第18讲欧氏空间正交基课件.ppt

1、一. 欧几里得空间二. 向量的正交性第四节第四节 欧几里得空间欧几里得空间 .的正交基向量空间三nR . 正交化方法四例 , ) 0 , 2 , 2 , 8 , 1( , )2 , 5 , 3 , 0 , 2( 则若 02)2(52380) 1(2),( 6。 205)2(32082) 1(),( 6。 )( 02255330022) ,(。正定性 证。双线性性请自己举例验 欧几里得空间 , ) , ( 称为的向量空间定义了内积nR , , 。记为简称为欧氏空间维欧几里得空间nEn , 。向量与点被视为等同的在欧氏空间中 , 。“点”也可称为“向量”中的元素可称为nE 向量间的夹角、欧氏空间中

2、向量的长度 ,),(21的长度为定义向量nnExxx ),( |22221。nxxx : | 具有以下性质的长度向量 ; 0 | , 0 , 0 | : 1.时当且仅当正定性 | | : . 3。三角不等式 ; | | | : . 2kk齐次性 | ),(2 0 |0| : )0 , 0 , 0(0 . 1。的长度等于零零向量 1 . 2的向量称为单位向量。长度等于 . 4。均可单位化任何一个非零向量 | , . 3。为单位向量则为非零向量若 中向量间的距离欧氏空间nE , , 称非负数设nE 的距离。与中向量为nE | ),(d , ),( , ),(2121nnnEbbbaaa )()()

3、(| 2222211。则nnababab , 若由向量的长度的定义式例证证 中柯西不等式成立证明：在欧氏空间nE , , , ) ,)( ,() ,(2V , 线性相关时成立。与等号当且仅当其中 , 0 , , . 1则对任意实数线性无关与若 , 0 | ),( 2故有且 )()() ,( ),(),(),(),(2 0),(),(2),(2。 的二次三项式关于 a b c 0 ? 42cab 得由二次三项式的知识可 ),)(,(),(2。 , 柯西不等式成立。线性无关时与即 . 2证明等号成立 , 有因为Rk ),)(,(),(2kkk),)(,(2k , ),)(,(kk : , ),)(

4、,(),( 2立即可知比较与 , 。柯西不等式中等号成立线性相关时与当且仅当 k二二. 向量的正交性向量的正交性 角欧氏空间中向量间的夹 , 间的夹角与两个非零向量中欧氏空间nE , 0, , | |),(rccosa ,。例 , , ) 1 , 5 , 1 , 3( , )3 , 2 , 2 , 1 ( 。求设解解 , 233221 ),( |2222 , 61513),( |2222 , 1813521231),( 因为 62318arccos| |),(arccos, 故 4 22arccos。 件两个向量正交的充要条 两个向量正交的定义 , 若中的两个非零向量为欧氏空间和设nE 2 ,

5、 。 , 。记为相互正交与则称向量 0| |),(cosarc 即 , 则中的两个非零向量为欧氏空间和设nE , 0),(规定零向量与任何向量正交。规定零向量与任何向量正交。例 , , , 且中的两个向量是欧氏空间设nE | | :222。证明证证 , | ),( , 2故有因为V ) ,( |2 , ),(),( 2),( , , 0),( , , 从而所以又 | |222。例 , , , 且中的两个向量是欧氏空间设nE | | :222。证明证证 , | ),( , 2故有因为V ) ,( |2 , ),(),( 2),( , , 0),( , , 从而所以又 | |222。 几何意义 3

6、中在 R | |222 勾股定理 , 。中在nR例 非零向量中两两相互正交的一组欧氏空间nE证证 , , ,21k 的一个正交向量组。称为 V :组是线性无关的。欧氏空间中的正交向量证明 , , , , 21则有是线性相关的如果正交向量组k , 02211 kk , , 21 不全为零。常数其中k , ), 2 , 1 ( 作内积如下任取向量kii )0 ,() ,(2211 。ikki )0 ,() ,(2211 ikki , 1) ,( , 0) ,( , 故得而时由于iijiji , ) ,() ,( 2211 iiiikki , 0)0 ,( 从而又i ) , , 2 , 1 ( ,

