1、1. 1.两异面直线所成的角两异面直线所成的角平移法平移法 补形法补形法向量法：求两异面直线向量法：求两异面直线a、b上非零向量上非零向量a、b的的夹角（注意异面直线成角范围）夹角（注意异面直线成角范围）问题问题1.在如图所示正方体在如图所示正方体中中,E、F分别是分别是AB、AD的中的中点，求异面直线点，求异面直线BF、C1E所所成的角的余弦值成的角的余弦值. 一个平面的斜线和它在这个平面内的射影的夹角，叫做一个平面的斜线和它在这个平面内的射影的夹角，叫做 斜线和平面所成的角斜线和平面所成的角（或（或斜线和平面的夹角斜线和平面的夹角） 直线和平面垂直直线和平面垂直直线直线和平面所成的角是直角
2、和平面所成的角是直角 直线和平面平行或在平面内直线和平面平行或在平面内直线直线和平面所成的和平面所成的 角是角是02.直线与平面所成的角直线与平面所成的角思考思考 直线直线与平面所成的角与平面所成的角的取值范围的取值范围是：是： 。 斜线斜线与平面所成的角与平面所成的角的取值范围的取值范围是：是： 。0/20/2斜线和平面所成的角的求法斜线和平面所成的角的求法（1）射影法射影法：在线上取一点作面的垂线，斜：在线上取一点作面的垂线，斜足与垂足的连线与斜线所成的角即为所求。足与垂足的连线与斜线所成的角即为所求。求斜线与平面所成的角可以分三步求斜线与平面所成的角可以分三步1.作出斜线在平面内的射影作
3、出斜线在平面内的射影2.证明角是直线与平面所成的角证明角是直线与平面所成的角 问题问题2.正方体正方体ABCD-A1B1C1D1中，中，E、F分别为分别为BB1 、 CD的中点，的中点，(1)求直线求直线D1F与平面与平面ADE所成的角所成的角. (2)求求D1E与平面与平面ADE所成的角正弦值所成的角正弦值.3.解直角三角形或解三角形，求出结果解直角三角形或解三角形，求出结果问题问题3.在正四棱柱在正四棱柱AC1中中,底面的边长底面的边长AB=2,E为线段为线段AB的中点的中点,F为线段为线段AD上的点上的点,点点C在在平面平面C1EF上的射影上的射影H为为 C1EF的重心的重心. (1)求
4、证求证:AF=FD;(2)求求BF与平面与平面C1EF所成角的大小正弦值所成角的大小正弦值. F E B 1 A 1 C 1 D 1 B D C A（2）等积求高法等积求高法：利用三棱锥调换顶点时体积相：利用三棱锥调换顶点时体积相等，求出斜线上的点到相应平面的距离等，求出斜线上的点到相应平面的距离.OBAAB 从一条直线出发的两个半平面所组成的从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做图形叫做二面角二面角。 这条直线叫做这条直线叫做二面角的棱二面角的棱。这两个半平面叫做这两个半平面叫做二面角的面二面角的面。3二面角的范围二面角的范围00，18003.二面角的概念二面角的概念角角BAO边边边边顶
5、点顶点从一点出发的两从一点出发的两条射线所组成的条射线所组成的图形叫做图形叫做角角。定义定义构成构成边边点点边边 （顶点）（顶点）表示法表示法AOB二面角二面角AB面面面面棱棱 a从一条直线出发的从一条直线出发的两个半平面所组成两个半平面所组成的图形叫做的图形叫做二面角二面角。面面直线直线面面 （棱）（棱）二面角二面角l或二面角或二面角AB图形图形6 lOO1ABA1B1A O BA1O1B1？ 以二面角的以二面角的棱棱上任意一点为端点，在上任意一点为端点，在两个面内两个面内分别作分别作垂直垂直于棱的两条射线，这于棱的两条射线，这两条射线所成的两条射线所成的角角叫做叫做二面角的平面角。二面角的
6、平面角。平面角是平面角是直角直角的二的二面角叫做面角叫做直二面角直二面角9二面角的大小用它的平面角来度量二面角的大小用它的平面角来度量注意：二面角的平面角必须满足二面角的平面角必须满足：3）角的边都要垂直于二面角的棱角的边都要垂直于二面角的棱1）角的顶点在棱上角的顶点在棱上2）角的两边分别在两个面内角的两边分别在两个面内 以二面角的以二面角的棱上任意一点棱上任意一点为端点，为端点，在在两个面内两个面内分别作分别作垂直于棱垂直于棱的两条射线，这的两条射线，这两条射线所成的两条射线所成的角角叫做叫做二面角的平面角。二面角的平面角。10 lOABAOB此图正确？此图正确？二面角的平面角的作法：二面角
7、的平面角的作法：1 1、定义法、定义法 根据定义作出来根据定义作出来2 2、垂面法、垂面法 作与棱垂直的平面与作与棱垂直的平面与两半平面的交线得到两半平面的交线得到12 lOABAO lD3 3、三垂线定理法、三垂线定理法 借助三垂线定理或借助三垂线定理或其逆定理作出来其逆定理作出来 lABO二面角的计算步骤：二面角的计算步骤：1、找到或作出二面角的平面角找到或作出二面角的平面角2、证明证明 （指出）（指出）1中的角就是所求的中的角就是所求的角角3、计算出此角的大小计算出此角的大小一一“作作”二二“证证”三三“计算计算”16BECDA作垂面作垂面作垂线作垂线三垂线定理、或逆定理三垂线定理、或逆定理二面角的求法二面角的求法1）作垂线）作垂线2）作垂面）作垂面3）三垂线定理、或逆定理）三垂线定理、或逆定理
