反函数及其图像.课件.ppt

1、反函数反函数镇沅一中镇沅一中 高一高一223班班复习复习:函数的概念函数的概念函数的三要素： 设A、B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A Bf:A B为从集合A到集合B的一个函数函数,记作 y=f(x)y=f(x), , 其中,x叫做自变量自变量,x的取值范围A叫做函数的定定义域义域;与x的值相对应的y的值叫做函数值,函数值的集合 叫做函数的值域值域xA( )|Cf xxA定义域A、 值域C、 对应法则f -3 -13210 -2 -6 -26420 -4什么叫函数？什么叫函数？简言之，简言之，函数

2、就是非空数集到非空数集上的映射函数就是非空数集到非空数集上的映射。例例:画出函数画出函数y=2x的定义域到值域上的映射示意图，的定义域到值域上的映射示意图，并求并求f( 2)与与f(3)的值。的值。解：解：f(-2)=-4f(3)=6易知易知 f:AB为一为一 一映射一映射二、探讨问题二、探讨问题(1)若若f(x1)=-4, f(x2)=6, 则则x1=_，x2=_-23AB一、反函数的概念一、反函数的概念 一般地，函数一般地，函数y=f(x) 中，设它的值域为中，设它的值域为C.我们根我们根据这个函数中据这个函数中x,y的关系，用的关系，用y把把x表示出来，得到表示出来，得到 ，如如果对于果

3、对于y在在C中的任何一个值中的任何一个值 ， 通过通过 ，x在在A中都有唯中都有唯一确定的值和它对应，那么，一确定的值和它对应，那么， 就表示就表示y是自变量，是自变量，x是是自自 变变 量量 y的函数，这样的的函数，这样的 函数函数 叫做函数叫做函数y=f(x) 的反函数 ，记作，记作 x=f 1(y) 在函数在函数x=f 1(y)中中,y表示自变量表示自变量,x表示函数表示函数.但在习惯上，但在习惯上，我们一般用我们一般用x表示自变量表示自变量,y用表示函数，为此我们常常对调函用表示函数，为此我们常常对调函数数x=f 1(y) 中的字母中的字母x, y，把它改写成把它改写成y=f 1(x)

4、 ( )xy( )xy( )xy( )xy()xA()xA()yC反函数的概念的理解反函数的概念的理解 ：结论: 若y=f(x)有反函数是y=f 1(x),则函数 y=f 1(x) 的反函数就是y=f(x),它们是互为反函数。 2 ()yx xR问：()2xyxR称作 的反函数()2xyxR有没有反函数？回答：有。是2 ()yx xR（3）函数y=x2的定义域是_，值域是_。如果由y=x2解出x=_,对于y在0,+)上任一个值，通过式子, yxx在R上有_值和它对应，故x_y的函数。R0,+)y两个不是是否任何一个函数都有反函数？是否任何一个函数都有反函数？这这表明函数表明函数y=x2没有反函

5、数！没有反函数！并非所有的函数都有反函数并非所有的函数都有反函数！什么样的函数才有反函数呢？函数y=f(x)存在反函数的充分必要条件例：下列函数中，存在反函数的是（ ）2(1)yx2(1) (0)yxx2(1) (0)yxx2(1) (2)yxx ABCD 若函数y=f(x), 是集合A 到集合B的函数,当不同x的对应不同的y且集合B无剩余元素时,函数y=f(x)存在反函数.xA2(1)yx的函数图象是：-1-2-3-5 -4-6012345661 23 45-2-1xy2(1)yxA2(1) (0)yxxB2(1) (0)yxxC2(1) (2)yxx D答案:C请问，一个函数具有在某区间具

6、有单调性，那么这个函数一定有反函数吗？例：y=x2在0，+）上是增函数，y=x2也有反函数例：y= 在x0 上面具有反函数,但是它在x0 上没有单调性!x1所以，函数在某区间上面具有单调性，那么肯定有反函数，但是若函数有反函数，不一定是单调的！4、反函数与原函数的关系：、反函数与原函数的关系：表达式：表达式：定义域定义域：值域值域:ACy=f(x)原函数原函数反数数反数数y=f 1(x) ( x=f 1(y) )CA 反函数的定义域是原函数的值域， 反函数的值域是原函数的定义域。 ()2xyxZ问：2 ()yx xZ是不是函数的反函数？答：不是。因为前者的值域显然不是后者的定义域所以求原来函数

7、的反函数时，必须先确定反函数的定义域即：确定原函数的值域结论：例例.求下列函数的反函数：求下列函数的反函数：,3113yxxy解得：由1,3xx yy互换经得反函数为：31()yxxR（1）解：3 1 ()yxx R 所以， 的反函数是1()3xyxR31()yxxR的值域是R3,1x yyx互换得反函数为：3311,yxxy由解得：(2)31()yxxR解： 所以， 的反函数是31()yxxR31()yxxR31()yxxR的值域是R,) 1(12yxxy解得：由1(0)yxx解： (3) 2,(1)x yyx互换得反函数为：所以， 的反函数是1(0)yxx2(1) (1)yxx1(0)yx

8、x的值域是1y (4)3,2xx yyx互换得反函数为：23(,1)1xyxRxx且解：3(,2).2xyxRxx且所以， 的反函数是23(,1)1xyxRxx且,23132yyxxxy解得：由23(,1)1xyx R xx且的值域是2yRy且二、求反函数的步骤:(2)反解:把y=f(x)看作是x的方程,解出x=f 1(y);(3)互换:将x,y互换得y=f 1(x);(4)注明:注明y=f 1(x)其定义域 （即原函数的值域 );(1)求值:求出y=f(x)的值域反函数的图象关系反函数的图象关系首先，我们来看两个函数首先，我们来看两个函数xy2xy2log思考一下，这两个函数图思考一下，这两

9、个函数图像有什么关系？像有什么关系？y=log2xy=2x二、图像的对称性和和它它的的反反函函数数的的图图像像。函函数数在在同同一一坐坐标标系系中中画画出出原原的的反反函函数数求求函函数数例例 23 1;)(Rxxy)(,Rxxyxyyxxy32 23 3223的的反反函函数数是是的的解解：由由A(0,-2)B(-2,0)图像关于直线 y=x对称和和它它的的反反函函数数的的图图像像。函函数数在在同同一一坐坐标标系系中中画画出出原原的的反反函函数数求求函函数数例例 3 2;)(Rxxy)(Rxxyxyyxxy3333的的反反函函数数为为解解： 三、小结：三、小结：1. 反函数的概念及记号； y=

10、f(x)的反函数记为y=f 1(x)由由反函数的概念知：反函数也是函数反函数也是函数2. 若y=f(x)有反函数是y=f 1(x),则函数y=f 1(x)的反函数就 是y=f(x)，它们是互为反函数。4. 反函数与原函数的关系： 反函数的定义域是原函数的值域, 反函数的值域是原函数的定义域。3. 函数y=f(x)存在反函数的充分必要条件xA若函数y=f(x)， 是集合A到集合B的函数,当不同x的对应不同的y且集合B无剩余元素时,函数y=f(x)存在反函数(2)反解: 把y=f(x)看作是x的方程，解出x=f 1(y);(3)互换：将x,y互换得y=f 1(x);(4)注明：注明y=f 1(x)其定义域 （即原 函数的值域 );5、求反函数的步骤:(1)求值:求出y=f(x)的值域