7、0 。kii : , 21 说明了不全为零矛盾。该矛盾这与k 组是线性无关的。欧氏空间中的正交向量 , 的维数。个数不大于所在空间正交向量组所含向量的显然V 向量组欧氏空间中的标准正交 , , , , 21中的一组正交向量组是欧氏空间设nmE , , , , 21则称该向量中的每个向量均为单位如果m , 简称为标准正交组。向量组正交向量组为标准正交 .的正交基维向量空间三nVn 的正交基维向量空间nVn , , , , 21的一组基是向量空间设向量组nnV , , , , 21则称它们为向量空是两两正交的如果n 的一组正交基。间nV , , , 21中的每个向量均为单位如果正交基n )( ,

8、。或称为规范基交基则称该正交基为标准正向量 维向量的集合。是一些或全部nVn 基 最大无关组 由向量构成的矩阵的秩 。描述标准正交基的问题我们将引进正交矩阵来 正交矩阵重要啊！重要啊！ 满足阶方阵若An , EAAT 为正交矩阵。则称 A , | | | |2AAAAATT , 1 |E 1 | 。故A 正交矩阵必满秩。 :下列条件等价由正交矩阵的定义可知 . 41也是正交矩阵。A ; . 1为正交矩阵A ; . 2EAAT ; . 31 AAT例证证 , :均为正交矩阵和阶方阵若证明BAn 阶正交矩阵。也是则nAB , , , 所以因为EBBEAATTBAABABABABABTTTTT)()

9、( , EBBEBBTT :阶正交矩阵。也是由定义可知nAB 件判别正交矩阵的充要条 : 是为正交矩阵的充要条件阶方阵 An , 1 素的平方和等于的任意一行（列）各元A 对元素与另一行（列）的而任意一行（列）的各 。应元素的乘积之和为零 , 21212222111211则记nnnnnnnaaaaaaaaaA ) ,( jiA为正交矩阵 , , 1 , , 0jiji , , 2 , 1, 。nji , 21212222111211则记nnnnnnnaaaaaaaaaA ) ,( jiA为正交矩阵 , , 1 , , 0jiji , , 2 , 1, 。nji 行 列请翻开书请翻开书 , 看看

10、 P 131 倒数第倒数第 4 行行的定理的定理 2 及其证明。及其证明。 充要条件的证明 . 正交化方法四 , 中维向量空间在nVn , 不一定是正交向量组一个线性无关的向量组 化为法将线性无关的向量组但总可以找到适当的方 方法。这样的方法称为正交化正交向量组。 )( 正交法施密特 Schmidt , , , 21量组。中的一组线性无关的向是空间设nmV . 111。令 ) ( , 0) ,( . 2122212。则取若 , ) ( , 0) ,( 12212为待定的系数则取若 ) , () ,(0 , 11212由于是 ) ,() ,() ,() ,(11121112 , ) ,( ) ,

11、( 1112解得 )( ) ,( ) ,( 1211111222。正交与向量则向量mm , , , , , , ,321321 )( 正交法施密特 Schmidt ) ,( , 0),( , 0),( . 32313332313。则取若 , 0),( , 0),( 2313则取若 , 2211 33 ) , () ,(0 , 12211 313由于是 ),(),(),(122111 13 ),(),(11113 ) ,( ) ,( 11131 。解得) ,(),(0 22211 323又由 ),(),(),(222211 23 , ) ,( ) ,( 22232解得 ) ,( ) ,( ) ,

12、( ) ,( 222231111333则向量 , 21。两两正交与向量mm, ,43214321。如此逐步进行下去 ) ( , 个两两正交的向量若求出了一般地mkk , ,121121mkkmkk , 2211 11kkkk则取 ),(),() ,(0 , 11 11iikik由于是 ),(),(),(11 ikkiiiiii , ),(),( 1iiiik ) , , 2 , 1 ( , ) ,( ) ,( 1 kiiiiki解得 , ) ,() ,( 11111两两正交。与于是kikiiiikkk : , 止直到得到正交向量组为行下去按照这样的方法一直进 , , , , , ,2121。m

