两角和与差的三角函数与二倍角公式习题课课件.ppt

1、2022年3月28日星期一王山喜-和差倍角三角函数习题课12022年3月28日星期一王山喜-和差倍角三角函数习题课22022年3月28日星期一王山喜-和差倍角三角函数习题课32022年3月28日星期一王山喜-和差倍角三角函数习题课4 二倍角公式中的二倍角公式中的sin2,cos2sin2,cos2能否用能否用tantan来表示？来表示？2222sin cos2tansin22sin cossincos1tan ，22222222cossin1tancos2cossin,cossin1tan 2sin22tantan2.cos21tan 这三个公式常被称为这三个公式常被称为“万能公万能公式式”

2、提示提示:能能. 齐次型！齐次型！2022年3月28日星期一王山喜-和差倍角三角函数习题课51.cos331.cos33cos87cos87+sin33+sin33cos177cos177的值为的值为( )( )(A) (B) (C) (D) (A) (B) (C) (D) 【解析解析】选选B.cos33B.cos33cos87cos87+sin33+sin33cos177cos177=cos33=cos33sin3sin3-sin33-sin33cos3cos3=sin(3=sin(3-33-33)=-sin30)=-sin30= .= .1212323212变结构与凑结构，逆用变结构与凑结

3、构，逆用公式！公式！2022年3月28日星期一王山喜-和差倍角三角函数习题课62.2.已知已知tan(+)=3,tan(-)=5,tan(+)=3,tan(-)=5,则则tan2=tan2=（ ）(A) (B) (C) (D)(A) (B) (C) (D)【解析】【解析】选选D.tan2=tanD.tan2=tan(+)+(-)(+)+(-)18184747tan()tan()3584.1tan() tan1 3 5147 变角与凑角！变角与凑角！2022年3月28日星期一王山喜-和差倍角三角函数习题课73.3.如果如果coscos2 2-cos-cos2 2=a=a，则，则sin(+)sin

4、(-)sin(+)sin(-)等于等于（ ）（A A） （B B） （C C）-a -a （D D）a a【解析】【解析】选选C.sin(+)sin(-)C.sin(+)sin(-)=(sincos+cossin)(sincos-cossin)=(sincos+cossin)(sincos-cossin)=sin=sin2 2coscos2 2-cos-cos2 2sinsin2 2=(1-cos=(1-cos2 2)cos)cos2 2-cos-cos2 2(1-cos(1-cos2 2)=cos=cos2 2-cos-cos2 2=-a.=-a.a2a22022年3月28日星期一王山喜-和

5、差倍角三角函数习题课84.4.若若 则则2sin2sin2 2-cos-cos2 2=_.=_.【解析】【解析】由由 得，得，2+2tan=3-3tan,2+2tan=3-3tan,答案答案: :3tan()423tan()42，1tan3,1tan21tan.5 222222222sincos2tan12sincossincostan1 而212325.126125 2326齐次型！齐次型！2022年3月28日星期一王山喜-和差倍角三角函数习题课95.5.化简：化简： =_.=_.【解析】【解析】答案答案: :cos3sin121213cos3sin2( cossin)12122122122

6、(coscossinsin)3123122cos()2cos2.31242合一变形！合一变形！2022年3月28日星期一王山喜-和差倍角三角函数习题课101.1.两角和与差的三角函数公式的理解两角和与差的三角函数公式的理解(1)(1)正弦公式概括为正弦公式概括为“正余，余正符号同正余，余正符号同”“符号同符号同”指的是前面是两角和，则后面中间为指的是前面是两角和，则后面中间为“+”+”号；号；前面是两角差，则后面中间为前面是两角差，则后面中间为“-”-”号号. .(2)(2)余弦公式概括为余弦公式概括为“余余，正正符号异余余，正正符号异”. .2022年3月28日星期一王山喜-和差倍角三角函数

