为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为2（cos+sin）（1）求C1的极坐标方程和C2的直角坐标方程；（2）设C1与C2交于P，Q两点，求|OP|OQ|的值选修4-5：不等式选讲（10分）23已知函数f(x)=|x-a|+|x+1a|（1）若a1，求不等式f（x）4的解集；（2）若存在x0，使得f（x0）2成立，求a的取值范围2022年四川省高

9、考数学诊断性试卷（文科）（2月份）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知集合Ax|3x4，Bx|x2+5x0则AB（）A（5，4）B（0，4）C（3，0）D（5，0）【解答】解：集合Ax|3x4，Bx|x2+5x0x|x5或x0，ABx|0x4故选：B2（5分）复数z满足（1+i）z2i，则z在复平面上对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【解答】解：复数z满足（1+i）z2i，z=2i1+i=2i(1-i)(1+i)(1-i)=1+i，它在复平面内对应点的坐标为（1，1），故选：A

10、3（5分）青少年视力是社会普遍关心的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用小数记录法和五分记录法记录视力数据小数记录法的数据E和五分记录法的数据F满足E10F5，已知某同学视力的小数记录法记录的数据为0.9，则其视力的五分记录法的数据约为（）（lg30.4771）A4.6B4.7C4.8D4.9【解答】解：由题意可知E10F5，E0.9，0.910F5，F5lg0.9lg912lg31，F2lg3+44.9，即其视力的五分记录法的数据约为4.9，故选：D4（5分）函数y=lg(x2+1-x)2x+2-x的大致图象是（）ABCD【解答】解：根据题意，设f（x）=lg(x2+1-x)2x+2-x，

11、其定义域为R，有f（x）f（x），则f（x）为奇函数，排除CD，f（1）=lg(2-1)2+120，排除B，故选：A5（5分）有下列三个命题：分层抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关；散点图是判断两个变量是否相关的一种重要方法和手段；在频率分布直方图中，各小长方形的面积之和为1其中为真命题的是（）ABCD【解答】解：由分层抽样的性质可得，每个个体被抽到的可能性与层数及分层无关，故命题为假，由散点图的定义可知，它是判断两个变量是否相关的一种重要方法和手段，故命题为真，在频率分布直方图中，各小长方形的面积之和为1，故命题为真故选：C6（5分）已知等比数列an满足a1=12，且a2a44（

12、a31），则a5（）A8B16C32D64【解答】解：等比数列an满足a1=12，且a2a44（a31），则12q12q34（12q21），解得q24，a5a1q4=12428，故选：A7（5分）设x，y满足x-y+20x+y0y-1，则zx2y的最小值是（）A12B1C2D3【解答】解：画出可行域，即阴影部分，可以看出当目标函数过点B（1，1）时，zx2y取得最小值，此时zmin123故选：D8（5分）已知非零向量a，b满足3|a|=2|b|，且b(a-b)，则a与b的夹角为（）A6B4C3D56【解答】解：非零向量a，b满足3|a|=2|b|，且b(a-b)，b(a-b)=ab-b2=|a

13、|b|cosa，b-|b|20，32|a|2cosa，b=34|a|2，cosa，b=32，a，b0，则a与b的夹角为6故选：A9（5分）已知双曲线C：x24-y2m=1的离心率为2，则双曲线C与双曲线E：y212-x24=1有（）A相等的离心率B相同的焦点C相等的焦距D不同的渐近线【解答】解：双曲线C：x24-y2m=1的离心率为2，可得m0，1+m4=2，解得m12，则双曲线C：x24-y212=1的离心率为2，焦点为（4，0），（4，0），焦距为8，渐近线方程为y3x；双曲线E：y212-x24=1的焦点为（0，4），（0，4），焦距为8，离心率为233，渐近线方程为y3x；故选：C10