13、m 向量。中的向量不一定是单位这样得到的正交向量组 , 化处理。只需对每个向量作单位组要想得到标准正交向量 线性无关的向量组 正交向量组 标准正交向量组 正交化处理 单位化处理 流程图向量组正交化、标准化 空间的基nV 中正交基nV 的标准正交基nV 正交化处理 单位化处理 流程图的基的正交化、标准化空间nV例解解 ) 1 , 0 , 0 , 1( , )0 , 1 , 0 , 1 ( , )0 , 0 , 1 , 1 (321。 :正交组将下列向量组化为标准 , )0 , 0 , 1 , 1 ( :11则令先作正交化处理 ) ,( ) ,(1111222 )0 , 1 , 2 1 , 2 1

14、 ()0 , 0 , 1 , 1 ( 21)0 , 1 , 0 , 1 (。 ) ,( ) ,( ) ,( ) ,(222231111333 , )0 , 1 , 2 1 , 2 1 )( 3 1()0 , 0 , 1 , 1 ( 2 1) 1 , 0 , 0 , 1( ) 1 , 3 1 , 3 1 , 3 1(。 。进行单位化处理 , ) 3 , 2 , 1 ( | 得到所求标准正交组令iiii , ) 0 0, , 2 1 , 2 1 (1 , ) 0 , 3 2 , 61 , 6 1 (2 ) 23 , 321 , 321 , 321 (3。 , ,321 , ,321 ) 1 ,31

15、 ,31 ,31( ),0 , 1 ,21 ,21( ),0 , 0 , 1 , 1 ( 321再将第五节第五节 线性变换线性变换一、线性变换的定义请点击请点击二、线性变换的矩阵三、线性变换在新基下的矩阵四、线性变换的特征值与特征向量一、线性变换的定义一、线性变换的定义定义定义1 1(1) 对任意对任意, V, 有有T(+)=T()+T()(2) 对任意对任意V, 及任意实数及任意实数 k，有有T(k)=kT()则称则称 T 为为 V 的一个的一个线性变换线性变换.向量空间向量空间 V 到自身的一个映射到自身的一个映射 ，称为称为V的的 一个一个变换变换。T若若T满足满足：向量向量 在在 T

16、下的像下的像，记为记为T()或或T.注注2 2：用粗体大写字母用粗体大写字母T, A，B，C，表示线性变表示线性变换换，它构成一个线性空间它构成一个线性空间，定义定义变换变换T：)()(xfxf)()()()()()(xgxfxgxfxgxfT)()(xgTxfT)()() )()(xfkTxfkxfkxfkT全体的集合全体的集合， xRn设设表示定义在表示定义在R上次数不超过上次数不超过n的多项式的多项式例例1 1：故故T 为为 的一个线性变换的一个线性变换. xRn ,)(),(RkxRxgxfn对对注注1 1：定义式中定义式中（1 1），（2 2）可表示为可表示为)()()(,21212

17、1TkTkkkTRkkV例例2 2：证证：T( + )= (+)A设设 A 为一为一 n 阶实矩阵阶实矩阵，对任意对任意 Rn ，令令 T= A, 则则 T 为为 Rn 中的线性变换中的线性变换. = A+ A = T + TT(k)= (k) A = k( A) = k (T)故故 T 为为 Rn 中的线性变换中的线性变换.V V 中两类特殊的线性变换中两类特殊的线性变换：1. 恒等变换恒等变换 EE= , V2. . 零变换零变换 OO= 0 , V定理定理1 1设设 T 是是V 的一个线性变换的一个线性变换，则则(1) T把零向量变到零向量把零向量变到零向量，把把 的负向量变的负向量变到