7、习题课11(3)(3)二倍角公式实际就是由两角和公式中令二倍角公式实际就是由两角和公式中令=可得可得. .特别地，对于余弦特别地，对于余弦:cos2=cos:cos2=cos2 2-sin-sin2 2=2cos=2cos2 2-1=1-1=1-2sin2sin2 2，这三个公式各有用处，同等重要，特别是逆用即为，这三个公式各有用处，同等重要，特别是逆用即为“降幂公式降幂公式”，在考题中常有体现，在考题中常有体现. .2.2.弦切互化公式（万能公式）弦切互化公式（万能公式）对于弦切互化对于弦切互化 有时也起到有时也起到简化解题过程的作用简化解题过程的作用. . 22tansin21tan ，2

8、21tancos21tan 2022年3月28日星期一王山喜-和差倍角三角函数习题课12 三角函数式的化简三角函数式的化简【例【例1 1】化简下列各式：】化简下列各式：(1)(1)【审题指导】【审题指导】对于含有根式的三角函数，化简一般采用倍角对于含有根式的三角函数，化简一般采用倍角公式转化为完全平方式后开根号，若含有常数可采用倍角公公式转化为完全平方式后开根号，若含有常数可采用倍角公式将常数化掉式将常数化掉. .1 sincos(sincos )22022cos ； 222cos82 1 sin8.2022年3月28日星期一王山喜-和差倍角三角函数习题课13【自主解答】【自主解答】(1)(1

9、)原式原式因为因为00，所以，所以所以所以所以原式所以原式=-cos.=-cos.2222(2sincos2cos)(sincos )222224cos2cos(sincos)coscos2222.coscos22022，cos0,22022年3月28日星期一王山喜-和差倍角三角函数习题课14=-2cos4+2(cos4-sin4)=-2sin4.=-2cos4+2(cos4-sin4)=-2sin4. 222cos82 1 sin82 1cos82 12sin4cos4222 2cos 42sin4cos42022年3月28日星期一王山喜-和差倍角三角函数习题课15【规律方法】【规律方法】三

10、角函数的给角求值或化简，所给角往往是非三角函数的给角求值或化简，所给角往往是非特殊角特殊角. .解决的基本思路是：解决的基本思路是：2022年3月28日星期一王山喜-和差倍角三角函数习题课16【变式训练】化简：【变式训练】化简：【解析】【解析】原式原式42212cos x2cos x2.2tan(x)sin (x)4442214cos x4cos x12sin(x)42cos (x)4cos(x)422222cos x1cos 2xcos 2x1cos2x.2cos2x24sin(x)cos(x)2sin(2x)4422022年3月28日星期一王山喜-和差倍角三角函数习题课17 三角函数的求值

11、三角函数的求值【例【例2 2】(2011(2011东城模拟东城模拟) )已知已知-2cos+sin=0-2cos+sin=0，(, ).(, ).(1)(1)求求sin(+ );sin(+ );(2)(2)求求tan(+ ).tan(+ ).【审题指导】【审题指导】由已知结合同角三角函数关系式可得由已知结合同角三角函数关系式可得sin,sin,cos,tan,cos,tan,从而再利用两角和的公式可得（从而再利用两角和的公式可得（1 1）（）（2 2）. .32442022年3月28日星期一王山喜-和差倍角三角函数习题课18【自主解答】【自主解答】(1)(1)由由-2cos+sin=0-2co

12、s+sin=0即即sin=2cos.sin=2cos.又又sinsin2 2+cos+cos2 2=1=1得得 又又(, ),(, ),(2)(2)由（由（1 1）可得）可得tan=2tan=2，24sin.5 322 55sin,cos,55 sin()sin coscos sin4442(sincos )222 553 10().25510 1tan12tan()3.41tan12 2022年3月28日星期一王山喜-和差倍角三角函数习题课19【规律方法】【规律方法】三角函数的求值是三角变换中常见题型，它分三角函数的求值是三角变换中常见题型，它分为非条件求值（特殊的化简）和条件求值为非条件求