14、（5分）设Sn为等差数列an的前n项和，若3a57a11，且a10则使Sn0的n的最小值为（）A30B31C32D33【解答】解：根据题意，设等差数列an的公差为d，若3a57a11，且a10，则3（a1+4d）7（a1+10d），变形可得：4a1+58d0，则a1=-292d，Snna1+n(n-1)d2=-292nd+n(n-1)d2=d2（n230n），a1=-292d0，则d0，若Sn0，必有n230n0，又由nN+，则n30，故使Sn0的n的最小值为31；故选：B11（5分）已知函数f(x)=2sin(12x+8)-1，下列结论错误的是（）Af（x）的值域为3，1Bf（x）的图象关于

15、直线x=-54对称Cf（x）的图象关于点(74，0)对称Df（x）的图象可由函数y=2sin(x+8)-1图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍得到【解答】解：A当sin（12x+8）1时，f（x）最大，最大为211，当sin（12x+8）1时，f（x）最小，最小为213，即f（x）的值域为3，1，故A正确，B当x=-54时，12x+8=12（-54）+8=-2，此时f（x）取得最小值，即f（x）的图象关于直线x=-54对称，故B正确，C当x=74时，12x+8=1274+8=，此时f（x）1，即f（x）的图象关于（74，1）对称，故C错误，D函数y=2sin(x+8)-1图象上所有点

16、的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到y2sin（12x+8）1，此时可以得到f（x），故D正确，故选：C12（5分）设函数f（x）的定义域为R，且f（x1）f（x）1，当x1，0）时，f（x）x（x+1）+1，若存在xk，+）时，使f(x)=299，则k的最大值为（）A1B2C43D53【解答】解：当x1，0）时，f（x）x（x+1）+1，由f（x1）f（x）1得f（x）f（x1）+1，即从x1，0）开始，f（x）每右移1个单位，图像就会向上移1个单位，当x1，0）时，f(x)=-x(x+1)+1=-x2-x+1=-(x+12)2+5454，又54+1299，54+2299，故当函数f（x

17、）的x由小到大，y第一次取到299时，x1，2），又当x1，2）时，f（x）（x2）（x1）+3x2+3x+1，令-x2+3x+1=299，解得x=53或x=43，若存在xk，+）时，使f(x)=299，则必有k53，所以k的最大值为53故选：D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）命题p：x0R，x03x02+10，则p是 xR，x3x2+10【解答】解：命题p：x0R，x03-x02+10是一个特称命题命题p：x0R，x03-x02+10，的否定是“xR，x3x2+10”故答案为：xR，x3x2+1014（5分）函数y=-lg(3-4x)的定义域为 12，34)【解答】

18、解：由函数y=-lg(3-4x)，可得lg（34x）0lg1，034x1，12x34，故答案为：12，34）15（5分）某几何体三视图如图所示，则在该几何体内的球的最大体积为 23【解答】解：由三视图还原原几何体，可知该几何体为圆锥，设主视图的内切圆半径为r，OC1，OA22，AC=12+(22)2=3，12222=12(2+3+3)r，可得r=22该几何体内的球的最大体积V=43(22)3=23故答案为：2316（5分）已知抛物线C：x22py（p0）的焦点为F（0，1），点F关于直线2x4y10的对称点为M，过点F的直线l与抛物线C交于P，Q两点，当PMQ90时，直线PQ的斜率为 12【解

19、答】解：由题意知抛物线的焦点F为（0，p2），p2，抛物线方程为x24y，设F（0，1）关于直线2x4y10的对称点为M（x0，y0），则直线MF与直线2x4y10垂直，kMF=y0-1x0，k=12，kMFk=y0-1x012=-1，得y02x0+1，线段MF和中点（x02，y0+12）在直线 2x4y10，2x02-4y0+12-1=0，即x02y03，由，解得x01，y01，M（1，1），设直线l的方程为yk1x+1，M（1，1），则y1klx1+1，y2klx2+1，y=klx+1x2=4y，消去y，得x24klx40，=(-4kl)2+160，x1+x24kl，x1x24，MPMQ，