18、到 的像的负向量的像的负向量，即即T 0=0；T()= T.(2) T保持向量的线性组合关系不变保持向量的线性组合关系不变, , 即即T(k11+k22+kss)=k1T1+k2T2+ksTs.(3) T把线性相关的向量组变为线性相关的向量组把线性相关的向量组变为线性相关的向量组. .定义定义2 2设 L(V) 是向量空间是向量空间 V 的全体线性变换的集合的全体线性变换的集合,定义定义 L(V) 中的加法，数乘与乘法如下中的加法，数乘与乘法如下：加法加法: (T1+T2) =T1+T2 ;数乘数乘: (kT) =kT乘法乘法: (T1T2) =T1(T2)对对 V, kR.均为均为 V 的线

19、性变换的线性变换.T1+T2，T1T2，kT可证可证: 若若 T1, T2 均为均为 V 的线性变换，则的线性变换，则二、线性变换的矩阵二、线性变换的矩阵T 为 V 的一个线性变换.T =k1 T 1+k2 T 2+ +km T m设 V 为向量空间, dim(V)=m.1, 2, , m 为V 的一组基， =k11+k22+ +kmmVmmkkkTTT2121),(T1 =a111+a212+ +am1mT2 =a121+a222+ +am2mTm =a1m1+a2m2+ +ammm 即即(T 1, T 2, , T m )= (1, 2, , m ) A其中其中mmmmmmaaaaaaaa

20、aA212222111211T(1, 2, , m ) = (1, 2, , m ) A简记为简记为设（1）（2） , m下的矩阵下的矩阵.称矩阵称矩阵 A 为线性为线性变换变换 T在基在基1, 2,给定给定 V 的基的基1, 2, , m ,线性变换线性变换T矩阵矩阵A定理定理3 3设设 V 的线性变换的线性变换 T有有(T 1, T 2, , T m ) = (1, 2, , m ) A向量向量在基在基1, 2, , m下的坐标为下的坐标为(x1, x2, , xm)，T在此基下的坐标为在此基下的坐标为(y1, y2, , ym), 则则nmxxxyyy2121A= (1, 2, , m

21、) A =x11+x22+ +xmmT =x1 T 1+x2 T 2+ +xm T mmmxxxTTT2121),(mxxx21= (1, 2, , m )myyy21nmxxxAyyy2121证明证明：所以所以例例3 3：设设 R3 的线性变换的线性变换TT(x1, x2, x3)=(a11x1+a12x2+a13x3, a21x1+a22x2+a23x3, a31x1+a32x2+a33x3) 求求 T 在标准基在标准基1, 2, 3下的矩阵下的矩阵. 解解：T1=T(1, 0, 0)=(a11, a21, a31)= a111+a21 2+ a31 3T2=T(0, 1, 0)=(a12

22、, a22, a32)= a121+a22 2+ a32 3T3=T(0, 0, 1)=(a13, a23, a33)= a131+a23 2+ a33 3故故 T T 在标准基在标准基 1, 2, 3 下的矩阵为下的矩阵为333231232221131211aaaaaaaaaA),(),(321321TTT333231232221131211aaaaaaaaa特例：特例：线性变换线性变换 T=k 数量矩阵数量矩阵kE恒等变换恒等变换 T= 单位矩阵单位矩阵E零变换零变换 T=0 零矩阵零矩阵O定理定理4 4三、线性变换在新基下的矩阵三、线性变换在新基下的矩阵1, 2, , m1, 2, ,

23、m；设设 向量空间向量空间V有两组基，分别为有两组基，分别为B=C1AC则则证明证明：）（1, 2, , mB）（1, 2, , m（1, 2, , mC且且=T (1, 2, , m)=(1, 2, , m ) = (1, 2, , m ) AT）(1, 2, , m)=（1, 2, , mBT（1, 2, , mC）T= (1, 2, , m ) A C=（1, 2, , m） C1AC.B=C1AC.故故定义定义5 5设设 A, B 为两为两 n 阶方阵，若存在可逆矩阵阶方阵，若存在可逆矩阵 C，使使 B=C1AC , 则称方阵则称方阵 A 与与 B 相似相似，记为记为AB.性质性质：(