13、值（特殊的化简）和条件求值. .条件求值中又有给值求值和给值求角，此类问题的关键是把条件求值中又有给值求值和给值求角，此类问题的关键是把待求角用已知角表示：待求角用已知角表示：(1)(1)已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和与差已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和与差. .(2)(2)已知角为一个时，待求角一般与已知角成已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍倍”的关系或的关系或“互余互补互余互补”关系关系. .2022年3月28日星期一王山喜-和差倍角三角函数习题课20(3)(3)对于角还可以进行配凑，常见的配凑技巧有：对于角还可以进行配凑，常见的配凑技巧有：= =(+)-=-(

14、-) =(+)-=-(-)= = (+)+(-)(+)+(-)，对于给值求角，关键是求该角的某一个三角函数值，再根据对于给值求角，关键是求该角的某一个三角函数值，再根据范围确定角范围确定角. .12().424 22022年3月28日星期一王山喜-和差倍角三角函数习题课21【互动探究】若将本例中的【互动探究】若将本例中的范围修改为范围修改为(0, ),(0, ),则如则如何求何求cos( -2)cos( -2)和和sin( -2)?sin( -2)?【解析】【解析】由本例可得由本例可得: : 又又(0, ),(0, ),故故23624sin,5 2 55sin,cos,55 2 554sin2

15、2sin cos2,555 2253cos22cos12 ()1,55 22022年3月28日星期一王山喜-和差倍角三角函数习题课22133425254 3310 （），sin(2 )sincos2cossin26661334()252534 3.10 cos(2 )coscos2sinsin2333 2022年3月28日星期一王山喜-和差倍角三角函数习题课23【变式训练】已知【变式训练】已知0 0 ，且，且cos(- )=cos(- )= 求求cos(+)cos(+)的值的值. .【解析】【解析】0 ,0 0)x(0)的最的最小正周期为小正周期为 (1)(1)求求的值；的值；（2 2）若函数

16、）若函数y=g(x)y=g(x)的图象是由的图象是由y=f(x)y=f(x)的图象向右平移的图象向右平移 个个单位长度得到单位长度得到, ,求求y=g(x)y=g(x)的单调增区间的单调增区间. .2.322022年3月28日星期一王山喜-和差倍角三角函数习题课33【审题指导】【审题指导】本例可将原函数平方展开本例可将原函数平方展开, ,利用利用同角三角函数基本关系式及倍角公式和两角同角三角函数基本关系式及倍角公式和两角和与差的逆用化为一个角的一个三角函数，和与差的逆用化为一个角的一个三角函数，再利用周期可求再利用周期可求，利用图象变换可求，利用图象变换可求g(x)g(x)的单调增区间的单调增

17、区间. .2022年3月28日星期一王山喜-和差倍角三角函数习题课34【规范解答】【规范解答】(1)f(x)=sin(1)f(x)=sin2 2x+cosx+cos2 2x+2sinxx+2sinxcosxcosx+1+cos2x=sin2x+cos2x+2+1+cos2x=sin2x+cos2x+2= sin(2x+ )+2,= sin(2x+ )+2,依题意得依题意得 故故(2)(2)依题意得依题意得由由解得解得故故g(x)g(x)的单调增区间为的单调增区间为2422,233.2 5g x2sin3(x)22sin(3x)2.24452k3x2k(kZ)242227kxkkZ .34312

18、227k,kkZ .34 3122022年3月28日星期一王山喜-和差倍角三角函数习题课35【规律方法】【规律方法】高考对两角和与差的正弦、余弦、高考对两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式的考查往往渗透在研究三正切公式及二倍角公式的考查往往渗透在研究三角函数性质中角函数性质中. .需要利用这些公式，先把函数解需要利用这些公式，先把函数解析式化为析式化为y=Asin(x+ )y=Asin(x+ )的形式，再进一步讨的形式，再进一步讨论其定义域、值域和最值、单调性、奇偶性、周论其定义域、值域和最值、单调性、奇偶性、周期性、对称性等性质期性、对称性等性质. .2022年3月28日星期一王山喜

19、-和差倍角三角函数习题课36【变式备选】已知【变式备选】已知f(x)=sinf(x)=sin2 2x(0)x(0)的最小正周期为的最小正周期为.求求函数函数f(x)f(x)在区间在区间 上的值域上的值域. .【解析】【解析】= - cos2x= - cos2x，其周期为，其周期为.=1.f(x)=- cos2x+ .=1.f(x)=- cos2x+ .当当xx0, 0, 时，时，2x2x0, 0, . .cos2xcos2x-1,1-1,1.f(x).f(x)0,10,1. .203， 21 cos2 xf xsinx2 1212121223432022年3月28日星期一王山喜-和差倍角三角函

20、数习题课37 两角和与差及倍角公式解答题的答题技巧两角和与差及倍角公式解答题的答题技巧【典例】（【典例】（1212分）（分）（20102010北京高考）已知函数北京高考）已知函数f(x)=f(x)=2cos2x+sin2cos2x+sin2 2x.x.(1)(1)求求 的值；的值；(2(2) )求求f(x)f(x)的最大值和最小值的最大值和最小值. .f( )3【审题指导】【审题指导】利用倍角公式展开和同角三角函数关系转化求解，也利用倍角公式展开和同角三角函数关系转化求解，也可利用倍角公式逆用转化求解可利用倍角公式逆用转化求解.2022年3月28日星期一王山喜-和差倍角三角函数习题课38【规范

21、解答】【规范解答】方法一方法一: : 4 4分分(2)f(x)=2(2cos(2)f(x)=2(2cos2 2x-1)+(1-cosx-1)+(1-cos2 2x)x)=3cos=3cos2 2x-1,xR.x-1,xR.cosxcosx-1,1-1,1,cos,cos2 2xx0,10,1，1010分分当当cosx=cosx=1 1时时,f(x),f(x)maxmax=2.=2.当当cosx=0cosx=0时，时，f(x)f(x)minmin=-1. =-1. 12 12分分21f( )2cos(2)sin333（ ）22312cossin1.3344 2022年3月28日星期一王山喜-和差

22、倍角三角函数习题课39方法二方法二:(1):(1)由由f(x)=2cos2x+sinf(x)=2cos2x+sin2 2x x得得 4 4分分(2)xR,cos2x(2)xR,cos2x-1,1-1,1. . 9 9分分 1212分分 1 cos2x31f x2cos2xcos2x222，321311f( )cos.3232424 max31f x2,cos2x1,22此时 min31f x1,cos2x1.22 此时2022年3月28日星期一王山喜-和差倍角三角函数习题课40【失分警示】【失分警示】本题考查二倍角公式的正用、逆用及其性质，本题考查二倍角公式的正用、逆用及其性质，属容易题，掌握

23、好公式是关键，其失分原因主要有：一是属容易题，掌握好公式是关键，其失分原因主要有：一是特殊角的三角函数值记不清，特殊角的三角函数值记不清，二是运算错误造成失分二是运算错误造成失分. .解决此类问题的失分点主要是：解决此类问题的失分点主要是：1.1.不能对所给函数式准确化简造成失分不能对所给函数式准确化简造成失分. .2.2.求最值或值域问题忽略相应变量的取值范围造成失分求最值或值域问题忽略相应变量的取值范围造成失分. .2022年3月28日星期一王山喜-和差倍角三角函数习题课41【变式训练】已知函数【变式训练】已知函数f(x)=sinf(x)=sin2 2x+ sinxsin(x+ )x+ s

24、inxsin(x+ )(0)(0)的最小正周期为的最小正周期为.(1)(1)求求的值；的值；（2 2）求函数）求函数f(x)f(x)在区间在区间0 0， 上的取值范围上的取值范围. .32232022年3月28日星期一王山喜-和差倍角三角函数习题课42【解析】【解析】2022年3月28日星期一王山喜-和差倍角三角函数习题课432022年3月28日星期一王山喜-和差倍角三角函数习题课441.(20111.(2011福州模拟福州模拟) )将函数将函数 的图象向左平的图象向左平移移m m个单位个单位(m0)(m0)，若所得图象对应的函数为偶函数，则，若所得图象对应的函数为偶函数，则m m的最的最小值

25、是小值是( )( )(A) (B) (C) (D) (A) (B) (C) (D) 【解析】【解析】选选A.A.由由 向左平移向左平移m m个个单位后得单位后得g(x)=2sin(x- +m),g(x)=2sin(x- +m),若若g(x)g(x)是偶函数是偶函数, ,则则m- =m- =k+ (kZ),k+ (kZ),m=k+ (kZ),mm=k+ (kZ),mminmin= .= . f x3sinxcosx233856 f x3sinxcosx2sin(x)66622323针对训练！2022年3月28日星期一王山喜-和差倍角三角函数习题课452.(20102.(2010陕西高考陕西高考)

26、 )对于函数对于函数f(x)=2sinxcosxf(x)=2sinxcosx，下列选项中，下列选项中正确的是正确的是( )( )(A)f(x)(A)f(x)在在 上是递增的上是递增的(B)f(x)(B)f(x)的图象关于原点对称的图象关于原点对称(C)f(x)(C)f(x)的最小正周期为的最小正周期为22(D)f(x)(D)f(x)的最大值为的最大值为2 2【解析】【解析】选选B.f(x)=2sinxcosx=sin2x,B.f(x)=2sinxcosx=sin2x,其增区间为其增区间为 kZkZ且且f(x)f(x)是奇函数是奇函数, ,图象关于原点对称，图象关于原点对称，最小正周期最小正周期

27、T=T=，f(x)f(x)maxmax=1,=1,故选故选B.B.(,)4 2 k,k,44针对训练！2022年3月28日星期一王山喜-和差倍角三角函数习题课463.(20113.(2011银川模拟银川模拟) )已知已知 且且sin-cos1,sin-cos1,则则sin2=sin2=（ ）【解析】【解析】选选A.sin= sin-cos1,cos1,cos0,在第二象限，在第二象限，4sin5 4C5 24A25 12B25 24D254,53cos,5 4324sin22sincos2().5525 针对训练！2022年3月28日星期一王山喜-和差倍角三角函数习题课474.(20114.(

28、2011杭州模拟杭州模拟) )函数函数y=sinx+ cosx(xR)y=sinx+ cosx(xR)的值域为的值域为_._.【解析】【解析】由由y=2sin(x+ )y=2sin(x+ )得值域为得值域为-2-2，2 2. .答案答案: :-2,2-2,233针对训练！2022年3月28日星期一王山喜-和差倍角三角函数习题课485.(20115.(2011南通模拟南通模拟) )满足满足 的锐角的锐角x=_.x=_.【解题提示】【解题提示】利用两角和的余弦公式的逆用化为一个角的三利用两角和的余弦公式的逆用化为一个角的三角函数后解方程可得角函数后解方程可得. .【解析】【解析】由题意知由题意知即

29、即 故故 又因为又因为x x为锐角，为锐角，故故答案答案: :1sinsinxcoscosx,55241sinsinxcoscosx5521cos(x),52 2x2k ,kZ53 ，7x.15715针对训练！2022年3月28日星期一王山喜-和差倍角三角函数习题课49一、选择题一、选择题( (每小题每小题4 4分，共分，共2020分分) )1.(20111.(2011山师大附中模拟山师大附中模拟) )若若 则则的值为的值为( )( )【解析】【解析】选选D.D.故故1sin(),63 2cos(2 )3 1177A B C D33991cos()sin(),363 227cos(2 )2co

30、s () 1.339 2022年3月28日星期一王山喜-和差倍角三角函数习题课502.(cos152.(cos15-cos75-cos75)(sin75)(sin75+sin15+sin15)=( )=( )(A) (B) (C) (D)1(A) (B) (C) (D)1【解析解析】选选C.C.原式原式=(cos15=(cos15-sin15-sin15)(cos15)(cos15+sin15+sin15) )=cos=cos2 21515-sin-sin2 21515=cos30=cos30= .= .122232322022年3月28日星期一王山喜-和差倍角三角函数习题课513.3.已知已

31、知 则则f()f()取得最大值时取得最大值时的值是的值是( )( )(A) (B) (C) (D)(A) (B) (C) (D) 1cos2f,(0,),12tan2tan2 643252022年3月28日星期一王山喜-和差倍角三角函数习题课52【解析】【解析】选选B. B. 当当 即即 时，函数时，函数f()f()取得最大值取得最大值. . 222221cos22cosf1tancossin222tan2sincos222cossincossin cos122sin2 ,cos2cossin22 22 ，4 2022年3月28日星期一王山喜-和差倍角三角函数习题课534.4.已知函数已知函数

32、y=f(x)y=f(x)sinxsinx的一部分图象如图所示，则函数的一部分图象如图所示，则函数f(x)f(x)可以是可以是( )( )(A)2sinx (B)2cosx (C)-2sinx (D)-2cosx(A)2sinx (B)2cosx (C)-2sinx (D)-2cosx【解析解析】选选D.D.由图象可知由图象可知:f(x):f(x)sinx=sin(2x-)sinx=sin(2x-)=-sin2x=-2sinx=-sin2x=-2sinxcosx,cosx,f(x)f(x)可以是可以是-2cosx.-2cosx.2022年3月28日星期一王山喜-和差倍角三角函数习题课545.(2

33、0115.(2011杭州模拟杭州模拟) )已知已知 且且x,yx,y为锐角，则为锐角，则tan(x-y)=( )tan(x-y)=( )【解题提示】【解题提示】解答本题的关键是利用已知条件求出解答本题的关键是利用已知条件求出cos(x-y)cos(x-y)的值，然后结合的值，然后结合x,yx,y的范围及同角三角函数关系式求出相应的范围及同角三角函数关系式求出相应的值的值. .22sinxsiny,cosxcosy,33 2 142 142 145 14A B C D555282022年3月28日星期一王山喜-和差倍角三角函数习题课55【解析】【解析】选选B.B.由由两边平方得两边平方得 由由

34、两边平方得两边平方得 + +得得 且且xy, x0,0,x x为月份）的模型波动为月份）的模型波动, ,已知已知3 3月份达最高价月份达最高价8 8千元，千元，7 7月份价月份价格最低为格最低为4 4千元千元. .该商品每件的售价为该商品每件的售价为g(x)(xg(x)(x为月份为月份) )且满足且满足g(x)=f(x-2)+2.g(x)=f(x-2)+2.(1)(1)求求f(x),g(x)f(x),g(x)的解析式；的解析式；(2)(2)一年内几个月能盈利？一年内几个月能盈利？2 ， f xAsinxB 2022年3月28日星期一王山喜-和差倍角三角函数习题课68【解析】【解析】（1 1）由）由 题意得题意得且且T=8T=8，故，故(2)(2)要使商家盈利则只需要使商家盈利则只需g(x)f(x),g(x)f(x),即即即即即即8484A2B622，2,3,T4424 f x2sin(x)6 1x12 ,44 3g xf x222sin(x)8 1x12 .4432sin(x)82sin(x)6,44443x3xxsinxcoscossin4sincoscossin3,44444444x2sin,42