20、MPMQ=0，MP=（x11，y1+1），MQ=（x21，y2+1），MPMQ=（x11，y1+1）（x21，y2+1）（1+k12）x1x2+（2kl1）（x1+x2）+54（1+kl2）+4kl（2kl1）+5=4kl2-4kl+10，解得kl=12故答案为：12三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17（12分）已知a，b，c分别是ABC的内角A，B，C的对边，b-22c=acosC，ABAC=4（1）求A；（2）求ABC的面积【解答】（1）解：由b-22c=ac

21、osC可得sinB-22sinC=sinAcosC，即sin(A+C)-22sinC=sinAcosC，即cosAsinC=22sinC，即cosA=22，而0A，所以A=4（2）由ABAC=4可得bccosA4，由（1）A=4，则bc42，所以SABC=12bcsinA=218（12分）某汽车品牌4S店为了解车主对其售后服务的满意度做了一次随机调查，按40岁以下和40岁以上（含40岁）两个年龄段各抽取了m个车主，调查显示40岁以下车主满意的占其车主数的35，40岁以上车主满意的占其车主数的45，且经以下22列联表计算可得K2的观测值k4.76240岁以下车主数40岁以上车主数合计满意不满意合

22、计（1）根据已知条件，求m的值，完成上述表格并判断是否有95%的把握认为车主对该4S店的售后服务评价与车主年龄有关？（2）为了进一步征集车主对4S店售后服务的意见，4S店又采用分层抽样的方法从上述表示不满意的车主中抽取了6名，再从这6名中抽取3人进行面对面交流，求事件“至多抽到两名40岁以下车主”的概率附表P（K2k0）0.100.050.0250.0100.001k02.7063.8415.0246.63510.828附：K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)【解答】解：（1）由题设K2=2m(325m2-825m2)275m35mmm=4.762，得m50完成22

23、列联表如下：40岁以下车主数40岁以上车主数合计满意304070不满意201030合计5050100而4.7623.841，所以有95%的把握认为车主对该4S店的售后服务评价与车主年龄有关（2）由（1）知，表示不满意的车主40岁以下有20人，40岁以上有10人，按分层抽样抽取6人，应从40岁以下的20人中抽取2015=4人，从40岁以上的10人中抽取1015=2人，设A表示事件“至少抽到两名40岁以下车主”，则P(A)=C44C21+C43C22C63=4519（12分）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，ACABAA1，A1AC60，BAC90，平面AA1C1C平面ABC（1）求证：BC1C

24、A1；（2）若M是线段A1C1的中点，N是线段BC1上一点，且MN平面ABB1A1，求四棱锥NABB1A1与三棱柱ABCA1B1C1的体积之比【解答】解：（1）证明：连接AC1与A1C交于点D由已知平面AA1C1C平面ABC，平面AA1C1C平面ABCAC，BAAC，又BA平面ABC，BA平面AA1C1C而CA1平面AA1C1C，BACA1又由已知四边形AA1C1C为菱形，CA1AC1，则CA1平面ABC1又BC1平面ABC1，故BC1CA1（2）MN平面ABB1A1，MN面A1C1B，平面ABB1A1面A1C1BA1B，MNBM是线段A1C1的中点，N是线段BC1的中点，VN-ABB1A1=

25、12VC1-ABB1A1=1223VABC-A1B1C1=13VABC-A1B1C1，VN-ABB1A1VABC-A1B1C1=13VABC-A1B1C1VABC-A1B1C1=13，四棱锥NABB1A1与三棱柱ABCA1B1C1的体积之比为1：320（12分）已知函数f(x)=lnx2+cosxg（x）f（x）+sinx（1）求g（x）在点（1，g（1）处的切线方程；（2）求证：当x（，+）时，f（x）有且仅有1个零点【解答】解：（1）由f(x)=lnx2+cosx，知f(x)=12x-sinx，g(x)=f(x)+sinx=12x，g(1)=12，g(x)=-12x2，g(1)=-12，g

26、（x）在点(1，12)处的切线方程为y-12=-12(x-1)，即x+2y20；证明：（2）记（x）f（x），则(x)=-12x2-cosx，当x（，2）时，f（x）0，f（x）在（，2）上单调递增，又f()=-1+ln20，f(2)=1+ln220，则x0（，2），使得f（x0）0，当x(2，52)时，（x）0，f（x）在(2，52)上单调递减，又f(52)=15-10，f(2)=140，则(2，52)，使得f（）0，f（x）在（2，）上递增，在(，52)上递减，故当x(2，52)时，f（x）0，当x(52，+)时，f(x)ln522+cosx1+cosx0，综上，f（x）有且仅有1个零点2

27、1（12分）已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率e=12，且过点C(1，32)（1）求椭圆E的方程；（2）设C点关于y轴的对称点为D，点M在直线OD上，过点M的直线l与E交于A、B两点，线段AB的中点为N，若|AB|2|CN|，求点M的坐标【解答】解：（1）由已知e=1-b2a2=12，得b2a2=34，又1a2+34b2=1，由解得a24，b23，故椭圆E的方程为：x24+y23=1（2）由题设及|AB|2|CN|得ACBC设过点M的直线l的方程为ykx+m（斜率存在），将其代入x24+y23=1并整理得（3+4k2）x2+8kmx+4m2120，当（8km）24（3+4k2

28、）（4m212）0时，设A（x1，y1），B（x2，y2），x1+x2=-8km3+4k2，x1x2=4m2-123+4k2，继而可得y1+y2=k(x1+x2)+2m=6m3+4k2，y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=3m2-12k23+4k2，又CA=(x1-1，y1-32)，CB=(x2-1，y2-32)，CACB=(x1-1)(x2-1)+(y1-32)(y2-32)=x1x2-(x1+x2)+y1y2-32(y1+y2)+134=7m2-12k2+8km-9m-123+4k2+134=0，整理得k2+7m2+8km-9m-94=0，（*）

29、设M(t，-32t)，将其代入ykx+m得m=-kt-32t，又将m=-kt-32t代入（*）式整理得：(7t2-8t+1)k2+(21t2-3t)k+94(7t2+6t-1)=0，即：(t-1)(7t-1)k2+3t(7t-1)k+94(t+1)(7t-1)=0，对任意k恒成立的充要条件为7t10，即t=17，-32t=-314，故点M的坐标为(17，-314)（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分选修4-4：坐标系与参数方程（10分）22（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x=1+22ty=22t（t为参数），以O为极点

30、，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为2（cos+sin）（1）求C1的极坐标方程和C2的直角坐标方程；（2）设C1与C2交于P，Q两点，求|OP|OQ|的值【解答】解：（1）由x=1+22ty=22t（t为参数）消去参数t，得xy1，由xcos，ysin，可得C1的极坐标方程cossin1由2（cos+sin）可得22cos+2sin，则C2的直角坐标方程为x2+y22（x+y），即x2+y22x2y0（2）由2（cos+sin）得：cos+sin=2，由cossin1得：cossin=1，由2+2得24+12=2，即482+40，设P，Q两点所对应的极径分别为1，2，则

31、（12）24，所以|OP|OQ|2选修4-5：不等式选讲（10分）23已知函数f(x)=|x-a|+|x+1a|（1）若a1，求不等式f（x）4的解集；（2）若存在x0，使得f（x0）2成立，求a的取值范围【解答】解：（1）当a1时，f（x）4|x1|+|x+1|4x-11-x-x-14或-1x11-x+x+14或x1x-1+x+142x1或1x1或1x22x2，f（x）4的解集为x|2x2（2）存在x0使得f（x0）2成立，等价于f（x）min2，而f(x)=|x-a|+|x+1a|(x-a)-(x+1a)|=|a+1a|，当且仅当(x-a)(x+1a)0时成立，f(x)min=|a+1a|，则|a+1a|2，而|a+1a|=|a|+1|a|2，即2|a+1a|2，|a+1a|=2得a1或a1，故a的取值范围为1，1