24、1) AA (反身性反身性)(2) AB BA (对称性对称性)(3) AB, BC AC (传递性传递性)AC1BC=B=(FD)-1 C (FD)A=D-1DCF )=D-1D(F-1解：解：从从e1, e2, e3 到到1, 2, 3的过渡矩阵的过渡矩阵211243132C例例5 5 线性变换线性变换 T 在在 R3 中基中基 e1, e2, e3 下的矩阵为下的矩阵为6788152051115A求求T在基在基1=2e1+3e2+e3 , 2=3e1+4e2+e3 , 3=e1+2e2+2e3 下的矩阵下的矩阵.故线性变换故线性变换 T 在在 1, 2, 3 下的矩阵下的矩阵B=C1AC

25、300020001四、线性变换的特征值与特征向量四、线性变换的特征值与特征向量定义定义6 6问题: 线性变换在何种基下对应对角矩阵线性变换在何种基下对应对角矩阵? ?T = 成立，则称成立，则称 为为T的一个的一个特征值特征值，而，而 称为称为 T 对对应于特征值应于特征值 的一个的一个特征向量特征向量。如果存在如果存在数数 及及 n 维维非零向量非零向量 ，使得使得设设 T 是向量空间是向量空间 V 的一个线性变换的一个线性变换, ,注：注：若若 为为 T的属于特征值的属于特征值 的一个特征向量的一个特征向量, 则则k (k 0)也为也为T的属于特征值的属于特征值 的特征向量的特征向量.T

26、(k )= kT = k = (k )若若 1, 2, , m为为T 的特征向量，且构成的特征向量，且构成 V 的基的基由 Ti= i iT（ 1, 2, , m）m21=（ 1, 2, , m）T在在特征向量特征向量这组基下这组基下定理定理5 5设设 V 为为 m 维向量空间，维向量空间，T为为 V 的一个线的一个线性变换性变换. . 那么存在那么存在 V 的一组基，使得的一组基，使得 T在这组基下的矩阵为对角矩阵的充要条件在这组基下的矩阵为对角矩阵的充要条件是是 T 有有 m 个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量. .对角矩阵对角矩阵特征值特征值 ， 特征向量特征向量 的求法的求法：设

27、 1, 2, , m为V 的一组基(T 1, T 2, , T m ) = (1, 2, , m ) A= (1, 2, , m ) Amxxx21 =x11+x22+ +xmmT =x1 T 1+x2 T 2+ +xm T mmmxxxTTT2121),(= = (1, 2, , m )mxxx21= (1, 2, , m ) mxxx21满足：Amxxx21= mxxx21即即 ( A E ) X = 0A X= X成立，则称成立，则称 为矩阵为矩阵 A 的一个的一个特征值特征值，而而 X称为矩阵称为矩阵 A 对应于特征值对应于特征值 的一个的一个特征向量特征向量。定义定义7 7设设 A

28、R n n，如果存在如果存在数数 及及 n 维维非零非零向量向量 X，使得使得T = 注：A X= X 其中 , m下的矩阵. X为A 为 T 在基1, 2,的坐标( A E ) X = 0精品课件精品课件！精品课件精品课件！定义定义3 3欧氏空间欧氏空间 V 的线性变换的线性变换T称为正交变换称为正交变换，若对任意若对任意, V, 均有均有(T, T )=( , )定理定理2 2设设A是欧氏空间的一个线性变换是欧氏空间的一个线性变换，则下面则下面几个命题等价几个命题等价：(1) T是正交变换是正交变换；(2) T保持向量的长度不变，即对于任意的保持向量的长度不变，即对于任意的 V, |T|=| |; (3) 如果如果1, 2, , m是是V的的标准正交基标准正交基， 则则T1, T2, , Tm也是也是V的的标准正交基标准正交基；(4) T在任一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵在任一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵.